1977年北京市高考数学试卷(文科)
一、解答题（共10小题，满分100分）
1．（10分）（1977•北京）计算：．
2．（10分）（1977•北京）化简：．
3．（10分）（1977•北京）解方程：．
4．（10分）（1977•北京）不查表求sin105°的值．
5．（10分）（1977•北京）一个正三棱柱形的零件，它的高是10cm，底面边长是2cm，求它的体积．6．（10分）（1977•北京）一条直线过点（1，﹣3），并且与直线2x+y﹣5=0平行，求这条直线的方程．7．（10分）（1977•北京）证明：等腰三角形两腰上的高相等．
8．（10分）（1977•北京）为了测湖岸边A、B两点的距离，选择一点C，测得CA=50米，CB=30米，∠ACB=120°，求AB．
9．（10分）（1977•北京）在2和30中间插入两个正数，这两个正数插入后使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求插入的两个正数？
10．（10分）（1977•北京）已知二次函数y=x2﹣6x+5．
（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；
（2）画出它的图象；
（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标．
参考答案与试题解析
一、解答题（共10小题，满分100分）
1．（10分）（1977•北京）计算：．
考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算．
专题：计算题．
分析：
由分数指数幂的运算法则，把原式转化为1+﹣，由此能求出的值．解答：解：原式=1+﹣
=1+
=0．
点评：本题考查分数指数幂的运算法则，解题时要认真审题，仔细求解．
2．（10分）（1977•北京）化简：．
考点：方根与根式及根式的化简运算．
分析：分子分母同乘以，整理可得．
解答：解：原式=．
点评：本题考查分母或分子有理化．
3．（10分）（1977•北京）解方程：．
考点：函数与方程的综合运用．
专题：计算题．
分析：先对等式两边同乘x2﹣1进行化简，然后解方程即可．
解答：解：根据题意可知x≠1
等式两边同乘x2﹣1得，x+1+x2﹣1=4x﹣2
化简得x2﹣3x+2=0，解得x=2．
∴原方程的解为x=2．
点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及解方程等知识，属于基础题．
4．（10分）（1977•北京）不查表求sin105°的值．
考点：两角和与差的正弦函数．
专题：综合题．
分析：把105°变为180°﹣75°，然后利用诱导公式化简，把75°变为30°+45°，利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简即可得到值．
解答：解：sin105°=sin（180°﹣75°）=sin75°
=sin（30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°
=×+×=
点评：此题考查学生灵活运用诱导公式、两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．
5．（10分）（1977•北京）一个正三棱柱形的零件，它的高是10cm，底面边长是2cm，求它的体积．
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题：计算题．
分析：因为正三棱柱形的底面积由正弦定理的推论可求得，为S=•2•2•sin60°，已知高h=10，由体积
公式即可求得．
解答：解：正三棱柱形的底面积为S=•2•2•sin60°，高h=10，由柱体的体积公式得，
体积V=sh=•2•2•sin60°•10==（cm3）．
点评：本题考查了柱体的体积公式的应用．是简单的计算题．
6．（10分）（1977•北京）一条直线过点（1，﹣3），并且与直线2x+y﹣5=0平行，求这条直线的方程．
考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．
专题：计算题．
分析：先求与直线2x+y﹣5=0平行的直线的斜率，再根据其过点（1，﹣3），用点斜式求直线方程．解答：解：∵直线2x+y﹣5=0的斜率k=﹣2，
∴所求直线斜率k′=﹣2．
故过点（1，﹣3）且与已知直线平行的直线为y+3=﹣2（x﹣1），
即2x+y+1=0．
点评：本题考查直线的平行关系，直线的点斜式方程，是基础题．
7．（10分）（1977•北京）证明：等腰三角形两腰上的高相等．
考点：三角形中的几何计算．
专题：证明题．
分析：由题意画出图形，利用等腰三角形的定和条件找到三角形全等即可求证．
解答：zm：如图，在△BDC与△CEB中，
∵∠DBC=∠ECB，∠BDC=∠CEB=90°，
BC=BC，∴△BDC≌△CEB，
CD=BE．
点评：此题考查了等腰三角形的定义，三角形全等的判定定理及性质定理．
8．（10分）（1977•北京）为了测湖岸边A、B两点的距离，选择一点C，测得CA=50米，CB=30米，
∠ACB=120°，求AB．
考点：余弦定理；解三角形的实际应用．
专题：计算题．
分析：利用余弦定理把CA=50米，CB=30米，∠ACB=120°代入即可求得答案．
解答：解：由余弦定理可得AB=AC2+BC2﹣2AC•BC•cos，∠ACB=70米．
点评：本题主要考查了余弦定理的应用．属基础题．
9．（10分）（1977•北京）在2和30中间插入两个正数，这两个正数插入后使前三个数成等比数列，
后三个数成等差数列，求插入的两个正数？
考点：等比数列的性质；等差数列的性质．
专题：计算题．
分析：依题意设出此数列，进而根据等比中项的性质和等差中项的性质联立方程组求得x和y，则插入的两个数可求．
解答：解：设此数列为2，x，y，30．
于是有
解得x=6，y=18．
故插入的两个正数为6，18，
因此，所成的数列为2、6、18、30．
点评：本题主要考查等比数列的性质．考查了考生分析问题和解决问题的能力．
10．（10分）（1977•北京）已知二次函数y=x2﹣6x+5．
（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；
（2）画出它的图象；
（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标．
考点：二次函数的图象．
专题：作图题；综合题．
分析：（1）根据二次函数的顶点坐标公式和对称轴公式分别求出即可；
（2）根据列表、描点、连线的步骤画出函数图象即可；
（3）令x=0求出对应的y值，写出坐标为与函数图象y轴的交点，令y=0求出对应的x值，
写出坐标为函数图象与x轴的交点．
解答：解：（1）∵a=1，b=﹣6，c=5
∴﹣=﹣=3，==﹣1
∴顶点坐标为（3，﹣1），对称轴为直线x=3．
（2）如图列表（描点略）
（3）图象与x轴相交，y=0即x2﹣6x+5=0解得x1=1，x2=5，所以与x轴交点的坐标为（1，0）
（5，0）；
图象与y轴相交，x=0解得y=5，所以与y轴交点的坐标为（0，5）．
点评：考查学生掌握二次函数的顶点和对称轴公式，会利用描点法画函数的图象，会求函数图象与坐标轴的交点坐标．。
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1977年普通高等学校招生考试全国各省市高考数学试题及解答(汇总
1977年全国各省市高考数学试题及解答北京市（理科）1．解方程.31x x -=-解：将两边平方，得 x 2-1=9-6x+x,即x 2-7x+10=0,(x-2)(x-5)=0, ∴x=2,x=5。
经检验x=5是增根，故原方程的解是x=2。
2．计算121222021-++-.122:+=原式解3.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg 45。
解：lg 45=21lg 21032⨯=0.8266。
4．证明αα+=α+22cos 2sin 1)1(tg 原式成立证∴αα+=αα+αα+α=⎪⎭⎫ ⎝⎛αα+α=α+222222cos 2sin 1cos sin cos sin 2cos cos sin cos )1(:tg 5．求过两直线x+y-7=0和3x-y-1=0的交点且过（1，1）点的直线方程。
解：由x+y-7=03x-y-1=0, 解得x=2,y=5。
过点（2，5）和（1，1）的直线方程为y=4x-3。
6．某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？解：七月份到十月份总产值为 100+（1+20%）·100+（1+20%)2·100+（1+20%)3·100=)(8.5362.00736.110012.1]1)2.1[(1004万元=⨯=--⨯ 7.已知二次函数y=x 2-6x+5(1)求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程; (2)画出它的图象;(3)分别求出它的图象和x 轴、y 轴的交点坐标。
解：如图（列表，描点）略。
8．一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A 处看见一灯塔B 在船的北450东方向，一小时后船在C 处看见这个灯塔在船的北150东方向，求这时船和灯塔的距离CB 。
解：由已知条件及图可得AC=20海里，∠BAC=450，∠ABC=300。
由正弦定理可得9．有一个圆内接三角形ABC ，∠A 的平分线交BC 于D ，交外接圆于E ，求证：AD ·AE=AC ·AB 。
1977年普通高等学校招生考试全国各省市高考数学试题及解答(汇总
1977年全国各省市高考数学试题及解答北京市（理科）1．解方程.31x x -=-解：将两边平方，得 x 2-1=9-6x+x,即x 2-7x+10=0,(x-2)(x-5)=0, ∴x=2,x=5。
经检验x=5是增根，故原方程的解是x=2。
2．计算121222021-++-.122:+=原式解3.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg 45。
解：lg 45=21lg 21032⨯=0.8266。
4．证明αα+=α+22cos 2sin 1)1(tg 原式成立证∴αα+=αα+αα+α=⎪⎭⎫ ⎝⎛αα+α=α+222222cos 2sin 1cos sin cos sin 2cos cos sin cos )1(:tg 5．求过两直线x+y-7=0和3x-y-1=0的交点且过（1，1）点的直线方程。
解：由x+y-7=03x-y-1=0, 解得x=2,y=5。
过点（2，5）和（1，1）的直线方程为y=4x-3。
6．某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？解：七月份到十月份总产值为 100+（1+20%）·100+（1+20%)2·100+（1+20%)3·100=)(8.5362.00736.110012.1]1)2.1[(1004万元=⨯=--⨯ 7.已知二次函数y=x 2-6x+5(1)求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程; (2)画出它的图象;(3)分别求出它的图象和x 轴、y 轴的交点坐标。
解：如图（列表，描点）略。
8．一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A 处看见一灯塔B 在船的北450东方向，一小时后船在C 处看见这个灯塔在船的北150东方向，求这时船和灯塔的距离CB 。
解：由已知条件及图可得AC=20海里，∠BAC=450，∠ABC=300。
由正弦定理可得9．有一个圆内接三角形ABC ，∠A 的平分线交BC 于D ，交外接圆于E ，求证：AD ·AE=AC ·AB 。
1977年北京市高考试卷
1977年北京市高考试卷1977年是中国改革开放的前夜，也是中华人民共和国高考制度恢复的第一年。
在这一年的北京市高考试卷中，我们可以看到当时的教育体制和教学内容。
本文将从语文、数学和英语三个科目的试题中，为您呈现1977年北京市高考试卷的内容和特点。
语文科目的试题包括阅读理解、作文和修改文段等。
阅读理解部分主要考查考生的阅读理解能力和文学素养。
其中，一篇文章题为《金色的秋天》讲述了秋天的美丽和收获的喜悦。
另一篇文章《沙漠》则描绘了沙漠的荒凉和生命的顽强。
考生需要读懂文章并回答问题，考验了他们的阅读和分析能力。
作文题目是《我眼中的快乐》，考生需要根据题目要求，结合自己的生活经历和感受，写一篇关于快乐的作文。
这部分考察了考生的写作能力和表达能力。
修改文段部分，要求考生对一篇短文进行修改，涉及到语法和修辞等方面的知识。
这部分考察了考生的语言运用能力和对语言规范的掌握程度。
数学科目的试题主要包括数学运算和解题能力的考察。
试卷中的题目涵盖了代数、几何、概率和数列等多个数学领域。
其中，一道代数题要求考生解方程组，考察了他们的代数运算和解题能力。
另一道几何题要求考生求解三角形的面积和周长，考察了他们的几何知识和计算能力。
概率题目则要求考生计算事件的概率，考察了他们的概率计算能力和逻辑思维能力。
数列题目要求考生找出数列的规律并计算其项数，考察了他们的数列知识和数学推理能力。
数学科目的试题设计注重考察考生的数学基础和解题能力，要求考生熟练掌握数学知识并能够灵活运用。
英语科目的试题主要包括听力、阅读理解和写作等。
听力部分要求考生听录音并回答问题，考察了考生的听力理解能力和口语表达能力。
阅读理解部分要求考生阅读短文并回答问题，考察了他们的阅读理解和推理能力。
写作部分要求考生根据所给题目写一篇短文，考察了他们的写作能力和语法运用能力。
英语科目的试题涵盖了听、说、读、写多个方面，要求考生在语言技能的各个方面都能有所表现。
1977年的高考试卷
1977年的高考试卷1977年的高考语文试卷一、给下面这句话注音，要标调（3分）将正确的答案填写到下面的横线上对待同志要象春天般温暖.二、回答下列问题将正确的答案填写到下面的横线上1。
指出下面句子中加粗的词属于什么词类（2分)雷锋为人民服务的心最红2.指出下面复杂词组中的每个词组属于哪种类型（4分）恢复和发扬毛主席树立的优良传统和作风3.分析句子成分(4分）为了实现共产主义的伟大理想，我要献出自己的毕生精力和整个生命.4.分析多层复句的层次关系(3分）因为我们是为人民服务的,所以，我们如果有缺点,就不怕别人批评指出。
三、什么叫拟人的修辞方法？举出一例（4分）四、写出毛主席诗《七律·人民解放军占领南京》的中心思想(6分）钟山风雨起苍黄，百万雄师过大江。
虎踞龙盘今胜昔,天翻地覆慨而慷. 宜将剩勇追穷寇,不可沽名学霸王。
天若有情天亦老,人间正道是沧桑。
五、将下面两段文言文译成现代汉语,标清题号（14分)1.陈胜，吴广皆次当行,为屯长。
会天大雨,道不通，度已失期。
失期,法皆斩。
陈胜，吴广乃谋曰：“今亡亦死，举大计亦死；等死，死国可乎？”（7分）2.夫夷以近，则游者众；险以远，则至者少.而世之奇伟瑰怪非常之观,常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也。
（7分)六、作文60分文题:一在沸腾的日子里二谈青年时代（二题任选其一)1977年高考数学试题二、过抛物线y2=4x的焦点作倾斜角为3／4π的直线，它与抛物线交于A、B两点。
求A、B两点间的距离。
三、在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD、CE分别为斜边AB上的高和中线（见第三题图），且∠BCD与∠ACD之比为3:1。
求证CD＝DE.四、在周长为300厘米的圆周上有甲、乙两球，以大小不等的速度作为匀速圆周运动,甲球从A点出发按逆时针方向运动，乙球从B点出发按顺时针方向运动，两球相遇于C点.相遇后，两球各自反向作匀速圆周运动，但这时甲球速度的大小是原来的2倍，乙球速度的大小是原来的一半，以后它们第二次相遇于D点.已知AmC=40厘米，BnD=20厘米（见第四题图）。
1977-1987年全国高考文科数学试题参考答案
A BEDC A 1977年普通高等学校招生考试文科(北京市)数学试题参考答案 满分100分，120分钟1．（本小题满分10分）解：101271433(1)=1=0933-+-+-.2．（本小题满分10分）21=24=3．（本小题满分10分） 解：已知方程变形得21142x x x ++-=-，即 2320x x -+=，解得2x =，或1x =（舍去）.4．（本小题满分10分）解：sin105sin 75sin(3045)︒=︒=︒+︒=. 5．（本小题满分10分） 解：正三棱柱形的体积3122sin 6010)2V cm =⋅⋅⋅︒⋅=. 6. （本小题满分10分）解：∵直线250x y +-=的斜率2k =-, ∴所求直线斜率2k '=-.∴过点(1,3)-且与已知直线平行的直线为32(1)y x +=--,即210x y ++=.7．（本小题满分10分）证：如图，在△BDC 与△CEB 中， ∵∠DBC =∠ECB ，∠BDC =∠CEB =900, BC =BC ，∴△BDC ≌△CEB ，CD =BE .8．（本小题满分10分） 解：由余弦定理可得AB70=米.9．（本小题满分10分）解：设此数列为2,,,30(0,0)x y x y >>，则由已知条件得22302x y x y ⎧=⎨+=⎩，，解得6,18x y ==. ∴插入的两个正数为6，18， ∴所成的数列为2，6，18，30. 10．（本小题满分10分） 解：（1）∵2(2)1y x =--， ∴顶点坐标为(2,1)-， 对称轴方程为2x =. (2)函数243y x x =-+ 的图象如右图所示.（3）解方程组2433y x x y x ⎧=-+⎨=-⎩，，得交点坐标为(2,1)-）和(3,0).1978年普通高等学校招生全国统一考试数学满分100分，120分钟（理科考生五，六两题选做一题.文科考生五，六两题选做一题，不要求做第七题.） 一、（下列各题每题4分，五个题共20分） 1.解：222444x xy y z -+-22(2)(2)x y z =--(22)(22)x y z x y z =---+.2.解：设底面半径为r ，则22ra a π=，即2a r π=，∴22224a a V r a a ππππ⎛⎫=⋅=⋅=⎪⎝⎭. 3．解：∵lg(2)0x +≥, ∴21x +≥，即1x ≥-， ∴函数定义域为[)1,-+∞.4.解：原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450=22. 5. 解：原式12425b = . 二 、（本题满分14分）解：1）0k >时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①1k >时,长轴在y 轴上，2a =，b =; ②1k =时,为半径2r =的圆; ③1k <时,长轴在x 轴上，a =，2b =.如图：2) 0k =时，方程为24y =.图形是两条平行于x 轴的直线2±=y .如图.3）0k <时，方程为22124x y k-+=，这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在y 轴上.如图所示. 三、（本题满分14分）证：1)连接CA ，CB ，则∠ACB =900. 由条件得∠ACM =∠ABC ,∠ACD=∠ABC ，∴∠ACM =∠ACD ，∴△AMC ≌△ADC ， ∴CM =CD .同理CN =CD ，∴CD =CM =CN . 2）∵CD ⊥AB ，∠ACD =900， ∴ CD 2=AD ·DB .由1）知AM =AD ，BN =BD ， ∴CD 2=AM ·BN . 四、（本题满分12分） 解：∵185b=，∴ 18log 5b =， ∴ 183618log (59)log 45log (182)⨯=⨯18181818log 5log 9log 18log 22a b a++==+-. 五、（本题满分20分）解：由条件得180A B C ++=︒， 2B A C =+，∴60,120B A C =︒+=︒.∵tan tan 2A C =∴tan tan (1tan tan )tan()A C A C A C +=-+(13=-=，……②∴由①，②知tan ,tan A C 是方程2x -(320x +=的两个根.解这个方程得121,2x x ==tan 1,tan 2A C ==tan 21A C ==， ∴45,75A C =︒=︒，或 75,45A C =︒=︒，∴45,60,75A B C =︒=︒=︒，或 75,60,45A B C =︒=︒=︒.∵顶点C 的对边c 上的高等于34，∴8,a b ====cos 45cos 60c AD DB b a =+=︒+︒4=，或8a ==，b ==cos 75cos 60c AD DB b a =+=︒+︒8=.六、（本题满分20分）证明：由223sin 2sin 1αβ+= 得2c o s 23s i n βα=，由3sin 22sin 20αβ-= 得3sin 2sin 23sin cos 2βααα==，2249sin cos 9sin ααα+22sin 2cos 21ββ=+=，即29sin 1α=.∵α为锐角，∴1sin 3α=.∴sin(2)sin cos2cos sin 2αβαβαβ+=+2sin (3sin )cos (3sin cos )ααααα=+ 223sin (sin cos )3sin 1αααα=+==.∵,αβ为锐角，∴22παβ+=.七、（本题满分20分） 解：已知函数配方得：2214524m m y x ++⎛⎫=+-⎪⎝⎭， ∴y 的极小值为454m +-.1）由4504m +-=，得54m =-， ∴当54m =-时，y 的极值是0.2）设函数的顶点坐标为(,)x y ，则21122m x m +=-=--，45544m y m +=-=--，消去m 得1l ：34x y -=，∴不论m 是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线1l 上. 当1,0,1m =-时，函数式分别为211()42y x +=-，293()42y x +=+，251()42y x +=+（图略）.3）设l ：x y a -=为任一条平行于1l 的直线，与抛物线方程22(21)1y x m x m =+++-联立求解，消去y ，得22210x mx m a ++-+=，即2()1x m a +=-.当1-a ≥0，即a ≤1时，直线l 与抛物线相交，而a ＞1时，直线l 与抛物线不相交.当1a ≤时，x m =-直线l 与抛物线两交点的横坐标分别为m m --由条件知直线l 的倾斜角为45︒，直线l 被抛物线截出的线段长为[((m m ---=m 无关，因此直线l 被各抛物线截出的线段都相等.F aαN MEDCBA 1E D CB A 一九七八年副题1．（下列各题每题4分，五个题共20分）（1）解：原式=(1)(3)x y x y ---+.(2)解：原式2130124=-+-=⎝⎭． （3）解：由255010x x ⎧->⎨+≠⎩得2x <,且1x ≠-，∴函数的定义域∞(-,-1)(-1,2).（4）解：)(3312131322cm V ππ=-⋅⋅=．（5）解：原式=30．2．（本题满分14分） 解：由已知条件得121239,40x x x x +==-， ∴121212113940x x x x x x ++==-， 1211140x x ⋅=-， ∴所求方程为：2403910x x +-=. 3. （本题满分14分）证：∵AD 是△ABC 的外接 圆的切线， ∴∠B =∠1，∴△ABD ∽△ACD ，∴22ABC AB ACD AC ∆=∆的面积的面积．作AE ⊥BD 于点E ，则.2121CD BDAE CD AEBD ACD ABC =⋅⋅=∆∆的面积的面积 ∴CDBDAC AB ACD ABC ==∆∆22的面积的面积. 4．（本题满分12分）证：作ME BD ⊥于E ，由△ABC 是 等边三角形知，在直角△MBE 中，12BE BM =，2ME BM =，2tan 122ME ED a BM α==-，BM =类似地，过N 作NF BC ⊥于F ，在直角△NFC中，可证：CN =5．（本题满分20分）证：1）∵244(1)0p q m --+=，∴2414p q m -+=，∴432()444f x x px qx =-+ 222442()44p q p q p x --+⋅+2222(2x )(4)px p q x =---22244(2)()44p q p q px --+⋅+22222244(2x )2(2x )()44p q p q px px --=---⋅+2224(2x )4p q px -=--，∴()f x 恰好是一个二次三项式的平方.2）由条件得43224442(1)(1)x px qx p m m -+++++ 22(2)x ax b =++4322244(4)2x ax a b x abx b =-++++，B /P /P l CBA O y x∴22244 (1)44 (2)2(1)2 (3)(1). (4)p a q a b p m ab m b -=⎧⎪=+⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，，，由（1）得a p =-，代入（2）得244q p b -=，将,a b 代入（3）得242(1)24q p p m p -+=-⋅，即2[44(1)]0p p q m --+=，∵0p ≠，∴244(1)0p q m --+=.6．（本题满分20分） 证（一）：∵,a b 不同时为0， ∴①可变形为0x x +=，设in s y y ==，则上式即为sin cos cos sin sin()0x y x y x y -=-=， ∴()x y k k Z π-=+∈，即 ()x y k k Z π=+∈.∴sin 2cos 2A x B x C +-sin(22)cos(22)A y k B y k C ππ=+++- sin 2cos 2A y B y C =+-222sin cos (cos sin )A y y B y y C =+--22222220ab a b A B C a b a b -=-+-=++，即22222()()0abA b a B a b C +-++=. 证（二）：当0,0a b =≠时，由①得 cos 0x =，结合②得B C -=，∴22222()()0abA b a B a b C +-++=； 同理可得，当0,0a b ≠=时，22222()()0abA b a B a b C +-++=；当0,0a b ≠≠时，由由①得tan bx a=-，sin 2cos 2A x B x C +-2222222sin cos cos sin sin cos sin cos x x x x A B C x x x x-=⋅+⋅-++2222tan 1tan 1tan 1tan x x A B C x x -=⋅+⋅-++ 2222222111b b a a A B C b b a a -⋅-=⋅+⋅-++ 22222220ab a b A B C a b a b -=-⋅+⋅-=++,即22222()()0abA b a B a b C +-++=.综上可知，结论成立. 7．（本题满分20分）解：1）直线l ，圆C 和抛物线Q的方程为:L y x =；2: Q y x =； 22:1C x y +=. 草图如右图所示.2)由221y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩， 得A点横坐标为2x =- 线段PA 的函数关系为1(),()322f x x x =-≤≤-；由222,1y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得B 点横坐标为2x =， ∴圆弧AB 的函数关系式为2())22f x x =-≤≤；抛物线上OB 一段的函数表达式为3()(02f x x =≤≤,POP S '∆=724OAB π=扇形S ， 14BOB S '∆=，71244π=+阴S .PβαCBAF ECBA1979年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科） 满分100分，120分钟一、（本题满分9分）解：∵2211221222y x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，∴12min y =.二、（本题满分9分）解：()()2224241sin cos 1cos sin θθθθ⎡⎤⎡⎤+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()22221sin cos 1sin cos θθθθ=+++-⨯()()22221cos sin 1cos sin θθθθ+++-()()41cos21cos2θθ=-+ 224(1cos 2)4sin 2θθ=-=．三、（本题满9分）解：由条件知，甲中纯酒精与水的重量分别为1111m v m n +，1111n vm n +；乙中纯酒精与水的重量分别为2222m v m n +，2222n vm n +．混合后所得液体中纯酒精量为11221122m v m vm n m n +++112222111122()()()()m v m n m v m n m n m n +++=++；混合后所得液体中水的量为11221122n v n vm n m n +++112222111122()()()()n v m n n v m n m n m n +++=++．混合后所得液体中纯酒精与水之比是11222211[()()]:m v m n m v m n +++11222211[()()]n v m n n v m n +++．四、（本题满分9分）解：略． 五、（本题满分14分） 解：作PC AB ⊥于C ， 设PC d =，在直角三角形PAC 中， cot AC d α=；在直角三角形PBC 中，cot BC d β=，∴(cot cot )S AC BC d αβ=+=+． 当d D ≤，即cot cot SDαβ+≥时，应向外国船发出警告．六、（本题满分14分）解：设年增长率为x ，则由条件得40100(1)500x +=,即40(1)5x +=．取自然对数有40ln(1)ln5x +=． 又lg5=1-0.3=0.7 ， ln5=ln10lg5=2.3×0.7=1.61． 利用ln(1)x x +≈,有x ≈ln5/40=1.61/40=0.04025≈4%． 答：每年约增长百分之四． 七、（本题满分18分） 证：连接CD ．∵∠CFD =900，∴CD 为圆O 的直径， 又AB 切圆O 于D ， ∴CD ⊥AB ．又在直角三角形ABC 中，∠ACB =900， ∴2AC =AD ·AB ，2BC =BD ·AB ，∴22BD BC AD AC=．…⑴ 又∵2BD =BC ·BF ，2AD =AC ·AE ，∴22BD BC BFAD AC AE⋅=⋅．…⑵ 由（1）与（2）得44BC BF BC AC AE AC ⋅=⋅，∴33BF BC AE AC=． 八、（本题满分18分） 解：设割线12OPP 的直线方程为y kx =， 代入圆的方程，得2222440x k x x kx +--+=，即22(1)2(12)40k x k x +-++=.由条件知，224(12)16(1)430k k k ∆=+-+=->，即34k >.设111222(,),(,)P x y P x y ，则12,x x 是上述方程的两个根，且1222(12)1k x x k ++=+，1222(12)1k ky y k++=+． 设P 点的坐标是(,)x y ，P 是12PP 的中点， ∴2211212k kx x x ++=+=， 122(12)21y y k k y k ++==+.又P 点在直线y kx =上，∴yk x=，代入上式得2121()yx x y x+=+，即 222x y x y +=+，∴2215()(1)24x y -+-=8(0)5x <<．这是以1(,1)22为半径的圆，所求轨迹是这个圆在所给圆内的一段圆弧． 说明：本题主要考查直线与圆的位置关系，韦达定理，中点坐标公式及点的轨迹方程．B Aβy xOP (x,y )O F E D C B A 1980年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科） 满分100分，120分钟一、（本题满分6分） 解：1313)(32)=3213i i i i --+-（ 9797131313i i -==-.二．（本题满分10分）解：（略）方程组的解为123.x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，，三．（本题满10分）证：以圆O 的直径AB 所在的直线为x 轴，圆心O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设圆O 的半径为1，则圆O 的方程是221x y +=，且(1,0),(1,0)A B -． 设(,)P x y 是圆上异于A ，B 任一点，则有221y x =-， 且1AP y k x =+，1BP yk x =-， ∴22221111AP BP y x k k x x -⋅===---， ∴PA ⊥PB ，∠APB 为直角.∴直径所对的圆周角是直角. 四．（本题满分12分） 解：设1979年的工业总产值为a ，又设1980的轻工业产值比上一年增长x %，则按题意，1980年的轻工业产值为)10024()100101()1001()10020(⋅+⋅=+⋅⋅a x a ， 解得：x =32.答：1980年轻工业产值应比上一年增长32%. 五．（本题满分14分）解：原式sin()4θ+sin()4sin()sin()44πθπθθ+==++． ∵3544ππθ<<， ∴342πππθ<+<，∴sin()04πθ+<，∴原式1=-．六．（本题满分16分） 证：1 A D C A B C S S ∆∆=，且△ABC 与△ADC 有同底AC ， ∴两高线相等：BE DF =， 设AC 与BD 交于点O ，则Rt △BOE ≌Rt △DOF .∴OB OD =. 即AC 平分BD （若,,E O F 重合、则已有OB BE DF OD ===）.2．逆命题：若四边形ABCD 的对角线AC 平分对角线BD ，则AC 必将四边形分成两个面积相等的三角形. 这个逆命题是正确的.证明如下：在上图中，由于OB OD =， ∠BOE =∠DOF （对顶角）， ∠BEO =∠DFO =2π， ∴△BOE ≌△DOF .∴BE DF =，即两高线相等. ∴S △ABC =21AC ·BE =21AC ·DF =S △ADC . 七．（本题满分16分）1．证明A E B D '''⊥； 2.求AE 的长解：1. AA '⊥平面A B C D ''''，EA B D D /C /B /A /C ∴AA B D '''⊥ ， 又AE B D ''⊥，∴B D ''⊥平面AA E '， ∴B D A E '''⊥.2．1122A B A D A E B D '''''''⋅=⋅，∴68A E '⨯=∴ 4.8,6A E AE '===． 八．（本题满分16分） 解：1.由22sec tan 1t t -=得2214y x -=．∴曲线的普通方程为2214y x -=． 2．当20π<≤t 时，1,0x y ≥≥,得到的是曲线在第一象限的部分（包括(1,0)点）;当23π<≤πt 时，1,0x y ≤-≥,得到的是曲线在第二象限的部分（包括(1,0)-点）．cb a EDCBA 1981年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科） 满分100分，120分钟一、（本题满分6分）解：1. A ∪B ={实数},2. A ∩B =φ. 二、（本题满分8分） 解：原式1444448263()()8=3()()a b a b a b a b a b a b a +-⨯⨯+-28()3b a b =-． 三、（本题满分6分）解：1.选举种数2412P =（种）． 所有可能的选举结果为：,,,,,AB AC AD BC BD CD ， ,,,,,BA CA DA CB DB DC ．2.选举种数C 43=4（种）所有可能的选举结果：,,,ABC ABD ACD BCD . 四、（本题满分10分）解：()sin cos )4f x x x x π=+=+，()f x是以2π为周期的周期函数，()f x 在区间(,)ππ-上的最大值为，当且仅当4x π=时()f x取最大值五、（本题满分10分）解：sin sin sin A B Ca b c==． 证：在钝角三角形ABC 中，作AD 垂直BC 于D ，BE 垂直CA 的延长线于E ． 设△ABC 的面积为S ，则111sin(180)sin 222S AC BE bc A bc A =⋅=︒-=．12S BC AD =⋅又1sin 2ac B =， 12S BC AD =⋅1sin 2ab C =，∴111sin sin sin 222S bc A ac B ab C ===，将上式除以1,2abc 得：sin sin sin A B Ca b c ==. 六、（本题满10分）解：设AC 中点为(,)P x y ,则有02151,222x y +-+====，即 (,)(1,2)P x y P =.又设AC 斜率为k ，则3k =，∴BD 的斜率为13-，∴直线BD 的方程为12(1)3y x -=--.………①以P 点为圆心，PA 为半径的圆的方程为 22(1)(2)10x y -+-=.………② 解方程①，②得,B D 的坐标为 (4,1),(2,3)-.（注：用复数法或向量方法求解） 七、（本题满分17分）解：1.所求人口数x （亿）是等比数列10,10×1.02,10×（1.02）2，…的第21项，即2010(1.02)x =． 两边取对数，得lg x =1+20lg1.02=1.17200, ∴x=14.859（亿) .2．设人口每年比上年平均递增率最高是y %，按题意得10×（1+y %)20≤12，即（1+y %)20≤1.2. 对上述不等式两边取对数得 20lg(1+y %)≤lg1.2，即 lg(1+y %)≤0.00396，∴1+y %≤1.0092, y %≤0.0092.B 1D 1C 1AB CD O A 1答：略. 八、（本题满分15分）证：设,AC BD 交于O 点，作截面1ACB ，联结1OB ，则 面11DBB D 面11ACB OB =.∵1111ABCD A BC D -是正四棱柱， ∴ABCD 是正方形， ∴AC ⊥BD .又∵1BB ⊥底面ABCD ， ∴1BB ⊥AC . ∴AC ⊥面11DBB D . ∵AC 在截面1ACB 内， ∴截面1ACB ⊥对角面11DBB D . 九、（本题满分18分）解：1.设直线与抛物线的交点为 111222(,),(,)P x y P x y .解方程组24,2y x y x k⎧=⎨=+⎩得2(2)4x k x +=，即2244(1)0x k x k +-+=.………①由条件知2216(1)1616(21)0k k k ∆=--=-+>，即12k <.由条件知12,x x 是方程①的两个根，且212121,4k x x k x x +=-=，∴由条件知====4k =-.2.设x 轴上一点P 的坐标为(,0)P a ，又点P 到直线12PP 的距离为h ，则有5|42|-=a h . 依题意得△12PPP 的面积关系：192=⋅，即6|24|a =-，∴5a =或1a =-.D 1C 1B 1A 1D C1982年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科） 满分100分，120分钟一、（本题满分8分） 解：1．{}0；2．R ；3．(0,)+∞；4．R 二、（本题满分7分）解：第15项146141520(1)()T C i =- 62038760C =-=-.三、（本题满分7分）解：1。
1977年全国各地普通高等学校招生考试数学试题及答案
1977年全国各地普通高等学校招生考试数学试题及答案北京市高考数学试卷（文科）一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）计算：．2．（10分）化简：．3．（10分）解方程：．4．（10分）不查表求sin105°的值．5．（10分）一个正三棱柱形的零件，它的高是10cm，底面边长是2cm，求它的体积．6．（10分）一条直线过点（1，﹣3），并且与直线2x+y﹣5=0平行，求这条直线的方程．7．（10分）证明：等腰三角形两腰上的高相等．8．（10分）为了测湖岸边A、B两点的距离，选择一点C，测得CA=50米，CB=30米，∠ACB=120°，求AB．9．（10分）在2和30中间插入两个正数，这两个正数插入后使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求插入的两个正数？10．（10分）已知二次函数y=x2﹣6x+5．（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；（2）画出它的图象；（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标．1977年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）计算：．考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算．专题：计算题．分析：由分数指数幂的运算法则，把原式转化为1+﹣，由此能求出的值．解答：解：原式=1+﹣=1+=0．点评：本题考查分数指数幂的运算法则，解题时要认真审题，仔细求解．2．（10分）化简：．考点：方根与根式及根式的化简运算．分析：分子分母同乘以，整理可得．解答：解：原式=．点评：本题考查分母或分子有理化．3．（10分）解方程：．考点：函数与方程的综合运用．专题：计算题．分析：先对等式两边同乘x 2﹣1进行化简，然后解方程即可．解答：解：根据题意可知x≠1等式两边同乘x 2﹣1得，x+1+x 2﹣1=4x ﹣2化简得x 2﹣3x+2=0，解得x=2．∴原方程的解为x=2．点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及解方程等知识，属于基础题．4．（10分）不查表求sin105°的值．考点：两角和与差的正弦函数．专题：综合题．分析：把105°变为180°﹣75°，然后利用诱导公式化简，把75°变为30°+45°，利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简即可得到值．解答：解：sin105°=sin （180°﹣75°）=sin75°=sin （30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°=×+×=点评：此题考查学生灵活运用诱导公式、两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．5．（10分）一个正三棱柱形的零件，它的高是10cm ，底面边长是2cm ，求它的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：因为正三棱柱形的底面积由正弦定理的推论可求得，为S=•2•2•sin60°，已知高h=10，由体积公式即可求得．解答：解：正三棱柱形的底面积为S=•2•2•sin60°，高h=10，由柱体的体积公式得，体积V=sh=•2•2•sin60°•10==（cm3）．点评：本题考查了柱体的体积公式的应用．是简单的计算题．6．（10分）一条直线过点（1，﹣3），并且与直线2x+y﹣5=0平行，求这条直线的方程．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题．分析：先求与直线2x+y﹣5=0平行的直线的斜率，再根据其过点（1，﹣3），用点斜式求直线方程．解答：解：∵直线2x+y﹣5=0的斜率k=﹣2，∴所求直线斜率k′=﹣2．故过点（1，﹣3）且与已知直线平行的直线为y+3=﹣2（x﹣1），即2x+y+1=0．点评：本题考查直线的平行关系，直线的点斜式方程，是基础题．7．（10分）证明：等腰三角形两腰上的高相等．考点：三角形中的几何计算．专题：证明题．分析：由题意画出图形，利用等腰三角形的定和条件找到三角形全等即可求证．解答：zm：如图，在△BDC与△CEB中，∵∠DBC=∠ECB，∠BDC=∠CEB=90°，BC=BC，∴△BDC≌△CEB，CD=BE．点评：此题考查了等腰三角形的定义，三角形全等的判定定理及性质定理．8．（10分）为了测湖岸边A、B两点的距离，选择一点C，测得CA=50米，CB=30米，∠ACB=120°，求AB．考点：余弦定理；解三角形的实际应用．专题：计算题．分析：利用余弦定理把CA=50米，CB=30米，∠ACB=120°代入即可求得答案．解答：解：由余弦定理可得AB=AC2+BC2﹣2AC•BC•cos，∠ACB=70米．点评：本题主要考查了余弦定理的应用．属基础题．9．（10分）在2和30中间插入两个正数，这两个正数插入后使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求插入的两个正数？考点：等比数列的性质；等差数列的性质．专题：计算题．分析：依题意设出此数列，进而根据等比中项的性质和等差中项的性质联立方程组求得x和y，则插入的两个数可求．解答：解：设此数列为2，x，y，30．于是有解得x=6，y=18．故插入的两个正数为6，18，因此，所成的数列为2、6、18、30．点评：本题主要考查等比数列的性质．考查了考生分析问题和解决问题的能力．10．（10分）已知二次函数y=x2﹣6x+5．（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；（2）画出它的图象；（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标．考点：二次函数的图象．专题：作图题；综合题．分析：（1）根据二次函数的顶点坐标公式和对称轴公式分别求出即可；（2）根据列表、描点、连线的步骤画出函数图象即可；（3）令x=0求出对应的y值，写出坐标为与函数图象y轴的交点，令y=0求出对应的x值，写出坐标为函数图象与x轴的交点．解答：解：（1）∵a=1，b=﹣6，c=5∴﹣=﹣=3，==﹣1∴顶点坐标为（3，﹣1），对称轴为直线x=3．（2）如图列表（描点略）（3）图象与x轴相交，y=0即x2﹣6x+5=0解得x1=1，x2=5，所以与x轴交点的坐标为（1，0）（5，0）；图象与y轴相交，x=0解得y=5，所以与y轴交点的坐标为（0，5）．点评：考查学生掌握二次函数的顶点和对称轴公式，会利用描点法画函数的图象，会求函数坐标轴的交点坐标．北京市高考数学试卷（理科）一、解答题（共12小题，满分120分）1．（10分）解方程．2．（10分）计算：．3．（10分）已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，求lg．4．（10分）证明：．5．（10分）求过两直线x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0的交点且过（1，1）点的直线方程．6．（10分）某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？7．（10分）已知二次函数y=x2﹣6x+5．（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；（2）画出它的图象；（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标．8．（10分）一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A处看见一灯塔B在船的北45°东方向，一小时后船在C处看见这个灯塔在船的北15°东方向，求这时船和灯塔的距离CB．9．（10分）有一个圆内接三角形ABC，∠A的平分线交BC于D，交外接圆于E，求证：AD•AE=AC•AB．10．（10分）当m取哪些值时，直线y=x+m与椭圆有一个交点？有两个交点？没有交点？当它们有一个交点时，画出它的图象．11．（10分）求函数f（x）=的导数．12．（10分）（1）试用ε﹣δ语言叙述“函数f（x）在点x=x0处连续的定义；（2）试证明：若f（x）在点x=x0处连续，且f（x0）＞0，则存在一个x0的（x0﹣δ，x0+δ），在这个邻域内，处处有f（x）＞0．北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、解答题（共12小题，满分120分）1．（10分）解方程．考点：方根与根式及根式的化简运算．专题：计算题．分析：先要保证方程有意义即x﹣1≥0，3﹣x≥0，再将方程两边平方，解不等式组求出x的值即为方程的解．解答：解：原方程同解于，解得x=2故方程的解为x=2点评：本题考查解无理方程常采用将方程平方去掉根号，但要注意使原方程有意义．2．（10分）计算：．考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算．分析：由题意根据根式与分数指数幂的运算法则进行计算．解答：解：原式=+++1=．点评：此题主要考查根式分母的有理化和分数指数幂的化简，比较简单．3．（10分）已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，求lg．考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：利用对数的运算法则，将欲求lg．的式子转化成条件中的式子：“lg2=0.3010，lg3=0.4771”来表示即可．解答：解：∵lg=lg．又∵知lg2=0.3010，lg3=0.4771，∴lg=lg=0.8266．答案是：0.8266．点评：本题主要考查对数的运算性质，切实掌握对数的运算律是解题的关键．4．（10分）证明：．考点：同角三角函数基本关系的运用；三角函数恒等式的证明．专题：证明题．分析：先看左边，把正切换成正弦和余弦的形式，利用同角函数三角函数的基本关系化简整理，结果为右边，进而证明原式．解答：证：∵（1+tana）2===∴原式成立．点评：本题主要考查了同角三角函数的基本关系．解题的关键是熟练记忆同角三角函数基本关系的中各种公式，并灵活运用．5．（10分）求过两直线x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0的交点且过（1，1）点的直线方程．考点：直线的一般式方程．专题：计算题．分析：求出两直线x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0的交点坐标，两点式写出直线方程，将它化为一般式．解答：解：由x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0联立方程组并解得：x=2，y=5．∵直线过点（2，5）和（1，1）∴所求的直线方程为，即：4x﹣y﹣3=0．点评：本题考查用两点式求直线方程．6．（10分）某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？考点：数列的应用；等比数列的前n项和．专题：应用题．分析：由题意知七月份到十月份总产值为：100+（1+20%）•100+（1+20%）2•100+（1+20%）3•100，然后利用等比数列求和公式进行计算即可．解答：解：七月份到十月份总产值为100+（1+20%）•100+（1+20%）2•100+（1+20%）3•100=．答：今年七月份到十月份总产值是536.8万元．点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细思考，合理地建立方程．7．（10分）已知二次函数y=x2﹣6x+5．（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；（2）画出它的图象；（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标．考点：二次函数的图象．专题：作图题；综合题．分析：（1）根据二次函数的顶点坐标公式和对称轴公式分别求出即可；（2）根据列表、描点、连线的步骤画出函数图象即可；（3）令x=0求出对应的y值，写出坐标为与函数图象y轴的交点，令y=0求出对应的x值，写出坐标为函数图象与x轴的交点．解答：解：（1）∵a=1，b=﹣6，c=5∴﹣=﹣=3，==﹣1∴顶点坐标为（3，﹣1），对称轴为直线x=3．（2）如图列表（描点略）（3）图象与x轴相交，y=0即x2﹣6x+5=0解得x1=1，x2=5，所以与x轴交点的坐标为（1，0）（5，0）；图象与y轴相交，x=0解得y=5，所以与y轴交点的坐标为（0，5）．点评：考查学生掌握二次函数的顶点和对称轴公式，会利用描点法画函数的图象，会求函数坐标轴的交点坐标．8．（10分）一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A处看见一灯塔B在船的北45°东方向，一小时后船在C处看见这个灯塔在船的北15°东方向，求这时船和灯塔的距离CB．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题．分析：根据题意可分别可知AC，∠BAC和∠ABC，进而利用正弦定理求得BC．解答：解：由已知条件及图可得AC=20海里，∠BAC=45°，∠ABC=30°．由正弦定理可得（海里）．答：船和灯塔的距离CB为20海里．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．解题的方法一般是利用三角函数中的基本公式，如正弦定理，余弦定理，勾股定理，面积公式等建立数学模型，然后求得问题的解．9．（10分）有一个圆内接三角形ABC，∠A的平分线交BC于D，交外接圆于E，求证：AD•AE=AC•AB．考点：相似三角形的性质；与圆有关的比例线段。
【高考数学试题】1977年全国各省市高考数学试题及解答(共34页)
【高考数学试题】1977年全国各省市高考数学试题及解答（共34页）【高考数学试题】1977年全国各省市高考数学试题及解答 ...................................................... 1 北京市（理科） ............................................................................................................................... 1 北京市（文科） ............................................................................................................................... 3 上海市（理科） ............................................................................................................................... 5 上海市（文科） ............................................................................................................................... 8 天津市 ............................................................................................................................................ 10 河北省 ............................................................................................................................................ 13 福建省（理科） ............................................................................................................................. 17 福建省（文科） ............................................................................................................................. 23 黑龙江省......................................................................................................................................... 26 江苏省 .. (29)北京市（理科）1．解方程.31x x -=-解：将两边平方，得 x 2-1=9-6x+x,即x 2-7x+10=0,(x-2)(x-5)=0, ∴x=2,x=5。
1977年高考数学试题完整版
1977年高考数学试题完整版一、单选题1.若命题甲：10x -=，命题乙：2lg lg 0x x -=，则命题甲是命题乙的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分也非必要条件2.2020年，一场突如其来的“肺炎”使得全国学生无法在春季正常开学，不得不在家“停课不停学”.为了解高三学生居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取个学生的调查问卷进行分析，得到学生可接受的学习时长频率分布直方图（如下图所示），已知学习时长在的学生人数为25，则的值为（ ）A ．40B ．50C ．80D ．103．已知由小到大排列的4个数据1、3、5、G,若这4个数据的极差是它们中位数的2倍，则这4个数据的第75百分位数是（ ）A.9B.7C.5D.34.要得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）A ．向右平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向左平移个单位5．设，则函数的最小值是（ ）A.12B.6C.27D.306.已知函数，若有个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.7.已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数的定义域为[0，2]，则的定义域为（ ）A. B. C. D.9.下列计算正确的是A. B.C. D.10．已知角的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线上，则（）A. B. C. D.11.平面与平面平行的充要条件是（）A. 内有无数条直线与平行B. 垂直于同一个平面C. 平行于同一条直线D. 内有两条相交直线与平行二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
12. 古人立杆测日影以定时间，后来逐步形成了正切和余切的概念，余切函数可以用符号表示为，其中，则下列关于余切函数的说法正确的是（）A.定义域为B. 在区间上单调递增C. 与正切函数有相同的对称中心D. 将函数的图象向右平移个单位可得到函数的图象13. 设、为复数，则下列命题正确的是（）A.若,则B. 若,则或C. 若,则D. 若,则在复平面对应的点在一条直线上14. 已知函数，则在有两个不同零点的充分不必要条件可以是（）A. B. C. D.三、解答题15.如果函数满足以下两个条件，我们就称为型函数．①对任意的，总有；②当时，总有成立．（1)记，求证：为型函数；（2）设，记，若是型函数，求的取值范围；（3）是否存在型函数满足：对于任意的，都存在，使得等式成立？请说明理由．16.如果函数()y f x=满足以下两个条件，我们就称()y f x=为L型函数．①对任意的()0,1x ∈，总有()0f x >； ②当10x >20x >121x x +<时，总有()()()1212f x x f x f x +<+成立．（1)记()212g x x =+，求证：()y g x =为L 型函数；（2）设b R ∈，记()()ln p x x b =+，若()y p x =是L 型函数，求b 的取值范围； （3）是否存在L 型函数()y r x =满足：对于任意的()0,4m ∈，都存在()00,1x ∈，使得()0r x m =等式成立？请说明理由．17.已知函数是奇函数（1）求的值与函数的定义域；（2）若对于任意都有，求的取值范围.18.已知函数()()21log 01+=>-ax f x a x 是奇函数 （1）求a 的值与函数()f x 的定义域；（2）若()232log g x x =-对于任意[]1,4x ∈都有()22log >⋅g x g k x ，求k 的取值范围.。
1977年北京市高考数学试卷(理科)
1977年北京市高考数学试卷（理科）一、解答题（共12小题，满分120分）1．（10分）（1977•北京）解方程．2．（10分）（1977•北京）计算：．3．（10分）（1977•北京）已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，求lg．4．（10分）（1977•北京）证明：．5．（10分）（1977•北京）求过两直线x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0的交点且过（1，1）点的直线方程．6．（10分）（1977•北京）某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？7．（10分）（1977•北京）已知二次函数y=x2﹣6x+5．（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；（2）画出它的图象；（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标．8．（10分）（1977•北京）一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A处看见一灯塔B在船的北45°东方向，一小时后船在C处看见这个灯塔在船的北15°东方向，求这时船和灯塔的距离CB．9．（10分）（1977•北京）有一个圆内接三角形ABC，∠A的平分线交BC于D，交外接圆于E，求证：AD•AE=AC•AB．10．（10分）（1977•北京）当m取哪些值时，直线y=x+m与椭圆有一个交点？有两个交点？没有交点？当它们有一个交点时，画出它的图象．11．（1977•北京）求函数f（x）=的导数．12．（1977•北京）（1）试用ε﹣δ语言叙述“函数f（x）在点x=x0处连续的定义；（2）试证明：若f（x）在点x=x0处连续，且f（x0）＞0，则存在一个x0的（x0﹣δ，x0+δ），在这个邻域内，处处有f（x）＞0．1977年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、解答题（共12小题，满分120分）1．（10分）（1977•北京）解方程．考点：方根与根式及根式的化简运算．专题：计算题．分析：先要保证方程有意义即x﹣1≥0，3﹣x≥0，再将方程两边平方，解不等式组求出x的值即为方程的解．解答：解：原方程同解于，解得x=2故方程的解为x=2点评：本题考查解无理方程常采用将方程平方去掉根号，但要注意使原方程有意义．2．（10分）（1977•北京）计算：．考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算．分析：由题意根据根式与分数指数幂的运算法则进行计算．解答：解：原式=+++1=．点评：此题主要考查根式分母的有理化和分数指数幂的化简，比较简单．3．（10分）（1977•北京）已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，求lg．考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：利用对数的运算法则，将欲求lg．的式子转化成条件中的式子：“lg2=0.3010，lg3=0.4771”来表示即可．解答：解：∵lg=lg．又∵知lg2=0.3010，lg3=0.4771，∴lg=lg=0.8266．答案是：0.8266．点评：本题主要考查对数的运算性质，切实掌握对数的运算律是解题的关键．4．（10分）（1977•北京）证明：．考点：同角三角函数基本关系的运用；三角函数恒等式的证明．专题：证明题．分析：先看左边，把正切换成正弦和余弦的形式，利用同角函数三角函数的基本关系化简整理，结果为右边，进而证明原式．解答：证：∵（1+tana）2===∴原式成立．点评：本题主要考查了同角三角函数的基本关系．解题的关键是熟练记忆同角三角函数基本关系的中各种公式，并灵活运用．5．（10分）（1977•北京）求过两直线x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0的交点且过（1，1）点的直线方程．考点：直线的一般式方程．专题：计算题．分析：求出两直线x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0的交点坐标，两点式写出直线方程，将它化为一般式．解答：解：由x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0联立方程组并解得：x=2，y=5．∵直线过点（2，5）和（1，1）∴所求的直线方程为，即：4x﹣y﹣3=0．点评：本题考查用两点式求直线方程．6．（10分）（1977•北京）某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？考点：数列的应用；等比数列的前n项和．专题：应用题．分析：由题意知七月份到十月份总产值为：100+（1+20%）•100+（1+20%）2•100+（1+20%）3•100，然后利用等比数列求和公式进行计算即可．解答：解：七月份到十月份总产值为100+（1+20%）•100+（1+20%）2•100+（1+20%）3•100=．答：今年七月份到十月份总产值是536.8万元．点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细思考，合理地建立方程．7．（10分）（1977•北京）已知二次函数y=x2﹣6x+5．（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；（2）画出它的图象；（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标．考点：二次函数的图象．专题：作图题；综合题．分析：（1）根据二次函数的顶点坐标公式和对称轴公式分别求出即可；（2）根据列表、描点、连线的步骤画出函数图象即可；（3）令x=0求出对应的y值，写出坐标为与函数图象y轴的交点，令y=0求出对应的x值，写出坐标为函数图象与x轴的交点．解答：解：（1）∵a=1，b=﹣6，c=5∴﹣=﹣=3，==﹣1∴顶点坐标为（3，﹣1），对称轴为直线x=3．（2）如图列表（描点略）（3）图象与x轴相交，y=0即x2﹣6x+5=0解得x1=1，x2=5，所以与x轴交点的坐标为（1，0）（5，0）；图象与y轴相交，x=0解得y=5，所以与y轴交点的坐标为（0，5）．点评：考查学生掌握二次函数的顶点和对称轴公式，会利用描点法画函数的图象，会求函数图象与坐标轴的交点坐标．8．（10分）（1977•北京）一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A处看见一灯塔B在船的北45°东方向，一小时后船在C处看见这个灯塔在船的北15°东方向，求这时船和灯塔的距离CB．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题．分析：根据题意可分别可知AC，∠BAC和∠ABC，进而利用正弦定理求得BC．解答：解：由已知条件及图可得AC=20海里，∠BAC=45°，∠ABC=30°．由正弦定理可得（海里）．答：船和灯塔的距离CB为20海里．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．解题的方法一般是利用三角函数中的基本公式，如正弦定理，余弦定理，勾股定理，面积公式等建立数学模型，然后求得问题的解．9．（10分）（1977•北京）有一个圆内接三角形ABC，∠A的平分线交BC于D，交外接圆于E，求证：AD•AE=AC•AB．考点：相似三角形的性质；与圆有关的比例线段。