全国重点高中黄冈中学2019年自主招生(理科实验班)预录考试数学模拟试题(B卷)(附答案)

理科实验班预录数学模拟试题(B 卷)

一、选择题（每小题 5 分，共 30 分） 1．已知a+b=3，a 3+b 3=9，则a 7+b 7=（ ） A ．129 B ．225 C ．125 D ．675

2．如图，⊙O 内的点P 在弦AB 上，点C 在⊙O 上，PC ⊥OP ，若BP=2，AB=6，则CP 的长等于（ ） A ．32

B ．4

C ．22

D ．23

3．已知215-=m ，则1

12222

3+++-+m m m m m =( )

A ．253-

B ．453-

C ．235-

D ．4

35-

4．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠ABC=40°，BD 是∠ABC 的平分线，延

长BD 至E ，使DE=AD ，则∠ECA=（ ） A ．30° B ．35° C ．40° D ．45°

5．如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD 是边长为4的正方形，平行于 对角线BD 的直线l 从O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度 运动，运动到直线l 与正方形没有交点为止．设直线l 扫过正方形OBCD 的面积为S ，直线l 运动的时间为t （秒），下列能反映S 与t 之间函数关 A ．

B ．

C ．

D ．

6．如图，点O 在△ABC 内，点P 、Q 、R 分别在边AB 、BC 、CA 上，且OP ∥BC ，OQ ∥CA ，OR ∥AB ，OP=OQ=OR=x ，BC=a ，CA=b ，AB=c ，则x =( )

A ．

c

b a 1111

++

B ．

3c

b a ++ C ．3

312

22c b a ++

D ．

3

31ca

bc ab ++

二、填空题（每小题 5分，共30 分）

7．实数a 、b 、x 、y 满足ax+by=3，ax 2+by 2=7，ax 3+by 3=16, ax 4+by 4=42, 那么ax 5+by 5= . 8．如图，在边长为26的正方形ABCD 中，E 是AB 边上一点，G 是 AD 延长线上一点，BE =DG ，连接EG ，CF ⊥EG 交EG 于点H ，交 AD 于点F ，连接CE ，BH ．若BH =8，则FG = ．

9．已知函数|x |x y 22

--=的图象与x 轴相交于A 、B 两点，另一条抛物线422

+-=x ax y 也

过A 、B 两点，则a= .

10.如图，在梯形ADEB 中，∠D=∠E=90°，△ABC 是等边三角形，且点C 在DE 上，如果AD=7，BE=11，则S △ABC = .

11.设f(a)是关于a 的多项式，f(a)除以2(a+1)，余式是3；2f(a)除以3(a -2)，余式 是-4. 那么3f(a)除以4(a 2-a -3)，余式是 .

12.如图，已知圆的内接△ABC ，AB=AC ，D 是弦AC 上的一点，连接AD 并延长，与BC 的延长线交于点E ，且AE=5，则AB 2+EB ·EC= . 三、解答题（共60分）

13.(10分)解方程：.)x (x 08224

4

=--+

14.（12分）如图，已知等边△ABC ，AB =12，以AB 为直径的半圆与BC 边交于点D ，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为F ，过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，连结GD ． （1）求证：DF 是⊙O 的切线； （2）求FG 的长；

（3）求tan ∠FGD 的值．

15.(12分)经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v （千米／小时）是车流密度x （辆／千米） 的函数，当桥上的车流密度达到220辆／千米时，造成堵塞，此时车流速度为O 千米/小时；当车流密度不超过20辆／千米时，车流速度为80千米／小时．研究表明：当20≤x ≤220时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．

(1)求大桥上车流密度为100辆／千米时的车流速度．

(2)在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米／小时且小于60千米／小时时，应控制大桥上的车流密度在什么范围内？

(3)车流量（辆／小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量=车流速度×车流密度．求大桥上车流量y 的最大值．

16.(13分)设).x (x x x x x )x (f 09

4932424>+--+-=

(1)将f(x)化成

b

)x (g a )x (g +++2

21

(a 、b 是不同的整数)的形式；

(2)求f(x)的最大值及相应的x 值.

17.(13分)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10，BC=4，点P沿

线段AB从点A向点B运动，设AP=x．

(1)求AD的长；

(2)点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形

相似？若存在，求出x的值；若不存在，

请说明理由；

(3)设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为

S1、S2，若S=S1+S2，求S的最小值．

参考答案：1.A 2.A 3.B 4.C 5.D 6.A

7.20 8．

25 9. -2 10. 33 11.-5a+4 12.25

14.（1）证明：连结OD ，如图，

∵△ABC 为等边三角形，∴∠C =∠A =∠B =60°， 而OD =OB ，∴△ODB 是等边三角形，∠ODB =60°，∴∠ODB =∠C ，∴OD ∥AC ， ∵DF ⊥AC ，∴OD ⊥DF ，∴DF 是⊙O 的切线；

（2）解：∵OD ∥AC ，点O 为AB 的中点，∴OD 为△ABC 的中位线，∴BD =CD =6． 在Rt △CDF 中，∠C =60°，∴∠CDF =30°，∴CF =CD =3，∴AF =AC ﹣CF =12

﹣3=9，

在Rt △AFG 中，∵∠A =60°，∴FG =AF ×sinA =9×

=

；

（3）解：过D 作DH ⊥AB 于H ．∵FG ⊥AB ，DH ⊥AB ， ∴FG ∥DH ，∴∠FGD =∠GDH ． 在Rt △BDH 中，∠B =60°，∴∠BDH =30°， ∴BH =BD =3，DH =

BH =3

．

在Rt △AFG 中，∵∠AFG =30°，∴AG =AF =，

∵GH =AB ﹣AG ﹣BH =12﹣﹣3=，∴tan ∠GDH ===，∴tan ∠FGD =tan ∠GDH =．

15.(1)由题意得：当20≤x ≤220时，v 是x 的一次函数，则可设v =kx +b （k ≠O ）， 由题意得：当x =20时，v =80,当x =220时，v =0

所以???=+=+02208020b k b k 解得：?????=-=88

52b k ,

所以当20≤x ≤220时，v =－5

2x +88 ， 则当x =100时,y =一5

2×100+88=48.

即当大桥上车流密度为100辆／千米时，车流速度为48千米／小时． (2)当20≤v ≤220时，v =一5

2

x +88(0≤v ≤80), 由题意得：???

????+-

+-60885

2

408852

x x ．解得70＜x ＜120, 所以应控制车流密度的范围是大于70辆／千米且小于120辆／千米. (3)①当0≤x ≤20时，车流量y 1=vx =80x , 因为k =80>0，，所以y 1随x 的增大面增大，故当x =20时，车流量y 1的最大值为1600． ②当20≤x ≤220时，车流量y 2=vx =(一

5

2

x +88)x =一(x －110)2+4840, 当x =110时，车流量y 2取得最大值4840，

因为4840>1600，所以当车流密度是110辆／千米，车流量y 取得最大值.

17.

解：（1）过点C 作CE ⊥AB 于E ，

在Rt △BCE 中，

∵∠B =60°，BC =4，∴CE =BC ?sin ∠B =4×

=2

，∴AD =CE =2

．

（2）存在．若以A 、P 、D 为顶点的三角形与以P 、C 、B 为顶点的三角形相似， 则△PCB 必有一个角是直角．

①当∠PCB=90°时，在Rt△PCB中，BC=4，∠B=60°，PB=8，∴AP=AB﹣PB=2．

又由（1）知AD=2，在Rt△ADP中，tan∠DP A===，

∴∠DP A=60°，∴∠DP A=∠CPB，∴△ADP∽△CPB，

∴存在△ADP与△CPB相似，此时x=2．

②∵当∠CPB=90°时，在Rt△PCB中，∠B=60°，BC=4，

∴PB=2，PC=2，∴AP=3．

则≠且≠，此时△PCB与△ADP不相似．

（3）如图，因为Rt△ADP外接圆的直径为斜边PD，则S1=x?（）2=x?，

①当2＜x＜10时，作BC的垂直平分线交BC于H，交AB于G；

作PB的垂直平分线交PB于N，交GH于M，连结BM．则BM为△PCB外接圆的半径．

在Rt△GBH中，BH=BC=2，∠MGB=30°，∴BG=4，

∵BN=PB=（10﹣x）=5﹣x，∴GN=BG﹣BN=x﹣1．

在Rt△GMN中，∴MN=GN?tan∠MGN=（x﹣1）．

在Rt△BMN中，BM2=MN2+BN2=x2﹣x+，

∴S1=x?BM2=x（x2﹣x+）．

②∵当0＜x≤2时，S2=x（x2﹣x+）也成立，

∴S=S1+S2=x?+x（x2﹣x+）=x（x﹣）2+x．

∴当x=时，S=S1+S2取得最小值x．