固定收益证券的估值、定价与计算 课件 (10)
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针对有违约风险的零息债券价格的简约模型由美国学者蓝铎于1998年提出 （Lando,1998） 其形式是
d (t , T ) E s L
固定收益证券
第十一讲:债券风险管理
主讲教师：李磊宁
单位：中央财经大学金融工程系 主讲课程：《金融工程学》/《固定收益证券》 联系方式： √电子邮件：lileining3631@126.com
内容提要
1
2 3
债券风险的识别
利率风险 信用风险
债券风险的识别
债券风险是指引起债券价格波动或者债券投资收益变动的不确定因素， 也被称为风险因子。 按照风险影响的范围，这些风险被划分为系统性风险和非系统性风险。
V NB 1 N H 1 BH 1 2 N H 2 BH 2
利率风险
令上述方程的一阶导数和二阶导数等于零
dV ( NB 1 N H 1 BH 1 2 N H 2 BH 2 )di 0 dV ( NB 1 N H 1 BH 1 N B )di 0 根据久期和凸性的定义，整理后得到 2 H 2 H 2
p(t ) e t
p(2) p(1) p(2 / 1) e (1) e ( 2) e [ (1) ( 2)]
信用风险
企业存活t期的概率是
p(t ) e [ (1) ( 2) (t )]
其连续的形式为
风险中性违约概率与实际违约概率
实际违约概率——历史统计
风险中性违约概率——考虑风险溢价
p(t ) exp[ (t )dt]
0
t
信用风险
例子：面值100元、票息率8%、1年后到期的某信用类债 券正在平价交易，当前的无风险利率为6%。如果发债人 违约的概率是0.01（实际违约概率），违约后投资者的回 收率是50%（投资者可收回面值的50%）。按照这一实际 违约概率计算的债券的当前价格应该是 (1080.99+500.01)/(1+0.06)=101.34，比实际价格高出 1.34元。这一算法没有考虑到违约风险溢价的因素，即投 资者在交易这类债券时，要求的交易价格必须足以补偿预 计的违约损失而有余。如果p*代表风险中性存活率，那么 1-p*就是风险中性违约率，ln p*就是风险中性违约强度*。 则
企业债务工具市场流动性差 信用评级的跟踪变动频率低
信用风险
结构化模型（structural model）：
运用企业财务数据、股票价格等信息对企业的资产负债 建立的模型。该模型把资产价值低于负债价值看作违 约。模型用来推断违约概率与公允的市场利差。
简约模型（reduced form model）：
③收益率曲线的位置与形状的任何变化对债券组合市场价值的潜在影响
利率风险
从最后一个层次看，利率风险有三种表现形式：
一是收益率曲线幅度较小的平行移动； 二是收益率曲线幅度较大的平行移动；
三是收益率曲线的非平行移动。相应地，处理风险的手段也分为久期对 冲、久期-凸性对冲与多因子模型对冲
42.36832 67.25637
Example for hedging with key rate exposures
0.01881 0.00122 F2 F10 0.98129 100 100 0.04375 0.00468 F5 F10 3.77314 100 100 0.08308 F10 42.36832 100 0.15444 F30 67.25637 100 F2 1920 F5 3173 F10 50998 F30 43594 , , ,
前者是对整个债券市场的的价格和收益产生影响的风险——如利率风险 和通货膨胀风险；
后者是指仅对某个部类的债券收益产生影响的风险——如信用风险和汇 率风险。
风险识别是风险管理的基础与前提。
债券风险的识别
主要债券风险种类
利率风险
有关利率风险的理解，存在着三个逐步深化的层次：
① 债券价格与市场利率反向变化； ②债券市值中的再投资收益的部分与利率正向变化；
信用风险
违约强度常用符号表示。根据泊松分布的特点，企业存活t年的概率为
经典的泊松分布假定事件达到的强度是不变的。然而人们可以放松这个假定， 使得可以随时间变化，以便进一步反映实际情况。 比如，可以假定第1年的为（1），如果企业存活到了第2年，那么第2年的 为（2）。根据贝叶斯法则，企业存活两年的概率是
代表“对冲比例”，它说明每一个单位的债券资产多头需要个单位 的对冲工具的空头（负号表示空头）来对冲利率风险
利率风险
如果债券期货为对冲工具，则对冲比例（用F表示）为
NBD F CF 如果用普通利率互换合约（固定利率与浮动利率互换）为对冲工具，则 对冲比例（用S表示）为 N F BF DCTD
p(s / t ) exp[ f (u)du]
s
“违约强度”（default intensity） 是指将违约看作是服从泊松分布的事件 首次到达的时间，而泊松分布有一个不变的事件达到率，被称为“达到的强 度”
信用风险
美国企业平均累计违约率（%），1970-2003,资料来源：Moody’s
信用风险
定义
信用风险是指由于借款人或市场交易对手违约而导致的损失的可能性， 以及借款人信用等级的变动和履约能力的变化导致其债务的市场价值变 动而引起的损失的可能性
违约
所谓“违约”(default- risk)是指借款人（债券发行人）到期不愿或不能 履行部分或全部还本付息义务而致使投资者遭受损失的可能性 广义的信用风险除了违约风险外，还包括了因交易对手信用水平和履约 能力的变化而造成损失的可能性
依靠债券市场以及相关市场的信息，针对违约概率直接 建立的模型 。
信用风险
远期违约概率与违约强度
远期违约概率是假设企业未来某个时点以后才发生违约的概率
设p(t)为企业存活t年的概率（即从今天的眼光看，企业至少在t年内不违约），p(s) 为企业存活s年的概率（s＞t），那么在s和t之间的任何时间内企业违约的概率是 p(t)- p(s)，企业在存活t年的基础上继续存活到s年的概率为
利率风险
多因素模型对冲
关键利率久期对冲 :运用关键利率的概念,适当选用多个 债券对冲利率风险的做法。 举例
Example for hedging with key rate exposures
Par yields flat at 5% Key rate 01s(100face) coupon 5% 5% 8% 5% Non-pre mortgag e term 2 5 10 30 2-year 0.01881 0 0.00122 0 0.98129 5-year 0 0.04375 0.00468 0 3.77314 10-year 0 0 0.08308 0 30-year 0 0 0 0.15444
1
2
3
4
5
7
10
Aaa
Aa A
0.00
0.02 0.02
0.00
0.03 0.09
0.00
0.06 0.23
0.04
0.15 0.38
0.12
0.24 0.54
0.29
0.43 0.91
0.62
0.68 1.59
Baa
Ba B
0.20
1.26 6.21
0.57
3.48 13.76
1.03
6.00
1.62
如果存活率p(t)严格为正数并且可对t求导，令
p(s) p( s / t ) p (t )
p (t ) f (t ) p (t )
信用风险
上式的f(t)就是在t时点上的远期违约率。整理后可得
带回条件存活率，得
p(t ) exp[ f (u )du]
0
t
t 远期违约概率f(t)是衡量信用类债务工具违约风险的期限结构的核心概念，正如远 期利率是衡量利率风险的期限结构的核心概念一样。有时，远期违约概率也被称为 “损害率”（hazard rate）
NBD S N S BS DS
利率风险
久期-凸性对冲
当利率发生较大变化时，必须加入凸性才能精确计量债券价格的变化， 此时应该采用久期-凸性对冲的方法
我们需要两个对冲工具，其数量、面值、价格和凸性分别为1和2，， NH1和HH2，，BH1和BH2，，C1和C2，，债券资产的凸性是C。对冲组 合的形式如下
V NB N H BH
利率风险
消除债券资产（组合）的利率风险的问题可以转化成如何使对冲组合对 利率变化不敏感的问题。令上述函数针对利率i的导数为零
dV ( NB N H BH )di 0 NB 由久期计算公式，得 N H BH
NBD N H B H DH
100 [ p * 108 (1 p*) 50] (1 0.06)
可得p*=0.965，1-p*=0.035，*=ln0.965=0.0356。0.035 这一违约率显然高于历史统计出来的实际违约率，反映了 当前市场暗含的投资者要求违约风险的补偿程度。
信用风险
简约模型
8.59
2.16
11.17 31.99
3.24
15.44 40.79
5.10
21.01 50.02
20.65 26.66
Caa
23.65
37.20
48.02 55.56
60.83
69.36 77.91
信用风险
以Baa类企业为例，令t=2，s=3，p(t)=100%0.57%=99.43%， p(s) 100%-1.03%=98.97%。p(s/t)= p(s)/ p(t)= 98.97/99.43=99.54%。第3年的远期违约率 为1- p(s/t)=1-99.54%=0.46%，而Baa类企业第3年的违 约概率是p(t)- p(s)，实际上就是第3年和第2年两个累计 违约率之差1.03%-0.57%=0.46%。由于小数点取舍的关系， 两个“违约概率”的数值碰巧都是0.46%，但是其含义大 不相同。远期违约率带有边际的性质，是“条件违约概 率”，某个期间的违约率带有平均的性质，是“无条件违 约概率”。为更好说明这一问题，有必要引入“违约强度” 的概念。
利率风险
久期对冲
“对冲”就是抵消的意思 久期对冲就是将债券收益率这一“单一因子”作为整个利率期限结构的 代表，通过久期的概念确定对冲工具的数量与交易方向，从而抵消掉保 护对象（即债券资产）利率风险的措施
利率风险
如果用符号B代表债券价格（这里的债券是保护对象），N代表债券的面 值，D代表债券的久期；BH代表对冲工具的价格，NH代表对冲工具的面 值，DH代表对冲工具的久期。假设债券资产与对冲Baidu Nhomakorabea具共同受到市场利 率i的影响。 我们构造一个“对冲组合”（用V表示其市值），该组合由一个单位的 债券资产与个单位的对冲工具组成
1 N H 1 BH 1 DH 1 2 N H 2 BH 2 DH 2 NBD 从这个二元一次方程组中，即可解出两个对冲工具的数量 1 N H 1 BH 1C H 1 2 N H 2 BH 2 C H 2 NBC
利率风险
多因素模型对冲
无论是久期对冲还是久期-凸性对冲，其前提都是使用到期收益率这个 “平均数”代表整个利率期限结构，意味着所有的即期利率都是完全相 关的 在现实中，不同期限的利率可以看作是不同的风险因子，其变动幅度并 非总是一致，有时变动的方向也不相同。也就是说，当利率期限结构发 生非平行移动时，此时的“利率”不再是一个单一的利率变量
信用风险
信用风险的特征：
第一：信用风险同时具备系统性风险和非系统风险特点
债券发行人的财务状况和还款能力会受到经济周期、金融危机等系统性风险 的影响 发行人的偿债能力与其个别的财务状况、经营能力和还款意愿等非系统性因 素密切相关
第二：考虑信用风险因素后的资产收益率为非正态分布 第三：信用风险的观察数据较少，不易获取
d (t , T ) E s L
固定收益证券
第十一讲:债券风险管理
主讲教师：李磊宁
单位：中央财经大学金融工程系 主讲课程：《金融工程学》/《固定收益证券》 联系方式： √电子邮件：lileining3631@126.com
内容提要
1
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债券风险的识别
利率风险 信用风险
债券风险的识别
债券风险是指引起债券价格波动或者债券投资收益变动的不确定因素， 也被称为风险因子。 按照风险影响的范围，这些风险被划分为系统性风险和非系统性风险。
V NB 1 N H 1 BH 1 2 N H 2 BH 2
利率风险
令上述方程的一阶导数和二阶导数等于零
dV ( NB 1 N H 1 BH 1 2 N H 2 BH 2 )di 0 dV ( NB 1 N H 1 BH 1 N B )di 0 根据久期和凸性的定义，整理后得到 2 H 2 H 2
p(t ) e t
p(2) p(1) p(2 / 1) e (1) e ( 2) e [ (1) ( 2)]
信用风险
企业存活t期的概率是
p(t ) e [ (1) ( 2) (t )]
其连续的形式为
风险中性违约概率与实际违约概率
实际违约概率——历史统计
风险中性违约概率——考虑风险溢价
p(t ) exp[ (t )dt]
0
t
信用风险
例子：面值100元、票息率8%、1年后到期的某信用类债 券正在平价交易，当前的无风险利率为6%。如果发债人 违约的概率是0.01（实际违约概率），违约后投资者的回 收率是50%（投资者可收回面值的50%）。按照这一实际 违约概率计算的债券的当前价格应该是 (1080.99+500.01)/(1+0.06)=101.34，比实际价格高出 1.34元。这一算法没有考虑到违约风险溢价的因素，即投 资者在交易这类债券时，要求的交易价格必须足以补偿预 计的违约损失而有余。如果p*代表风险中性存活率，那么 1-p*就是风险中性违约率，ln p*就是风险中性违约强度*。 则
企业债务工具市场流动性差 信用评级的跟踪变动频率低
信用风险
结构化模型（structural model）：
运用企业财务数据、股票价格等信息对企业的资产负债 建立的模型。该模型把资产价值低于负债价值看作违 约。模型用来推断违约概率与公允的市场利差。
简约模型（reduced form model）：
③收益率曲线的位置与形状的任何变化对债券组合市场价值的潜在影响
利率风险
从最后一个层次看，利率风险有三种表现形式：
一是收益率曲线幅度较小的平行移动； 二是收益率曲线幅度较大的平行移动；
三是收益率曲线的非平行移动。相应地，处理风险的手段也分为久期对 冲、久期-凸性对冲与多因子模型对冲
42.36832 67.25637
Example for hedging with key rate exposures
0.01881 0.00122 F2 F10 0.98129 100 100 0.04375 0.00468 F5 F10 3.77314 100 100 0.08308 F10 42.36832 100 0.15444 F30 67.25637 100 F2 1920 F5 3173 F10 50998 F30 43594 , , ,
前者是对整个债券市场的的价格和收益产生影响的风险——如利率风险 和通货膨胀风险；
后者是指仅对某个部类的债券收益产生影响的风险——如信用风险和汇 率风险。
风险识别是风险管理的基础与前提。
债券风险的识别
主要债券风险种类
利率风险
有关利率风险的理解，存在着三个逐步深化的层次：
① 债券价格与市场利率反向变化； ②债券市值中的再投资收益的部分与利率正向变化；
信用风险
违约强度常用符号表示。根据泊松分布的特点，企业存活t年的概率为
经典的泊松分布假定事件达到的强度是不变的。然而人们可以放松这个假定， 使得可以随时间变化，以便进一步反映实际情况。 比如，可以假定第1年的为（1），如果企业存活到了第2年，那么第2年的 为（2）。根据贝叶斯法则，企业存活两年的概率是
代表“对冲比例”，它说明每一个单位的债券资产多头需要个单位 的对冲工具的空头（负号表示空头）来对冲利率风险
利率风险
如果债券期货为对冲工具，则对冲比例（用F表示）为
NBD F CF 如果用普通利率互换合约（固定利率与浮动利率互换）为对冲工具，则 对冲比例（用S表示）为 N F BF DCTD
p(s / t ) exp[ f (u)du]
s
“违约强度”（default intensity） 是指将违约看作是服从泊松分布的事件 首次到达的时间，而泊松分布有一个不变的事件达到率，被称为“达到的强 度”
信用风险
美国企业平均累计违约率（%），1970-2003,资料来源：Moody’s
信用风险
定义
信用风险是指由于借款人或市场交易对手违约而导致的损失的可能性， 以及借款人信用等级的变动和履约能力的变化导致其债务的市场价值变 动而引起的损失的可能性
违约
所谓“违约”(default- risk)是指借款人（债券发行人）到期不愿或不能 履行部分或全部还本付息义务而致使投资者遭受损失的可能性 广义的信用风险除了违约风险外，还包括了因交易对手信用水平和履约 能力的变化而造成损失的可能性
依靠债券市场以及相关市场的信息，针对违约概率直接 建立的模型 。
信用风险
远期违约概率与违约强度
远期违约概率是假设企业未来某个时点以后才发生违约的概率
设p(t)为企业存活t年的概率（即从今天的眼光看，企业至少在t年内不违约），p(s) 为企业存活s年的概率（s＞t），那么在s和t之间的任何时间内企业违约的概率是 p(t)- p(s)，企业在存活t年的基础上继续存活到s年的概率为
利率风险
多因素模型对冲
关键利率久期对冲 :运用关键利率的概念,适当选用多个 债券对冲利率风险的做法。 举例
Example for hedging with key rate exposures
Par yields flat at 5% Key rate 01s(100face) coupon 5% 5% 8% 5% Non-pre mortgag e term 2 5 10 30 2-year 0.01881 0 0.00122 0 0.98129 5-year 0 0.04375 0.00468 0 3.77314 10-year 0 0 0.08308 0 30-year 0 0 0 0.15444
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0.15 0.38
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0.24 0.54
0.29
0.43 0.91
0.62
0.68 1.59
Baa
Ba B
0.20
1.26 6.21
0.57
3.48 13.76
1.03
6.00
1.62
如果存活率p(t)严格为正数并且可对t求导，令
p(s) p( s / t ) p (t )
p (t ) f (t ) p (t )
信用风险
上式的f(t)就是在t时点上的远期违约率。整理后可得
带回条件存活率，得
p(t ) exp[ f (u )du]
0
t
t 远期违约概率f(t)是衡量信用类债务工具违约风险的期限结构的核心概念，正如远 期利率是衡量利率风险的期限结构的核心概念一样。有时，远期违约概率也被称为 “损害率”（hazard rate）
NBD S N S BS DS
利率风险
久期-凸性对冲
当利率发生较大变化时，必须加入凸性才能精确计量债券价格的变化， 此时应该采用久期-凸性对冲的方法
我们需要两个对冲工具，其数量、面值、价格和凸性分别为1和2，， NH1和HH2，，BH1和BH2，，C1和C2，，债券资产的凸性是C。对冲组 合的形式如下
V NB N H BH
利率风险
消除债券资产（组合）的利率风险的问题可以转化成如何使对冲组合对 利率变化不敏感的问题。令上述函数针对利率i的导数为零
dV ( NB N H BH )di 0 NB 由久期计算公式，得 N H BH
NBD N H B H DH
100 [ p * 108 (1 p*) 50] (1 0.06)
可得p*=0.965，1-p*=0.035，*=ln0.965=0.0356。0.035 这一违约率显然高于历史统计出来的实际违约率，反映了 当前市场暗含的投资者要求违约风险的补偿程度。
信用风险
简约模型
8.59
2.16
11.17 31.99
3.24
15.44 40.79
5.10
21.01 50.02
20.65 26.66
Caa
23.65
37.20
48.02 55.56
60.83
69.36 77.91
信用风险
以Baa类企业为例，令t=2，s=3，p(t)=100%0.57%=99.43%， p(s) 100%-1.03%=98.97%。p(s/t)= p(s)/ p(t)= 98.97/99.43=99.54%。第3年的远期违约率 为1- p(s/t)=1-99.54%=0.46%，而Baa类企业第3年的违 约概率是p(t)- p(s)，实际上就是第3年和第2年两个累计 违约率之差1.03%-0.57%=0.46%。由于小数点取舍的关系， 两个“违约概率”的数值碰巧都是0.46%，但是其含义大 不相同。远期违约率带有边际的性质，是“条件违约概 率”，某个期间的违约率带有平均的性质，是“无条件违 约概率”。为更好说明这一问题，有必要引入“违约强度” 的概念。
利率风险
久期对冲
“对冲”就是抵消的意思 久期对冲就是将债券收益率这一“单一因子”作为整个利率期限结构的 代表，通过久期的概念确定对冲工具的数量与交易方向，从而抵消掉保 护对象（即债券资产）利率风险的措施
利率风险
如果用符号B代表债券价格（这里的债券是保护对象），N代表债券的面 值，D代表债券的久期；BH代表对冲工具的价格，NH代表对冲工具的面 值，DH代表对冲工具的久期。假设债券资产与对冲Baidu Nhomakorabea具共同受到市场利 率i的影响。 我们构造一个“对冲组合”（用V表示其市值），该组合由一个单位的 债券资产与个单位的对冲工具组成
1 N H 1 BH 1 DH 1 2 N H 2 BH 2 DH 2 NBD 从这个二元一次方程组中，即可解出两个对冲工具的数量 1 N H 1 BH 1C H 1 2 N H 2 BH 2 C H 2 NBC
利率风险
多因素模型对冲
无论是久期对冲还是久期-凸性对冲，其前提都是使用到期收益率这个 “平均数”代表整个利率期限结构，意味着所有的即期利率都是完全相 关的 在现实中，不同期限的利率可以看作是不同的风险因子，其变动幅度并 非总是一致，有时变动的方向也不相同。也就是说，当利率期限结构发 生非平行移动时，此时的“利率”不再是一个单一的利率变量
信用风险
信用风险的特征：
第一：信用风险同时具备系统性风险和非系统风险特点
债券发行人的财务状况和还款能力会受到经济周期、金融危机等系统性风险 的影响 发行人的偿债能力与其个别的财务状况、经营能力和还款意愿等非系统性因 素密切相关
第二：考虑信用风险因素后的资产收益率为非正态分布 第三：信用风险的观察数据较少，不易获取