高考数学提分秘籍系列数形结合思想
高考数学提分秘籍系列
【专题一】数形结合思想
【考情分析】
在高考题中，数形结合的题目出现在高中数学知识的方方面面上，把图象作为工具、载体，以此寻求解题思路或制定解题方案，真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是填空小题。
从近三年新课标高考卷来看，涉及数形结合的题目略少，预测可能有所加强。因为对数形结合等思想方法的考查，是对数学知识在更高层次的抽象和概括能力的考查，是对学生思维品质和数学技能的考查，是新课标高考明确的一个命题方向。
1．数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。“数缺形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。
2．数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考纲指出“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想思想方法的考查，注重对数学能力的考查”，灵活运用数形结合的思想方法，可以有效提升思维品质和数学技能。
3．“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查，考查时要与数学知识相结合”，用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好数形结合思想打下坚实的知识基础。
4．函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是“以形示数”，而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是“以数助形”，还有导数更是数形形结合的产物，这些都为我们提供了“数形结合”的知识平台。
5．在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，“数形结合千般好，数形分离万事休”。
纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
【知识归纳】
数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．。
应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：
数形结合思想解决的问题常有以下几种：
(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；
(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；
(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；
(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；
(5)构建立体几何模型研究代数问题；
(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；
(7)构建方程模型，求根的个数；
(8)研究图形的形状、位置关系、性质等．
常见适用数形结合的两个着力点是：
以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法.
以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合。
数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下
几点：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域；(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解．这种思想方法体现在解题中，就是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图象有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决。
1．数形结合的途径
（1）通过坐标系形题数解
借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化。这一方法在解析几何中体现的相当充分（在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考察的）；值得强调的是，形题数解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧（这是因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理）
实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。4)1()2(2
2=-+-y x 如等式。
常见方法有：
①解析法：建立适当的坐标系（直角坐标系，极坐标系），引进坐标将几何图形变换为坐标间的代数关系。 ②三角法：将几何问题与三角形沟通，运用三角代数知识获得探求结合的途径。
③向量法：将几何图形向量化，运用向量运算解决几何中的平角、垂直、夹角、距离等问题。把抽象的几何推理化为代数运算。特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题变得有章可循。
（2）通过转化构造数题形解
许多代数结构都有着对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化.例如，将a ＞0与距离互化，将a 2
与面积互化，将a 2
+b 2
+ab=a 2
+b 2
－2)12060(cos ?=?=θθθ或b a 与余弦定理沟通，将a≥b≥c＞
0且b+c ＞a 中的a 、b 、c 与三角形的三边沟通，将有序实数对（或复数）和点沟通，将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等.这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形（平面的或立体的）。另外，函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常借助于相伴而充分地发挥作用。
常见的转换途径为：
①方程或不等式问题常可以转化为两个图象的交点位置关系的问题，并借助函数的图象和性质解决相关的问题。
②利用平面向量的数量关系及模AB 的性质来寻求代数式性质。
（3）构造几何模型。通过代数式的结构分析，构造出符合代数式的几何图形，如将2a 与正方形的面
积互化，将abc 与勾股定理沟通等等。
（4到直线的距离
d =
，直线的斜率，直线的截距）、定义等来寻求代数式的图形背景及有关性
质。
2．数形结合的原则
（1）等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞.有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导。
（2）双向性原则
在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析（或仅对几何问题进行代数分析）在许多时候是很难行得通的。
例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化。
（3）简单性原则
就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法、或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于那种方法更为简单.而不是去刻意追求一种流性的模式——代数问题运用几何方法，几何问题寻找代数方法。
【考点例析】
（1）（2012高考真题重庆理10）设平面点集
{}
221(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x ??
=--≥=-+-≤????
，则A B 所表示的平面图形的面积为
（ ）
（A ）3
4π （B ）35π （C ）47
π （D ）
2
π
解析：D ；由0)1)((≥--x y x y 可知?????≥-≥-010x y x y 或者??
?
??≤-≤-01
x y x y ，在同一坐标系中做出平面区域如图，由图象可知B A 的区域为阴影部分，根据对称性可知，两部分阴影面积之和为圆面积的一半，所以面积为
2
π
，选D.
题型1：数轴、韦恩图在集合中的应用
例1．（1）（2012高考真题浙江理1）设集合A={x|1＜x ＜4}，集合B ={x|2x -2x-3≤0}, 则A ∩（C R B ）
=（ ）
A ．(1,4)
B ．(3,4)
C ．.(1,3)
D ．(1,2)∪（3,4）
解析：B ； B ={x|2x -2x-3≤0}=}31|{≤≤-x x ，A ∩（C R B ）={x|1＜x ＜4} }3,1|{>- 点评：不等式型集合的交、并集通常可以利用数轴进行，解题时注意验证区间端点是否符合题意。 （2）（2011湖南文1）设全集{1,2,3,4,5},{2,4},U U M N M C N ===则N =（ ） A ．{1,2,3} B ．{1,3,5} Ｃ．{1,4,5} Ｄ．{2,3,4} 解析：B ；解析：画出韦恩图，可知N ={1,3,5}。 点评：本题主要利用数轴、韦恩图考查集合的概念和集合的关系。 题型2：函数图像的价值 例2．（1）（2012高考真题江西理10）如右图，已知正四棱锥S ABCD -所有棱长都为1，点E 是侧棱 SC 上一动点，过点E 垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记(01),SE x x =<<截面下面部 分的体积为(),V x 则函数()y V x =的图像大致为（ ） 解析：A ；（定性法）当1 02 x <<时，随着x 的增大，观察图形可知，()V x 单调递减，且递减的速度越来越快；当 1 12 x ≤<时，随着x 的增大，观察图形可知，()V x 单调递减，且递减的速度越来越慢；再观察各选项中的图象，发现只有A 图象符合.故选A. 【点评】对于函数图象的识别问题，若函数()y f x =的图象对应的解析式不好求时，作为选择题，没必要去求解具体的解析式，不但方法繁琐，而且计算复杂，很容易出现某一步的计算错误而造成前功尽弃；再次，作为选择题也没有太多的时间去给学生解答；因此，使用定性法，不但求解快速，而且准确节约时间. （2）（2012高考真题山东理12）设函数21 (),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x = =+∈≠，若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是（ ） A.当0a <时，12120,0 x x y y +<+> B. 当0a <时，12120,0x x y y +>+< C. 当0a >时，12120,0 x x y y +<+< D. 当0a >时，12120,0x x y y +>+> 解析：B ；在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，当0 关于原点的对称点C,则C 点坐标为),(11y x --，由图象知,,2121y y x x >-<-即0,02121<+>+y y x x ，同理当0>a 时，则有0,02121>+<+y y x x ，故答案选B. 另法：32()1F x x bx =-+，则方程()0F x =与()()f x g x =同解，故其有且仅有两个不同零点12,x x .由()0F x '=得0x =或23x b =.这样，必须且只须(0)0F =或2()03F b =，因为(0)1F =，故必有2 ()03 F b = 由此得 b = .不妨设12x x < ，则22 3 x b ==. 所以21()()(F x x x x =- ，比较系数得1x -= ，故1x = 120x x +>，由此知1 2121212110x x y y x x x x ++=+=<，故答案为B. 点评：数学中考查创新思维，要求必须要有良好的数学素养，考查新定义函数的理解、解绝对值不等 式，中档题，借形言数。 （3）（2012高考真题湖南理8）已知两条直线1l ：y =m 和2l ： y= 8 21 m +(m ＞0)，1l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于点A ，B ，2l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于C,D .记线段AC 和BD 在X 轴上的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时， b a 的最小值为（ ） A ． B. 解析：B ；在同一坐标系中作出y=m ，y= 8 21 m +(m ＞0)，2log y x =图像如下图， 由2log x = m ，得122,2m m x x -==，2log x = 821 m +，得8 21 8 21342,2m m x x +-+==. 依照题意得821 821 821 821 222 2 ,22 ,22 m m m m m m m m b a b a ++- -+- -+-=-=-=-821 821 22 2 m m m m ++ +== . 814111 43 1212222 2 m m m m + =++-≥-=++，min ()b a ∴= 【点评】在同一坐标系中作出y=m ，y=8 21 m +(m ＞0)，2log y x =图像，结合图像可解得. 题型3：解决方程、不等式问题 例3．若方程()()lg lg -+-=-x x m x 233在() x ∈03，内有唯一解，求实数m 的取值范围。 解析：（1）原方程可化为()()--+=< 设()()y x x y m 12 22103=--+<<=， 在同一坐标系中画出它们的图象（如图）。由原方程在（0，3）内有唯一解，知y y 12与的图象只有一个公共点，可见m 的取值范围是-<≤10m 或m =1。 例4．（2012高考真题浙江理17）设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1]( x 2 －ax －1)≥0，则a ＝______________． 解析：a = (A )2 (1)1010a x x ax ≤?? ≤?－－－－， 无解；(B )2(1)10 10a x x ax ≥??≥? －－－－， 无解． 因为受到经验的影响，会认为本题可能是错题或者解不出本题．其实在x ＞0的整个区间上，我们可以将其分成两个区间(为什么是两个？)，在各自的区间内恒正或恒负．(如下答图) 我们知道：函数y 1＝(a －1)x －1，y 2＝x 2 －ax －1都过定点P (0，1)． 821 m = +x m 考查函数y 1＝(a －1)x －1：令y ＝0，得M ( 1 1 a -，0)，还可分析得：a ＞1； 考查函数y 2＝x 2 －ax －1：显然过点M (11a -，0)，代入得：2 11011 a a a ?? - -= ?--??，解之得：a =， 舍去a =，得答案：a = 点评：数形结合的思想方法，是研究数学问题的一个基本方法。深刻理解这一观点，有利于提高我们发现问题、分析问题和解决问题的能力。 题型4：解决三角函数、平面向量问题 例5．（1）（2012高考真题江西理7）在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则 22 2 PA PB PC +=( ) A ．2 B ．4 C ．5 D ．10 解析：D ；将直角三角形放入直角坐标系中，如图，设0,),,0(),0,(>b a b B a A ，则)2,2(b a D ，)4 ,4(b a P , 所以16 16)4()4(2 2222 b a b a PC += +=， 16 916)4()4(222 22 b a b b a PB + =-+=， 16 169)4()4(2222 2 b a b a a PA +=+-=， 所以2 2222222 2 10)1616(101616916916PC b a b a b a PB PA =+=+++=+,所以102 2 2=+PC PB PA ，选D. （2）（2007年陕西15）如图，平面内有三个向量OA 、OB 、OC ,其中OA 与OB 的夹角为120°，OA 与OC 的夹角为30°,且|OA |＝|OB |＝1，|OC |＝32，若OC ＝λOA +μOB （λ，μ∈R ）,则λ+μ的值为 。 解析：（1）考查三角函数的计算、解析化应用意识。 解法1：约定 AB=6,AC=BC=,由余弦定理 CE=CF=再由余弦定理得4 cos 5 ECF ∠= ，解得3tan 4 ECF ∠= 解法2：坐标化。约定 AB=6,AC=BC=（0,3）利用向量的夹角公式得：4cos 5ECF ∠= ，解得3 tan 4 ECF ∠=。 （2）6；解析：（OC ）2 ＝（λOA +μOB ）2 =λ2 OA 2 +μ2 OB 2 +2λμ OB OA ?=12； 注意OA 与OC 的夹角为30°，OA 与OB 的夹角为120°，结合图形容易得到OB 与OC 的夹角为90°，得μ=0；这样就得到答案。 点评：综合近几年的高考命题，平面向量单纯只靠运算解题是不够的，需要结合几何特征。 例6．（2010全国卷1文数）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB ?的最小值为（ ） A ．4- ．3- C ．4-+ ．3-+ 答案：D ； 【解析1】如图所示：设PA=PB=x (0)x >,∠APO=α,则∠APB=2α， ，sin α= ||||cos 2PA PB PA PB α?=?= 22(12sin ) x α-= 222(1)1x x x -+=4221x x x -+，令PA PB y ?=，则422 1 x x y x -=+，即42(1)0x y x y -+-=，由2 x 是实数，所以 2 [(1)]41()0 y y ?=-+-??-≥，2610 y y ++≥，解 得3 y≤-- 或3 y≥-+. 故min ()3 PA PB ?=-+. 此时x= 【解析2】设,0 APBθθπ ∠=<<， ()()2 cos1/tan cos 2 PA PB PA PB θ θθ ?? ?== ? ?? 22 2 2 22 1sin12sin cos 22 212sin 2 sin sin 22 θθ θ θ θθ ???? -- ??? ?????? =?-= ? ?? 换元：2 sin,01 2 x x θ =<≤，()( ) 1121 233 x x PA PB x x x -- ?==+-≥- 【解析3】建系：园的方程为221 x y +=，设 11110 (,),(,),(,0) A x y B x y P x -， ()()22 11101110110 ,,001 AO PA x y x x y x x x y x x ⊥??-=?-+=?= ( ) 22222222 1100110110 221233 PA PB x x x x y x x x x x ?=-+-=-+--=+-≥- 点评：本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 题型5：解析几何问题 例7．（1）（2012高考真题山东理5）已知变量,x y满足约束条件 22 24 41 x y x y x y +≥ ? ? +≤ ? ?-≥- ? ，则目标函数3 z x y =-的取值范围是( ) （A） 3 [,6] 2 -（B） 3 [,1] 2 --（C）[1,6] -（D） 3 [6,] 2 - 解析：A；做出不等式所表示的区域如图，由y x z- =3得z x y- =3，平移直线x y3 =，由图象可知()()222 10110111001 ,,2 PA PB x x y x x y x x x x y ?=-?--= -+- 当直线经过点)0,2(E 时，直线z x y -=3的截距最小，此时z 最大为63=-=y x z ，当直线经过C 点时， 直线截距最大，此时z 最小，由???=+-=-4214y x y x ，解得????? == 3 21y x ， 此时233233-=-=-=y x z ，所以y x z -=3的取值范围是]6,2 3 [- ，选A. （2）（2011 江苏 14）设集合},,)2(2 | ),{(222R y x m y x m y x A ∈≤+-≤=, },,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=, 若,φ≠?B A 则实数m 的取值范围是______________ 解析：（数形结合）当0m ≤时，集合A 是以（2，0）为圆心，以m 为半径的圆，集合B 是在两条平行 线之间， (102 m m +=+> ，因为,φ≠?B A 此时无解；当0m >时，集合A 是以 （2，0）为圆心，以 和m 为半径的圆环，集合B 是在两条平行线之间 ，必有 1m ≤≤.又因为2 m 1,122m m ≤∴≤≤+。 点评：线性规划是借助平面区域表示直线、不等式等代数表达式，最终借助图形的性质解决问题；对于直线与圆的位置关系以及一些相关的夹角、弦长问题，往往要转化为点到线的距离问题来解决。 例8．（1）（2012高考真题陕西理13）右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽 4米，水位下降1米后，水面宽 米. 解析：62；设水面与桥的一个交点为A ，如图建立直角坐标系则，A 的坐标为（2，-2）.设抛物线方程为py x 22 -=，带入点A 得1=p ，设水位下降1米后水面与桥的交点坐标为)3,(0-x ，则 6,3 202 0±=-?-=x x ，所以水面宽度为62. （2）【2012高考真题湖北理】（本小题满分13分） 设A 是单位圆221x y +=上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足||||(0,1)DM m DA m m =>≠且. 当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ． （Ⅰ）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标； （Ⅱ）过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N ， 直线QN 交曲线C 于另一点H . 是否存在m ，使得对任意的0k >，都有PQ PH ⊥？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（Ⅰ）如图1，设(,)M x y ，00(,)A x y ，则由||||(0,1)DM m DA m m =>≠且， 可得0x x =，0||||y m y =，所以0x x =，01 ||||y y m = . ① 因为A 点在单位圆上运动，所以22001x y +=. ② 将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为2 2 2 1 (0,1)y x m m m +=>≠且. 因为(0,1)(1,)m ∈+∞，所以 当01m <<时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(0) ，0)； 当1m >时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(0,- ，(0, . （Ⅱ）解法1：如图2、3，0k ?>，设11(,)P x kx ，22(,)H x y ，则11(,)Q x kx --，1(0,)N kx ， 直线QN 的方程为12y kx kx =+，将其代入椭圆C 的方程并整理可得 222222211(4)40m k x k x x k x m +++-=. 依题意可知此方程的两根为1x -，2x ，于是由韦达定理可得 21122 244k x x x m k -+=-+，即21 222 4m x x m k =+. 因为点H 在直线QN 上，所以21 21222 224km x y kx kx m k -==+. 于是11(2,2)PQ x kx =--，2211 21212222 42(,)(,)44k x km x PH x x y kx m k m k =--=-++. 而PQ PH ⊥等价于222 122 4(2)04m k x PQ PH m k -?==+， 即220m -=，又0m > ，得m = 故存在m =2 2 12 y x +=上，对任意的0k >，都有PQ PH ⊥. 解法2：如图2、3，1(0,1)x ?∈，设11(,)P x y ，22(,)H x y ，则11(,)Q x y --，1(0,)N y ， 因为P ，H 两点在椭圆C 上，所以2222112222 22, , m x y m m x y m ?+=??+=?? 两式相减可得 222221212()()0m x x y y -+-=. ③ 依题意，由点P 在第一象限可知，点H 也在第一象限，且P ，H 不重合， 故1212()()0x x x x -+≠. 于是由③式可得 212121212()() ()() y y y y m x x x x -+=--+. ④ 又Q ，N ，H 三点共线，所以QN QH k k =，即112 112 2y y y x x x +=+. 于是由④式可得2 11212121121212()()12()()2 PQ PH y y y y y y y m k k x x x x x x x --+?=?=?=- --+. 而PQ PH ⊥等价于1PQ PH k k ?=-，即2 12 m -=-，又0m > ，得m = 故存在m =2 2 12 y x +=上，对任意的0k >，都有PQ PH ⊥. 题型6：导数问题 例9．（06浙江卷）已知函数f(x)=x 3+ x 3 ，数列｜x n ｜(x n ＞0)的第一项x n ＝1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f(x)在))(,(11++n n x f x 处的切线与经过（0，0）和（x n ,f (x n )）两点的直线平行（如图） 求证：当n *N ∈时， (Ⅰ)x ;231212+++=+n n n n x x x （Ⅱ）21)2 1() 21 (--≤≤n n n x 。 证明：（I ）因为'2 ()32,f x x x =+所以曲线()y f x =在11(,())n n x f x ++处的切线斜率 121132.n n n k x x +++=+ 因为过(0,0)和(,())n n x f x 两点的直线斜率是2,n n x x +所以2 21132n n n n x x x x +++=+. （II ）因为函数2 ()h x x x =+当0x >时单调递增， 而221132n n n n x x x x +++=+21142n n x x ++≤+211(2)2n n x x ++=+， 所以12n n x x +≤，即 11,2 n n x x +≥因此1121211 ().2n n n n n n x x x x x x x ----=??????≥ 又因为12 2 12(),n n n n x x x x +++≥+令2 ,n n n y x x =+则 11 .2 n n y y +≤ 因为21112,y x x =+=所以1211 1()().2 2 n n n y y --≤?= 因此2 21(),2n n n n x x x -≤+≤故1211()().22 n n n x --≤≤ 点评：切线方程的斜率与函数的导数对应，建立了几何图形与函数值的对应。 例10．（2012高考真题重庆理8）设函数()f x 在R 上可导，其导函数为, ()f x ，且函数)(')1(x f x y -=的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） （A ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f （B ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f （C ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f - （D ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f 解析:D ；由图象可知当2- 0)('>x f ， 函数递增.当12<<-x 时，0)(')1(<-=x f x y ，所以此时0)(' 0)('>x f ，函数递增.所以函数)(x f 有极大值)2(-f ，极小值)2(f ,选D. 点评：通过函数图像分解导函数的正负，对应好原函数的单调递增、单调递减。 题型6：平面几何问题 例11．已知ABC ?三顶点是(4,1),(7,5),(4,7)A B C -，求A ∠的平分线AD 的长。 解析：第一步，简单数形结合，在直角坐标系下，描出已知点,,A B C ，画出ABC ?的边及其A ∠的平分线AD 。（如图） 第二步，观察图形，挖掘图形的特性（一般性或特殊性），通过数量关系证明（肯定或否定）观察、挖掘出来的特性。特性有： （1）AB AC ⊥；（2）45BAD CAD ∠=∠=?； （3）2CD DB =，（4）260ABC ACB ∠=∠=?等等。 证明：∵(4,1),(7,5),(4,7)A B C -∴(3,4),(8,6)AB AC ==-,5,10AB AC == ∵38460AB AC ?=-?+?= ∴（1）AB AC ⊥，∵AD 是A ∠的平分线； ∴（2）45BAD CAD ∠=∠=?，∵1025 CD AC DB AB ===(角平分线定理) ； ∴（3 ）2CD DB =，∵tan tan 602ABC ∠=∠?= ≠， ∴（4）260ABC ACB ∠=∠=?不正确， 第三步，充分利用图形的属性，创造性地数形结合，完成解题。过点D 作DE AB ⊥，交AB 于点 E ，则有BDE ?∽BCA ?或110 33 DE AC = =等等。又在Rt ADE ?中， （可以口答出）AD DE == 点评：数形结合的基础是作图要基本准确，切忌随手作图！数形结合的关键是挖掘图形的几何属性，切忌只重 数量关系忽视位置关系！如果把本题的图形随手作成如下 一般平面图形，则失去了数形结合的基础，很难挖掘出图 形的几何属性，是很失败的。 例12．已知A =｛(x,y )||x |≤1,|y |≤1｝,B =｛(x,y )|(x –a )2+(y –a )2 ≤1，a ∈R ｝,若A ∩B ≠?，则a 的取值范围是 。 解析：如图，集合A 所表示的点为正方形PQRS 的内部及其边界，集合B 所表示的点为以C (a ,a )为圆心，以1为半径的圆的内部及其边界．而圆心C (a ,a )在直线y=x 上，故要使A ∩B ≠?， 则2 21221+≤≤- -a 为所求。 点评：应用几何图象解决问题时，尤其要注意特殊点（或位置）的情况，本题就是按照这样的思路直 接求出实数a 的取值范围。 【方法技巧】 数学前辈华罗庚曾说过：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞，数缺形时少知觉，形少数时难入微.数形结合百般好，隔离分家万事非. 切莫忘几何代数统一体，永远联系，切莫分离”.可见，数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种智慧的数学方法，备考中要仔细体会，牢固掌握，熟练应用.目前高考“注重通法，淡化特技”的命题原则来看，对于数形结合的数学思想方法，我们在复习时，应将重点置于解析几何中图象的几何意义的重视与挖掘以及函数图象的充分利用之上即可。 数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中 有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。 【专题训练】 一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上． 1．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和l 2：x ＝－1，抛物线y 2 ＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 C.11 5 D.37 16 2．已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有 且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．(1,2] B ．(1,2) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 3．已知OB →＝(2,0)，OC →＝(2,2)，CA →＝(2cos α，2sin α)，则向量OA →与OB → 的夹角的取值范围为( ) A ．[0，π 4 ] B ．[π4，512π] C ．[512π，π2] D ．[π12，5 12 π] 4．函数y ＝3cos ? ????2x ＋π3? ????－π6≤x ≤π3与y ＝3cos ? ????2x －73π? ????76π≤x ≤53π的图象和两直线y ＝±3所围成的封闭区域的面积为( ) A ．8π B ．6π C ．4π D ．以上都不对 5．设定义域为R 的函数f (x )＝????? 1|x －2| x ， 1 x ＝ 若关于x 的方程f 2 (x )＋af (x )＋b ＝0有3 个不同的实数解x 1，x 2，x 3，且x 1 A ．x 2 1＋x 2 2＋x 2 3＝14 B ．1＋a ＋b ＝0 C ．x 1＋x 3＝4 D ．x 1＋x 3>2x 2 6．若函数f (x )＝log a x －x ＋a (a >0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．01 C ．a >0且a ≠1 D ．1 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上． 7．设有一组圆C k ：(x －k ＋1)2 ＋(y －3k )2 ＝2k 4 (k ∈N * )．下列四个命题： A ．存在一条定直线与所有的圆均相切 B ．存在一条定直线与所有的圆均相交 C ．存在一条定直线与所有的圆均不相交 D ．所有的圆不经过原点 其中真命题的代号是________．(写出所有真命题的代号) 8．当0≤x ≤1时，不等式sin π 2 x ≥kx ，则实数k 的取值范围是________． 9．函数f (x )＝13 x 3＋ax 2 －bx 在[－1,2]上是单调减函数，则a ＋b 的最小值为________． 10．用计算机产生随机二元数组成区域? ?? ?? －1 －2 的 值，记“(x ，y )”满足x 2 ＋y 2 <1为事件A ，则事件A 发生的概率为________． 三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．(12分)若关于x 的方程x 2 ＋2kx ＋3k ＝0的两根都在－1和3之间，求k 的取值范围． 12．(13分)(四川)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，(a >b >0)的左右焦点分别为F 1、F 2，离心率e ＝2 2，右准线为l ，M 、 N 是l 上的两个动点，F 1M → ·F 2N → ＝0. (1)若|F 1M →|＝|F 2N → |＝25，求a 、b 的值； (2)求证：当|MN |取最小值时，F 1M →＋F 2N →与F 1F 2→ 共线． 【参考答案】 1．解析： 设P 到l 1的距离为d 1，P 到l 2的距离为d 2，由抛物线的定义知d 2＝|PF |，F (1,0)为抛物线焦点，所以 d 1＋d 2＝d 1＋|PF |.过F 作FH ⊥l 1于H ，设F 到l 1的距离为d 3，则d 1＋|PF |≥d 3.当且仅当H ，P ，F 三点共线 时，d 1＋d 2最小，由点到直线距离公式易得d 3＝10 5 ＝2. 答案：A 2．解析：如图所示，根据直线与渐近线斜率的大小关系：b a ＝c 2－a 2a ＝e 2 －1≥3，从而e ≥2. 答案：C 3．解析： 如图，在以O 为原点的平面直角坐标系中，B (2,0)，C (2,2)，A 点轨迹是以2为半径的圆C ，OD ，OE 为⊙C 的切线，易得∠COB ＝ π4，∠COD ＝∠COE ＝π6，当A 点位于D 点时，OA →与OB → 的夹角最小为π12 ，当A 点位于E 点时，OA →与OB → 的夹角最大为512π，即夹角的取值范围为[π12，512 π]． 答案：D 4．解析：∵函数y ＝3cos(2x －7 3 π)＝ 3cos ???? ??2? ????x －43π＋π3. ∴y ＝3cos(2x －7 3 π)的图象是将函数y ＝ 3cos ? ????2x ＋π3的图象向右平移43π个单位得到的．由画图可知，所围成的区域的面积为43π×6＝8π. 答案：A 5．解析：作出f (x )的图象，图象关于x ＝2对称，且x ＝2时，f (x )＝1，故f (x )＝1有3个不同实数根x ，除此之外，只有两个根或无根．又f 2 (x )＋af (x )＋b ＝0有3个不同的实数解x 1 ＋x 3＝2x 2＝4.又f (x )＝1， 1 |x －2| ＝1，x 1＝1，x 3＝3，故A ，B ，C 正确． 答案：D 6．解析：设函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)和函数y ＝x －a ，则函数f (x )＝log a x －x ＋a 有两个零点，就是函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)与函数y ＝x －a 有两个交点，由图象可知当01时，函数y ＝log a x 图象过点(1,0)，而直线y ＝x －a 与x 轴交点(a,0)在点(1,0)右侧，所以一定有两个交点，故a >1. 答案：B 二、7．解析：假设圆经过原点，则有(0－k ＋1)2 ＋(0－3k )2 ＝2k 4 ，即2k 4 －10k 2 ＝－2k ＋1，而上式左 边为偶数，右边为奇数，故矛盾，所以D 正确．而所有圆的圆心轨迹为??? ?? x ＝k －1， y ＝3k ， 即y ＝3x ＋3.此直线 与所有圆都相交，故B 正确．由于圆的半径在变化，故A ，C 不正确． 答案：BD 8．解析： 在同一坐标系下，作出y 1＝sin π2x 与y 2＝kx 的图象，要使不等式sin π 2x ≥k π成立，由图可知需k ≤1. 答案：k ≤1 9．解析：∵y ＝f (x )在区间[－1,2]上是单调减函数，∴f ′(x )＝x 2 ＋2ax －b ≤0在区间[－1,2]上恒成立． 结合二次函数的图象可知f ′(－1)≤0且f ′(2)≤0，即? ?? ?? 1－2a －b ≤0， 4＋4a －b ≤0也即? ?? ?? 2a ＋b －1≥0， 4a －b ＋4≤0. 作出不等式组表示的平面区域如图： 当直线z ＝a ＋b 经过交点P (－12，2)时，z ＝a ＋b 取得最小值，且z min ＝－12＋2＝3 2.∴z ＝a ＋b 取得最小 值3 2 . 答案：32 点评：由f ′(x )≤0在[－1,2]上恒成立，结合二次函数图象转化为关于a ，b 的二元一次不等式组，再借助线性规划问题，采用图解法求a ＋b 的最小值． 10．解析：本题为几何概型问题，应转化为图形的面积比求解．如图，画出不等式组??? ?? －1 －2 及 (x ，y )满足x 2＋y 2 <1的平面区域． ∴P (A )＝π 8. 答案：π8 三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．解： 令f (x )＝x 2 ＋2kx ＋3k ，其图象与x 轴交点的横坐标就是方程f (x )＝0的解，由y ＝f (x )的图象(如图)可知，要使两根都在－1,3之间，只需f (－1)>0，f (3)>0，f ? ? ??? －b 2a ＝f (－k )<0，－1<－k <3同时成立，解 得－1 12．解：由a 2 －b 2 ＝c 2 与e ＝c a ＝ 22，得a 2＝2b 2 .F 1(－22a,0)，F 2? ?? ??22a ，0，l 的方程为x ＝2a . 设M (2a ，y 1)，N (2a ，y 2)则F 1M →＝? ????32 2a ，y 1，F 2N →＝? ?? ??22a ，y 2 由F 1M →·F 2N → ＝0得y 1y 2＝－32a 2<0 ① (1)由|F 1M →|＝|F 2N → |＝25，得 ? ?? ??322a 2＋y 21＝2 5 ② ? ?? ??22a 2＋y 2 2＝2 5 ③ 由①②③三式，消去y 1，y 2，并求得a 2 ＝4故a ＝2，b ＝ 22 ＝ 2. (2)证明：|MN |2 ＝(y 1－y 2)2 ＝y 2 1＋y 2 2－2y 1y 2≥－2y 1y 2－2y 1y 2＝－4y 1y 2＝6a 2 . 当且仅当y 1＝－y 2＝ 6 2 a 或y 2＝－y 1＝6a 时，|MN |取最小值6a . 此时，F 1M →＋F 2N →＝? ????322a ，y 1＋? ?? ??22a ，y 2＝(22a ，y 1＋y 2)＝(22a,0)＝2F 1F 2→ . 故F 1M →＋F 2N →与F 1F 2→ 共线． 高考数学必胜秘诀 立体几何 几何法处理线面平行垂直方法 1、直线与平面平行的判定和性质： （1）判定： ①判定定理：如果平面内一条直线和这个平面平面平行，那么这条直线和这个平面平行； ②面面平行的性质：若两个平面平行，则其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行。 （2）性质： 如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行。在遇到线面平行时，常需作出过已知直线且与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质。 2、直线和平面垂直的判定和性质： （1）判定： ①如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。 ②两条平行线中有一条直线和一个平面垂直，那么另一条直线也和这个平面垂直。 （2）性质： ①如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直。 ②如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。 3、直线和平面所成的角： （1）定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。 （2）范围：[0,90]o o ； （3）求法：作出直线在平面上的射影； （4）斜线与平面所成的角的特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。 4、两个平面平行的判定和性质： （1）判定：一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行，则这两个平面平行。 （2）性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 5、二面角： （1）平面角的三要素： ①顶点在棱上； ②角的两边分别在两个半平面内； ③角的两边与棱都垂直。 （2）作平面角的主要方法： ①定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性； ②垂面法：过一点作棱的垂面，则垂面与两个半平面的交线所成的角即为平面角； （3）二面角的范围：[0,]π； （4）二面角的求法： ①转化为求平面角； ②面积射影法：利用面积射影公式cos S S θ?射原＝，其中θ为平面角的大小。对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其可考虑面积射影法）。 6、两个平面垂直的判定和性质： （1）判定： ①判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 ②定义法：即证两个相交平面所成的二面角为直二面角； （2）性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 特别指出：立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化，即： 线∥线线∥面面∥面判定线⊥线线⊥面面⊥面性质线∥线线⊥面面∥面←→?←→??→??←→?←→?←? ??←→?←→? 专题15 数形结合思想 专题点拨 数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合． (1)数形结合思想解决的问题常有以下几种： ①构建函数模型并结合其图像求参数的取值范围； ②构建函数模型并结合其图像研究方程根的范围； ③构建函数模型并结合其图像研究量与量之间的大小关系； ④构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式； ⑤构建立体几何模型研究代数问题； ⑥构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题； ⑦构建方程模型，求根的个数； ⑧研究图形的形状、位置关系、性质等． (2)数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解填空题、选择题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点： ①准确画出函数图像，注意函数的定义域； ②用图像法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图像，由图求解． (3)在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点： ①要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征； ②要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化； ③要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏； ④精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解． 例题剖析 一、数形结合思想在求参数、代数式的取值范围、最值问题中的应用 备战2020 高考满分秘籍之高考数学压轴试题天天练 第一题 四川省内江市2019届高三第三次模拟（文）】在三棱锥中，和是有公共斜边的等腰直角三角形，若三棱锥的外接球的半径为2，球心为，且三棱锥的体积为，则直线与 平面所成角的正弦值是（） 答案】D ∵ 和是有公共斜边的等腰直角三角形，∴线段的中点为球心O， 连接OA ，OB， 易得 ∴∠ AOC 为二面角A-BD-C 的平面角， 且∠ AOC 为直线与平面所成角或其补角， 三棱锥的体积为 故选：D B． A． 解析】 【四川省内江市2019届高三第三次模拟（文）】若函数存在单调递增区间，值范围是（） A ．B． C ． D ． 【答案】B 【解析】 解：f′（x）ax+ ， ∴f′（x）>0 在x∈上成立， 即ax+ 0 ，在x∈上成立， 即a 在x∈上成立． 令g（x），则g′（x）， ∴g（x），在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增， ∴ g（x）的最小值为g（e）= ∴ a> ． 故选：B． 新疆乌鲁木齐地区2019 届高三第三次质量检测（文）】已知函数是定义在上的奇函数，.给出下列命题 ①当时 ②函数有三个零点；则的取 时， ③ 的解集为 ； ④ 都有 . 其中正确的命题有 （ ） 答案】 D 解析】 解不等式组可以得 或 ，所以解集为 ，故③正确 . 当 时， ，所以 在 上为增函数； 当 时， ，所以 在 上为减函数； 所以当 时 的取值范围为 ，因为 为 上的奇函数， 故 的值域为 ，故 都有 ，故④正确 . 综上，选 D. 第四题 2019届高三 5 月模拟（理 ）】在直角坐标平面内，已知 ， 以及动点 是 答案】 A 解析】 ∵ sinAsinB-2cosC=0 ，∴ sinAsinB=2cosC=-2cos ( A+B ) =-2(cosAcosB-sinAsinB) ， ∴ sinAsinB=2cosAcosB ，即 tanAtanB=2 ，∴ 设 C （x ，y ），又 A （﹣ 2，0），B （2，0）， 所以有 ， 整理得 ，∴ 离心率是 A ．1个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个 因为函数 是定义在 上的奇函数，且 时， . 所以当 时， ，故 ，故①正确 . 所以 时， 即函数 有三个零点，故②正确 . 不等式 等价于 或， 当 时， ，， 安徽省芜湖市 的三个顶点，且 ，则动点 的轨迹曲线 的离心率是（ ） A ． B ． D ． 10分钟秒杀高考数学选择题——老师不会教你的技巧 特值法： 从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断.特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等 例1 (2017·卷)若a ＞b ＞0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A.a ＋1b ＜b 2a ＜log 2(a ＋b ) B.b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1 b C.a ＋1b ＜log 2(a ＋b )＜b 2 a D.log 2(a ＋b )＜a ＋1b ＜b 2 a 例2．设4 7 10 310()22222()n f n n N +=++++ +∈，则()f n =（ ） A 、 2(81)7n - B 、12(81)7n +- C 、32(81)7n +- D 、42 (1)7 n n +- 【解析】思路一（特值法）：令0n =，则34 4 7 10 421(2)2 (0)2222(81)12 7 f ??-?? =+++= =--，对照选项，只有D 成立。 思路二：f （n ）是以2为首项，8为公比的等比数列的前4n +项的和，所以 44 2(18)2()(1)187 n n f n n ++-==--，选D 。这属于直接法。 例3.若函数(1)y f x =+是偶函数，则(2)y f x =的对称轴是（ ） A 、0x = B 、1x = C 、1 2 x = D 、2x = 【解析】：因为若函数(1)y f x =+是偶函数，作一个特殊函数2 (1)y x =-，则(2)y f x =变为2 (21)y x =-，即知(2)y f x =的对称轴是1 2 x = ，选C 例4．△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，=m(++)OH OA OB OC ，则实数m= 【答案】1 【解析】取特殊的直角三角形△ABC ，点O 为斜边的中点，点H 与三角形直角顶点C 重合，这时候有=++OH OA OB OC ，所以m=1 高考数学爆强秒杀公式与方法一 1，适用条件：[直线过焦点]，必有ecosA=(x-1)/(x+1)，其中A 为直线与焦点所在轴夹角，是锐角。x为分离比，必须大于1。注上述公式适合一切圆锥曲线。如果焦点内分(指的是焦点在所截线段上)，用该公式;如果外分(焦点在所截线段延长线上)，右边为 (x+1)/(x-1)，其他不变。 2，函数的周期性问题(记忆三个)：1、若f(x)=-f(x+k)，则T=2k; 2、若f(x)=m/(x+k)(m不为0)，则T=2k; 3、若 f(x)=f(x+k)+f(x-k)，则T=6k。注意点：a.周期函数，周期必无限b.周期函数未必存在最小周期，如：常数函数。c.周期函数加周期函数未必是周期函数，如：y=sinxy=sin派x相加不是周期函数。 3，关于对称问题(无数人搞不懂的问题)总结如下：1，若在R 上(下同)满足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，对称轴为x=(a+b)/2;2、函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于x=(b-a)/2对称;3、若 f(a+x)+f(a-x)=2b，则f(x)图像关于(a，b)中心对称 4，函数奇偶性1、对于属于R上的奇函数有f(0)=0;2、对于含参函数，奇函数没有偶次方项，偶函数没有奇次方项3，奇偶性作用不大，一般用于选择填空 5，数列爆强定律：1，等差数列中：S奇=na中，例如S13=13a7(13和7为下角标);2等差数列中：S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差3，等比数列中，上述2中各项在公比不为负一时成等比，在q=-1 时，未必成立4，等比数列爆强公式：S(n+m)=S(m)+q2mS(n)可以迅速求q 6，数列的终极利器，特征根方程。(如果看不懂就算了)。首先介绍公式：对于an+1=pan+q(n+1为下角标，n为下角标)，a1已知，那么特征根x=q/(1-p)，则数列通项公式为an=(a1-x)p2(n-1)+x，这是一阶特征根方程的运用。二阶有点麻烦，且不常用。所以不赘述。希望同学们牢记上述公式。当然这种类型的数列可以构造(两边同时加数) 7，函数详解补充：1、复合函数奇偶性：内偶则偶，内奇同外2，复合函数单调性：同增异减3，重点知识关于三次函数：恐怕没有多少人知道三次函数曲线其实是中心对称图形。它有一个对称中心，求法为二阶导后导数为0，根x即为中心横坐标，纵坐标可以用x带入原函数界定。另外，必有唯一一条过该中心的直线与两旁相切。 8，常用数列bn=n×(22n)求和Sn=(n-1)×(22(n+1))+2记忆方法：前面减去一个1，后面加一个，再整体加一个2 9，适用于标准方程(焦点在x轴)爆强公式：k椭=-{(b2)xo｝/{(a 2)yo｝k双={(b2)xo｝/{(a2)yo｝k抛=p/yo注：(xo，yo)均为直线过圆锥曲线所截段的中点。 10，强烈推荐一个两直线垂直或平行的必杀技：已知直线L1：a1x+b1y+c1=0直线L2：a2x+b2y+c2=0若它们垂直：(充要条 件)a1a2+b1b2=0;若它们平行：(充要条件)a1b2=a2b1且a1c2≠ 第十三专题 数形结合思想 考情动态分析： 数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维和形象思维结合，通过“以形助数”或“以数解形”，可使复复杂问题简单化、抽象总是具体化，从而起到优化解题途径的目的. 一般地说，“形”具有形象、直观的特点，易于整体上定性地分析问题.“数形对照”便于寻求思路，化难为易；“数”则具有严谨、准确的特点，能够严格论证和定量求解.“由数想形”可以弥补“形”难以精确的弊端.恰当地应用数形结合是提高解题速度、优化解题过程的一种重要方法. 纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的数学思想方法来解决一些抽象数学问题，可起到事半功倍的效果. 数形结合的重点是研究“以形助数”，但以数解形在近两年高考试题中也得到了加强，其发展趋势不容忽视. 数形结合在解题过程中应用十分广泛，如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域和最值问题中，在三角函数问题中都有充分体现.运用数形结合思想解题，不仅直观易于寻找解题途径，而且能避免繁杂的计算和推理，简化解题过程，这在选择题、填空题解答中更显优越. 第一课时 方程、函数中数形结合问题 一、考点核心整合 利用“形”的直观来研究方程的根的情况，讨论函数的值域（或最值），求解变量的取值范围，运用数形结合思想考查化归转化能力、逻辑思维能力，能使烦琐的数量运算变得简捷. 二、典例精讲： 例1 方程的实根的个数有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、无穷多个 例 2 已知函数x x x g x x f 2)(|,|23)(2 -=-=，构造函数)(x F ，定义如下：当)()(x g x f ≥时，)()(x g x F =；当)()(x g x f <时，)()(x f x F =.那么)(x F （ ） A 、有最大值3，最小值1- B 、有最大值727-，无最小值 C 、有最大值，无最小值 D 、无最大值，也无最小值 例3 已知0>x ，设:P 函数x c y =在R 上单调递减；:Q 不等式1|2|||>-+c x x 的解集为R .如果P 和Q 有且仅有一个正确，试求c 的取值范围. 例 4 已知0>a ，且方程022 =++b ax x 与方程022 =++a bx x 都有实数根，求b a +的最小值. 三、提高训练： （一）选择题： 1．函数||x a y =和a x y +=的图象恰有两个公共点，则实数a 的取值范围是（ ） A 、),1(+∞ B 、)1,1(- C 、),1[]1,(+∞--∞ D 、),1()1,(+∞--∞ 2．已知],0(π∈x ，关于x 的方程a x =+)3 sin(2π 有两个不同的实数解，则实数a 的 取值范围为（ ） 第一部分 二 27 一、选择题 1．已知f (x )＝2x ，则函数y ＝f (|x －1|)的图象为( ) [答案] D [解析] 法一：f (|x －1|)＝2|x － 1|. 当x ＝0时，y ＝2.可排除A 、C ． 当x ＝－1时，y ＝4.可排除B ． 法二：y ＝2x →y ＝2|x |→y ＝2|x － 1|，经过图象的对称、平移可得到所求． [方法点拨] 1.函数图象部分的复习应该解决好画图、识图、用图三个基本问题，即对函数图象的掌握有三方面的要求： ①会画各种简单函数的图象； ②能依据函数的图象判断相应函数的性质； ③能用数形结合的思想以图辅助解题． 2．作图、识图、用图技巧 (1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换． 描绘函数图象时，要从函数性质入手，抓住关键点(图象最高点、最低点、与坐标轴的交点等)和对称性进行． (2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系． (3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象结合研究． 3．利用基本函数图象的变换作图 ①平移变换： y ＝f (x )――→h >0，右移|h |个单位 h <0，左移|h |个单位y ＝f (x －h )， y ＝f (x )――→k >0，上移|k |个单位k <0，下移|k |个单位y ＝f (x )＋k . ②伸缩变换： y ＝f (x )错误!y ＝f (ωx )， y ＝f (x ) ――→01，纵坐标伸长到原来的A 倍 y ＝Af (x )． ③对称变换： y ＝f (x )――→关于x 轴对称 y ＝－f (x )， y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )， y ＝f (x ) ――→关于直线x ＝a 对称y ＝f (2a －x )， y ＝f (x )――→关于原点对称 y ＝－f (－x )． 2．(文)(2014·哈三中二模)对实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝????? a ，a － b ≤1 b ，a －b >1 ，设函数f (x ) ＝(x 2＋1)*(x ＋2)，若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( ) A ．(2,4]∪(5，＋∞) B ．(1,2]∪(4,5] C ．(－∞，1)∪(4,5] D ．[1,2] [答案] B [解析] 由a *b 的定义知，当x 2＋1－(x ＋2)＝x 2－x －1≤1时，即－1≤x ≤2时，f (x )＝x 2＋1；当x <－1或x >2时，f (x )＝x ＋2，∵y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，∴方 程f (x )－c ＝0恰有两不同实根，即y ＝c 与y ＝? ???? x 2 ＋1 (－1≤x ≤2)， x ＋2 (x <－1或x >2)，的图象恰有两个交点， 数形结合易得1 高考数学零基础提分秘笈 数学是高考拉开分数的最主要学科。高分的同学130、140，低分的同学40、50，又由于数学讲究逻辑性和推理性，讲究层层推导，一个地方卡住，就做不下去，因此很多同学在数学上饮恨考场。 是不是数学基础差就没得救呢?其实不是的。数学其实并不复杂，只要方法得当，你会发现数学其实并没有想象中的那么难。因为数学学科很特殊，它的条理脉络非常清晰，复习的时候，顺着脉络，是很容易抓住整个主干的。 其实，对数学基础的构建，是相对其他学科而言，容易的多。因为数学知识点的起点、推导过程、公式定理的应用案例非常明确，所以只要从数学公式入手，找到其公式的起点和过程，就能把基础知识拿下。 一、夯实基础的重点方法 特别是基础差的同学，一定要老老实实的从课本开始，不要求快，要复习一个章节，掌握一个章节。具体的方法是，先看公式、理解、记熟，然后看课后习题，用题来思考怎么解，不要计算，只要思考就好，然后再翻课本看公式定理是怎么推导的，尤其是过程和应用案例。特别注意这些知识点为什么产生的。如集合、映射的数学意义是为了阐述两组数据(元素)之间的关系。而函数就是立足于集合。并由此产生的充要条件等知识点。通过这么去理解，你会发现，数学基础很快就能掌握。但记住，一定要循序渐进，不能着急。 对于容易犯的错误，要做好错题笔记，分析错误原因，找到纠正的办法;不能盲目做题，必须在搞清楚概念的基础上做才是有效的，因为盲目大量做题，有时候错误或者误解也会得到巩固，纠正起来更加困难。对于课本中的典型问题，要深刻理解，并学会解题后反思：反思题意，防止误解;反思过程，防止谬误;反思方法，精益求精;反思变化，高屋建瓴。这样不仅能够深刻理解这个问题，还有利于扩大解题收益，跳出题海! 二、提高基础知识应用 在注重基础的同时，又要将高中数学合理分类。分类其实很简单，就是按照课本大章节进行分类即可。 高三复习过程中，速度快、容量大、方法多，特别是基础不好的同学，会有听了没办法记，记了来不及听的无所适从现象，但是做好笔记又是不容忽视的重要环节，那就应该记关键思路和结论，不要面面俱到，课后整理笔记，因为这也是再学习的过程。 再谈做题，做题大家都认为是高三复习的主旋律，其实不是的。不论对于哪种层次的学生，看题思考才是复习数学的主旋律。看题主要是看你不会做的题，做错的题，尤其是卡住你的那一个步骤。为什么答案中这道题这个步骤这么写，为什么用这个公式。这个公式是从那几个条件确立的，它的出现时为了解决什么问题。这是思考方向。很多同学都有这个问题，题目不会做，往往就是一步卡死，只要这一步解决了，后面都会。这就是因为没有找到应用的要点。 高考数学必胜秘诀在哪？ ――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结 二、函 数 1.映射f : A →B 的概念。在理解映射概念时要注意：⑴A 中元素必须都有象且唯一；⑵B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如（1）设:f M N →是集合M 到N 的映射，下列说法正确的是 A 、M 中每一个元素在N 中必有象 B 、N 中每一个元素在M 中必有原象 C 、N 中每一个元素在M 中的原象是唯一的 D 、N 是M 中所在元素的象的集合（答：A ）；（2）点),(b a 在映射f 的作用下的象是),(b a b a +-，则在f 作用下点)1,3(的原象为点________（答：（2，－1））；（3）若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =， ,,a b c R ∈，则A 到B 的映射有 个，B 到A 的映射有 个，A 到B 的函数有 个 （答：81,64,81）；（4）设集合{1,0,1},{1,2,3,4,5}M N =-=，映射:f M N →满足条件“对任 意的x M ∈，()x f x +是奇数”，这样的映射f 有____个（答：12）；（5）设2:x x f →是 集合A 到集合B 的映射，若B={1,2}，则B A 一定是_____（答：?或{1}）. 2.函数f : A →B 是特殊的映射。特殊在定义域A 和值域B 都是非空数集！据此可知函数图像与x 轴的垂线至多有一个公共点，但与y 轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。如（1）已知函数()f x ，x F ∈，那么集合{(,)|(),}{(,)|1}x y y f x x F x y x =∈= 中所 含元素的个数有 个（答： 0或1）；（2）若函数422 12+-=x x y 的定义域、值域都是闭区间]2,2[b ，则b ＝ （答：2） 3. 同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。如若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为2y x =，值域为{4，1}的“天一函数”共有______个（答：9） 4. 求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）： （1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数log a x 中0,0x a >>且1a ≠，三角形中0A π<<, 最大角3π ≥，最小角3π ≤等。如（1）函数 lg 3y x =-____(答：(0,2)(2,3)(3,4) )；（2）若函数27 43 kx y kx kx +=++的定义域为R ，则k ∈_______(答：30,4?????? )；（3）函数()f x 的定义域是[,]a b ，0b a >->，则函数()()()F x f x f x =+-的定义域是__________(答：[,]a a -)；（4）设函数2()lg(21)f x ax x =++，①若()f x 的定义域是R ，求实数a 的取值范围；②若()f x 的值域是R ，求实数a 的取值范围（答：①1a >；②01a ≤≤） （2）根据实际问题的要求确定自变量的范围。 （3）复合函数的定义域：若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤解出即可；若已知[()]f g x 的定义域为[,]a b ,求()f x 的定义域，相当于当[,]x a b ∈时，求()g x 的值域（即()f x 的定义域）。如（1）若函数)(x f y =的定义域为??????2,2 1，则)(log 2x f 的定义域为__________（答：{} 42|≤≤x x ）；（2）若函数2(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为________（答：[1,5]）． 5.求函数值域（最值）的方法： 专题突破练2 函数与方程思想、数形结合思想 一、单项选择题 1. (2020河南开封三模,理3)如图,在平行四边形OABC 中,顶点O ,A ,C 在复平面内分别表示复数0,3+2i,-2+4i,则点B 在复平面内对应的复数为( ) A.1+6i B.5-2i C.1+5i D.-5+6i 2.(2020山东聊城二模,2)在复数范围内,实系数一元二次方程一定有根,已知方程x 2+ax+b=0(a ∈R ,b ∈R )的一个根为1+i(i 为虚数单位),则a 1+i =( ) A.1-i B.-1+i C.2i D.2+i 3.(2020河北武邑中学三模,5)已知f (x )是定义在区间[2b ,1-b ]上的偶函数,且在区间[2b ,0]上为增函数,f (x-1)≤f (2x )的解集为( ) A.[-1,2 3] B.[-1,1 3] C.[-1,1] D.[1 3,1] 4.(2020广东江门4月模拟,理6)《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气,其日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为8 5.5尺,则小满日影长为( ) A.1.5尺 B.2.5尺 C.3.5尺 D.4.5尺 5.(2020安徽合肥二模,文5)在平行四边形ABCD 中,若DE ????? =EC ????? ,AE 交BD 于点F ,则AF ????? =( ) A.23AB ????? +13AD ????? B.23 AB ????? ?13AD ????? C.1 3 AB ????? ?2 3 AD ????? D.13 AB ????? +2 3 AD ????? 6.(2020安徽合肥二模,文7)若函数F (x )=f (x )-2x 4 是奇函数,G (x )=f (x )+(12) x 为偶函数,则 f (-1)= ( ) A.-5 2 B.-5 4 C.5 4 D.5 2 7.(2020河北衡水中学月考,文12)已知关于x 的方程[f (x )]2-kf (x )+1=0恰有四个不同的实数根,则当函数f (x )=x 2e x 时,实数k 的取值范围是( ) A.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.(4 e 2+ e 24 ,+∞) C.(8 e 2,2) D.(2,4 e 2+e 2 4) 导 数 1、导数的背景：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 如一物体的运动方程是2 1s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3t =时的瞬时速度为_____（答：5米/秒） 2、导函数的概念：如果函数()f x 在开区间（a,b ）内可导，对于开区间（a,b ）内的每一个0x ，都对应着一个导数 ()0f x ' ，这样()f x 在开区间（a,b ）内构成一个新的函数，这一新的函数叫做()f x 在开区间（a,b ）内的导函数， 记作 ()0lim x y f x y x ?→?'='=? ()()0lim x f x x f x x ?→+?-=?，导函数也简称为导数。 3、求()y f x =在0x 处的导数的步骤：（1）求函数的改变量()()00y f x x f x ?=+?-； （2）求平均变化率()()00f x x f x y x x +?-?=?；（3）取极限，得导数()00lim x y f x x →?'=?。 4、导数的几何意义：函数()f x 在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点()()0,0P x f x 处的切线的斜率，即曲线()y f x =在点()()0,0P x f x 处的切线的斜率是 ()0f x '，相应地切线的方程是()()000y y f x x x -='-。特别提醒： （1）在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线，还是过某点的切线：曲线上某点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲线上也不一定只有一条；（2）在求过某一点的切线方程时，要首先判断此点是在曲线上，还是不在曲线上，只有当此点在 曲线上时，此点处的切线的斜率才是0()f x '。如（1）P 在曲线3 23+-=x x y 上移动，在点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是______（答：),43[)2, 0[πππ ）；（2）直线13+=x y 是曲线a x y -=3的一条切线,则实数a 的值为_______（答：－3或1）；（3）已知函数m x x x f +- =23212)(（m 为常数）图象上A 处的切线与03=+-y x 的夹角为4 π，则A 点的横坐标为_____（答：0或6 1）；（4）曲线13++=x x y 在点)3,1(处的切线方程是______________（答：410x y --=）；（5）已知函数x ax x x f 43 2)(23++-=，又导函数)('x f y =的图象与x 轴交于(,0),(2,0),0k k k ->。①求a 的值；②求过点)0,0(的曲线 )(x f y =的切线方程（答：①1；②4y x =或358 y x =）。 5、导数的运算法则：（1）常数函数的导数为0，即0C '=（C 为常数）； （2）()( )1n n x nx n Q - '=∈，与此有关的如下：()112211,x x x x ' '-????='=-'== ? ?????（3）若(),()f x g x 有导数，则①[()()]()()f x g x f x g x '''±=±；②[()]()C f x Cf x ''=。如（1） 已知函数n m mx x f -=)(的导数为38)(x x f ='，则=n m _____（答：14 ）；（2）函数2)1)(1(+-=x x y 的导数为__________（答：2321y x x '=+-）；（3）若对任意x R ∈，3()4,(1)1f x x f '==-，则)(x f 是______（答：2)(4-=x x f ） 专题讲座： 数形结合 一、填空题 例1曲线241x y -+=（22≤≤-x ）与直线()24-=-x k y 有两个交点时，实数k 的取值范围是 【答案】：53,124?? ?? ? 【提示】曲线为圆的一部分，直线恒过定点M (2，4)，由图可得有两 个交点时k 的范围。 例2已知平面向量,(0,)αβααβ≠≠满足1,β=且αβα-与的夹角为120? ，则α的 取值范围是 【答案】：23 03 α<≤ 【提示】作出草图，由1 sin sin 60 B α ? = ，故α=23sin 3B 又0120B ? ? << 0sin 1B ∴<≤，23 03 α∴<≤ 例3已知向量(2, 0)OB =,(2, 2)OC =, (2cos , 2sin ),CA αα=则OA 与OB 夹角的范围为 【答案】：]12 5,12[ π π 【提示】因2(cos ,sin ),CA αα=说明点A 的轨迹是以(2, 2)C 为圆心，2为半径的圆，如图，则OA 与OB 夹角最大是 5,4612πππ+=最小是4612 πππ -= 例4若对一切R θ∈，复数(cos )(2sin )z a a i θθ=++-的模不超过2，则实数a 的取值范围为 【答案】：55,55?? -???? 【提示】复数的模2 2 (cos )(2sin )2z a a θθ=++-≤，可以借助单位圆上一点(cos ,sin )θθ-和直线2y x =的一点(,2)a a 的距离来理解。 x x y M 例5若11 ||2 x a x -+≥对一切0x >恒成立，则a 的取值范围是 【答案】：(,2]-∞ 【提示】分别考虑函数1y x a =-和211 2 y x =- +的图像 例6 已知抛物线()y g x =经过点(0,0)O 、(,0)A m 与点(1,1)P m m ++， 其中0>>n m ，a b <，设函数)()()(x g n x x f -=在a x =和b x =处取到极值，则n m b a ,,,的大小关系为 【答案】b n a m <<< 【提示】由题可设()(),(0)g x kx x m k =->， 则()()()f x kx x m x n =--，作出三次函数图象即可。 例7若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 【答案】：0k <或4k = 【提示】：研究函数1y kx =（10y >）和函数2 2(1),(1)y x x =+>-的图像 例8已知函数2 1 ()(2) 1ax bx c x f x f x x ?++≥-=?--<-? ，其图象在点(1,(1)f )处的切线方程为 21y x =+,则它在点(3,(3))f --处的切线方程为 【答案】：230x y ++= 【提示】：由()(2)f x f x =--可得()f x 关于直线1x =-对称，画出示意图（略），(1,(1)f )和(3,(3))f --为关于直线1x =-的对称点，斜率互为相反数，可以快速求解。 例9直线1y =与曲线2 y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是__________ 【答案】：514a << 【提示】研究22,0 ,0 x x a x y x x a x ?-+≥?=?++ 高考数学必胜秘诀在哪4 高考数学必胜秘诀在哪? ――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结 三、数 列 1、数列的概念:数列是一个定义域为正整数集N ＊（或它的有限子集｛1，2,3,…，n}）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式.如(1）已知*2()156 n n a n N n =∈+,则在数列{}n a 的最大项 为__（答：125 ）；(2）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+,且{}n a 是递增数列， 求实数λ的取值范围（答:3λ>-）；（３）一给定函数)(x f y =的图象在下列图中,并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(* 1 N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是?(）(答:A)...文档交流 仅供参考... Ａ B C D ...文档交流 仅供参考... 2．等差数列的有关概念： (1）等差数列的判断方法：定义法1 (n n a a d d +-=为常数）或1 1 (2)n n n n a a a a n +--=-≥。 (2)等差数列的通项：(1)首项为－24的等差数列，从第１０项起开始为正数,则公差的取值范围是______（答：833 d <≤)...文档交 流 仅供参考... （３）等差数列的前n 和：1()2 n n n a a S +=,1(1)2 n n n S na d -=+中，（4） 等差中项：若,,a A b 成等差数列,则A 叫做a 与b 的等差中项，且2 a b A += 。 提醒：(1)等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素:1a 、d 、n 、n a 及n S ,其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。(２）为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；偶数个数成等差,可设为…,3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d )...文档交流 仅供参考... 立体几何 1、三个公理和三条推论： （1）公理1：一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。这是判断直线在平面内的常用方法。 （2）公理2、如果两个平面有两个公共点，它们有无数个公共点，而且这无数个公共点都在同一条直线上。这是判断几点共线（证这几点是两个平面的公共点）和三条直线共点（证其中两条直线的交点在第三条直线上）的方法之一。 （3）公理3：经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。推论1：经过直线和直线外一点有且只有一个平面。推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面。推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面。公理3和三个推论是确定平面的依据。如（1）在空间四点中，三点共线是四点共面的_____条件（答：充分非必要）；（2）给出命题：①若A ∈l ，A ∈α，B ∈l ，B ∈α，则 l ?α；②若A ∈α，A ∈β，B ∈α，B ∈β，则α∩β＝AB ；③若l ?α ，A ∈l ，则A ?α④若A 、B 、C ∈α，A 、B 、C ∈β，且A 、B 、C 不共线，则α与β重合。上述命题中，真命题是_____（答：①②④）；（3）长方体中ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=8，BC=6，在线段BD ，A 1C 1上各有一点P 、Q ，在PQ 上有一点M ，且PM=MQ ，则M 点的轨迹图形的面积为_______（答：24） 2、直观图的画法（斜二侧画法规则）：在画直观图时，要注意：（1）使0 135x o y '''∠=， x o y '''所确定的平面表示水平平面。 （2）已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中保持长度和平行性不变，平行于y 轴的线段平行性不变，但在直观图中其长度为原来的一半。如（1）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形的形状是（ ）（答：A ） （2）已知正ABC ?的边长为a ，那么ABC ?的平面直观图A B C '''?的面积为_____（答：26） 3、空间直线的位置关系：（1）相交直线――有且只有一个公共点。（2）平行直线――在同一平面内，没有公共点。（3）异面直线――不在同一平面内，也没有公共点。如（1）空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是四边上的中点，则直线EG 和FH 的位置关系_____（答：相交）；（2）给出下列四个命题：①异面直线是指空间既不平行又不相交的直线；②两异面直线b a ,，如果a 平行于平面α，那么b 不平行平面α；③两异面直线b a ,，如果⊥a 平面α，那么b 不垂直于平面α；④两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线 。其中正确的命题是_____（答：①③） 4、异面直线的判定：反证法。 如（1）“ａ、ｂ为异面直线”是指：①ａ∩ｂ＝Φ，但ａ不平行于ｂ；②ａ?面α，ｂ?面β且a ∩b ＝Φ；③ａ?面α，ｂ?面β且α∩β＝Φ；④ａ?面α，b ?面α ；⑤不存在平面α，能使ａ?面α且ｂ?面α成立。上述结论中，正确的是_____（答：①⑤）；（2）在空间四边形ABCD 中，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，设BC+AD=2a ，则MN 与a 的大小关系是_____（答：MN 数形结合 实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。如等式()()x y -+-=21422 一、联想图形的交点 例1. 已知，则方程的实根个数为01<<=a a x x a |||log |() A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 1个或2个或3个 分析：判断方程的根的个数就是判断图象与的交点个数，画y a y x x a ==|||log |出两个函数图 象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选（B ）。 例2. 解不等式x x +>2 令，，则不等式的解，就是使的图象 y x y x x x y x 121222= +=+>=+ 在的上方的那段对应的横坐标， y x 2=如下图，不等式的解集为{|} x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。{|}x x -≤<22 练习：设定义域为R 函数?? ?=≠-=1 01 1lg )(x x x x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同 实数解的充要条件是（ ） 0,0. 0,0. 0,0. 0,0.=≥=<<>>高考数学必胜秘诀
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