高中数学必修2第一章《立体几何初步》球的表面积与体积
V柱 R
3
V锥
1 3 R 3
4
思考3:如图，对一个半径为R的半球，其 体积与上述圆柱和圆锥的体积有何大小 关系？
思考4:根据上述圆柱、圆锥的体积，你 猜想半球的体积是什么？ 2 3 V球 R 3
5
思考5:由上述猜想可知，半径为R的球的 4 3 体积 V R ，这是一个正确的结论，你 3 能提出一些证明思路吗？
O A M B
C
3 6 R , S 54 ,V 27 6 2
13
作业: P28练习:1，2，3.
教学反思：
14
6
知识探究（二）:球的表面积
思考1:半径为r的圆面积公式是什么？它 是怎样得出来的？
a4
S圆 r
2
a3 an
a1
a2
7
思考2:把球面任意分割成n个“小球面 片”，它们的面积之和等于什么？
o
8
思考3:以这些“小球面片”为底，球心 为顶点的“小锥体”近似地看成棱锥， 那么这些小棱锥的底面积和高近似地等 于什么？它们的体积之和近似地等于什 么？
11
例2 已知正方体的八个顶点都在球O 的球面上，且正方体的表面积为a2，求 球O的表面积和体积. C′ o
A
例3 有一种空心钢球，质量为142g （钢的密度为7.9g/cm3），测得其外径 为5cm，求它的内径（精确到0.1cm）.
12
例4 已知A、B、C为球面上三点， AC=BC=6，AB=4，球心O与△ABC的外心M 的距离等于球半径的一半，求这个球的 表面积和体积.
方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法， 体现了极限思想。3、情感与价值观：通过学习，使我们对球的体积和面积公式 的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我 们探索问题和解决问题的信心。 二、教学重点、难点 重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。 难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。 三、学法和教学用具 1、学法：学生通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割 、求近似值的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。 2、教法：探究交流法 四、教学过程
北师大版高中数学必修2第 一章立体几何初步
1 法门高中姚连省制作
一、教学目标 1、知识与技能：⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基 本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习 微积分和近代数学知识。⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。⑶培 养学生的空间思维能力和空间想象能力。2、过程与方法：通过球的体积和面积公 4 式的推导，从而得到一种推导球体积公式Ｖ＝ π R3和面积公式Ｓ＝４π R2的 3
2
问题提出
1.柱体、锥体、台体的体积公式分 别是什么？圆柱、圆锥、圆台的表面积 公式分别是什么？ 2.球是一个旋转体，它也有表面积 和体积，怎样求一个球的表面积和体积 也就成为我们学习的内容.
3
知识探究（一）:球的体积
思考1:从球的结构特征分析，球的大小 由哪个量所确定？ 思考2:底面半径和高都为R的圆柱和圆锥 的体积分别是什么？
o
9
思考4:你能由此R
2
思考5:经过球心的截面圆面积是什么？ 它与球的表面积有什么关系？
球的表面积等于球的大圆面积的4倍
10
理论迁移
例1 如图，圆柱的底面直径与高都等 于球的直径，求证： 2 （1）球的体积等于圆柱体积的 3 ； （2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
高中数学必修2《球的体积和表面积》课件
1.掌握球的体积、表面积公式及其应用. 2会用球的表面积公式、体积公式解决相关问题，培养学生应用
数学的能力. 3.通过寻求如何探究球的内接和外切的方法，解决球的“内接”
与“外切”的几何体问题.
重点难点
教学重点
球的体积和表面积的计算公式的应用
教学难点
解决与球相关的“内接”和“外切”的几何问题
R
R O
R
R O
用任一水平面去截这两个几何体，截面分别是圆面和圆环面
设平行于大圆且与大圆的距离为 l 的平面截半球所得圆
面的半径为r,则r R2 l2 ,则截面面积 S1 πr 2 π(R2 l 2 )
设圆大环半径为R小圆半径为 l，面积 S2 πR2 πl2
所以 S1 S2
R
R
l lR
O
s3
s2
R
s1
O
V球
4
3
R3
1 3
RS1
1 3
RS2
1 3
RS3
...
1 3
R(S1
S2
S3
...)
1 3
RS球表
S球表=4πR2
s3 s2
R s1
O
知识要点
球的体积公式：
V 4 πR3 3
思考：球的体积、表面积的 求解由哪个量来决定的？
球半径R
球的表面积公式：
S 4πR2
课堂练习
1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的__2_倍.
分析：正方体内接于球，则由球和正方 体都是中心对称图形可知，它们中心重 合，则正方体对角线与球的直径相等。
两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都 在另一 个几何体的表面上.
高中人教版必修2数学课件第一章 1.3 1.3.2 球的体积和表面积精选ppt课件
章
空 间 空几 间何 几体 何的 体表 面 积 与 体
1.3.2
球的 体积 和表 面积
课前预习·巧设 计
名师课堂·一点通
创新演练·大冲关
读教材·填要点 小问题·大思维
考点一 考点二
课下检测
ห้องสมุดไป่ตู้1．球的体积公式：设球的半径为R，则球的体积 为V＝ 43πR3 .
2．球的表面积公式：设球的半径为R，则球的表 面积为S＝ 4πR2 .
[答案] D
若半径为R的球内有一内接正方体，则这个球与
正方体的体积之比是多少？
解：设正方体棱长为 a，则有
3a＝2R.即
R＝
3 2 a.
故 V 球＝43π×383a3＝ 23πa3.V 正方体＝a3.
∴ V球 ＝ V正方体
3π 2.
1．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外 接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定 有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．如球内切于 正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球 的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方 体的体对角线长等于球的直径．
根据切线性质知，当球在容器内时，水深为 3r，水面的半 径为 3r，则容器内水的体积为 V＝V 圆锥－V 球＝13π·( 3r)2·3r－ 43πr3＝53πr3，而将球取出后，设容器内水的深度为 h，则水面圆 的半径为 33h，从而容器内水的体积是 V′＝13π·( 33h)2·h＝19πh3， 由 V＝V′，得 h＝3 15r. ∴这时容器中水的深度为3 15r.
2．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球 与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点” “接点”作出截面图．
人教版高中数学必修2第一章第3节《球的体积和表面积》ppt参考课件
三、公式的应用
解：由于外径为50cm的钢球的质量为：
7.9
4 3
50 2
3
517054
(g)
街心花园中钢球的质量为145000g，而 145000<517054，所以钢球是空心的，
设其内径是2xcm，那么球的质量为：
7.9
Biblioteka 4 3
50 2
3
11
11
15
y/ x/
三、公式的应用
解：这个奖杯的体积为
V=V正四棱台+V长方体+ V球
其中 V正四棱台
1 5 (152 1511+112 ) 851.667 3
V长方=6×8×18=864
V球=
4
3
33
113.097
所以这个奖杯的体积为
V ≈ 1828.76（cm3）
三、公式的应用
1.3.2 球的体积和表面积
复习
１．柱体的体积公式 V柱体= s h
２．锥体的体积公式
V锥体=
1 sh 3
３．台体的体积公式
V台体=
1 h(s + 3
ss' + s')
这些公式推导的依据是什么？
(一)球的体积 祖暅原理：两等高的几何体若在所有等高处的水平截
面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．
因此 S圆 = r 2
= (R2 l 2 ) = R2 l 2
r
l
R
o
圆环面积 S圆环 = R2 l 2
S圆 = S圆环
L
O2
最新人教版高中数学必修2第一章《球的体积和表面积》教材梳理
知识·巧学一、球的体积1.公式：V=334R π.2.推导：求一个底面半径和高都等于R 的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得几何体的体积.由于圆柱的底面圆的半径为R 且其高也为R ，则V 圆柱=πR 2R=πR 3，所挖去的圆锥的底面半径和高也都是R ，则V 圆锥=323131R R R ππ=.于是V 剩余=V 柱-V 锥=3333231R R R πππ=-. 再求一个半径为R 的半球的体积.它的底面积与组合体的底面积相等，它的高与组合体的高都等于R ，即这两个几何体有相等的高与底面积.用一个平行于底面的平面去截这两个几何体，可以证明其面积总相等，由祖暅原理，知这两个几何体体积相等.所以整个球的体积公式为V=334R π.早在小学时我们就知道一个实验：取一个半径为R 的半球，再取一个圆桶和一个圆锥，它们的底面半径与高都是R ，将圆锥放入圆桶内，再将半球里装满细沙，把这些细沙倒入圆桶内，这时圆桶恰好装满. 这个实验启示我们，一个半球(半径为R)的体积等于一个圆柱(底面半径和高都等于R)与一个圆锥(底面半径和高都等于R)的体积的差，即V 半球=V 圆柱-V 圆锥=3333231R R R πππ=-,所以知V 球=2×333432R R ππ=. 二、球的表面积公式：S=4πR 2,即球的表面积等于它的大圆面积的4倍.对于球的表面积公式的推导我们后面将要学习，实际用的是微分与积分的思想,即先把球体近似地分割成小的准锥体,当这种分割足够小时可以看作锥体,通过求它们的体积和,求出球的表面积.球的体积和表面积公式中均含有π，如不加特殊说明，我们结果中保留π即可. 问题·探究问题 若球的大圆的面积扩大为原来的3倍，则它的体积扩大为原来的几倍？探究:球的表面积、体积的计算中，由于它们都仅与半径有关，从而只要由条件理顺半径间的关系，即可确定体积或表面积之间的关系.如本题可设变化前后两球半径为r 、R ，则有3122=R r ππ，所以31=R r ,33134343333===R r R r V V ππ后球前球.所以体积扩大为原来的33倍. 典题·热题例1 已知过球面上三点A 、B 、C 的截面到球心的距离等于球半径的一半,且AC=BC=6,AB=4,求球面面积与球的体积.思路解析：可以用球的截面性质,借助题设给定的等量关系,建立关于球半径的方程来解题. 解：如图1-3-20,设球心为O,球半径为R,作OO 1⊥平面ABC 于O 1,由于OA=OB=OC=R,则O 1是△ABC 的外心.设M 是AB 的中点,由于AC=BC,则O 1∈CM.设O 1M=x,易知O 1M ⊥AB,则O 1A=222x +,O 1C=CM-O 1M=x --2226. 又O 1A=O 1C,∴x x --=+2222262.解得x=427. 则O 1A=O 1B=O 1C=429. 在Rt △OO 1A 中,O 1O=2R ,∠OO 1A=90°,OA=R. 由勾股定理,得(2R )2+(429)2=R 2. 解得R=263. 故S 球面=4πR 2=54π,V 球=ππ627343=R . 方法归纳 计算球的表面积和体积的关键是求出球的半径，这里就要充分利用球的截面的性质进行求解.已知条件中的等量关系往往是建立方程的依据,这种解题的方程思想值得重视. 例2 矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B-AC-D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为( ) A.12125π B.9125π C.6125π D.3125π 思路解析：四面体ABCD 的外接球的球心到各个顶点的距离相等，所以球心应为线段AC 的中点，设球的半径为r ，因为AC=5，所以r=25，代入球的体积公式可得V 球=6125)25(342ππ=. 答案：C例 3 有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体各条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比.思路解析：作出截面图,分别求出三个球的半径.由正方体的对称性，球心一定和正方体的中心重合，可以画出球的大圆的平面图来分析.解：设正方体的棱长为a.(1)正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是六个面正方形的中心,经过四个切点及球心作截面如图1-3-21,所以有2r 1=a,r 1=2a .所以S 1=4πr 12=πa 2.(2)球与正方体的各棱的切点是每条棱的中点,过球心作正方体的对角面得截面,如图,2r 2=a 2,r 2=a 22,所以S 2=224r π=2πa 2. (3)正方体的各个顶点在球面上,过球心作正方体的对角面得截面,如图1-3-22所示,图1-3-22所以有2r 3=a 3,r 3=a 23. 所以S 3=234r π=3πa 2.综上可得S 1∶S 2∶S 3=1∶2∶3.深化升华 球的组合体问题,关键是正确地作出截面图,用圆的知识把立体问题转化为平面问题来解决.这一转化，往往是利用球的大圆来实现的.。
球的表面积和体积第一课时课件-数学高一必修2第一章立体几何初步1定稿.4人教A版定稿.ppt
【解析】 由三视图得直观图如图，三棱锥 O－ABC 中 OA，OB，OC 两两垂直，OA＝3，OC＝4，OB＝2， 可看作是长方体从同一顶点出发的三条棱长，长方体的 对角线，即为球的直径，长为 32＋42＋22，
.精品课件.
35
故外接球半径为
229，外接球的表面积 S 球＝4π
29 2
2＝29π.
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
.精品课件.
21
证明:（1）设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，
高为2R.
因为 V球
4 R3 ,V 圆柱 3
R2 2R 2 R3,
所以，V球
2
V 圆柱
3
（2）因为 S球 4 R2 ， NhomakorabeaS = 圆柱侧 2 R 2R 4 R2 ，
所以, S球 S 圆柱侧.
.精品课件.
5
制作一个乒乓球和一个篮球，分别需要多少材质？
.精品课件.
6
把氢气球充满，需要多少氢气呢？
.精品课件.
7
.精品课件.
8
怎样求球的体积?
.精品课件.
9
怎样求球的体积?
m
=rV
V
=
m r
.精品课件.
10
实验：排液法测小球的体积
放入小球前
h
.精品课件.
11
实验：排液法测小球的体积
放入小球后
H h
S
，
1
S
，
2
S 3 ,
,Sn
则球的表面积为
S = S1 S2 S3 Sn
Si
O Vi
.精品课件.
18
半径是 R的球的表面积：S = 4 R 2
高中数学 第一章 立体几何初步 1.7.3 球的表面积和体积课件 北师大版必修2
自主学习·新知突破
前面几节课我们研究了柱体、锥体、台体的表面积与体积，其中圆锥、圆柱、 圆台的表面积和体积都与其形成有关．那么球的表面积与体积与什么有关呢？
[问题 1] 球是怎样形成的？球的大小决定因素是什么？ [问题 2] 半径是 R 的球的体积 V 是多少？ [问题 3] 半径是 R 的球的表面积 S 是多少？
[提示 1] 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫 作球体，决定球的大小的因素是球的半径．
4 [提示 2] 3πR3. [提示 3] 4πR2.
1．了解球的表面积和体积的计算公式． 2．会用球的体积与表面积公式解决实际问题． 3．会解决球的组合体及三视图中球的有关问题．
球的体积公式 如果球的半径为 R，那么它的体积 V＝__43_π_R_3__.
解析： 由已知，得截面圆的半径 r＝1， ∴球的半径 R＝ 2，∴S 球＝4πR2＝8π. 答案： 8π
4．(1)已知球的直径为 2，求它的表面积和体积．
108π (2)已知球的体积为 3 ，求它的表面积．
解析： (1)因为直径为 2，所以半径 R＝1，
所以表面积 S 球＝4πR2＝4π×12＝4π，
44
4
体积 V 球＝3πR3＝3π×13＝3π.
4 108 (2)因为 V 球＝3πR3＝ 3 π， 所以 R3＝27，R＝3，所以 S 球＝4π×32＝36π.
合作探究·课堂互动
球的表面积和体积
32π (1)球的体积是 3 ，则此球的表面积是( )
A．12π
B．16π
16π C. 3
64π D． 3
(2)若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，求圆锥侧面积
高中数学必修2《球的体积与表面积》课件
课前预习
课堂互动
课堂反馈
探究结论 (1)球的截面问题的方法归纳： 设球的截面圆上一点A，球心为O，截面圆心为O1，则△AO1O 是以O1为直角顶点的直角三角形，解答球的截面问题时，常用 该直角三角形求解，并常用过球心和截面圆心的轴截面进行求 解． (2)常见的几何体与球的切、接问题的解决策略： ①处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心 的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心 总在特殊位置，比如中心、对角线的中点等． ②解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径 或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把 空间问题转化为平面问题来计算．
∵πO2B2＝49π，∴O2B＝7 cm.
同理，得O1A＝20 cm.
①
课前预习
课堂互动
课堂反馈
设OO1＝x cm，则OO2＝(x＋9)cm. 在Rt△O1OA中，R2＝x2＋202，① 在Rt△OO2B中，R2＝72＋(x＋9)2，② 联立①②可得x＝15，R＝25. ∴S球＝4πR2＝2 500π(cm2)， 故球的表面积为2 500π cm2. 当截面在球心的两侧时，如图②所示为球的轴截面，由球的截 面性质知，O1A∥O2B，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，则
r＝
课前预习
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课堂反馈
四、作业布置
1、基础知识：课本28页练习 2、拓展提升：28页习题1.3B组1 3、考点链接： 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2 ，求该球的表面积．
解 如图，设球心为O，半径为r，
高中数学立体几何球的体积与表面积计算
高中数学立体几何球的体积与表面积计算在高中数学中，立体几何是一个重要的考点，而球体的体积与表面积计算更是其中的难点。
本文将以具体题目为例，说明球的体积与表面积的计算方法，并给出一些解题技巧和指导性建议。
一、球的体积计算要计算一个球的体积，我们需要知道球的半径。
球的体积公式为V = (4/3)πr³，其中V表示体积，π表示圆周率，r表示半径。
举例来说，假设有一个球，其半径为5cm，我们可以通过代入公式计算出该球的体积：V = (4/3)π(5)³ = (4/3)π125 ≈ 523.6cm³通过这个例子，我们可以看到，计算球的体积只需要知道半径，并代入公式进行计算即可。
在解题过程中，有时候会给出球的直径而不是半径。
此时，我们只需将直径除以2得到半径，再代入公式进行计算即可。
二、球的表面积计算球的表面积计算也是一个常见的考点。
要计算一个球的表面积，同样需要知道球的半径。
球的表面积公式为S = 4πr²，其中S表示表面积，π表示圆周率，r表示半径。
举例来说，假设有一个球，其半径为5cm，我们可以通过代入公式计算出该球的表面积：S = 4π(5)² = 4π25 ≈ 314.16cm²通过这个例子，我们可以看到，计算球的表面积同样只需要知道半径，并代入公式进行计算即可。
在解题过程中，同样会遇到给出球的直径而不是半径的情况。
此时，我们只需将直径除以2得到半径，再代入公式进行计算即可。
三、解题技巧与指导建议1. 注意单位的转换：在计算球的体积与表面积时，需要注意单位的一致性。
如果题目给出的半径或直径单位与公式中的单位不一致，需要进行转换，确保计算结果的准确性。
2. 注意精确度：在计算球的体积与表面积时，需要注意保留合适的精确度。
一般来说，保留到小数点后两位是比较常见的要求，但也要根据题目要求进行调整。
3. 熟练掌握公式：掌握球的体积与表面积的公式是解题的基础。
北师大版高中数学必修2第一章《立体几何初步》球的表面积与体积
3 6 R= , S = 54π ,V = 27 6π 2
13
作业: 作业: 练习: P28练习:1，2，3.
教学反思： 教学反思：
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北师大版高中数学必修2第 北师大版高中数学必修 第 一章立体几何初步
1 法门高中姚连省制作
一、教学目标 知识与技能： 通过对球的体积和面积公式的推导， 1、知识与技能：⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基 本数学思想方法： 分割——求和 求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习 化为准确和” 本数学思想方法：“分割 求和 化为准确和 微积分和近代数学知识。⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。⑶培 微积分和近代数学知识。 能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。 养学生的空间思维能力和空间想象能力。 过程与方法： 养学生的空间思维能力和空间想象能力。2、过程与方法：通过球的体积和面积公 4 式的推导，从而得到一种推导球体积公式Ｖ＝ 式的推导，从而得到一种推导球体积公式Ｖ＝ 和面积公式Ｓ＝ Ｓ＝４ πR3和面积公式Ｓ＝４πR2的 3 方法， 方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法， 分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法， 体现了极限思想。 情感与价值观：通过学习， 体现了极限思想。3、情感与价值观：通过学习，使我们对球的体积和面积公式 的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力， 的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我 们探索问题和解决问题的信心。 们探索问题和解决问题的信心。 教学重点、 二、教学重点、难点 重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。 重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。 难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。 难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。 三、学法和教学用具 学法：学生通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“ 1、学法：学生通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割 求近似值的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。 、求近似值的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。 教法： 2、教法：探究交流法 四、教学过程
人教高中数学必修二第一章1.3球的体积和表面积推导过程(共14张PPT)
第一步：分割
球面被分割成n个网格，表面积分别为： S1，S2，S3 , , Sn
则球的表面积： O
S S1 S2 S3 Sn
设“小锥体”的体积为Vi
Si
O
Vi
则球的体积为： V V1 V2 V3 Vn
第二步：求近似和
Si
hi
下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式．
①球的表面是曲面,不是平面,但如果将表面平均分割成n个小块, 每小块表面可近似看作一个平面,这n小块平面面积之和可近似看 作球的表面积.当n趋近于无穷大时,这n小块平面面积之和接近于 甚至等于球的表面积.
②若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面,球心作为 顶点便得到n个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球的体积.当n越大, 越接近于球的体积,当n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积.
3
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总结：
1. 球的表面积
设球的半径为R, 则球的表面积S＝__4_π_R_2___ .
2. 球的体积
设球的半径为R, 则球的体积V＝___43_π_R__3__.
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学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来．所以我们先 来回忆圆面积计算公式的导出方法．
我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后如上图重新
拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是 R和R的矩形.
那么圆的面积就近似等于 R2.
当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当份数无 穷大时，就得到了圆的面积公式．
1)]
(1 1 )(2 1 )
V半球 R3[1
n n] 6
当n 时, 1 0. n
V半球
2
3