山东省淄博市2014二模数学理含答案

高三复习阶段性诊断考试试题理科数学本试卷，分第I 卷和第Ⅱ卷两部分．共5页，满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．第II 卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第I 卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}{}{},,,,,,,,,U U a b c d e M a d N a c e M C N ===⋃，则为A.{},,,a c d eB.{},,a b dC.{},b dD.{}d2.已知i 是虚数单位，则32i i -+等于 A.1i -+ B.1i -- C.1i + D.1i -3.“a b c d a >>>且是“c bd ”成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.某程序框图如右图所示，若输出的S=57，则判断框内填A.4k >B. k >5C. k >6D. k >75.设,a b 是两个非零向量，则下列命题为真命题的是A.若a b a b a b +=-⊥，则B.若a b a b a b ⊥+=-,则C.若a b a b +=-，则存在实数λ，使得a b λ=D. 若存在实数λ，使得a b λ=，则a b a b +=-6.某几何体正视图与侧视图相同，其正视图与俯视图如图所示，且图中的四边形都是边长为2的正方形，正视图中两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是A.203 B.6 C.4 D.437.下列函数是偶函数，且在[]0,1上单调递增的是A.cos 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B.212cos 2y x =-C.2y x =-D.()sin y xπ=+8.二项式24展开式中，x 的幂指数是整数的项共有A.3项B.4项C.5项D.6项9.3名男生3名女生站成两排照相，要求每排3人且3名男生不在同一排，则不同的站法有A.324种B.360种C.648种D.684种10.如图，已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1212,,4F F F F =，P 是双曲线右支上的一点，2F P y 与轴交于点A ，1APF ∆的内切圆在1PF 上的切点为Q ，若1PQ =，则双曲线的离心率是A.3B.2第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知3sin ,tan 25παπαα⎛⎫∈== ⎪⎝⎭，，则________. 12.已知等比数列{}3481298n a a a a a a a =⋅⋅⋅=若，则________.13.若log 41,a b a b =-+则的最小值为_________.14.已知x ，y 满足2211,0x y x y z x y y ⎧+≤⎪+≤=-⎨⎪≥⎩则的取值范围是________.15.在实数集R 中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”.类似的，我们在平面向量集(){},,,D a a x y x R y R =∈∈上也可以定义一个称“序”的关系，记为“”.定义如下：对于任意两个向量()()11122212,,,,a x y a x y a a ==“”当且仅当“12x x >”或“1212x x y y =>且”.按上述定义的关系“”，给出如下四个命题： ①若()()()12121,0,0,1,00,0,0e e e e ===则； ②若1223,a a a a ，则13a a ； ③若12a a ，则对于任意12,a D a aa a ∈++； ④对于任意向量()12120,00,0,a a a a a a a =⋅>⋅，若则.其中真命题的序号为__________.三、解答题：本大题共6小题，共75分16.（本题满分12分）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若()(),2,1,2cos ,//m b c a n A m n =-=且.（I ）求B ；（II ）设函数()211sin 2cos cos sin cos 222f x x B x B B π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，求函数()04f x π⎡⎤⎢⎥⎣⎦在，上的取值范围. 17.（本题满分12分）某学校组织了一次安全知识竞赛，现随机抽取20名学生的测试成绩，如下表所示（不低于90分的测试成绩称为“优秀成绩”）：（I ）若从这20人中随机选取3人，求至多有1人是“优秀成绩”的概率；（II ）以这20人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校全体学生中（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“优秀成绩”学生的人数，求ξ的分布列及数学期望.18.（本题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD//BC,PB ⊥AC,,AD CD AD ⊥且2CD PA ===，点M 在线段PD 上.（I ）求证：AB ⊥平面PAC ；（II ）若二面角M-AC-D 的大小为45，试确定点M 的位置.19.（本题满分12分）某市为控制大气PM2.5的浓度，环境部门规定：该市每年的大气主要污染物排放总量不能超过55万吨，否则将采取紧急限排措施.已知该市2013年的大气主要污染物排放总量为40万吨，通过技术改造和倡导绿色低碳生活等措施，此后每年的原大气主要污染物排放最比上一年的排放总量减少10%.同时，因为经济发展和人口增加等因素，每年又新增加大气主要污染物排放量()0m m >万吨.（I ）从2014年起，该市每年大气主要污染物排放总量（万吨）依次构成数列{}n a ，求相邻两年主要污染物排放总量的关系式；（II ）证明：数列{}10n a m -是等比数列；（III ）若该市始终不需要采取紧急限排措施，求m 的取值范围.20.（本题满分13分）已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆C 的一个焦点在抛物线2y =的准线上，且椭圆C 过点1,2⎛ ⎝⎭.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）点A 为椭圆C 的右顶点，过点()1,0B 作直线l 与椭圆C 相交于E ，F 两点，直线AE,AF 与直线3x =分别交于不同的两点M,N ，求EM FN ⋅的取值范围.21.（本题满分14分）已知函数()()1 1.x f x x e =--（I ）求函数()f x 的最大值；（II ）若()()0ln 110xx g x e x λ≥=+--≤时，，求λ的取值范围. （III ）证明：111123n n n ee e ++++++……+12n e ln 2n <+（n *N ∈）高三复习阶段性诊断考试数学试题参考答案2014.4一、选择题： BDDAC ADCCB二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11． 34-12． 512 ． 13． 1 14． ⎡⎤⎣⎦ 15．（文科） 7 15．（理科） ①②③ . 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分12分）解：（Ⅰ）解法一：因为//m n ，所以 2cos 2b A c a =- …………………………………2分 由余弦定理得222222b c a b c a bc+-⋅=-，整理得222=+ac a c b - 所以222+1cos =22a cb B ac -= ……………………………4分 又因为0B π<<，所以3B π=. ………………………………………6分 解法二：因为//m n ，所以2cos 2b A c a =- ………………………………2分由正弦定理得 2sin cos 2sin sin B A C A =-所以()2sin cos 2sin sin B A A B A =+-整理得2sin cos sin 0A B A -=因为0A π<<，所以sin 0A ≠，所以1cos 2B =……………………4分 又因为0B π<<，所以3B π=. …………………………………………6分 （Ⅱ）211()sin 2cos cos sin cos()222f x x B x B B π=+++11cos 2sin 242x x +=1sin 224x x =1sin(2)23x π=+ ………………8分 因为 04x π≤≤，则 52+336x πππ≤≤， ………………………10分 所以 1sin 2+23x π≤≤（）1，即()f x 在[0,]4π上取值范围是11[,]42. ……………………12分 17．（文科 本题满分12分）解：(Ⅰ)设该校总人数为n 人， 由题意，得5010100300n =+，所以2000n = ………………3分 故2000(100300150450600)400z =-++++=． …………5分(Ⅱ)设所抽样本中有m 个女生．因为用分层抽样的方法在高一学生中抽取一个容量为5的样本，所以40010005m =，解得2m =． ………………………7分 也就是抽取了2名女生，3名男生，分别记作12123,,,,A A B B B ，则从中任取2个的所有基本事件为(12,A A )，(11,A B )，(12,A B )，(13,A B )，(21,A B )，(22,A B )，(23,A B )，(12,BB )，(13,B B )，(23,B B )，共10个； …………………9分其中至少有1名女生的基本事件有7个： (12,A A )，(11,A B )，(12,A B )，(13,A B )， (21,A B )，(22,A B )，(23,A B ) …………………………11分所以从中任取2人，至少有1名女生的概率为710P =． …………………12分 17．（理科 本题满分12分）解：（Ⅰ）由表知：“优秀成绩”为4人． ………………………………1分设随机选取3人，至多有1人是“优秀成绩”为事件A ，则3211616433202052()57C C C P A C C =+=． ……………………………………………5分 （Ⅱ）由样本估计总体可知抽到“优秀成绩”学生的概率15P =． ………6分 ξ可取0,1,2,3 ………………………………………………………7分 00331464(0)()()55125P C ξ===；1231448(1)()()55125P C ξ===； 2231412(2)()()55125P C ξ===；3303141(3)()()55125P C ξ===． ξ的分布列：……………………………………11分6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………………12分或 1(3,)5B ξ, 13355E ξ=⨯=． ………………………12分18．（文科 本题满分12分）证明：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，,AC AB ⊂平面ABCD所以 PA AC ⊥,PA AB ⊥ …………………………………2分 又因为PB AC ⊥，PA AC ⊥，,PA PB ⊂平面PAB ，PA PB P =,所以AC ⊥平面PAB …………………………………3分 又因为AC ⊥平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以AC ⊥AB …………………………………4分 因为AC ⊥AB ，PA AB ⊥，,PA AC ⊂平面PAC ，PA AC A =,所以 AB ⊥平面PAC ………………………6分 （Ⅱ）方法一取PC 的中点E ,连接QE 、ED . 因为Q 是线段PB 的中点，E是PC 的中点，所以 QE ∥BC ,12QE BC =………8分因为 AD ∥BC ,2BC AD =所以 QE ∥AD ,QE AD =所以 四边形AQED 是平行四边形，………………………………9分所以 AQ ∥ED , ………………………………10分 因为AQ ∥ED ,AQ ⊄平面PCD ,ED ⊂平面PCD所以 AQ ∥平面PCD . …………………………………………12分 方法二取BC 的中点E ,连接AE 、QE . 因为 2BC AD = 所以AD EC = 又 AD ∥EC ，所以 四边形ADCE 是平行四边形，所以AE ∥CD因为AE ⊄平面PCD ,CD ⊂平面PCD ,所以AE ∥平面PCD ……………8分因为Q ，E 分别是线段PB ，BC 的中点，所以QE ∥PC ，所以QE ∥平面PCD ……………………………10分 因为QE AE E =，所以平面AEQ ∥平面PCD ……………………11分 因为AQ ⊂平面AEQ ，所以AQ ∥平面PCD . ………………………12分18．（理科 本题满分12分）解证：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，,AC AB ⊂ 平面ABCD所以 PA AC ⊥,PA AB ⊥ …………………………………2分 又因为PB AC ⊥，PA AC ⊥，,PA PB ⊂平面PAB ，PA PB P =, 所以AC ⊥平面PAB …………………………………3分 又因为AC ⊥平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以AC ⊥AB …………………………………4分 因为AC ⊥AB ，PA AB ⊥，,PA AC ⊂平面PAC ，PA AC A =, 所以 AB ⊥平面PAC ………………………6分 （Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ，又由（Ⅰ）知BA AC ⊥，建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz -.则()0,0,0A ,()0,4,0C ,()2,2,0D -，()0,0,2P ,()2,2,2PD =--,()0,4,0AC =设(),,M x y z ，PM tPD =,则 ()(),,22,2,2x y z t -=--，故点M 坐标为()2,2,22t t t --,()2,2,22AM t t t =-- ………………8分 设平面MAC 的法向量为1(,,)x y z =n ，则110,0.AC AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ………………9分所以()40,22220.y tx ty t z =⎧⎪⎨-++-=⎪⎩令1z =，则11(01)t t-=，，n . ………………………………10分 又平面ACD 的法向量2(0,0,1)=n所以1212cos 452⋅==⋅n n n n , 解得1=2t 故点M 为线段PD 的中点. ………………………………12分19．(本题满分12分)解：（Ⅰ）由已知，1400.9a m =⨯+,10.9n n a a m +=+（1n ≥）.………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得：()1100.990.910n n n a m a m a m +-=-=-，所以数列{}10n a m -是以110369a m m -=-为首项、0.9为公比的等比数列.………6分（Ⅲ）由（Ⅱ）得：()1103690.9n n a m m --=-⋅ ，即()13690.910n n a m m -=-⋅+ . ……………………8分 由()13690.91055n m m --⋅+≤ ，得1155360.9 5.540.9 1.541090.910.910.9n n n n n m ---⨯-⨯≤==+-⨯--恒成立（*n N ∈） …11分解得： 5.5m ≤；又0m > ，综上，可得(]0,5.5m ∈. …………………………12分20．（文科 本题满分13分）解：（Ⅰ）连接1AF ，因为2AF AB ⊥，211F F BF =，所以211F F AF=， 即c a 2=，则)0,21(2a F ，)0,23(a B -. ……………… 3分 ABC Rt ∆的外接圆圆心为)0,21(1a F -，半径a B F r ==221 ………4分 由已知圆心到直线的距离为a ，所以a a =--2321， 解得2=a ，所以1=c ，3=b ，所求椭圆方程为13422=+y x . ………………6分（Ⅱ）因为)0,1(2F ，设直线l 的方程为：)1(-=x k y ，),,(11y x M ),(22y x N . 联立方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y ，消去y 得01248)43(2222=-+-+k x k x k . ……………… 7分 则2221438kk x x +=+，22121436)2(k k x x k y y +-=-+=+， MN 的中点为)433,434(222k k k k +-+. ………………8分 当0=k 时，MN 为长轴，中点为原点，则0=m . ………………9分当0≠k 时，MN 垂直平分线方程).434(1433222kk x k k k y +--=++ 令0=y ，所以43143222+=+=kk k m 因为032>k ，所以2344k +>，可得410<<m ， …………12分 综上可得，实数m 的取值范围是).41,0[ ………………13分 20．（理科 本题满分13分）解：（Ⅰ）抛物线x y 342=的准线方程为：3-=x ……………1分 设椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，则c =依题意得⎪⎩⎪⎨⎧=++=143132222b ab a ，解得24a =，21b =. 所以椭圆C 的方程为2214x y +=. ………………………………3分 （Ⅱ）显然点)0,2(A .（1）当直线l 的斜率不存在时，不妨设点E 在x 轴上方，易得(1,E F，(3,M N ，所以1EM FN ⋅=. ………………………………5分（2）当直线l 的斜率存在时，由题意可设直线l 的方程为(1)y k x =-，1122(,),(,)E x y F x y ,显然0k = 时，不符合题意.由22(1),440y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得2222(41)8440k x k x k +-+-=. …………………6分 则22121222844,4141k k x x x x k k -+==++.……………7分 直线AE ，AF 的方程分别为：1212(2),(2)22y y y x y x x x =-=---， 令3x =，则1212(3,),(3,)22y y M N x x --. 所以1111(3)(3,)2y x EM x x -=--，2222(3)(3,)2y x FN x x -=--. ………9分 所以11221212(3)(3)(3)(3)22y x y x EM FN x x x x --⋅=--+⋅-- 121212(3)(3)(1)(2)(2)y y x x x x =--+-- 2121212(1)(1)(3)(3)(1)(2)(2)x x x x k x x --=--+⋅-- 2121212121212()1[3()9][1]2()4x x x x x x x x k x x x x -++=-++⨯+⋅-++ 222222222222244814484141(39)(1)4484141244141k k k k k k k k k k k k k --+-++=-⋅+⋅+⋅-++-⋅+++ 22221653()(1)414k k k k +-=⋅++22216511164164k k k +==+++. …………………11分 因为20k >，所以21644k +>，所以22165511644k k +<<+，即5(1,)4EM FN ⋅∈. 综上所述，EM FN ⋅的取值范围是5[1,)4. ………………………13分21．（文科 本题满分14分）解：（Ⅰ）()x f x xe '=-， ……………………………………1分 当0x =时，()0f x '=；当0x <时，()0f x '>；当0x >时，()0f x '<；所以函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递增，在区间(0,)+∞上单调递减；………………………3分故max ()(0)0f x f ==． ………………………………………………4分 （Ⅱ）由2()(1)1x g x x e x λ=-+-，得()(2)x g x x e λ'=--．…………6分 当0λ≤时，由（Ⅰ）得2()()()0g x f x x f x λ=+≤≤成立； …………8分 当102λ<≤时，因为(0,)x ∈+∞时()0g x '<，所以0x ≥时， ()(0)0g x g ≤=成立； ……………………………………………………10分 当12λ>时，因为(0,ln 2)x λ∈时()0g x '>，所以()(0)0g x g >=．…13分 综上，知λ的取值范围是1(,]2-∞． ……………………………………14分 21．（理科 本题满分14分）解证：（Ⅰ）()x f x xe '=-， ……………………………………1分 当0x =时，()0f x '=；当0x <时，()0f x '>；当0x >时，()0f x '<； 所以函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递增，在区间(0,)+∞上单调递减；…………………3分故max ()(0)0f x f ==． ……………………………………………………4分 （Ⅱ）解法一：(1)()11x x x e g x e x x λλ--'=-=--， …………………5分 当0λ≤时，因为(0,1)x ∈时()0g x '>，所以0x >时，()(0)0g x g >=；……………………………………………………………………………6分 当01λ<<时，令()(1)x h x x e λ=--，()x h x xe '=-．当(0,1)x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，且(0)(1)(1)()0h h λλ=--<， 故()h x 在(0,1)内存在唯一的零点0x ，使得对于0(0,)x x ∈有()0h x >， 也即()0g x '>．所以，当0(0,)x x ∈时()(0)0g x g >=； ……………8分当1λ≥时，(0,1)x ∈时(1)(1)1()()0111x x x e x e f x g x x x xλ----'=≤=<---，所以，当0x ≥时()(0)0g x g ≤=． …………………………………9分综上，知λ的取值范围是[1,)+∞． …………………………………10分 解法二： (1)()11x x x e g x e x x λλ--'=-=--， ……………………5分令()(1)x h x x e λ=--，()x h x xe '=-．当[0,1)x ∈时，()0h x '≤，所以()h x 单调递减． …………………6分 若在[0,1)内存在使()(1)0x h x x e λ=-->的区间0(0,)x ，则()g x 在0(0,)x 上是增函数，()(0)0g x g >=，与已知不符． ………8分 故[0,1)x ∈，()0h x ≤，此时()g x 在[0,1)上是减函数，()(0)0g x g ≤=成立． 由()(1)0x h x x e λ=--≤，[0,1)x ∈恒成立，而()0h x '≤，则需()h x 的最大值(0)0h ≤，即()0100e λ--≤，1λ≥，所以λ的取值范围是[1,)+∞． ……………………10分（Ⅲ）在（Ⅱ）中令1λ=，得0x >时，1ln(1)x e x <--． ……………11分 将1111,,,,1232x n n n n =+++代入上述不等式，再将得到的n 个不等式相加，得11111232ln 2n n n n e e e e n +++++++<+． ………………………14分。