函数单调性经典例题
函数的单调性
一、典型例题
例1、讨论函数(,0)b y ax a b x
=+
>的单调性.
例2、若()f x 为R 上的奇函数，且(2)0f -=，若()f x 在(,0)-∞上是减函数，则0≤)(x xf 的解集为_______________；
变式、已知定义域为()(),00,-∞+∞的偶函数()g x 在(),0-∞内为单调递减函数，且()()()g x y g x g y ⋅=+对任意的,x y 都成立，()21g =。
①求()4g 的值；
②求满足条件2)1()(++>x g x g 的x 的取值范围。
例3、已知(31)4(1)()log (1)a a x a x f x x
x -+<⎧=⎨≥⎩ 是R 上的减函数，试求a 的取值范围。
例4、已知()f x 是定义在[-1，1]上的奇函数，且(1)1f =。
若,[1,1],0a b a b ∈-+≠有()()0f a f b a b
+>+ （1）判断()f x 在[-1，1]上的增减性【增函数】
（2）解不等式11()(
)21f x f x +<- （3）若2()21f x m am ≤-+对所有[1,1],[1,1]x a ∈-∈-恒成立，求m 的取值范围。
例5、定义在R 上的函数)(,2),4()()(x f x x f x f x f 时当满足>+-=-单调递增，如果 )()(,0)2)(2(,4212121x f x f x x x x +<--<+则且的值（ ）
A ．恒小于0
B ．恒大于0
C ．可能为0
D ．可正可负
例6、已知函数b ax c x x f ++=2)(为奇函数，)3()1(f f <，且不等式2
3)(0≤≤x f 的解集是[2,1][2,4]--
（1）求,,a b c 。
（2）是否存在实数m 使不等式2
3)sin 2(2+≤+-m f θ对一切R ∈θ成立？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由。
二、课后练习
1、 讨论下列函数的单调性
（1）()f x =（2）1
12x y -=
2、求下列函数的单调区间：
（1）、2320.7x x y -+=。
（2）、函数2log (23)a y x x =+-当x=2时，y ＞0，则此函数的单调减区间是______。
3、设0a >，()x x
e a
f x a e =+是R 上的偶函数． （1）求a 的值；
（2）证明()f x 在(0,)+∞上为增函数
4、定义域为R 的函数()f x 满足条件:
①12121212[()()]()0,(,,)f x f x x x x x R x x +-->∈≠;
②()()0f x f x +-= ()x R ∈; ③(3)0f -=.则不等式()0x f x ⋅<的解集是( )
A.{}|303x x x -<<>或
B.{}
|303x x x <-≤<或
C.{}|33x x x <->或
D.{}|3003x x x -<<<<或
5、已知函数2()f x x x =-，若2(1)(2)f m f --<，则实数m 的取值范围是______．
6、如果函数2
()f x x bx c =++，对于任意实数t 都有(2)(2)f t f t +=-，试比较(1)f 、(2)f 、(4)f 的大小。
7、（1）log (2)a y ax =-在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是______。
（2）2
()45f x x mx =-+在[2,]-+∞上是增函数，是(1)f 的取值范围是_______。
（3）已知函数2()f x x x =-，若2
(1)(2)f m f --<，则实数m 的取值范围是______。
8、设函数()f x 对任意,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+且0x >时，()0,(1)2f x f <-=。
（1）求证：()f x 是奇函数；
（2）当33x -≤≤时，()f x 是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由；
（3）解关于x 的不等式：
22211()()()()(2)22
f bx f x f b x f b b ->-≠
9、已知)(x f 对一切实数y x ,都有2-)1(),()()(=+=+f y f x f y x f ，当x ＞0时，()0f x <
（1）证明)(x f 为奇函数
（2）证明)(x f 为R 上的减函数
（3）解不等式)21()1(2
x x f x f ----＜4
10、设()f x 的定义域()0,+∞对于任意正实数,m n 恒有()()()f m n f m f n ⋅=+，且当
1x >时，1()0,()12
f x f >=- （1）求)2(f 的值；
（2）求证：()f x 在()0,+∞上是增函数；
（3）解关于x 的不等式()2(
),14
p f x f p x ≥+>--。
11、已知定义域为R 的函数a
b x f x x ++-=+122)(是奇函数， （1）求实数b a ,的值；
（2）若对任意的R t ∈，不等式0)2()2(2
2<-+-k t f t t f 恒成立，求实数k 的取值范围。
利用函数的单调性解题
利用函数的单调性解题函数的单调性是函数分析中的一个重要概念，通过研究函数在特定区间上的单调性，可以帮助我们解决一些问题。
本文将通过具体例子来说明如何利用函数的单调性解题。
假设有一个函数f(x)，我们需要找到一个区间[a,b]，使得在该区间上，函数f(x)单调递增或单调递减。
下面将以具体的例子来说明如何利用函数的单调性解题。
例题一：设函数f(x)=x^2+2x-1，请问在哪个区间上f(x)是递增的？解析：要求f(x)是递增的，即需要满足f(x2)>f(x1)，其中x2>x1。
我们可以通过求解f'(x)=0的根来确定函数f(x)的驻点（即函数的不单调点）。
f'(x)=0的解为x=-1，即f(x)在x=-1处取得驻点。
我们可以将整个数轴分成三段：x<-1，x=-1，x>-1。
我们可以选取x=-2作为区间的起点，x=0作为区间的终点。
在这个区间内，可以通过比较f(x2)和f(x1)的大小来确定f(x)的单调性。
计算f(-2)和f(0)的值如下：f(-2)=(-2)^2+2(-2)-1=3f(0)=(0)^2+2(0)-1=-1因此，在区间[-2,0]上，函数f(x)是递增的。
例题二：设函数f(x)=x^3-3x，请问在哪个区间上f(x)是递减的？解析：要求f(x)是递减的，即需要满足f(x2)<f(x1)，其中x2>x1。
我们可以通过求解f'(x)=0的根来确定函数f(x)的驻点。
f'(x)=0的解为x=1，即f(x)在x=1处取得驻点。
我们可以将整个数轴分成三段：x<1，x=1，x>1。
我们可以选取x=0作为区间的起点，x=2作为区间的终点。
在这个区间内，可以通过比较f(x2)和f(x1)的大小来确定f(x)的单调性。
计算f(0)和f(2)的值如下：f(0)=(0)^3-3(0)=0f(2)=(2)^3-3(2)=2因此，在区间[0,2]上，函数f(x)是递减的。
高三函数单调性练习题
高三函数单调性练习题函数的单调性是高中数学中非常重要的一个概念，通过研究函数在定义域内的增减性质，可以帮助我们更好地理解函数的行为。
下面，我们将通过一些练习题来加深对函数单调性的理解。
练习题一：已知函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，讨论它的单调性。
解析：首先，我们需要求出函数的导函数 f'(x)。
对 f(x) 进行求导，得到f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。
接下来，我们需要找出 f'(x) 的根，通过求一元二次方程的根，可以得到 x = 1 或 x = 2。
接下来，我们来研究函数 f(x) 在区间 (-∞, 1)， (1, 2)，(2, +∞) 上的单调性。
当 x < 1 时，可取 x = 0，代入 f'(x) = 3x^2 - 6x + 2，得到 f'(0) = 2。
因此，在区间 (-∞, 1) 上，f(x) 是单调递增的。
当 1 < x < 2 时，可取 x = 1.5，代入 f'(x) = 3x^2 - 6x + 2，得到 f'(1.5) = -2.75。
因此，在区间 (1, 2) 上，f(x) 是单调递减的。
当 x > 2 时，可取 x = 3，代入 f'(x) = 3x^2 - 6x + 2，得到 f'(3) = 17。
因此，在区间(2, +∞) 上，f(x) 是单调递增的。
综上所述，函数 f(x) 在区间 (-∞, 1) 上是单调递增的；在区间 (1, 2) 上是单调递减的；在区间(2, +∞) 上是单调递增的。
练习题二：已知函数 g(x) = e^x + ln(x + 1)，讨论它的单调性。
解析：首先，我们需要求出函数的导函数 g'(x)。
对 g(x) 进行求导，得到g'(x) = e^x + 1/(x + 1)。
接下来，我们需要找出 g'(x) 的根，通过求 g'(x) = 0 的解，可以得到x ≈ -0.41。
函数的单调性例题
1.3.1函数的单调性题型一、利用函数的图象确定函数的单调区间 例1.作出下列函数的图象,并写出函数的单调区间 （1）12-=x y ; 2322++-=x x y ; （3）2)2(1-++=x x y ; 4969622++++-=x x x x y相应作业1：课本P32第3题. 题型二、用定义法证明函数的单调性用定义法证明函数的单调性步骤：取值 作差变形 定号 下结论①取值,即_____________________________；②作差变形,作差____________,变形手段有__________、_____、_____、_______等； ③定号,即____________________________________________________________;④下结论,即______________________________________________________;例2.用定义法证明下列函数的单调性（1）证明：1)(3+-=x x f 在()+∞∞-,上是减函数.▲定义法证明单调性的等价形式： 设[]b a x x ,21∈、,21x x ≠,那么[])(0)()(0)()()(21212121x f x x x f x f x f x f x x ⇔>--⇔>--在[]b a ,上是增函数；[])(0)()(0)()()(21212121x f x x x f x f x f x f x x ⇔<--⇔<--在[]b a ,上是减函数.(2)证明：x x x f -+=1)(2在其定义域内是减函数；（3）证明：21)(xx f =在()0,∞-上是增函数； 法一： 作差 法二：作商（4）已知函数)(x f y =在()+∞,0上为增函数,且)0(0)(><x x f ,试判断)(1)(x f x F =在()+∞,0上的单调性,并给出证明过程；▲方法技巧归纳——判断函数单调性的方法：1、直接法：熟悉的函数,如一次函数、二次函数、反比例函数等；如,练习册P272P31上5、12、图象法；3、定义法；4、运算性质法：①当0>a 时,函数)(x af 与)(x f 有相同的单调性； 当0<a 时,函数)(x af 与)(x f 有相反的单调性； ②当函数)(x f 恒不等于零时,)(x f 与)(1x f 单调性相反；③若0)(≥x f ,则)(x f 与)(x f 具有相同的单调性；④若)(x f 、)(x g 的单调性相同,则)()(x g x f +的单调性与之不变； ▲即：增+增=增 减+减=减⑤若)(x f 、)(x g 的单调性相反,则)()(x g x f -的单调性与)(x f 同.▲即：增-减=增 减-增=增注意：1可熟记一些基本的函数的单调性,一些较复杂的函数可化为基本函数的组合形式,再利用上述结论判断； 2)()(x g x f 与)()(x g x f 的单调性不能确定.相应作业2：1讨论函数1)(2-=x axx f 在()1,1-上的单调性0≠a ； ▲2务必记住“对勾”函数)0()(>+=k xkx x f 的单调区间见练习册P29探究之窗.探究1知识拓展——复合函数单调性▲难点一、复习回顾：复合函数的定义：如果函数)(t f y =的定义域为A,函数)(x g t =的定义域为D,值域为C,则当A C ⊆时,称函数))((x g f y =为f 与g 在D 上的复合函数,其中t 叫做中间变量,)(x g t =叫内层函数,)(x f y =叫外层函数;二、引理1 已知函数y=fgx.若t=gx 在区间a,b 上是增函数,其值域为c,d,又函数y=ft 在区间c,d 上是增函数,那么,原复合函数y=fgx 在区间a,b 上是增函数.引理2 已知函数y=fgx.若t=gx 在区间a,b 上是减函数,其值域为c,d,又函数y=ft 在区间c,d 上是减函数,那么,复合函数y=fgx 在区间a,b 上是增函数. 引理1的证明：▲重要结论1：复合法则规律可简记为“_____________________”四个字▲重要结论2：若一个函数是由多个简单函数复合而成的,则此复合函数的单调性由简单函数中减函数的个数决定:①若减函数有偶数个,则复合函数为增函数； ②若减函数有奇数个,则复合函数为减函数. 规律可简记为“_____________________”四个字题型三、求复合函数的单调区间 例3. 求下列函数的单调区间. （1）267x x y --=23212--=x x y ▲小结：1、注意：1求单调区间必先求定义域； （2）单调区间必须是定义域的子集；（3）写多个单调区间时,区间之间不能用“ ”并起来,应用“,”隔开. 2、判断复合函数单调性步骤： ①求函数的定义域；②将复合函数分解成基本初等函数：)(t f y =与)(x g t =； ③确定两个函数的单调性；④由复合法则“同増异减”得出复合函数单调性. 相应作业3：求下列函数的单调区间.（1）228x x y --= 23212--=x x y3xx y 412-=单调性的应用题型四、比较函数值的大小例4.已知函数)(x f y =在[)+∞,0上是减函数,试比较)43(f 与)1(2+-a a f 的大小.题型五、已知单调性,求参数范围 例5.已知函数2)(2)(2+--=x a x x x f （1）若)(x f 的减区间是(]4,∞-,求实数a 的值； （2）若)(x f 在(]4,∞-上单调递减,求实数a 的取值范围.例6.若函数⎩⎨⎧≤-+->-+-=0,)2(0,1)12()(2x x b x x b x b x f 在R 上为增函数,求实数b 的取值范围.题型六、利用单调性,求解抽象不等式例7.已知函数)(x f y =是()1,1-上的减函数,且)1()1(2->-a f a f ,求实数a 的取值范围.例8.已知)(x f 是定义在()+∞,0上的增函数,且)()()(y f x f yx f -=,且1)2(=f ,解不等式2)31()(≤--x f x f .相应作业4：已知)(x f 是定义在()+∞,0上的增函数,且)()()(y f x f xy f +=,且1)2(=f ,解不等式3)2()(≤-+x f x f .题型七、抽象函数单调性的判断——定义法 解决此类问题有两种方法：①“凑”,凑定义或凑已知条件,从而使用定义或已知条件得出结论； ②赋值法,给变量赋值要根据条件与结论的关系,有时可能要进行多次尝试.例9.已知函数)(x f 对任意实数x 、y 都有)()()(y f x f y x f +=+,且当0>x 时0)(>x f ,求证：)(x f 在R 上单调递增.例10.已知定义在()+∞,0上的函数)(x f 对任意x 、y ∈()+∞,0,恒有)()()(y f x f xy f +=,且当10<<x 时0)(>x f ,判断)(x f 在()+∞,0上单调性.相应作业5：定义在()+∞,0上的函数)(x f 对任意x 、y ∈()+∞,0,满足)()()(n f m f mn f +=,且当1>x 时0)(>x f .（1）求)1(f 的值； （2）求证：)()()(n f m f nmf -=； 3求证：)(x f 在()+∞,0上是增函数；4若1)2(=f ,解不等式2)2()2(>-+x f x f ；函数的最大小值1、函数的最大小值定义2、利用单调性求最值常用结论（1）若函数)(x f y =在闭区间[]b a ,上单调递增,则)(min a f y =,)(max b f y =； （2）若函数)(x f y =在闭区间[]b a ,上单调递减,则)(min b f y =,)(max a f y =； （3）若函数)(x f y =在开区间()b a ,上单调递增,则函数无最值,但值域为())(),(b f a f ； （4）若函数)(x f y =在闭区间[]b a ,上单调递增,在闭区间[]c b ,上单调递减,那么函数)(x f y =,[]c a x ,∈在b x =处有最大值,即)(max b f y =；（5）若函数)(x f y =在闭区间[]b a ,上单调递减,在闭区间[]c b ,上单调递增,那么函数)(x f y =,[]c a x ,∈在b x =处有最小值,即)(min b f y =.题型八、单调性法求函数最值值域 例11、1函数121)(-=x x f 在[]5,1上的最大值为________,最小值为________;（2）函数112++=x x y 在[]4,2上的最大值为________,最小值为________;（3）函数x x y 212--=的值域为________________;（4）函数1-+=x x y 的值域为________________;（5）函数212+--=x x y 的值域为________________;6函数x xy +=1的值域为________________;二次函数的区间最值的求法二次函数在给定区间[]n m ,上求最值,常见类型： （1）定轴定区间：对称轴与区间[]n m ,均是确定的；（2）动轴定区间： （3）定轴动区间： （4）动轴动区间： 1、定轴定区间可数形结合,较易解决,注意对称轴与区间位置关系; 例12.当22≤≤-x 时,求函数322--=x x y 的最值.相应作业6：求函数542++-=x x y 在[]5,1上的最值.2、动轴定区间例13.已知函数22)(2++=ax x x f ,求)(x f 在[]5,5-上的最值.▲动轴定区间问题一般解法：对对称轴在区间左侧、右侧、内部三种情况进行讨论,从而确定最值在区间端点处还是在顶点处取得.相应作业7：求函数12)(2--=ax x x f 在[]2,0上的最值.3、定轴动区间例14.已知函数22)(2+-=x x x f ,当[]1,+∈t t x 时,求)(x f 的最小值)(t g .相应作业8：已知函数34)(2-+-=x x x f ,当[]2,+∈m m x 时,求)(x f 的最大值)(m g . 4、动轴动区间解决方法：可将对称轴和区间之一看做不动,进行讨论.例15.求函数ax x y +-=2在[]a x ,1-∈上的最大值.相应作业9：求函数222--=ax x y 在[]1,a x -∈上的最值.。
完整版)函数的单调性练习题及答案
完整版)函数的单调性练习题及答案1.函数的单调性练题一选择题：1.函数f(x)=x^2+2x-3的递增区间为(D。
[-1,+∞))2.如果函数f(x)=x^2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数，则实数a的取值范围是(A。
[－3，＋∞))3.函数y=1-(1/(x-1))在(-1,+∞)内是单调递增。
4.如果函数f(x)=kx+b在R上单调递减，则(C。
b>0)5.在区间(-∞,0)上为增函数的是(B。
y=x^2)6.函数f(x)=2x-x^2的最大值是(B。
1)7.函数y=x+x^-2的最小值是(A。
0)2.填空题：8.函数f(x)=2x^2-mx+3，在(-∞,1)上是减函数，在[1,+∞)上是增函数，则m=4.9.已知f(x)是定义在(-2,2)上的减函数，并且f(m-1)-f(1-2m)>0，则实数m的取值范围为(-∞,-1/2)U(1/2,+∞)。
3.解答题：10.利用单调函数的定义证明：函数f(x)=x+2/x在区间(0,2)上是减函数。
证明：对于任意的x1,x2∈(0,2)，且x1<x2，有：f(x2)-f(x1)=(x2+2/x2)-(x1+2/x1)x2-x1+2/x2-2/x1x2-x1+2(x1-x2)/(x1x2)x2-x1)(1-2/(x1x2))因为x1,x2∈(0,2)，所以x1x2>0，而1-2/(x1x2)<1，所以f(x2)-f(x1)<0，即f(x)在区间(0,2)上是减函数。
11.已知定义在区间(1,+∞)上的函数f(x)满足f(x)=f(x/2)-f(x/4)，且当x>1时f(x)<0.1）求f(1)的值；因为f(x)=f(x/2)-f(x/4)，所以f(2)=f(1)-f(1/2)，又因为f(2)=f(1)-f(1/2)=f(1/2)-f(1/4)，所以f(1/2)=f(1)-f(1/4)，继续类似地推导，得到：f(1)=f(1)-f(1/2)+f(1/2)-f(1/4)+f(1/4)-f(1/8)+。
利用导数探究函数的单调性(共10种题型)
利用导数探究函数的单调性一.求单调区间例1:已知函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =+->≠，求函数)(x f 的单调区间 解：()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++.则令()()g x f x '=因为当0,1a a >≠ 所以2()2ln 0x g x a a '=+> 所以()f x '在R 上是增函数, 又(0)0f '=,所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+,故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+ 减区间为：(0)-∞，变式：已知()x f x e ax =-，求()f x 的单调区间解：'()x f x e a =- 当0a ≤时，'()0f x >，()f x 单调递增当0a >时，由'()0x f x e a =->得：ln x a >，()f x 在(ln ,)a +∞单调递增由'()0x f x e a =-<得：ln x a <，()f x 在(ln )a -∞，单调递增 综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为：-∞+∞（，），无单调递减区间当0a >时，()f x 的单调递增区间为：(ln ,)a +∞，递减区间为：(ln )a -∞，二.函数单调性的判定与逆用例2.已知函数32()25f x x ax x =+-+在1132（，）上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，求正整数a 的取值集合 解：2()322f x x ax '=+-因为函数32()25f x x ax x =+-+在1132（，）上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数 所以2()322=0f x x ax '=+-在1132（，）上有解 所以''11()()032f f <又*a N ∈ 解得：5542a << 所以正整数a 的取值集合{2}三.利用单调性求字母取值范围 例3. 已知函数()ln xf x ax x=-，若函数()y f x =在1+?（，）上是减函数，求实数a 的最小值. 解：因为()ln xf x ax x=-在1+?（，）上是减函数 所以'2ln 1()0(ln )x f x a x -=-?在1+?（，）上恒成立 即2ln 1(ln )x a x -³在1+?（，）上恒成立令ln ,(1)t x x =>，则0t >21()(0)t h t t t -=> 则max ()a h t ³因为222111111()=()()24t h t t t t t -=-+=--+ 所以max 1()=(2)4h t h =所以14a ³变式：若函数3211()(1)132f x x ax a x =-+-+在区间1,4（）上为减函数，在区间(6,)+?上为增函数，试求实数a 的取值范围. 解：2'()=1f x x ax a -+-因为函数()y f x =在区间1,4（）上为减函数，在区间(6,)+?上为增函数 所以''()0(1,4)()0,(6,)f x x f x x ìï??ïíï???ïî，恒成立即2210(1,4)10,(6,)x ax a x x ax a x ì-+-??ïïíï-+-???ïî， 所以2211,(1,4)111,(6,)1x a x x x x a x x x ì-ïï?+"?ïï-íï-ï?+"??ïï-ïî所以4161a a ì?ïïíï?ïî所以57a ＃四.比较大小例4. 设a 为实数，当ln 210a x >->且时，比较x e 与221x ax -+的大小关系. 解：令2()21(0)x f x e x ax x =-+-> 则'()=22x f x e x a -+ 令'()()g x f x = 则'()e 2x g x =- 令'()0g x =得：ln 2x =当ln 2x >时，'()0g x >；当ln 2x <时，'()0g x <所以ln2min ()()=(ln2)2ln2222ln22g x g x g e a a ==-+=-+极小值 因为ln 21a >- 所以'()()0g x f x =>所以()f x 在0+?（，）上单调递增所以()(0)0f x f >= 即2210x e x ax -+-> 所以221x e x ax >-+变式：对于R 上的可导函数()y f x =，若满足'(3)()0x f x ->，比较(1)(11)f f +与2(3)f 的大小关系.解：因为'(3)()0x f x ->所以当3x >时，'()0f x >，()f x 单调递增，故(11)(3)f f >当3x <时，'()0f x <，()f x 单调递减，故(1)(3)f f > 所以(1)(11)2(3)f f f +> 五.证明不等式例5.已知函数|ln |)(x x f =，()(1)g x k x =- (R)k ∈.证明：当1k <时，存在01x >，使得对任意的0(1,)x x ∈，恒有()()f x g x >. 证明：令()|ln |(1)=ln (1),(1,)G x x k x x k x x =----∈+∞ 则有'11(),(1,)kx G x k x x x-=-=∈+∞ 当01k k ≤≥或时，'()0G x >，故 ()G x 在1+∞（，）上单调递增，()G(1)0G x >=.故任意实数 (1,)x ∈+∞ 均满足题意.当 01k << 时，令'()=0G x ，得11x k=>. 当1(1,)x k ∈时，'()0G x >，故 ()G x 在1(1,)k上单调递增当1()x k∈+∞，时，'()0G x <，故 ()G x 在1()k +∞，上单调递减 取01x k=，对任意0(1,)x x ∈，有'()0G x >，故()G x 在0(1,)x 上单调递增所以()G(1)0G x >= 即()()f x g x >综上所述：当1k <时，存在01x >，使得对任意的0(1,)x x ∈，恒有()()f x g x >.变式：已知关于x 的方程2(1)x x e ax a --=有两个不同的实数根12x x 、.求证：120x x <+ 证明：因为2(1)x x e ax a --=所以2(1)1xx e a x -=+令2(1)()1xx e f x x -=+则222222(23)[(1)2]()11x xx x x e x x e f x x x --+--+'==++（）（）当0x >时()0f x '<，()f x 单调递减 当0x <时()0f x '>，()f x 单调递增因为关于x 的方程2(1)x x e ax a --=有两个不同的实数根12x x 、所以不妨设12(,0),(0,)x x ∈-∞∈+∞ 要证：120x x <+ 只需证：21x x <-因为210x x -∈+∞（，），且函数()f x 在0+∞（，）上单调递减 所以只需证：21()()f x f x >-，又因为21()=()f x f x 所以只需证：11()()f x f x >-即证：11112211(1)(1)11x x x e x e x x --+>++ 即证：(1)(1)0x x x e x e ---+>对0x ∈-∞（，）恒成立 令g()(1)(1)x x x x e x e -=--+，0x ∈-∞（，）则g ()()x x x x e e -'=-因为0x ∈-∞（，）所以0x x e e -->所以g ()()0x x x x e e -'=-<恒成立所以g()(1)(1)x x x x e x e -=--+在0-∞（，）上单调递减所以g()(0)0x g >= 综上所述：120x x <+ 六.求极值例6.已知函数2()()x f x x ax a e =++，是否存在实数a ，使得函数()f x 的极大值为3？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由.解：'22()(2)()[(2)2]=()(2)x x x x f x x a e x ax a e x a x a e x a x e =++++=+++++ 令'()=0f x 得：2x a x =-=-或当2a =时，'()0f x ≥恒成立，无极值，舍去当2a <时，2a ->-由表可知：2()=(2)(42)3f x f a a e --=-+=极大值 解得：2432a e =-< 当2a >时，2a -<-由表可知：22()=()()3a f x f a a a a e --=-+=极大值，即3a ae -= 所以：=3a a e 令()3(2)a g a e a a =-> 则'2()31310a g a e e =->->所以()y g a =在2+∞（，）上单调递增又2(2)320g e =->所以函数()y g a =在2+∞（，）上无零点即方程=3a a e 无解综上所述：存在实数a ，使得函数()f x 的极大值为3，此时243a e =- 七.求最值例7. 已知函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =+->≠，若存在]1,1[,21-∈x x ,使得12()()e 1f x f x -≥-（其中e 是自然对数的底数),求实数a 的取值范围. 解：因为存在12,[1,1]x x ∈-,使得12()()e 1f x f x --≥成立, 而当[1,1]x ∈-时,12max min ()()()()f x f x f x f x --≤, 所以只要max min ()()e 1f x f x --≥即可又因为x ,()f x ',()f x 的变化情况如下表所示:所以()f x 在[1,0]-上是减函数,在[0,1]上是增函数,所以当[1,1]x ∈-时,()f x 的最小值()()m i n 01f x f ==,()f x 的最大值()max f x 为()1f -和()1f 中的最大值.因为11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a aa--=--=--+++,令1()2ln (0)g a a a a a =-->,因为22121()1(1)0g a a a a '=-=->+,所以1()2ln g a a a a=--在()0,a ∈+∞上是增函数.而(1)0g =,故当1a >时,()0g a >,即(1)(1)f f >-; 当01a <<时,()0g a <,即(1)(1)f f <-所以,当1a >时,(1)(0)e 1f f --≥,即ln e 1a a --≥,函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数,解得e a ≥;当01a <<时,(1)(0)e 1f f ---≥,即1ln e 1a a+-≥,函数1ln y a a=+在(0,1)a ∈上是减函数,解得10ea <≤.综上可知,所求a 的取值范围为1(0,][e,)ea ∈∞+ 我变式：已知函数()ln()(0)x a f x e x a a -=-+>在区间0+∞（，）上的最小值为1，求实数a 的值.解：1()=x a f x e x a-'-+ 令()()g x f x '=则21()=0(x a g x e x a -'+>+）所以()y g x =在区间0+∞（，）单调递增所以存在唯一的00x ∈+∞（，），使得0001()0x a g x e x a-=-=+ 即001=x a e x a-+ 所以当0(0,)x x ∈时，()()0g x f x '=<，()y f x =单调递减当0()x x ∈+∞，时，()()0g x f x '=>，()y f x =单调递增 所以0min 00()()ln()x a f x f x e x a -==-+ 由001=x a e x a-+得：00=ln()x a x a --+ 所以0min 00001()()ln()=x a f x f x e x a x a x a-==-++-+001=()2222x a a x aa a++-+≥=- 当且仅当001=x a x a++即0=1x a +，min 0()()22f x f x a ==- 由22=1a -得12a =，此时01=2x ，满足条件 所以12a =八.解不等式例8. 函数2)0())((=∈f R x x f ，，对任意1)()('>+∈x f x f R x ，，解不等式：1)(+>x x e x f e 解：令()()x x g x e f x e =-则()()()(()()1)x x x x g x e f x e f x e e f x f x '''=+-=+-因为对任意1)()('>+∈x f x f R x ， 所以()0g x '>，所以()y g x =为R 上的单调递增函数 又(0)(0)11g f =-=所以当1)(+>x x e x f e 即()1x x e f x e -> 所以()(0)g x g > 所以0x >即不等式：1)(+>x x e x f e 的解集为0+∞（，）变式：已知定义在R 上的可导函数()y f x =满足'()1f x <，若(12)()13f m f m m -->-，求m 的取值范围.解：令()()g x f x x =- 则()()1g x f x ''=- 因为'()1f x <所以()()10g x f x ''=-<所以()()g x f x x =-为R 上递减函数 由(12)()13f m f m m -->- 得：(12)()f m m f m m ---（1-2)> 即(12)()g m g m -> 所以12m m ->即13m <九.函数零点个数（方程根的个数）例9. 已知2()2ln()f x x a x x =+--在0x =处取得极值.若关于x 的方程()0f x b +=在区间[1,1]-上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围.解： '2()21f x x x a=--+ 因为2()2ln()f x x a x x =+--在0x =处取得极值 所以'2(0)1=0f a=-， 即2a =，检验知2a =符合题意.令2()()2ln(2)[1,1]g x f x b x x x b x =+=+--+∈-，'52()22()21(11)x x g x x x +=--=--≤≤ 所以()=(0)2ln 2g x g b =+极大值因为方程()0f x b +=在区间[1,1]-上恰有两个不同的实数根所以(1)0(0)0(1)0g g g -≤⎧⎪>⎨⎪≤⎩，即02ln 202ln 320b b b ≤⎧⎪+>⎨⎪-+≤⎩解得：2ln 222ln 3b -<≤-所以实数b 的取值范围是：2ln 222ln3]--（， 变式：已知函数()y f x =是R 上的可导函数，当0x ¹时，有'()()0f x f x x+>，判断函数13()()F x xf x x=+的零点个数解：当0x ¹时，有'()()0f x f x x+> 即'()()0xf x f x x+> 令()()g x xf x =，则'()()()g x xf x f x ¢=+所以当0x >时，'()()()0g x xf x f x ¢=+>，函数()y g x =在0+∞（，）单调递增 且()g(0)=0g x >所以当0x >时，13()()0F x xf x x=+>恒成立，函数()y F x =无零点 当0x <时，'()()()0g x xf x f x ¢=+<，函数()y g x =在0∞（-，）单调递减 且()g(0)=0g x >恒成立 所以13()()F x xf x x=+在0∞（-，）上为单调递减函数 且当0x →时，()0xf x ®，所以13()0F x x? 当x →-∞时，10x®，所以()()0F x xf x ? 所以13()()F x xf x x=+在0∞（-，）上有唯一零点 综上所述：13()()F x xf x x =+在0∞∞（-，）（0,+）上有唯一零点 十.探究函数图像例10.设函数在定义域内可导，()y f x =的图像如图所示，则导函数()y f x '=的图像可能为下列图像的 .解：由()y f x =的图像可判断出：()f x 在(,0)-∞递减，在(0)+∞，上先增后减再增 所以在(,0)-∞上()0f x '<，在(0)+∞，上先有()0f x '>，后有()0f x '<，再有()0f x '>. 所以图（4）符合.变式：已知函数ln(2)()x f x x =，若关于x 的不等式2()()0f x af x +>只有两个整数解，求实数a 的取值范围. 解：21ln(2)()=x f x x -'，令()=0f x '得2e x = 所以当02e x <<时，()0,()f x f x '>单调递增 当2e x >时，()0,()f x f x '<单调递减 由当12x <时，()0f x <，当12x >时，()0f x >（1）（2）（3）（4）作出()f x 的大致函数图像如图所示： 因为2()()0f x af x +>（1）若0a =，即2()0f x >，显然不等式有无穷多整数解，不符合题意；（2）若0a >，则()()0f x a f x <->或，由图像可知，()0f x >，有无穷多整数解（舍）（3）若0a <则()0()f x f x a <>-或，由图像可知，()0f x <无整数解， 所以()f x a >-有两个整数解因为(1)(2)ln 2f f ==，且()f x 在(,)2e +∞上单调递减 所以()f x a >-的两个整数解为：1,2x x == 又ln 6(3)3f =所以ln 6ln 23a ≤-< 所以ln 6ln 23a -<≤-。
《函数的单调性和奇偶性》经典例题
类型二、求函数的单调区间2. 判断下列函数的单调区间；(1)y=x2-3|x|+2；(2)解：(1)由图象对称性，画出草图∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增.(2)∴图象为∴f(x)在上递增.举一反三：【变式1】求下列函数的单调区间：(1)y=|x+1|；(2)(3).解：(1)画出函数图象，∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)；(2)定义域为，其中u=2x-1为增函数，在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数；(3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞). 类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小.解：又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则.4. 求下列函数值域：(1)；1)x∈[5，10]；2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；(2)y=x2-2x+3；1)x∈[-1，1]；2)x∈[-2，2].1)f(x)在[5，10]上单增，；2)；(2)画出草图1)y∈[f(1)，f(-1)]即[2，6]；2).举一反三：【变式1】已知函数.(1)判断函数f(x)的单调区间；(2)当x∈[1，3]时，求函数f(x)的值域.解：(1)上单调递增，在上单调递增；(2)故函数f(x)在[1，3]上单调递增∴x=1时f(x)有最小值，f(1)=-2 x=3时f(x)有最大值∴x∈[1，3]时f(x)的值域为.5. 已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上是增函数，求：(1)实数a的取值范围；(2)f(2)的取值范围.解：(1)∵对称轴是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知只需；(2)∵f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又∵a≤2，∴-2a≥-4∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7 .举一反三：【变式1】（2011 北京理13）已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________.解：单调递减且值域(0,1]，单调递增且值域为，由图象知，若有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）.类型四、判断函数的奇偶性6. 判断下列函数的奇偶性：(1)(2)(3)f(x)=x2-4|x|+3(4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)(6(7)解：(1)∵f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；(2)∵x-1≥0，∴f(x)定义域不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数；(3)对任意x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数；(4)∵x∈R，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(5)，∴f(x)为奇函数；(6)∵x∈R，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(7)，∴f(x)为奇函数.举一反三：【变式1】判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)f(x)=|x+1|-|x-1|；(3)f(x)=x2+x+1；(4).思路点拨：利用函数奇偶性的定义进行判断.解：(1)；(2)f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x) ∴f(x)为奇函数；(3)f(-x)=(-x)2+(-x)+1=x2-x+1∴f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x) ∴f(x)为非奇非偶函数；(4)任取x>0则-x<0，∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)任取x<0，则-x>0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)x=0时，f(0)=-f(0) ∴x∈R时，f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数.类型五、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)7．已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).解：法一：∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10∴8a-2b=-50 ∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.举一反三：【变式1】（2011 湖南文12）已知为奇函数，，则为：解：，又为奇函数，所以．8. f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=x2-x，求当x≥0时，f(x)的解析式，并画出函数图象.解：∵奇函数图象关于原点对称，∴x>0时，-y=(-x)2-(-x)即y=-x2-x又f(0)=0，，如图9．设定义在[-3，3]上的偶函数f(x)在[0，3]上是单调递增，当f(a-1)<f(a)时，求a的取值范围.解：∵f(a-1)<f(a) ∴f(|a-1|)<f(|a|)而|a-1|，|a|∈[0，3].类型六、综合问题10．定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，给出下列不等式，其中成立的是_________.①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b)；②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b)；③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a)；④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a).答案：①③.11. 求下列函数的值域：(1)(2)(3)思路点拨：(1)中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；(2)由单调性求值域，此题也可换元解决；(3)单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时t 的范围.解：(1)；(2)经观察知，，；(3)令.12. 已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1.(1)若函数f(x)在区间[0，2]上是单调的，求实数a的取值范围；(2)当x∈[-1，1]时，求函数f(x)的最小值g(a)，并画出最小值函数y=g(a)的图象.解：(1)∵f(x)=(x-a)2-1 ∴a≤0或a≥2(2)1°当a<-1时，如图1，g(a)=f(-1)=a2+2a2°当-1≤a≤1时，如图2，g(a)=f(a)=-13°当a>1时，如图3，g(a)=f(1)=a2-2a，如图13. 已知函数f(x)在定义域(0，+∞)上为增函数，f(2)=1，且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x-2)≤3.解：令x=2，y=2，∴f(2×2)=f(2)+f(2)=2 ∴f(4)=2再令x=4，y=2，∴f(4×2)=f(4)+f(2)=2+1=3 ∴f(8)=3∴f(x)+f(x-2)≤3可转化为：f[x(x-2)]≤f(8).14. 判断函数上的单调性，并证明.证明：任取0<x1<x2，∵0<x1<x2，∴x1-x2<0，x1·x2>0(1)当时0<x1·x2<1，∴x1·x2-1<0∴f(x1)-f(x2)>0即f(x1)>f(x2)上是减函数.(2)当x1，x2∈(1，+∞)时，上是增函数.15. 设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1，x∈R，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值. 解：当a=0时，f(x)=x2+|x|+1，此时函数为偶函数；当a≠0时，f(x)=x2+|x-a|+1，为非奇非偶函数.(1)当x≥a时，[1]且[2]上单调递增，上的最小值为f(a)=a2+1.(2)当x<a时，[1]上单调递减，上的最小值为f(a)=a2+1[2]上的最小值为综上：.。
函数单调性经典题目含解析及答案
13、函数 y f (x) 是定义在 R 上的增函数，且 f (2m) f (m 9) ，则实数 m 的取值范围 解析：函数的单调性。
答案： (3,)
14、对任意的 x [1,) ，不等式 x2 2x a 0 恒成立，求实数 a 的取值
范围
解 析 ： 将 不 等 式 转 化 为 a x2 2x, x [1,) 恒 成 立 ， 即 求
ax 5, a,x 1 x
x
1
是
R
上的增函数，则
a
的取值范围
解析：分段函数单调性，分别求各段的单调性，再比较分界点的大小
答案： 3 a 2 24、已知函数 f (x) ax2 2x 2 ，若对一切 x [1 ,2] ， f (x) 0 都成立，
2
则实数 a 的取值范围
解析：（1）根据对称轴与区间端点的关系与二次函数的性质（2）二
次函数专题的最小值的三点三分法
17 10a, a 4
答案：（1） a 6或a 4 （2） a2 2a 1,4 a 6
37 10a, a 6
23、已知函数
f
(x)
x2
x
x
1
(x
2)
的最大值
解析：分离常数，利用函数单调性
答案：2
27、设函数 f (x) 是定义在 R 上的增函数，且 f (xy) f (x) f ( y), f (3) 1则
不等式 f (x) f (2) 1 的解集
解析： f (x) f (2) f (2x) ，利用函数单调性 答案： x 3
1、求函数 f (x) 8 2x x2 的单调区间
函数的单调性练习题
函数的单调性练习题高一数学同步测试（6）—函数的单调性1.在区间(0.+∞)上不是增函数的函数是：B。
y=3x^2+1.2.函数f(x)=4x^2-mx+5在区间[-2.+∞]上是增函数，在区间(-∞。
-2)上是减函数，则f(1)等于：C。
17.3.函数f(x)在区间(-2.3)上是增函数，则y=f(x+5)的递增区间是：A。
(3.8)。
4.函数f(x)=(ax+1)/(x+2)在区间(-2.+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是：B。
(0.+∞)。
5.已知函数f(x)在区间[a。
b]上单调，且f(a)f(b)<0，则方程f(x)=0在区间[a。
b]内：A。
至少有一实根。
6.已知函数f(x)=8+2x-x^2，如果g(x)=f(2-x^2)，那么函数g(x)：B。
在区间(0.1)上是减函数。
7.已知函数f(x)是R上的增函数，A(0.-1)、B(3.1)是其图象上的两点，那么不等式|f(x+1)|<1的解集的补集是：D。
(-∞。
-1)∪[2.+∞)。
8.已知定义域为R的函数f(x)在区间(-∞。
5)上单调递减，对任意实数t，都有f(5+t)=f(5-t)，那么下列式子一定成立的是：C。
f(9)<f(-1)<f(13)。
9.函数f(x)=|x|和g(x)=x(2-x)的递增区间依次是：B。
(-∞。
]。
[1.+∞)。
10.已知函数f(x)=x^2+2(a-1)x+2在区间(-∞。
4]上是减函数，则实数a的取值范围是：C。
[-1.1]。
1.已知函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty,+\infty)$ 上是增函数，实数 $a,b\in \mathbb{R}$ 且 $a+b\leq 0$，则下列不等式中正确的是（）A。
$f(a)+f(b)\leq -f(a)+f(b)$B。
$f(a)+f(b)\leq f(-a)+f(-b)$C。
$f(a)+f(b)\geq -f(a)+f(b)$D。
函数单调性的七类经典题型
单调性类型一：三角函数单调区间 1.函数tan 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调增区间为__________． 【答案】5,,66k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭【解析】试题分析: 因为232πππππ+<-<-k x k ,所以Z k k x k ∈+<<-,656ππππ,故应填答案5,,66k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭. 2.已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( )A ．(－∞，1]B ．[3，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)解析：选B 设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0， 即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3. 所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)． 3.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.如图所示，其递减区间是[0,1)．答案：[0,1)类型二：对数函数单调区间1.函数f(x)＝ln(4＋3x －x2)的单调递减区间是( ) A.⎝⎛⎦⎤－∞，32 B.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ C.⎝⎛⎦⎤－1，32 D.⎣⎡⎭⎫32，4解析：函数f(x)的定义域是(－1,4)，u(x)＝－x2＋3x ＋4＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋254的减区间为⎣⎡⎭⎫32，4， ∵e ＞1，∴函数f(x)的单调减区间为⎣⎡⎭⎫32，4.2.函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( )A ．[1,2]B ．[－1,0]C ．[0,2]D ．[2，＋∞)解析：选A 由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．类型三：分段函数单调性 1.已知函数f(x)＝⎩⎨⎧>≤--1,log 1,1)2(x x x x a a ,若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(2,3]D ．(2，＋∞)解析：要保证函数f (x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则首先分段函数应该在各自定义域内分别单调递增．若f(x)＝(a －2)x －1在区间(－∞，1]上单调递增，则a －2＞0，即a ＞2. 若f(x)＝logax 在区间(1，＋∞)上单调递增，则a ＞1.另外，要保证函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增还必须满足(a －2)×1－1≤loga1＝0，即a≤3.故实数a 的取值范围为2＜a≤3. 答案：C类型四：利用单调性求参数范围1.已知函数()f x 为定义[]2,3a -在上的偶函数，在[]0,3上单调递减，并且()22225a f m f m m ⎛⎫-->-+- ⎪⎝⎭，则m 的取值范围是_______________．【答案】112m ≤< 【解析】试题分析: 由偶函数的定义可得032=+-a ,则5=a ,因为01)1(22,01222>+-=+->+m m m m ,且)22()22(),1()1(2222+-=-+-+=--m m f m m f m f m f ,所以322122≤+-<+m m m ,解之得112m ≤<.故应填答案112m <. 2.已知y ＝f(x)是定义在(－2,2)上的增函数，若f(m －1)＜f(1－2m)，则m 的取值范围是__________．解析：依题意，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧－2＜m －1＜2－2＜1－2m ＜2m －1＜1－2m ⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1＜m ＜3－12＜m ＜32m ＜23⇒－12＜m ＜23.答案：⎝⎛⎭⎫－12，233.已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )在(－∞，－a )上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1. 答案：(－∞，1] 4.若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________． 解析：∵函数f (x )＝－x 2＋2ax 在区间[1,2]上是减函数，∴a ≤1. 又∵函数g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上也是减函数，∴a >0.∴a 的取值范围是(0,1]．5.若函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)在区间(a,3a －1)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．解析：由于f (x )＝|log a x |(0<a <1)的递减区间是(0,1]，所以有0<a <3a －1≤1，解得12<a ≤23.答案：⎝⎛⎦⎤12，23 类型五：范围问题1.设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足不等式f (1)<f (lg x10)的x 的取值范围是________. 押题依据 利用函数的单调性、奇偶性求解不等式是高考中的热点，较好地考查学生思维的灵活性.答案 (0,1)∪(100，＋∞) 解析 由题意得，f (1)<f (|lgx 10|)⇒1<|lg x 10|⇒lg x 10>1或lg x10<－1⇒x >100或0<x <1.2.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增.若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎭⎫12，32解析 ∵f (x )是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴在(0，＋∞)上单调递减，f (－2)＝f (2)， ∴f (2|a －1|)>f (2)，∴2|a －1|<2＝212，∴|a －1|<12，即－12<a －1<12，即12<a <32.3.设函数f (x )＝x |x －a |，若对∀x 1，x 2∈[3，＋∞)，x 1≠x 2，不等式f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0恒成立，则实数a 的取值范围是__________. 答案 (－∞，3]解析 由题意分析可知条件等价于f (x )在[3，＋∞)上单调递增，又因为f (x )＝x |x －a |，所以当a ≤0时，结论显然成立，当a >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ，x ≥a ，－x 2＋ax ，x <a ，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，a2上单调递增，在⎝⎛⎭⎫a 2，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，所以0<a ≤3. 综上，实数a 的取值范围是(－∞，3].类型六：综合题1.（作图）已知f(x)是定义在实数集R 上的增函数，且f(1)＝0，函数g(x)在(－∞，1]上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，且g(4)＝g(0)＝0，则集合{x|f(x)g(x)≥0}等于( ) A ．{x|x≤0或1≤x≤4} B ．{x|0≤x≤4} C ．{x|x≤4} D ．{x|0≤x≤1或x≥4}解析：画出函数f(x)和g(x)的草图如图，由图可知当f(x)g(x)≥0时，x 的取值范围是x≤0或1≤x≤4，即{x|f(x)g(x)≥0}＝{x|x≤0或1≤x≤4}，故选A.2.函数y ＝f (x )(x ≠0)是奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时是增函数，若f (1)＝0，求不等式f ⎝⎛⎭⎫x ⎝⎛⎭⎫x －12<0的解集．（数形结合）解：∵y ＝f (x )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝0. 又∵y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴y ＝f (x )在(－∞，0)上是增函数，若f ⎝⎛⎭⎫x ⎝⎛⎭⎫x －12<0＝f (1)，∴⎩⎨⎧x ⎝⎛⎭⎫x －12>0，x ⎝⎛⎭⎫x －12<1，即0<x ⎝⎛⎭⎫x －12<1，解得12<x <1＋174或1－174<x <0. f ⎝⎛⎭⎫x ⎝⎛⎭⎫x －12<0＝f (－1)，∴⎩⎨⎧x ⎝⎛⎭⎫x －12<0，x ⎝⎛⎭⎫x －12<－1.∴x ⎝⎛⎭⎫x －12<－1，解得x ∈∅. ∴原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <1＋174或1－174<x <0. 3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，则不等式f (a 2－4)>f (3a )的解集为( )A ．(2,6)B ．(－1,4)C ．(1,4)D ．(－3,5)解析：作出函数f (x )的图象，如图所示，则函数f (x )在R 上是单调递减的．由f (a 2－4)>f (3a )，可得a 2－4<3a ，整理得a 2－3a －4<0，即(a ＋1)(a －4)<0，解得－1<a <4，所以不等式的解集为(－1,4)．答案：B4.如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f (x )x 在区间I 上是减函数，那么称函数y＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫作“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( )A ．[1，＋∞)B ．[0，3]C ．[0,1]D ．[1，3]解析：因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f (x )x ＝12x －1＋32x ，令g (x )＝12x －1＋32x (x ≥1)，则g ′(x )＝12－32x2＝x 2－32x 2，由g ′(x )≤0得1≤x ≤3，即函数f (x )x ＝12x －1＋32x 在区间[1，3]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1，3]．答案：D6.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2，所以当x ≤2时，f (x )≥4；又函数f (x )的值域为[4，＋∞)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >1，3＋log a2≥4.解得1<a ≤2，所以实数a 的取值范围为(1,2]．答案：(1,2]7.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝|x －a |－a (a ∈R ).若∀x ∈R ，f (x ＋2 016)>f (x )，则实数a 的取值范围是_________. 数形结合当a ＝0时，f (x )＝x ，x ∈R ，满足条件；当a <0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a ，x >0，0，x ＝0，x ＋2a ，x <0为R 上的单调递增函数，也满足条件；当a >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a ，x >a ，－x ，－a ≤x ≤a ，x ＋2a ，x <－a ，要满足条件，需4a <2 016 ，即0<a <504， 综上实数a 的取值范围是a <504.。
函数的单调性·典型例题精析
函数的单调性·例题解析1 2．3．】求下列函数的增区间与减区间【例123|2x(1)y＝|x－＋2x2?x＝(2)y|1x?1?|23xx??2(3)y＝?224＋1)．x－＋2x－3＝(x(1)解令f(x)＝轴轴下方的图像翻到x轴及x轴上方部分，把它在x先作出f(x)的图像，保留其在x2 1所示．．3－＋2x－3|的图像，如图2＝就得到y|x 由图像易得：) [1，＋∞，－1]，递增区间是[－31]，[，－1递减区间是(－∞，－3] 分析：先去掉绝对值号，把函数式化简后再考虑求单调区间．(2) ．＝－xy且x≠2，则函数0≥且x－1≠1时，得x≥1解当x－1 ．－2时，则函数y＝x1≠－时，得x＜1且x≠01当x－＜0且x－11) (0，(－∞，0)和∴增区间是)(2，＋∞[1，2)和减区间是2 ．1≤x≤2x＋3≥0，得－(3)解：由－x3－2在x∈[－1，－4．在x∈[3，－1]1]上是＋xu令＝＝g(x)＝－＋－2x3＝－(x1)2＋上是．而y＝u在u≥0上是增函数．∴函数y的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1，1]．22在[－1，＋∞a1)x(3a＝函数2【例】f(x)ax－－＋]上是增函数，求实数a的取值范围．上是增函数．，＋∞)＝0时，f(x)＝x在区间[1解当a1?3a，＝时，对称轴x当a≠0a2?0 ＞a ?．1a≤a＞0时，由得0＜若?1?3a，1≤?a2? 0时，无解．若a＜1．∴a的取值范围是0≤a ≤的抛物线，＝3＝f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x【例3】已知二次函数y 试比较大小：f(4)(1)f(6)与15)(2)f(2)与f(6时，f(x)为减函数，又＝3，∴x≥3解(1)∵y＝f(x)的图像开口向下，且对称轴是xf(4)f(6)＜＞4＞3，∴3在x≥＜15＜4，函数f(x)(2)∵对称轴x＝3，∴f(2)＝f(4)，而3时为减函数．∴f(15)＞f(4)，即f(15)＞f(2)．ax(a≠0)在区间(－1，1)上的单调性．【例4】判断函数f(x)＝2?1x解任取两个值x、x∈(－1，1)，且x＜x．2121a(xx?1)(x?x)1122＝f(x))∵f(x－2212?1x)x?1)((2122∵－1＜x＜x＜1，xx＋1＞0，x－x＞0，x－1＜0，x－1＜0．11222111(xx?1)(x?x)1212＞0∴22?1)(x)(x?121当a＞0时，f(x)在(－1，1)上是减函数．当a＜0时，f(x)在(－1，1)上是增函数．3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．x【例5】利用函数单调性定义证明函数f(x)＝－证取任意两个值x，x∈(－∞，＋∞)且x＜x．211222＋xx＋x))＝(x－x)(x这里有三种证法：∵f(x)－f(x11122221222＝(x＋x)－x＋时，0x＋xxxx＞0x)证法(一当x＜212122112122＞x0x时，x＋x＋≥当xx0212121又∵x－x＜0，∴f(x)＜f(x) 1122 上是减函数．)－∞，＋∞(在f(x)故．1312222＝(x＋x)＋＋xx，这里x＋x证法(二)∵x＋xx2112122122241与x不会同时为0，否则若x＋x＝0且x＝0，则x＝0这与x＜x2112122222．x0＞矛盾，∴x＋xx＋2112上是减函数．(－∞，＋∞)得f(x)在222223x＝－x－4x＋x，其判别式Δ(三)令t＝x＝＋xx证法1122111223x ＝－，若＝xΔ＞0时，则x＝0，那么x≠0，∴t≤0，若Δ＝0112222＋xx＋x＞0，从而f(x)＜f(x)，∴f(x)在(＜0，则t＞0，即x－∞，121212＋∞)上是减函数．1的单调性，并画出它的大致图像．x＋【例6】讨论函数f(x)＝x解定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，任取定义域内两个值x、x，且x＜x．2211xx 121∵f(x)－f(x)＝(x－x)，又x－x＜0，221211xx21∴当0＜x＜x≤1或－1≤x＜x＜0时，有xx－1＜0，xx＞0，f(x)＞f(x) 2211221112∴f(x)在(0，1]，[－1，0)上为减函数．当1≤x＜x或x＜x≤－1时，有xx－1＞0，xx＞0，f(x)＞f(x)，∴f(x)在(－2211112212∞，－1]，[1，＋∞)上为增函数．根据上面讨论的单调区间的结果，又x＞0时，f(x)＝f(1)＝2，当x＜0时，f(x)maxmin＝f(－1)＝－2．由上述的单调区间及最值可大致1的图像如图2．3＋－2．x画出y＝x说明1°要掌握利用单调性比较两个数的大小．2°注意对参数的讨论(如例4)．3°在证明函数的单调性时，要灵活运用配方法、判别式法及讨论方法等．(如例5)是分层讨论，要逐步培养．6°例4．例题：已知函数f(x)对任意x,y∈R均满足：f(x+y)=f(x)+f(y)；f(1)=2；当且仅当x<0时，f(x)<0，求：当-3≤x≤3时，求f(x)的最大值与最小值。