双曲线定义及其标准方程

双曲线及其标准方程(一)
练习巩固:
1.
过双曲线
x2 y2 34
1的焦点且垂直x轴的弦的长度
83
为3
.
2. y2-2x2=1的焦点为
(0,
6 2
)、焦距是
.6
3.方程(2+)x2+(1+)y2=1表示双曲线的充要条件
是 -2<<-1
.
双曲线定义及其标准方程
练习巩固:
下列方程各表示什么曲线? ( 1 )( x 3 ) 2 y 2 ( x 3 ) 2 y 2 4
解：∵ F1F2 10 >6, PF1 PF2 6
∴ 由双曲线的定义可知，点 P 的轨迹是一条双曲线,
∵焦点为 F1(5, 0), F2(5, 0)
∴可设所求方程为:
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.
所以点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 . 9 16 双曲线定义及其标准方程
（1）若2a= |F1F2|,则轨迹是？ (1)两条射线
（2）若2a> |F1F2|,则轨迹是？ (2)不表示任何轨迹 （3）若2a=0,则轨迹是？双曲线定义及其(标3准)方线程 段F1F2的垂直平分线
如何建立适当的直角坐标系？
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案 yy y
M
y FO1 O O F 2 x xx
方程表示的曲线是双曲线
( 2 )( x 3 ) 2 y 2 ( x 3 ) 2 y 2 5
方程表示的曲线是双曲线的右支
( 3 )( x 3 ) 2 y 2 ( x 3 ) 2 y 2 6
方程表示的曲线是x轴上分别以F1和F2为端点， 指向x轴的负半轴和正半轴的两条射线。
双曲线定义及其标准方程
方程
x2 a2
by22
1(ab0)
x2 a2
by22
1(a0,b0)
y2 a2
x2 b2
1(ab0)
y2 a2
bx22
1(a0,b0)
焦点
a.b.c的关 系
F（±c，0） F（0，±c）
F（±c，0） F（0，±c）
a>b>0，a2=b2+c2 a>0，b>0，但a不一
定大于b，c2=a2+b2
双曲线定义及其标准方程
y
O
x
O 方案一x
方案二
原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段
所在的直线作为坐标轴.) (对称、“简
双曲线定义洁及其”标)准方程
双曲线的标准方程
求曲线方程的步骤： 1. 建系.
以F1,F2所在的直线为x轴，线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系
2.设点．
c xa2a(xc)2y2
(c 2 a 2 )x 2 a 2 y 2 a 2 (c 2 a 2 )
c2a2b2
1(a0,b0) x2 y2
a2 b2
双曲线定义及其标准方程
此即为 焦点在x 轴上的 双曲线 的标准
方程
若建系时,焦点在y轴上呢?
y
y
M
M
F1 O F2 x
F2 x
O
F1
x2 a2
y2 b2
y
y
双曲线图象
M
F1 o F2 x
M F2
x
F1
标准方程
焦点
a.b.c 的关系
x2 a2
y2 b2
1
y2 a2
x2 b2
1
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 a2b2
双曲线定义及其标准方程
双曲线与椭圆之间的区别与联系
椭圆
双曲线
定义
|MF1|+|MF2|=2a
||MF1|－|MF2||=2a
双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
| |MF1| - |MF2| | = 2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
M
说明
（1）2a< |F1F2| ；
思考：
（2）2a >0 ；
F1 o F2
y
M
F1 O F2 x
设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0)
3.列式 |MF1| - |MF2|=±2a
即 (x c)2y2(x c)2y2 2 a
4.化简
双曲线定义及其标准方程
(xc)2y2(xc)2y22a
2
2
( x c ) 2 y 2 2 a ( x c ) 2 y 2
1
y2 a2
x2 b2
1
(a0， b0)
双曲线定义及轴上？
看 x2 , y 2 前的系数，哪一个为正，
则在哪一个轴上
2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区 别与联系?
双曲线定义及其标准方程
学习小结:
双曲线定义 | |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
双曲线定义及其标准方程
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=常数
②如图(B)， |MF2|-|MF1|=常数
由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 常数
（差的绝对值）
上面 两条合起来叫做双曲线
双曲线定义及其标准方程
双曲线在生活中 ☆.☆
双曲线定义及其标准方程
双曲线定义及其标准方程
双曲线定义及其标准方程
双曲线及其标准方程
双曲线定义及其标准方程
复习
1. 椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数
2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹.
Y
|MF1|+|MF2|=2a( 2a>|F1F2|>0)
O
2. 引入问题：
F 1c,0
Mx,y
F 2 c,0 X
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢？
双曲线定义及其标准方程
【名师点评】 利用定义法求双曲线的标准方程，首先找出 两个定点(即双曲线的两个焦点)；然后再根据条件寻找动点到 两个定点的距离的差(或差的绝对值)是否为常数，这样确定c 和a的值，再由c2＝a2＋b2求b2，进而求双曲线的方程．
双曲线定义及其标准方程
例 1 已 知 两 定 点 F1(5, 0) , F2(5, 0) , 动 点 P 满 足 PF1 PF2 6 , 求动点 P 的轨迹方程.
题型二 利用双曲线的定义求轨迹问题 例2 动圆M与圆C1：(x＋3)2＋y2＝9外切，且与圆C2：(x
－3)2＋y2＝1内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
双曲线定义及其标准方程
【解】 ∵圆 M 与圆 C1 外切，且与圆 C2 内切， ∴|MC1|＝R＋3，|MC2|＝R－1， ∴|MC1|－|MC2|＝4. ∴点 M 的轨迹是以 C1、C2 为焦点的双曲线的右支， 且有 a＝2，c＝3，b2＝c2－a2＝5， ∴所求轨迹方程为x42－y52＝1(x≥2)．