常见不等式的几何直观

常见不等式的几何直观
数学与统计学院2008级1212408087 陈小丽
研究不等式的出发点是实数的大小关系。

我们知道，数轴上的点与实数一一对应，因此可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小：
设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B。

那么，当点A 在点B 的左边时，a<b；当点A在点B的右边时，a>b（图1）。

图1
不等式的基础性质也可以通过作图来表示：用线段AB的长表示a，线段BA表示-a；线段CD表示b，线段DC表示-b。

如：
（1）如果a>b，b>c，那么a>c。

画图2表示：
绝对值|a|表示数a到原点的距离。

即若a>0, |a|=a；若a<0, |a|=-a；若a=0, |a|=0。

对于任意的两个实数a,b,设它们在数轴上的对应点分别是A,B，那么|a-b|的几何意义是数轴上A，B两点之间的距离。

为了在直观上刻画绝对值，我们做函数y=x,y=-x,y=|x|,y=-|x|的图像。

图3
图3-1
图3-2 图3-3
由图易得-|x|≤x≤|x|，于是对每个实数a，有-|a|≤a≤|a|。

绝对值的几何意义是我们认识绝对值不等式的重要工具。

实际上，我们可把“距离大小”作为研究绝对值不等式的基本出发点，解决相应的问题。

把|a|+|b|≥|a+b|，等号成立当且仅当ab≥0中a,b 用向量α，β代替，可以很明显地看出其几何意义。

当向量α，β不共线时，那么由向量加法的三角形法则，向量α，β，α+β构成三角形，因此我们有向量形式的不等式|α|+|β|≥|α+β|，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边。

所以我们称该不等式为绝对值三角不等式。

如|x|≤1的解如图4：
图4
|x-1|≤2的解如图5：
图5
|x|+|y|≤1的解如图6：
图6
√a2=|a|（|a|的代数刻划）实际上表达了毕达哥拉斯关系式c=√a2+b2，b=0时的特殊情形。

x2+y2=r2的解——点（x,y）的集合（轨迹）构成以原点为圆心，r为半径的圆周。

故x2+y2≤r2的解——点（x,y）的集合（轨迹）构成以原点为圆心，r为半径的圆盘。

图7
图7 图8 定义：|x+yi|=√x2+y2,则1≤|x+yi|≤2的解表示以原点为圆心，半径为1和2构成的圆环：图8
基本不等式：
1.①a2+b2≥2ab如果把实数a,b作为线段长度，那么它的几何解释（a≥b）：
图9-1
如图9-1所示：在正方形ABCD中，AB=a,在正方形CEFG中，EF=b。

那么S正方形ABCD+S正方形CEFG=a2+b2。

矩形BCGH和矩形JCDI的长均为a,宽均为b，它们的面积和是S矩形BCGH+S矩形JCDI=2ab。

矩形BCGH和矩形JCDI的公共部分是CEGK,边长为b,其面积与正方形CEFG相等。

所以a2+b2≥2ab。

当且仅当a=b时，两个矩形成为两个正方形，阴影部分面积等于正方形ABCD与正方形CEFG的面积的和。

图9-2
如图9-2所示：S ∆OAB =a 22
,S ∆OCD =
b 22
，S
矩OAEC
≤S ∆OAB + S ∆OCD ，即ab ≤a 22
+
b 22。

我们
进一步看到，当且仅当三角形S ∆BDE =0 ，即D 与B 重合，因而 当且仅当a=b 时S 矩OAEC
=S ∆OAB + S ∆OCD ，即ab=a 22+
b 22。

将①a
2
+b 2≥2ab 恒等变形，就可以得到以下基本不等式：
如果a,b>0,那么②a+b 2
≥√ab ，当且仅当a=b 时等号成立。

其几何意义是直角三
角形斜边上的中线不小于斜边上的高。

如图9：
图10
CD 是Rt △ABC 中斜边AB 上的高，OC 是斜边AB 上的中线，AD=a,BD=b 。

OC=a+b 2
，
CD=√ab 。

推论：在所有周长相同的矩形中，正方形面积最大； 在所有面积相同的矩形中，正方形周长最短。

推广1 3个正数的算术-几何平均不等式：
a+b+c 3
≥√abc 3
当且仅当a=b=c 时等号成立。

推广2 n 个正数的算术-几何平均不等式:
a 1+a 2+⋯+a n
n
≥√a 1a 2…a n n
当且仅当a 1=a 2=⋯=a n
非常自然地出现在光学和电网研究中的平均值是调和平均值2
1a +
1
b
=
2ab
a+b
.
统计学有一个重要的均方根√a 2+b 22。

有这样的不等式关系：√
a 2+
b 22
≥
a+b 2
≥√ab ≥
2ab a+b
，其几何解释如图
10：
图11-1
如图10-1所示：设ABCD 为一梯形，其中AB=a ，CD=b ，设O 为其对角线的中点。

（a ） a 与b 的算术中项
a+b 2
由平行于两底且与它们等距离的线段GH 表示；
（b ） 几何中项√ab 由平行于两底且使梯形ABLK 与KLDC 成相似形的线段KL 表示； （c ） 调和中项
2ab
a+b
由平行于两底且过O 点的线段EF 表示； （d ） 均方根√
a 2+
b 22
由平行于两底且将梯形
ABCD 分成面积相等的两个梯形的线段
MN 表示。

如图11-2所示：O 为圆心 ，MH<MG<MO<MR
设MP=a,MQ=b ，（a>b ），则MO=
a+b 2
，MG=√ab ，MH=
2ab
a+b
，MR=√
a 2+
b 22
Cauchy 不等式：
（a ） 二维形式：（(a 12
+a 22)(b 12+b 22)≥(a 1b 1+a 2b 2)2）
当且仅当
a i
b i
=λ(i =1，2) 时等号成立。

其几何意义如图11：
图12
Cos θ=
α·β
|α|·|β|
=
1122√a 12+a 22 √b 12+b 22
又由（Cos θ）2
≤1即得
（(a 12+a 22)(b 12+b 22)≥(a 1b 1+a 2b 2)2）。

其中等号成立的条件是（Cos θ）2
=1 ，即θ=0或π。

也就是说α，β 平行。

坐标（a 1,b 1），
（a 2,b 2）成比例。

即a i
b i
=λ(i =1，2)时等号成立。

推广1 3维柯西不等式
(a 12+a 22+a 32)(b 12+b 22+b 32)≥(a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3)2
当且仅当
a i
b i
=λ(i =1，2，3) 时等号成立。

推广2 n 维柯西不等式
(a12+a22+⋯+a n2)(b12+b22+⋯+b n2)≥(a1b1+a2b2+⋯+a n b n)2
当且仅当a i
b i
=λ(i=1，2，3，…)时等号成立。

赫德尔不等式
a i，
b i>0，
(a1p+a2p+⋯+a n p)1
p(b1q+b2q+⋯+b n q)
1
q≥a1b1+a2b2+⋯+a n b n，
1
p
+
1
q
=1当p=2，q=2时即是柯西不等式。

三角不等式：（二维形式）
√x12+y12+√x22+y22≥√(x1+x2)2+(y1+y2)2
当且仅当x1=k x2；y1=ky2。

其几何解释如图13
图13
一维形式：√x12+√x22≥√(x1+x2)2，即|x1|+|x2|≥|x1+x2|，当且仅当x1=k x2，这时三角形退化成一条直线。

推广√x12+x22+⋯+x n2+√y12+y22+⋯+y n2≥√(x12+y12)+⋯(x n2+y n2)此式对一切实数x i，y i都成立，当且仅当x i=ky i时等号成立。

闵可夫斯基不等式
任意非负数x1，y1，x2，y2及任意的p>1，有
（x1p+y1p）1
p+(x
2
p+y2p)1p≥[(x1+x2)p+(y1+y2)p]1p三
角不等式是这里p=2特殊情形。

推广n维闵可夫斯基不等式
（x1p+x2p+⋯+x n p）1
p+(y
1
p+y2p+⋯+y n p)1p≥[(x1+y1)p+⋯+(x n+y n)p]1p，其中p≥1，当p<1时，不等号要反过来。