Wirtinger不等式的一个几何应用_赵亮
级数holder不等式
级数holder不等式
Holder不等式是一种用于证明数学中的不等式的重要工具。
它用于描述两个函数之间的积分或求和的关系。
Holder不等式的一般形式如下：
对于非负实数集合上的两个函数f(x)和g(x)，以及正实数p和q，满足1/p + 1/q = 1，则有：
∫f(x)g(x) dx ≤ ( ∫f(x)^p dx )^(1/p) * ( ∫g(x)^q dx )^(1/q)
或者对于离散情况：
∑f(x)g(x) ≤ ( ∑f(x)^p )^(1/p) * ( ∑g(x)^q )^(1/q)
其中积分范围可以是实数轴上的整个区间或者离散场景中的所有元素。
Holder不等式是在L^p空间和L^q空间中的幂函数范数之间建立了联系。
当p=q=2时，Holder不等式退化为柯西-施瓦茨不等式。
Holder不等式的应用非常广泛，特别是在概率论、实变函数论、凸函数理论以及一些优化问题中都有重要的应用。
柯西—许瓦兹不等式,Holder 不等式的应用例题
（1） 设B A ,为n 阶正定矩阵，则成立()0tr AB >。
证明 因为B A ,为n 阶正定矩阵，所以存在可逆矩阵T 使得，A TT '=，1()AB T T BT T -'=，显然T BT '是n 阶正定矩阵，它的特征值全为正的，由矩阵的特征值和迹在相似变换下保持不变，于是1()(())()tr AB tr T T BT T tr T BT -''==。
（2） 设B A ,为n 阶半正定矩阵，则成立()0tr AB ≥。
证明 对任意0ε>，有,I A I B εε++为n 阶正定矩阵，(()())0tr I A I B εε++>令0ε+→，由连续性,可知, ()0tr AB ≥。
定理 (Cauchy-Schwarz 不等式)设g f ,在],[b a 上可积，则有212212))(())((|)()(|dx x g dx x f dx x g x f bababa⎰⎰⎰≤。
证明 证法一 对区间],[b a 的任意分割∆：b x x x x a n n =<<<<=-110 ， 任取 ],[1i i i x x -∈ξ，，n i ,,2,1 =，记1--=∆i i i x x x ，i ni x ∆=∆≤≤1max )(λ；由于成立 |)()(|1i i i ni x g f ∆∑=ξξ 21212121)|)(|()|)(|(i i ni i ini x g x f ∆∆≤∑∑==ξξ，在上式中，令0)(→∆λ取极限，则得到212212))(())((|)()(|dx x g dx x f dx x g x f bababa⎰⎰⎰≤ ；证法二 考虑二次函数dx x g x f ba2)]()([)(λλϕ+=⎰0)()()(2)(222≥++=⎰⎰⎰dx x g dx x g x f dx x f bab ab aλλ，),(+∞-∞∈∀λ；如果0)(2>⎰dx x gba，在上式中取dxx g dxx g x f b aba⎰⎰-=)()()(2λ，得到0))()(()(1)(222≥-⎰⎰⎰dx x g x f dxx g dx x f bababa，从而dx x g dx x f dx x g x f bab ab a)()())()((222⎰⎰⎰≤，于是成立212212))(())((|)()(|dx x g dx x f dx x g x f b ab ab a⎰⎰⎰≤；如果0)(2=⎰dx x g ba，则对),(+∞-∞∈∀λ，成立0)()(2)(2≥+⎰⎰dx x g x f dx x f babaλ ，必有0)()(=⎰dx x g x f b a，此时自然成立，212212))(())((|)()(|dx x g dx x f dx x g x f b ab ab a⎰⎰⎰≤。
基本不等式的历史背景及几何意义
基本不等式的历史背景及几何意义作者：***
来源：《新高考·高一数学》2017年第05期
1.赵爽的“弦图”
我们先来看一张图片，2002年第24届国际数学家大会在我国召开，图1是大会会标，是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的.
公元3世纪，中国数学家赵爽“负薪余日，聊观《周髀》”，他在给
“以图考之，倍弦实，满外大方，而多黄实.黄实之多，即勾股差实.以差实减之，开其余，得外大方.大方之面，即勾股并也.”
用数学符号语言表达，即：若直角三角形两直角边为为a，b，a≥0，b≥0，则
（a+b）2=4ab+（b-a）2，（a+b）2=2c2-（b-a）2=2（a2+b2）-（b-a）2，
因此，可得不等式4ab≤（a+b）2≤2（a2+b2）.
2.歐几里得的矩形之变
古希腊数学家似乎并没有对各类中项的大小进行比较，但他们已经研究过部分中项的几何作图法以及它们之间的数量关系，欧几里得在《几何原本>卷六命题13中给出了两条已知线段之间的几何中项的作图法.如图3，以AB为直径作半圆ADB，则CD即为AC和CB之间的几何中项.
3.芝诺多鲁斯的等周问题
在欧几里得之后，获得与均值不等式等价结果的数学家是芝诺多鲁斯（Zenodorus，约公元前2世纪）.他写了一本名为《论等周图形》的书，专门研究等周问题.在书中，他给出了许多命题，其中一个是：“在边数相同、周长相等的所有多边形中，等边且等角的多边形的面积最大.”
这些历史材料，再现了基本不等式的“源头”，通过挖掘数学历史文化背景，揭示了基本不等式的几何意义，值得我们细细品味.。
赫尔德不等式的推论变形与运用
糕，当且仅当薯一筹时等号成立，由此可以
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候滴承）２～，ｈ一箬＋耠
２≥嵩（Ｅ
ａｉ）２㈦叫胀确，
这一命题成立后，不妨提出一个猜想：
由柯西不等式：（筹＋筹）（Ａ，＋Ａｚ）≥
下面呈现一个基本的不等式：
程组的基本方法和思路，这节课的目标就达到了．它 会为学生打开一扇窗，透过这扇窗，他们会感到还有 一个更神秘、更美妙的“世界”． 这里需要理清一条“线索”，设计“问题串”，为学 生提供一个“支架”，让他们沿着这个“支架”去自主 攀登．根据学生的认知基础，算筹是什么？算筹怎么 表示数？算筹怎么解方程组？是这节课的关键问 题．而与这三个关键问题相关联的是“密码图”，这是 古人留下的破解谜底的主要线索．郑老师围绕“密码 图”设计了四个环节：猜想、探秘、破解、设计．四个环 节紧扣主题，紧密相连，具有启发性、趣味性、层次 性、探究性，是这节课一个很好的架构． 三、教学过程自然精彩 理解“夜叉、哪吒”问题，主要需要语文学科知 识，被安排在课前由学生自行解决．算筹是什么，算 筹怎么表示数的问题，则通过观看视频解决．关键是 用算筹解一次方程组，这需要学生理解密码图．这里 有计算，有推理，有表达形式上的差异．通过将密码 图译成数字图再对应方程，一条思路便清晰起来．虽 然学生探究并不顺利，但所走的弯路是必须的、有效 的、精彩的和有价值的． 纵观教学全过程，无论是猜想、探秘，还是破解、 设计，都是在预设中由学生自主完成，整个教学活动 通过师生之间、学生之间的积极交往和互动，通过学 生的操作、交流、思考，形成连续不断的自主建构过
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均值不等式在几何中的应用
１８Ｏ
［４］ Ｄａｖｉｄ Ｊｏｎａｓｓｅｎ ｅｔ ａｌ，Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｖｉｓｍ ａｎｄ Ｃｏｒ ｎ—
ｐｕｔｅｒ Ｍ ｅｄｉａｔｅｄ Ｃｏｍ ｍ ｕｎｉｃａｔｉｏｎ ｉｎ Ｄｉｓｔａｎｃｅ Ｅｄ—
生 的 肯定 和欢 迎 ，也 取得 了 良好 的教 学效果 ．
等 号是 当 ｚ 一Ｙ 时成 立 ．这 时 由 （１）得
所 以
１
Ｓ１：Ｓ２：Ｓ３＝７ｃ以：２ａ：．去＿兀“＝＝＝２ｎ：４：７ｃ．
乙
解析 几何 的最 主要 特征是 从代数 角度 来 研 究几 何 问题 ，在解 题 中要 善 于捕 捉 并 且 利 用 这 一 特 征 ．因 此 当 得 到 Ｓ一 ２ｘ ·２ｙ 一
数 学 教 学 研 究
６７
（在 默认 的文件 夹下 即 我的文 档 中）
兴 趣 ，能 提高 学生 的学 习效率 ，能培养 学 生创
（４）如果 想 把 文 件 存 到 指 定 驱 动 器 的 文 新 精 神 和实 践 能 力 ，也 有 利 于发 挥 学 生 的个
件 夹 下 （如 Ｄ：＼Ｍｙｆｉｌｅｓ下）
，
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键．再 仔 细 观 察 一 下 ，容 易 发 现 ，ＰＣ，ＱＥ 与 ＰＤ，ＱＦ这 两组 关 系 中 ，ＰＣ，ＰＤ 在 同一条 直 线上 ，ＱＥ，ＱＦ在一条 直线 上．这 样 ，我 们就 可 通过 利用 均值不 等式把 积 的形式 化 为 和 的形 式 ，从 而 利 用 圆 中 的 相
是 自然 的 ，体 现 了均 值 不 等式 在解 决 问题 中 的通性通 法 的价值 ． ３ 解 决 解 析 几 何 问 题
Gronwall不等式
格朗沃尔不等式在数学中，格朗沃尔引理或格朗沃尔不等式说明了对于满足一定的微分方程或积分方程的函数，有相应的关于此微分方程或积分方程的不等式。
格朗沃尔不等式有两种形式，分别是积分形式和微分形式。
积分形式下的不等式可以有几种不同的写法。
格朗沃尔不等式常常被用来估计常微分方程的解的取值范围。
比如，它可以用来证明初值问题的解的唯一性（见柯西-利普希茨定理）。
格朗沃尔不等式的名称来自多玛·哈肯·格朗沃尔。
格朗沃尔是一位瑞典的数学家，后来移居美国。
格朗沃尔不等式的微分形式首先由格朗沃尔在1919年证明[1]。
而积分形式则是由理查德·贝尔曼（Richard Bellman）在1943年证明[2]。
微分形式设I是一个实数区间，记为：[a, ∞) 或 [a, b] 或 [a, b)，其中a < b。
又设β和u为定义在I上的实数值的连续函数。
假设u是一个在I的内部（也就是不包括端点）可微的函数，并且满足如下的微分不等式：那么对于所有的，函数u都小于等于以下微分方程的解：注意：不等式对函数β和u的符号没有任何要求。
证明如果设是以下微分方程其中v(a) = 1 的解，那么对所有的t都有v(t) > 0，因此根据复合函数求导法则中的除法定则：对所有的t > a成立，因此于是格朗沃尔不等式得证。
积分形式设I是一个实数区间，记为：[a, ∞) 或 [a, b] 或 [a, b)，其中a < b。
又设α、β和u为定义在I上的实数值的函数。
假设β和u是连续的，则有：(a) 如果β是非负函数并且u满足如下的积分不等式：，那么。
(b) 如果在之前的条件下，α还是一个常数，那么注意：不等式的成立条件里并没有限制α和u的符号；相比于微分形式，积分形式中对函数u的可微性没有做要求；证明(a) 定义则运用复合函数求导法则中的乘法法则、链式法则、指数函数的求导法则以及微积分基本定理，可以得到：，由于注意到括号中的部分小于α，可以得到相应的不等式，并进行积分。
Gronwall不等式
Gronwall 不等式及其应用1. 引言众所周知, Gronwall 不等式在分析的许多领域,例如常微分方程及积分方程,都有着重要的应用.本文将一维空间(即实数范围内)的Gronwall 不等式推广到无穷维的有序Banach 空间中去,然后给出它在常微分方程中的若干重要的应用.其中的一些定理是新给出的或对某些教科书中的定理给出新的证明. 2. 一个抽象的Gronwall 不等式设P 为Banach 空间E 中的一个锥，即P 是E 中的一个非空凸闭集，并满足： (i) P x P x ∈⇒≥∈∀λλ0 , (ii) θ=⇒∈-∈x P x P x ,给定E 中的一个锥P 后,则可在E 中的元素间引入半序:P x y E y x y x ∈-⇔∈≤),( ,则E 按上述定义的半序""≤成为一个有序的Banach 空间。
又若存在常数0>N ,使当y x ≤≤θ时,恒有y N x ≤,则称锥P 是正规的,而这里的正数N 称为正规常数, θ为E 中的零元素，有了上述概念之后,我们就可以将实数空间中的Gronwall 不等式推广到无穷维有序的Banach 空间上.定理2.1 设P 是实Banach 空间E 中的正规锥, N 为正规常数, E 按上述定义的半序""≤成为有序的Banach 空间.设 ),],,([)(E b a C t x ∈)],,([)(1R b a C t L ∈,(这里及以后假定n R 为n 维实的欧几里得空间),E Z ∈满足: (1.1) ,)()()( b t a ds s x s L Z t x ta ≤≤+≤≤⎰θ则 {}(1.2) , )(ex p )( b t a ds s L N Z N t x ta≤≤≤⎰当θ=Z 时，即由 [](1.3) , ,)()()( b a t ds s x s L t x ta ∈∀≤≤⎰θ可得[]b a t t x , ,)(∈∀≡θ证明 首先设θ≠Z ，则由锥P 正规及（1.1）得4)(1. )()()()()( b t a ds s x s L N Z N dss x s L Z N t x tata ≤≤⋅+≤+≤⎰⎰(i)证法1令⎰⋅+=tads s x s L N Z N t )()()(ϕ 则)(t ϕ在],[b a 上可导，且0)(>t ϕ,],[ )()( )()()(b a t t t L N t x t L N t ∈∀⋅≤⋅='ϕϕ[]b a t t L N t t , )()()(∈∀≤'ϕϕ 对上式从a 到],[b a t ∈积分得 )()()(ln⎰≤t a ds t L N a t ϕϕ ],[ })(exp{ })(exp{)()( b a t ds s L N Z N ds s L N a t tata∈∀⋅=≤⎰⎰ϕϕ],[ })(ex p{)()( b a t ds s L N Z N t t x ta∈∀≤≤⎰ϕ当θ=Z 时，由（1.3）得 ⎰⋅≤tads s x s L N t x )()()(所以0>∀ε有 ],[ )()()( b a t ds s x s L N t x ta∈∀⋅+≤⎰ε从而 ],[ })(ex p{)( b a t ds s L N t x ta∈∀⋅≤⎰ε而 +∞<<⎰ })(ex p{0 tads s L Nε为任意小正数，故只能],[ ,0)(b a t t x ∈∀≡ 即],[ ,)(b a t t x ∈∀≡θ 证法2令 ⎰⋅=ta ds s x s L t )()()(ϕ 所以0)(=∴a ϕ且有Zt L N t t L N t t t L N Z t L N ds s x s L N Z N s L t x s L t ta ⋅≤-'⇒+⋅=⋅+≤⋅='⎰)()()()( )()()( ))()(()( )()()( ϕϕϕϕ{}{}⎰⎰-⋅⋅≤-⋅-'tatads s l N Z t L N ds s l N t t L N t )(ex p )()(ex p )]()()([ϕϕ{}{}⎰⎰-⋅⋅≤'⎥⎦⎤⎢⎣⎡-t a t a ds s L N Z t L N ds s L N t )(ex p )()(ex p )(ϕ此不等式两边同时从a 到t 积分, 得到{}{}{}τϕϕτd ds s L N s L Z N dss L N a ds s L N t taaaata⎰⎰⎰⎰-≤--- )(exp )()(exp )()(exp )({}{}⎥⎦⎤⎢⎣⎡---≤-⎰⎰1)(exp )1()(exp )( tatads s L N N Z N ds s L N t ϕ{}{}⎥⎦⎤⎢⎣⎡---≤-⎰⎰1)(exp )(exp )( tat a ds s L N Z ds s L N t ϕ{}⎥⎦⎤⎢⎣⎡--≤⎰tads s L N Z t )(exp 1)(ϕ 得到{}bt a ds s L N Z N ds s L N Z N Z N t x tat a ≤≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--+≤⎰⎰ , )(exp )(exp 1)( (ii) 当θ=Z 时,由上式得 ],[ , 0)(b a t t x ∈∀≡ 即 ],[ , )(b a t t x ∈∀≡θ在定理1.1中取n R E =,则(){}n i x x x x x P i Tn ..., ,2 ,1 ,0 ..., , , ,321=≥=为n R 中的正规锥(正规常数为1), n R 由P 导出的半序成为有序的Banach 空间,其中n R 的范数由下列之一给出()n Tn R x x x x x ∈=∀ ..., , , ,321∑==ni ixx 12 ∑==ni i x x 1i ni x x ≤≤=1max则由定理1.1可得推论2.1 设()...... ,2 ,1 ],,[)(),(1=∈i R b a C t L t x i 满足:存在常数) ..., ,3 ,2 ,1(n i c i =使得...... ,3 ,2 ,1 ],[ )()()(0 =∈∀+≤≤⎰i b a t ds s x s L c t x tai i i则{}...... ,3 ,2 ,1 ],[ )(ex p)( =∈∀≤⎰i b a t ds s L C t x t a其中[]()n Tn Tn R c c c C t x t x t x t x ∈== , , , ,)( , ),( ),()(2121 ,它们的范数为n R 中的范数。
高中数学竞赛holder不等式
高中数学竞赛所使用的不等式是holder不等式，其形式为：$$\sum a_i b_i \leq \left( \sum a_i^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum b_i^q \right)^{1/q}$$1.概述holder不等式是数学分析中的一种常见不等式，广泛应用于数学竞赛和实际问题中。
它可以用于证明其他数学不等式和定理，也有着重要的理论和实际意义。
2.起源holder不等式最早由德国数学家奥托·霍尔德（Otto Hölder）于1889年提出。
霍尔德不等式最初是为了研究勒让德多项式的正性而引入的，随后得到了广泛的推广和应用。
霍尔德不等式实际上是一类不等式的统称，其中包括了多种形式和变种。
3.一般形式holder不等式的一般形式为：$$\sum a_i b_i \leq \left( \sum a_i^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum b_i^q \right)^{1/q}$$其中，$$a_i$$和$$b_i$$为实数，$$p$$和$$q$$为正实数，满足$$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$$。
4.特殊情况当$$p=q=2$$时，holder不等式退化为柯西-施瓦茨不等式。
当$$p=q=1$$时，holder不等式变为积分柯西不等式。
当$$p=\infty$$，$$q=1$$时，holder不等式为min-max不等式。
5.证明（1）利用幂平均不等式证明我们可以利用幂平均不等式来证明霍尔德不等式。
根据幂平均不等式，对于任意非负实数$$x_1, x_2, ..., x_n$$和正实数$$p$$，有$$\left( \frac{1}{n} \sum x_i^p \right)^{1/p} \geq \frac{1}{n} \sumx_i$$对于任意非负实数$$y_1, y_2, ..., y_n$$和正实数$$q$$，同样有$$\left( \frac{1}{n} \sum y_i^q \right)^{1/q} \geq \frac{1}{n} \sumy_i$$将$$x_i=\lambda a_i^p$$和$$y_i=\frac{1}{\lambda} b_i^q$$代入上述不等式，得到$$\left( \frac{1}{n} \sum (\lambda a_i^p)^{p} \right)^{1/p} \geq \frac{1}{n} \sum \lambda a_i^p$$$$\left( \frac{1}{n} \sum \left(\frac{1}{\lambda} b_i^q\right)^q\right)^{1/q} \geq \frac{1}{n} \sum \frac{1}{\lambda} b_i^q $$整理得$$\left( \left( \frac{1}{n} \sum a_i^p \right)^{p} \right)^{1/p} \geq \frac{1}{n} \sum \lambda a_i$$$$\left( \left( \frac{1}{n} \sum b_i^q \right)^{q} \right)^{1/q} \geq \frac{1}{n} \sum \frac{1}{\lambda} b_i$$将上述两式相乘，并取$$\lambda^{1/p}$$次方和$$\frac{1}{\lambda^{1/q}}$$次方可得霍尔德不等式，证毕。