专题几何不等式
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几何不等式
东北师大附中 卢秀军
一、基础知识
1．定义：几何问题中出现的不等式称为几何不等式. 常常表现为角的大小，线段的长短，面积的多少等. 在几何不等式的证明中，将综合运用到我们所学的很多知识，但最首要的是要注意运用几何中基本的不等关系和一些重要定理．证明不等式，视其论证过程中，以运用何种知识为主，大致分为三种方法：几何方法；三角方法；代数方法。
2．证明几何不等式常用方法
（1）代数方法：利用变量代换、因式分解、配方等手段将几何问题转为代数问题，其思路是：
（1）适当地引入变量，将几何问题化为代数问题，特别是二次函数；恰当选择变量为关键；
（2）利用重要的几何不等式及代数不等式；
（3）当证明涉及三角形不等式时，注意应用：①三边长的固有不等关系；②海伦公式；③边长的大小顺序关系与对应角的大小顺序关系相同，而与对应高、中线及分角线长的顺序相反.
（2）三角方法：利用三角函数来反映几何图形的变化规律，从而将几何问题转化为三角问题，这时最常用的三角知识是：
（1）三角恒等变形：这主要是应用和、差、倍、半角公式，积化和差及和差化积公式等，制造出便于应用已知不等式的形式，以完成命题的证明；
（2）边角互换：这主要是利用三角函数定义、正弦定理、余弦定理等，把一个关于角（边）的不等式转化成边（角）的不等式.
（3）几何方法：即指用纯粹的平面几何知识来证明几何不等式，这时最常用的平面几何知识是：
（1）抓住几何图形的特征，挖掘几何图形中最基本的几何不等关系.事实上，一些最基本的几何不等关系在有关几何不等式的论证中异常活跃，常常成为解决问题的钥匙；
（2）与面积有关的几何不等式也占有重要地位.其内容丰富，涉及面宽，富于智巧.证明这类不等式大都需要利用面积的等积变换、面积公式及面积比的有关定理等知识.
3．几个著名代数不等式
在几何不等式的证明中，常常需要一些著名的代数不等式——柯西不等式，排序不等式，算术平均不等式等.
4．几个著名的几何不等式
（1）托勒密定理的推广：
在凸四边形ABCD中，一定有：BDACBCADCDAB，等号成立时四边形ABCD是圆内接四边形.
证明1：取点E，使ACDABECADBAE，
则ABE∽ACD 2 / 17
∴CDBEACAB，ADAEACAB
∴BEACCDAB （1）
又DAEBAC
∴ABC∽AED
∴ADACDEBC
∴DEACADBC
∴BDACDEBEACDEACBEACADBCCDAB)(
上式等号成立当且仅当E在对角线BD上.此时ACDABD，从而四边形内接于圆.
证明2：复数法
设A、B、C、D对应的复数分别是1z、2z、3z、4z
用到下面的恒等式142324313412()()()()()()0zzzzzzzzzzzz
则12341423|()()||()()|ABCDADBCzzzzzzzz
12341423|()()()()|zzzzzzzz
2431|()()|zzzzACBD
（2）（嵌入不等式） 设,,,(21),xyzRABCkkZ，
求证：CxyBzxAyzzyxcos2cos2cos2222
等号成立的充要条件是：BzCyxcoscos及BzCysinsin.
证明：CxyBzxAyzzyxcos2cos2cos2222
)cos(2)coscos(2222CByzzyxCyBzx
222)sinsin()coscos()coscos(2CyBzCyBzxCyBzx
0)sinsin()coscos(22CyBzCyBzx
当且仅当BzCyxcoscos且BzCysinsin时取等号
（3）艾尔多斯——莫迪尔（Erdos—Mordell）不等式：
在ABC内部任取点P，,AdBd,Cd分别表示由点P到顶点CBA,,之间的距离，cbaddd,,分别表示由点P到边ABCABC,,的距离，
则)(2cbaCBAdddddd
证明1：
过P作直线XY分别交ACAB,于YX,，使ABCAYX
则AYX∽ABC 3 / 17
YXPCBAPFEDCBA∴BCABXYAYBCACXYAX,
又∵AbcAXYdXYdAYdAXS212121
∴bcAdXYAYdXYAXd
即bcAdBCABdBCACd
同理：acBdACABdACBCd
abCdABACdABBCd
∴)(2cbaCBAdddddd
证明2：FAEP,,,四点共圆
则AdAEFsin
在EFP中，由余弦定理得
)cos(2222CBddddEFbcbc
22)sinsin()coscos(CdBdCdBdbcbc
2)sinsin(CdBdbc
∴CdBdEFbcsinsin
∴bcAdACdABdsinsinsinsin
同理acBdBCdBAdsinsinsinsin
acCdCBdCAdsinsinsinsin
∴)(2cbaCBAdddddd
证明3：设CPABPCAPB,,
则cos2222BABAddddAB
cos2222CBCBddddBC
cos2222ACACddddCA
又sin2121CBadddBC 4 / 17
∴)cos1(2)(sincos2sin222CBCBCBCBCBCBaddddddddddddd
2cos212sin22sin)cos1(2sin2CBCBCBCBCBdddddddddd
即2cos21CBaddd
同理2cos21ACbddd
2cos21BAcddd
)2cos2cos2cos(21BAACCBcbaddddddddd
)(21CBAddd（嵌入不等式）
证明四：
设2,2,2BPCCPAAPB，且
设它们的内角平分线长分别是abcwww、、，且aabbccwdwdwd、、
只要证更强的结论
2()ABCabcdddwww
112()()22BCBCBCaBCddddaddawdd
222(2)BCBCBCBCddddadddd
又222cos22BCBCddadd，即2222cos2BCBCddadd
∴22(1cos2)coscosBCBCaBCBCBCddddwdddddd
同理cosbACwdd，coscABwdd
∵
∴由嵌入不等式得
2()2(coscoscos)abcBCACABABCwwwddddddddd
（4）外森比克不等式： 5 / 17
设ABC的边长和面积分别为cba,,和S，则Scba34222，当且仅当ABC为正三角形时等号成立.
证明方法很多，证明略
5．费尔马(Fermat)问题：在ABC中，使PCPBPA为最小的平面上的P点称为费尔马点.当120BAC时，A点为费尔马点；当ABC中任一内角都小于120时，则与三边张角为120的P点为费尔马点.
例题
例1 已知ABC，设I是它的内心，CBA,,的内角平分线分别交其对边于///,,CBA，求证：27841///CCBBAACIBIAI.
证明：令cABbCAaBC,,
由角平分线定理，易得cbabCAcBAIAIA///
∴cbcbaIAAA/
∴cbacbAAIA/
易得121cbacbcbcbcb
∴)1,21(/cbacbAAIA
同理)1,21(/cbacaBBIB
)1,21(/cbabaCCIC
则2/////CCICBBIBAAIA
处理（1）
令3/2/1/21,21,21tCCICtBBIBtAAIA，
则21),1,21(,,321321tttttt
∴2783)21()21()21()21)(21)(21(3321321tttttt 6 / 17
SRQPCBA∴41)(21)(4181)21)(21)(21(321133221321321ttttttttttttttt
∴27841///CCBBAACIBIAI
处理（2）令zCCICyBBIBxAAIA///,,，
则2zyx，且1,,(,1)2xyz
∴278)3(3zyxxyz
21113139(2)(2)()[()]22222416xyzxxzzzzzzz
又112z（2139[()]2416z在区间端点取到最小值）
∴221391391[()][(1)]241624164xyzz
处理（3）利用内切圆与三角形的切点把每条边分成两部分作变换
令mkcknbnma,,
)(22)(22)(22///knmknmknmknmknmknmCCBBAACIBIAI
41)(8))(()()(333knmmnkknmnkmkmnknmknm
说明：
证明关于三角形内各元素的各种不等式时，常作如下变换：
（由于三角形的内切圆存在，三条边总可表示为）
)0,,(,,,zyxxzczybyxa，反之，若三个正数cba,,可以表示为上述形式，则cba,,一定是某个三角形的三边，并且相应的三角形的其它元素也可以通过上面变换用zyx,,表示，有关三角形的一些几何不等式都可以化为关于zyx,,的代数不等式
例2 设P是ABC内的一个点，SRQ,,分别是CBA,,与P的连线与对边的交点（如图），求证：ABCQRSSS41.（QRS是塞瓦三角形）
分析：利用补集思想
证明ABCCQRBSQASRSSSS43
证明1：令RACRQCBQSBAS,,，
初中数学竞赛第十二讲几何不等式(含解答)
第十二讲 几何不等式
一、选择题
1．已知线段a,b,c的长度满足a < b < c，那么以a,b,c为边组成三角形的条件是（ ）
A．c – a < b ; B．2b < a + c ; C．c – b > a; D．2b< ac
2．在△ABC中，若∠A=58°，AB>BC，则∠B的取值范围是（ ）
A．0°< ∠B < 64°; B．58°< ∠B < 64°
C．58°< ∠B < 122°; D．64°< ∠B < 122°
3．在锐角三角形ABC中，a = 1, b = 3，那么第三边c的变化范围是（ ）
A．2 < c < 4; B．2 < c < 3; C．2 < c < 10; D．22< c < 10
4．一个等腰三角形ABC，顶角为∠A，作∠A的三等分线AD、AE，即∠1 = ∠2 = ∠3（如图），若BD=x, DE=y, CE=z，则有（ ）
A．x > y > z ; B．x = z > y
C．x = z < y; D．x < y = z
5．已知三角形三边长a,b,c都是整数，并且a≤b
7，那么这样的三角形共有（ ）个。
A．21; B．28; C．49; D．14
二、解答题
1．如图，已知△ABC中，AB > AC，AD是中线，AE是角平分线。
求证：（1）2AD < AB + AC；（2）∠BAD > ∠DAC；（3）AE < AD。
2．如图，已知△ABC ，AB=AC，AD是中线，E为∠ABD内任一点。求证：∠AEB > ∠AEC。
3．如图，已知△ABC中，AB=AC，E、F分别在AB、AC上且AE=CF。求证：EF≥21BC。
4．如图，已知△ABC中，BC大于其它两边，D、E分别在AB、AC上，连结DE。求证：DE < BC。
5．如图，已知△ABC中，∠ABC > ∠ACB，BE、CF分别是角平分线。求证：BE < CF。
专题七下第2讲几何证明选讲、不等式选讲
1 第2讲 几何证明选讲、不等式选讲
高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)三角形及相似三角形的判定与性质；(2)圆的相交弦定理，切割线定理；(3)圆内接四边形的性质与判定；(4)相交弦定理.本内容考查属B级要求；(5)含绝对值的不等式解法、不等式证明的基本方法、利用不等式性质求最值以及几个重要不等式的应用，属B级要求.
真 题 感 悟
1.(2017·江苏卷)如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足.
求证：(1)∠PAC＝∠CAB；
(2)AC2＝AP·AB.
证明 (1)因为PC是圆O的切线，所以∠PCA＝∠CBA，
又AP⊥PC，所以∠PAC＋∠PCA＝90°，
因为AB为半圆O的直径，
所以∠CAB＋∠CBA＝90°，
所以∠PAC＝∠CAB.
(2)由(1)可得△PAC∽△CAB，所以APAC＝ACAB，
所以AC2＝AP·AB.
2.(2016·江苏卷)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，D为垂足，E是BC的中点，求证：∠EDC＝∠ABD.
证明 由BD⊥AC.可得∠BDC＝90°，
由E为BC中点，可得DE＝CE＝12BC，
则∠EDC＝∠C，由∠BDC＝90°，得∠C＋∠DBC＝90°，
又∠ABC＝90°，则∠ABD＋∠DBC＝90°，
∴∠ABD＝∠C， 2 又∵∠EDC＝∠C，∴∠EDC＝∠ABD.
3.(2017·江苏卷)已知a，b，c，d为实数，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，证明ac＋bd≤8.
证明 由柯西不等式可得(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，
即(ac＋bd)2≤4×16＝64，故ac＋bd≤8.
4.(2016·江苏卷)设a＞0，||x－1＜a3，|y－2|＜a3，求证：|2x＋y－4|＜a.
证明 由a＞0，|x－1|＜a3可得|2x－2|＜2a3，
又|y－2|＜a3，
∴|2x＋y－4|＝|(2x－2)＋(y－2)|≤|2x－2|＋|y－2|＜2a3＋a3＝a.
高二数学竞赛班二试平面几何讲义第十讲几何不等式
数学 高二数学竞赛班二试平面几何讲义
第十讲 几何不等式
班级 姓名
一、知识要点：
1．Ptolemy（托勒密）不等式
若ABCD为四边形，则AB×CD+AD×BC≥ AC×BD。等号成立时A,B,C,D四点共圆
2．Erdos－Mordell（埃尔多斯—莫德尔）不等式
设P是ΔABC内任意一点，P到ΔABC三边BC,CA,AB的距离分别为PD=p,PE=q,PF=r，记PA=x,PB=y,PC=z。则x+y+z≥2*(p+q+r)
证明：因为P,E,A,F四点共圆，PA为直径，则有:EF=PA*sinA。
在ΔPEF中，据余弦定理得:
EF^2=q^2+r^2-2*q*r*cos(π-A)=q^2+r^2-2*q*r*cos(B+C)
=(q*sinC+r*sinB)^2+(q*cosC-r*cosB)^2≥(q*sinC+r*sinB)^2，
所以PA*sinA≥q*sinC+r*sinB，即PA=x≥q*(sinC/sinA)+r*(sinB/sinA) (1)。
同理可得: PB=y≥r*(sinA/sinB)+p*(sinC/sinB) (2)，
PC=z≥p*(sinB/sinC)+q*(sinA/sinC) (3)。 由(1)+(2)+(3)得:
x+y+z≥p*(sinB/sinC+sinC/sinB)+q*(sinC/sinA+sinA/sinC)+r*(sinA/sinB+sinB/sinA)≥2*(p+q+r)。命题成立。
3．Weitzenberk（外森比克）不等式：
若,,abc为三角形三边长，S是三角形面积, 则：22243abcS。等号成立当且仅当ABC为等边三角形。
证明：只需证明222212cos43sin2abababCabC，
只需证明22(cos3sin)ababCC，222sin()6ababC，成立。
三角方法研讨几何不等式
第 1 页 三角方法研讨几何不等式
定理1.9：若P是ABC内部一点，从P向ABC三边作垂线123PHPHPH,,，
则：122PAPBPC2PHPHPH() 121()
这个不等式是鄂尔多斯在1935年的猜想，同年被莫德尔证明，故被命名为鄂尔多斯-莫德尔不等式。
证明：将其变换为三角几何不等式。
记：11hPH，22hPH，33hPH，并应用正弦定理和余弦定理。
由于2PHA2， 3PHA2
所以23AHPH,,四点共圆，PA为圆直径。
由正弦定理得：23HHPAAsin，
即：23PAAHHsin ①
由余弦定理得：2223232323HHPHPH2PHPHHPHcos ②
由①②得：22232323PAAHHhh2hhAsincos() ③
同理：22311313PBBHHhh2hhBsincos() ④
22121212PCBHHhh2hhCsincos() ⑤
由③④⑤得：
233112HHHHHHPAPBPCABCsinsinsin ⑥
于是，我们只需证明：233112123HHHHHH2hhhABC()sinsinsin ⑦
由于12HH等项数多且根号，我们采用其平方策略，以及ABC。
由③式及放缩法得：
222232323HHhh2hhAcos()
222323hh2hhBCcos() A B C
P H1 H2
H3 第 2 页 2222222323hCChBB2hhBCBC(sincos)(sincos)(coscossinsin)
22222233hC2hhBChB(sinsinsinsin)
22222233hC2hhBChB(coscoscoscos)
222323hChBhChB(sinsin)(coscos)
人教版初中数学竞赛专题复习第17章 几何不等式与极值问题(含答案)
第17章 几何不等式与极值问题
17.1.1★ 一个凸行边形的内角中,恰好有4个钝角,求n的最大值．
解析 考虑这个凸行边形的n个外角,有4n个角90≥,故有490360n（严格小于是由于4个钝角的外角和大于0）,因此8n,n的最大值是7．易构造这样的例子。
如果恰好有k个钝角,则n的最大值是3k.
17.1.2★ 在ABC△中,ABAC,P为BC边的高AD上的一点,求证：ABACPBPC.
PCDBA
解析 易知ABACPBPC,
又2222ABACBDCD
22PBPC,
故有ABACPBPC．
评注 读者不妨考虑AD是角平分线与中线的情况．
17.1.3 已知四边形ABCD,AC、BD交于O,ADO△和BCO△的面积分别为3、12,求四边形ABCD面积的最小值．
CBODA
解析 易知ABOBCOADODCOSSBOSDOS△△△△,故36ABOCDOADOBCOSSSS△△△△.
从而212ABOCDOABOCDOSSSS△△△△≥,
且当ABOCDOSS△△（此时四边形ABCD为一梯形）时等号成立,所以此时四边形ABCD面积达到最小值27.
17.1.4★ 已知：直角三角形ABC中,斜边BC上的高6h．
（1）求证：BChABAC；
（2）求22BChABAC-.
解析 22BChABAC
222222BChBChABACABAC, 由条件,知242ABCBChSABAC△,且222ABACBC,
于是22236BChABACh.
注意：这同时解决了（1）和（2）.
17.1.5★ 设矩形ABCD,10BC=,7CD,动点F、E分别在BC、CD上,且4BFED,求AFE△面积的最小值．
BFCEDA
解析设 BFx,4DEyx,则117101077022ABFADEECFSSSxyxyxy△△△。
平面几何的方程与不等式
平面几何的方程与不等式
在平面几何中，方程与不等式是研究几何性质和解决几何问题的重要工具。方程与不等式的运用可以描述几何图形的性质，推导出几何定理以及解决实际问题。本文将介绍平面几何中方程与不等式的基本概念、应用以及解题技巧。
一、平面几何中的方程
1.1 点、直线和圆的方程
在平面几何中，我们经常研究点、直线和圆的性质和关系。而这些几何元素在坐标系中可以用方程表示。
对于点而言，设坐标系中点的坐标为(x, y)，那么该点的方程可以表示为x=a，y=b，其中a和b为常数。
直线在坐标系中可以用一般式方程表示为Ax+By+C=0，其中A、B、C为常数，且A与B不能同时为零。
圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a, b)为圆心坐标，r为半径。
1.2 直角坐标与极坐标
除了一般式方程，我们还可以用直角坐标和极坐标表示平面几何中的方程。
直角坐标系中，点的坐标为(x, y)；而在极坐标系中，点的坐标用(r,
θ)表示，其中r为点到原点的距离，θ为该点与x轴正半轴的夹角。 在直角坐标系中，方程的形式可以是y=f(x)或x=f(y)；在极坐标系中，方程的形式可以是r=f(θ)。
二、平面几何中的不等式
2.1 直线和线段的不等式
在几何中，直线和线段有时候需要用不等式来描述其关系。
对于直线而言，我们可以用一般式方程Ax+By+C=0来表示；而对于不等式，我们可以通过改变等号的方向来表示直线上方或下方的点。例如Ax+By+C>0表示位于直线上方的点。
对于线段，通常用坐标表示其两个端点的坐标，然后通过不等式来描述线段上的点。例如，若线段AB上的点P的坐标为(x, y)，则可以通过不等式表示为x1≤x≤x2，y1≤y≤y2，其中A(x1, y1)和B(x2, y2)为线段的两个端点。
2.2 圆的不等式
圆的不等式通常用来描述圆内或圆外的点。对于圆心坐标为(a, b)，半径为r的圆而言，可以使用以下不等式来描述圆内或圆外的点：
例谈解析几何问题的不等式解法——柯西不等式的又一应用
◇江苏陈庆华
柯西不等式是高中数学新课程４－５的选修内容， 是最著名的不等式之一．学习这一内容可以让学生领
略经典不等式的几何意义及其应用，同时近几年高考 各省份加大了对“柯西不等式”的考查，成了高考中的
“常客”．柯西不等式结构独特，应用广泛，在解决相关
数学问题，如求函数最值、不等式证明、解三角形等方 面有着自身独特的优势，尤其是涉及到具有约束条件 的多元函数的最值问题．柯西不等式处于不可替代的
地位．然而，它在解析几何中的作用并未得到充分的 发挥，本文从几个方面谈谈自己的看法，供大家参考．
１柯西不等式的内容
设ｎ为大于１的自然数，Ⅱ ，ｂ （ｉ一１，２，３，…，７ｚ）
为任意实数，则
∑ｎ ∑６ ≥（∑ｎ ｂ ） ，
其中等号当且仅当ａ 一ｋｂ 时成立（ｉ一１，２，３，…， ）．
２点到直线的距离公式的推导
例１ 已知点Ｐ（ｘ。，ｙ。）和直线Ａｚ＋Ｂ ＋ｃ一０， 求点Ｐ（ｘ。，Ｙ。）到直线Ａｚ＋Ｂ ＋Ｃ一０的距离．
分析点到直线距离即为点Ｐ与直线上任意一 点所连线段中最短的线段．
解设Ｍ（ｘ， ）为直线上的任意一点，点到直线 距离为ｄ，则
１ＰＭＩ一￣／（ｚ—ｚ。） ＋（ — 。） ，
所以
ＩＰＭ￣。一 ＋ ，
由柯西不等式知
（Ａ。＋Ｂ。）ｌＰＭｌ 一
（Ａ ）［ ＋ ］≥
［（Ａｚ—Ａｚ。）＋（Ｂ —Ｂｙ。）］ 一
（一Ａｘ０一Ｂｙ０一Ｃ） ， 所以
Ｉ ＰＭＩ…一 ，
捧 当且仅当—垒一一一旦一时等号成立． ｚ０ Ｙ Ｙｏ ３在线性规划方面的运用
■Ｐ ，－ 例２ 已知实数ｚ，Ｙ满足方程ｚ ＋．ｙ 一４ｘ＋１— ０．求 —ｚ的最大值和最小值．
分析形如ｔ—ｎｚ＋ｂｙ的最值问题，可以转化为 动直线截距的最值问题，解法非常自然，然而，如果借 助柯西不等式，也可以顺利地得出结论，它的最大优
势是避开了繁琐的画图． 解 因为ｚ ＋ 一４ｚ＋１一ｏ，所以 （ｚ一２） ＋ 。一３，
构造柯西不等式
算术-几何平均不等式
算术-几何平均不等式
算术-几何平均不等式是数学中的一个重要不等式，也被称为AM-GM不等式。该不等式指出，对于一组非负实数，它们的算术平均值（所有数的和除以数量）不小于它们的几何平均值（所有数的乘积开根号）。简单地说，对于一组非负实数a1，a2，...，an，有以下不等式成立：
(a1+a2+...+an)/n ≥ (a1 * a2 * ... * an)^(1/n)
其中，左边代表这些数的算术平均值，右边代表它们的几何平均值。这个不等式在代数和数学证明中经常被使用，尤其在优化问题和不等式证明中。
算术-几何平均不等式可以推广到更一般的情况，比如对于任意数量的非负实数。此外，还有类似的不等式，如几何-调和平均不等式、算术-调和平均不等式等，它们在数学中也有广泛的应用。
这个不等式的证明可以通过多种方法完成，包括数学归纳法、Cauchy-Schwarz不等式等。无论如何，算术-几何平均不等式在数学中有着广泛的应用和研究价值。
八年级数学竞赛讲座几何不等式附答案
1 第三十二讲 几何不等式
1．三角形的不等关系是研究许多几何不等问题的基础，这种不等关系分为两类：一类是在同一三角形中进行比较；一类是在两个三角形中比较．这里主要方法是把要比较的边或角如何转化到同一个三角形或适当安排在两个三角形之中．
2．在同一个三角形中有关边或角不等关系的证明，常有以下定理：
(1)三角形任何两边之和大于第三边．
(2)三角形任何两边之差小于第三边．
(3)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．
(4)同一三角形中大边对大角．
(5)同一三角形中大角对大边．
例题求解
【例1】 如图19-2，在等腰梯形ABCD中，A∥BC，AB=CD，E、F分别在AB、CD上且AE=CF．求证：)(21BCADEF．
思路点拨 如图所示，延长AD至D1使DD1=BC，延长BC至Cl，使CCl =AD，连结ClDl，则ABC1Dl是平行四边形，ABCD和CDDlCl是两个全等的梯形，在D1C1上取一点G使D1G=AE，连结FG和EG．
由AE=CF，则EF=FG，又EG=AD1=AD+BC，
∴ 2EF=EF+FG≥EG=AD+BC．
即)(21BCADEF．
注 当且仅当点F落在EG上时，即E为AB的中点时，结论中的等号成立．证明这类不等式的一个常用方法是能过添加辅助线，把要比较大小的线段或角集中到一个三角形中，或者适当地安排在两个三角形中，以便应用上述基本不等式关系．
【例2】 如图19-3，△ABC中，AB>AC，BE、CF是中线，求证：BE>CF．
2
思路点拨 将BE、CE分别平移到FG、FD，则四边形EFDC为平行四边形，作FH⊥BC于H．
∴AB>AC，且F，E分别为AB、AC的中点，∴ FB>CE．
∴ FB>FD，由勾股定理得：HB>HD，即FB>FD．
又∵GH=GB+BH=EF+BH=DC+BH>CD+DH=CH，
不等式的几何解法
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不等式的几何解法
一、不等式的几何解法是啥呢？
嘿呀，小伙伴们，咱们来聊聊不等式的几何解法这事儿。不等式这东西啊，其实从几何的角度去看特别有趣。比如说一元一次不等式，在数轴上就有特别好玩的表现。咱们想象一下，不等式就像是数轴上的一些规则，决定哪些数能满足它的要求。
就像x > 3这个不等式，在数轴上呢，3这个点就像是一个分界线，所有比3大的数所在的那部分数轴就是这个不等式的解啦。这就像是数轴上的一个小领地，只有符合条件的数才能待在里面呢。
再比如说二元不等式，这时候就和平面直角坐标系有关啦。比如说x + y > 5这个不等式，它在坐标系里对应的就是一条直线x
+ y = 5把平面分成了两部分，满足不等式的点就在这条直线的某一侧。这就像在平面上划分了不同的区域，只有特定区域里的点才是这个不等式的解。
而且啊，咱们看一些更复杂的不等式，像二次不等式。比如说x² - 3x + 2 > 0，咱们先把它对应的二次函数y = x² - 3x + 2的图像画出来。这个二次函数的图像是一个抛物线呢。那这个不等式的解呢，就是抛物线在x轴上方的部分对应的x的取值范围。这就像是根据抛物线的高低来确定哪些x能让这个不等式成立。
二、不等式几何解法的一些小技巧
咱们在解不等式几何解法的时候啊，有不少小窍门。比如说在数轴上解不等式的时候，一定要注意端点的情况。是开区间还是闭区间，这就好比是这个小领地的边界是能进去还是不能进去，可不能马虎哦。
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在平面直角坐标系里呢，要准确画出对应的直线或者曲线。有时候可能会遇到斜着的直线或者奇奇怪怪形状的曲线，这时候就得耐心点啦。而且在判断区域的时候，咱们可以找一个特殊点来测试一下，看这个点是不是满足不等式，这样就能很快确定是哪个区域啦。
对于一些复杂的不等式组合，比如说多个不等式一起的情况，那就像是好几个领地的规则同时存在。咱们得一个一个地分析，然后找到它们共同的部分，这就是所有不等式都满足的解啦。