周世勋量子力学教案2

§ 2.1波函数的统计解释

一.波动—粒子二重性矛盾的分析

物质粒子既然是波，为什么长期把它看成经典粒子，没犯错误？

实物粒子波长很短，一般宏观条件下，波动性不会表现岀来。到了原子世界（原子大小约1A）,物质波的波长与原子尺寸可比，物质微粒的波动性就明显的表现岀来。

传统对波粒二象性的理解：

（1）物质波包会扩散，电子衍射，波包说夸大了波动性一面。

（2）大量电子分布于空间形成的疏密波。电子双缝衍射表明，单个粒子也有波动性。疏密波说夸大了粒子性一面。

对波粒二象性的辨正认识：微观粒子既是粒子，也是波，它是粒子和波动两重性矛盾的统一，这个波不再是经典概念下的波，粒子也不再是经典概念下的粒子。在经典概念下，粒子和波很难统一到一个客体上。

二.波函数的统计解释

1926年玻恩提岀了几率波的概念：在数学上，用一函数表示描写粒子的波，这个函数叫波函数。波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。既描写粒子的波叫几率波。

描写粒子波动性的几率波是一种统计结果，即许多电子同一实验或一个电子在多次相同实验中的统计结

果。

几率波的概念将微观粒子的波动性和粒子性统一起来。微观客体的粒子性反映微观客体具有质量，电荷等属性。而微观客体的波动性，也只反映了波动性最本质的东西：波的叠加性（相干性）。

描述经典粒子：坐标、动量，其他力学量随之确定；

描述微观粒子：波函数，各力学的可能值以一定几率岀现。

设波函数二...丄描写粒子的状态，波的强度':I _ !，则在时刻t、在坐标x到x+dx、y到y+dy、

z到z+dz的无穷小区域内找到粒子的几率表示为，“；应正比于体积「；=dxdydz和强度

|列

止球（忌”和）= U|①dr

归一化条件：在整个空间找到粒子的几率为1。

归一化常数可由归一化条件确定

j|4>|2dr

重新定义波函数.mu

■-f- ■1 --1叫归一化的波函数。

Ji 甲F 国£=Jcjef dr=\

在时刻t、在坐标（x,y,z）点附近单位体积内找到粒子的几率称为几率密度，用表示，则

f|^|a dr

只有］

有限时才能归一化为

经典波和微观粒子几率波的区别：

（1） 经典波描述某物理量在空间分布的周期变化，而几率波描述微观粒子某力学量的几率分布； （2） 经典波的波幅增大一倍，相应波动能量为原来四倍，就变成另一状态了；而微观粒子在空间岀现

的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度，

将几率波的波幅增大一倍并不影响粒子在空间各点岀现的几

率，即将波函数乘上一个常数，所描述的粒子的状态并不改变；

（3） 对经典波，加一相因子

，状态会改变，而对几率波，加一相因子

，-:不会引起状态改变。

问题：设波函数为J ，求在（二恳4=）范围找到粒子的几率。

问题：在球坐标系中，粒子波函数表示为* ’乞二，求（a ）在球壳.■/

中找到粒子的几率

（b ）在-； 方向的立体角，-中找到粒子的几率。

§ 2.2态迭加原理

波函数的统计解释是波粒二象性的一个表现。 微观粒子的波粒二象性还可以通过量子力学的一个基本原

理：态迭加原理表现。

经典的波是遵从迭加原理的，两个可能的波动过程

与一的线性迭加 a% +占血

也是一个可能的波动过程。波的干涉、衍射现象可用波的迭加原理解释。 量子力学的态迭加原理：

如果［和1是体系的可能状态，那么它们的线性迭加：- :-一（九巾 是

复数）也是这个体系的一个可能状态。

电子双缝衍射：设-1表示电子穿过上面窄缝到达屏的状态，设

表示电子穿过下面窄缝到达屏的状态。

表

|靈卩十禺+內巴|冷5蜀|3 +6竖|2

壮;6%巴+*；蜀雪

正是干涉项的存在，才有了衍射条纹。 经典的态具有正交性，而量子态具有相干性。

空=5蜀+5巴+…+ 6瓦+…

也是这个体系的一个可能状态

经典力学质点运动：初始状态（位置、速度） §2.3 薛定谔方程

量子力学波函数：初始状态波函数

az

归一化的波函数还有一不确定的相因子

推广到更一般情况：当

.任意时刻质点的状态

薛定谔在

1926年建立了薛定谔方程

对波函数所满足的方程的要求：

(1)线性方程，迭加原理的要求；

(2)方程系数不含状态参量(动量、能量)，各种可能的状态都要满足方程。

建立过程：自由粒子波函数所满足的方程推广到一般。

自由粒子的波函数为平面波：

对时间求偏微商:

对坐标求二次偏微商:

同理得：八d2z 护

将以上三式相加：」丄，

利用自由粒子的能量和动量的关系，我们可得到自由粒子波函数所满足的微分方程:

上式中劈形算符：丈'匕"

V3T

&旦十％) 如存在势能”，能量和动量的关系是：:-

波函数应满足的微分方程是；

ih —=

di2“

这个方程称为薛定谔方程。

由建立过程可以看出，只需对能量动量关系进行如下代换:

就可得到薛定谔方程。

注意：薛定谔方程是建立起来的，而不是推导出来的，它是量子力学中的一个基本假设，地位同牛顿力学 中的牛顿方程。它的正确性由方程得岀的结论与实验比较来验证。

多粒子体系的 薛定谔方程，设体系有 N 个粒子，)1 1•分别表示这N 个粒子的坐标，体系的状态

波函数为：｝ H

，体系的势能为-''「I " — •

'，则体系的能量可写成

E ~ih ------

+

. X, r-r

上式两边乘以波函数 =，并作代换：

上，:'■

-4. a -r d * d

Vj ------ + j --- 4-i ----

其中:…;

“ 匸

iA —= -^ — V^T + i7(r)T 就得到多粒子体系的薛定谔方程： 门 T' …

§ 2.4粒子流密度和粒子数守恒定律

•连续性方程

设描写粒子的状态波函数为:

几率密度随时间的变化率是

由薛定谔方程和其共轭复数方程得

将上两式代入得

A JA 4 fc

一 =-

= —V (^*VT -TV 1?') 观 2"

3

.■fc

J - —

-T*VT)

2A

—+ 7 J = 0

则：…

，连续性方程。

上式两边对空间任意一体积 V 积分

[—dT= — \ w^r=-[ VJdz M dt dt iv

”

利用高斯定理得：

-■'：则几率密度为

w(r,£)=

dt

---- +■ -----

dt dt

更L 戲护甲+丄〔尸艸 dt

2p

ih