等腰三角形的分类讨论思想
等腰三角形问题中的分类讨论思想教学设计
西安市远东第一中学罗天马
年级:七年级所属学科: 数学
学情分析 | 教学目标 | 教学过程 | 小结 | 反思
学情分析:
课本上已经在七下第五章《生活中的轴对称》第3小节第1课时完成了对等腰三角形性质的学习,但是学生对等腰三角形性质的应用和等腰三角形与高线、中线、垂直平分线等知识相结合的一些综合题型并没有明确的认识,无法熟练运用所学知识解决问题。
这节课将对不同等腰三角形与这些知识的结合加以补充，使学生对等腰三角形的分类讨论思想有明确和深刻的认识。
教学目标：
1．通过自学、讨论学习，解决等腰三角形的遇边、遇角的讨论问题。
2．深入学习分类讨论的思想，学会将等腰三角形分成锐角和钝角三角形进行分类、讨论。
3.经历、体验、探索等腰三角形性质的过程，渗透从一般到特殊、类比的数学思想，培养学生归纳和初步的分类讨论能力。
教学重点:
学会将等腰三角形分成锐角和钝角三深入学习分类讨论的思想，
角形进行分类、讨论。
教学难点:
学会将等腰三角形分成锐角和钝角三角形进行分类、讨论。
教学过程：
一、自主学习、合作交流
本环节是考查学生对等腰三角形性质的基本应用能力,通过对等腰三角形边和角的位置进行分类讨论,让学生明白等腰三角形需要讨论的原因是边和角位置的不确定性。
只有确定了边和角的位置，才能确定正确答案。
（一）遇边讨论
（1）已知等腰三角形的一边等于4，另一边等于9，则它的周长为
（2）若一个等腰三角形两边的长为4cm、6cm，则该等腰三角形的周长为
注意：在讨论边的位置关系的同时还应提醒学生考虑三边关系，确认能否围成三角形，中等生和学困生容易忽略这个问题。
（二）遇角讨论
（3）已知等腰三角形的一个内角为75°，则该等腰三角形顶角的度数为。
（4）如果等腰三角形的两个内角的度数之比为1：4，那么这个三角形三个内角各是多少度？
让学生通过自主学习对等腰三角形为什么需本环节的设计意图：
然后通要讨论有一个初步认识，在自主学习的过程中形成自然讨论。
小组长订正小组成员的答案并负责对本小组学困生的答过小组讨论，合作交流的过程中，疑解惑完成自主学习。
教师在学生完成自主学习、本环节结束后进行提来到各小组了解学生的学习情况，并参与讨论。
问： 4道题的答案分别是多少？提问一：这提问二：答案为什么不是唯一的？是什么原因导致的？二、精讲精练（三）遇中线讨论：边上ACAB=AC，周长为27cm ，且在等腰三角形ABC中，已知各边的的两个三角形，求△ABCABC的中线BD把△分成周长差为3cm 长。
A
D
A
D
C
B
B
C
2
1
设计意图：这类题型学生有所接触，但都比较简单。
大部分学生知道周长之差是由AB-BC的差得到的。
本题在出示时先出示图1，暂不出示图2，所以学生在做题时可能没有考虑AB边和BC边的大小关系对本题的影响，即没有考虑锐角等腰三角形和钝角等腰三角形对本通过
对本题的讲解要让学生开始关注锐角的等腰三角题答案的影响。
．
形和钝角的等腰三角形对答案的影响。
提问三：在这道题中是什么原因导致本题的多解?
本题的解题方法要用到二元一次方程组的解题方法，适当引入带入消元法，将二元一次方程组转化为一元一次方程解题。
用带入法解二元一次方程组的方法在以前的教学中已经有所渗透，所以学生在解题上不存在理解问题。
（四）遇高讨论：
若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°,求这个三角形
各内角的度数。
A
D
A
D
B
C
C
B
2
1 图图通过对中线问题的讨论学生对分类讨论的主要原因应设计意图：有了初步认识，所以在本题中大部分同学会想到要将等腰三角形分成锐角的等腰三角形和钝角的等腰三角形来进行讨论。
但对夹角的位置可能认识不清，需进一步明确夹角在什么位置。
题中图2涉及到的∠BAC的求法可以用邻补角去求，也可以利用∠DAB是等腰三角形ABC的外角去求∠C从而求出各内角的度数。
使学生对等腰三角形的分类方法和分类的目的更加明确。
注：外角的性质在讲等腰三角形的性质时已补充。
三、推广探究．
（五）遇中垂线讨论
在△ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°，求∠B的度数。
设计意图：此时学生已经明确等腰三角形除了对边和角的位置需要讨论外，还要重视对锐角和钝角的等腰三角形的讨论。
所以在本题的计算中学生会重视这个问题。
但对图形的画法和夹角的位置可能还存在不能确定的问题，需加以引导。
尤其是钝角的等腰三角形中垂线和一边夹角的画法要引导。
A
D
A
E
E
D
C
B
C
B
2 图图1
四、当堂检测，求，且腰长是底边长的12cm1．若等腰三角形一边长为
这个三角形的周长。
）2x-22．已知一个等腰三角形的两个内角分别为（°和求这个等腰三角形各内角的度数。
3x-5（）°,五、交流反思，回顾小结小结时可以让学生们畅所欲言，除了总结知识点之外，他们还只要他们表会总结自己的小错误，这个时候我也会适当提问学困生，达出本节有收获，我就鼓励支持，恭喜他！并给予美好的祝愿。
有能
力的同学可以给予更深刻更有高度的引导并严格要求他，包括一些小结论希望他们能够理解并记住。
在这样“以生为本”的民主氛围中培养学生归纳、概括能力和语言表达能力，同时引导学生反思过程，从而帮助学生在头脑中将知识系统化。
我希望在课堂上不同的学生从不同的角度有不同的收获，这样也能不断给他们信心。
我们班级的学生个体差异很大，虽然参差不齐，但我
最欣慰的是都没有放弃数学学习，我想只要都能坚持学习最后都会取得一个令自己满意的成绩。
六、布置作业：（针对学生的情况采取分层次作业。
）
必做题：全品练习册第94页第12题
选做题：全品练习册第94页第14题
七、课后反思：
本节课我采用启发式、探究式等多种教学方法，创设各种教学环境，引导学生质疑、探究，合作、交流；主要让学生动手操作发现问题、解决问题，这是新课程改革的要求，也是学生进行数学研究性学习与自主学习的重要手段与途径。
通过动手操作、自主学习与合作交流探讨，不但突破了重点难点，学生学习方式也有了新的改变，学生更加体会学习的乐趣，学生的自主性、实践性、创造性得到锻炼与提高，从而完成了教学目标和过程目标。
新课程强调对学生的评价要多元化，全面化，方法多样化。
不仅关注学习结果，更要关注过程，通过练习，发现问题，针对学生的情况及时给予帮助或鼓励，完成本节课的情感目标。
本节课，不同的学．
生要有不同的标准和希望：比如我们班级，学困生通过小组活动由组内学习好的同学给予帮助,使它们也能进行判断和计算。
对于逻辑推理书写规范问题，通过课后作业留一些基础题加以巩固，慢慢练习；对于中等生掌握知识点以外，能较快完成简单计算，能较有逻辑的写出推理过程，即使很罗嗦麻烦，也要鼓励完成，课后通过作业批改，
课堂讲解等机会再规范书写，提高思维能力；对于尖子生，要求就更高更严，本节课不但要掌握等腰三角形的性质，还要灵活运用，包括一些小规律小结论。
完成基础题和计算要看速度和准确程度，推理过程不但要有逻辑，而且要规范，精炼，课后通过作业详批详改，上课板演讲解难题可以锻炼他们的逻辑思维的严密性和规范性。
无论哪类学生，都要帮助学生认识自我，建立信心，从而提高他们的数学能力。
等腰三角形中的分类讨论思想 初中八年级上册数学教案教学设计课后反思 人教版
三、布置作业
1．等腰三角形的一个内角是80°，则它的顶角的度数是()
A．80°B．80°或20°
C．80°或50°D．20°
2.等腰三角形的一个内角是80°，则它的顶角的度数是( )
A．80°B．80°或20°
让学生了解是哪几种类型需要分类讨论。一个例题对应一种类型，让学生
知一题，懂一类。
方法总结让学生形成知识体系，能达到举一反三的效果。
方法应用，及时巩固，及时反馈。
A.42°B.69° C.69°或84° D.42°或69°
方法总结：在等腰三角形中，如果已知角是直角或钝角，则一定是顶角，如果已知角是锐角时，需要分类讨论.
类型三 与等腰三角形腰上的中线有关时
例3.在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为( )
附件1
微课教学设计
作 者 信 息
微课设计者
庞玉群
工作单位
广西玉林市玉州区第九初级中学
微课制作者
庞玉群
工作单位
广西玉林市玉州区第九初级中学
微 课 信 息
学科
初中数学
教材版本
人教版
教学内容
八年级数学上册《等腰三角形中的分类讨论思想》
微课主题Байду номын сангаас
《等腰三角形中的分类讨论思想》
选题意图
等腰三角形因为其特殊的性质，在一些题目中需要进行分类讨论的，学生往往会忽略，容易漏解。
微课教学目标
理解并掌握等腰三角形的几种需要分类讨论的情况并学会如何分类讨论。
教学用途
等腰三角形中的分类讨论
等腰三角形中的分类讨论一、等腰三角形的定义等腰三角形是指具有两条边相等的三角形，也就是说，等腰三角形的两条边边长相等，而另一条边则较短。
等腰三角形可以有不同的形状和性质，下面将对等腰三角形进行分类讨论。
二、等腰三角形的分类1. 等腰直角三角形等腰直角三角形是一种特殊的等腰三角形，其中的一个内角为直角（即90度）。
在等腰直角三角形中，另外两个内角相等，均为45度。
根据勾股定理，等腰直角三角形的斜边与两条直角边之间的关系为：斜边的长度等于直角边长度的平方根乘以2。
2. 等腰锐角三角形等腰锐角三角形是指两个等腰三角形的顶点角小于90度的三角形。
在等腰锐角三角形中，两个等腰边的边长相等，而顶点角则小于90度。
等腰锐角三角形的两个等腰边的长度与顶点角之间的关系为：等腰边的长度等于另一条边的长度乘以正弦顶点角的一半。
3. 等腰钝角三角形等腰钝角三角形是指两个等腰三角形的顶点角大于90度的三角形。
在等腰钝角三角形中，两个等腰边的边长相等，而顶点角则大于90度。
等腰钝角三角形的两个等腰边的长度与顶点角之间的关系为：等腰边的长度等于另一条边的长度乘以正弦顶点角的一半。
4. 等腰等边三角形等腰等边三角形是一种特殊的等腰三角形，其中的三个边全都相等。
等腰等边三角形的三个内角均为60度。
等腰等边三角形具有许多特殊性质，例如：它的三条高线、中线、角平分线和垂直平分线都重合于同一个点；它的外接圆和内切圆都与三个顶点相切。
三、等腰三角形是指具有两条边相等的三角形，根据顶点角的大小和不同属性，可以进一步分类为等腰直角三角形、等腰锐角三角形、等腰钝角三角形和等腰等边三角形。
每种分类的等腰三角形都有其特殊的性质和关系，值得我们深入学习和研究。
注意：此文档仅为示例文档，实际写作时请根据需求进行修改和扩展，结合数学知识以及示例文档提供的内容，形成一篇丰富详尽的文档。
二次函数特殊三角形存在性问题(等腰三角形、直角三角形)
特殊图形存在性问题一、等腰三角形1、情景：平面内有点A、B，要找到点P使得△ABP为等腰三角形。
2、思想：分类讨论（1）A为顶点：AB=AP（以A为圆心、AB长为半径画圆）（2）B为顶点：AB=BP（以B为圆心、AB长为半径画圆）（3）P为顶点：PA=PB（AB中垂线）【注】：1.利用两圆一线，找到符合要求的点，如P在抛物线对称轴上，在x轴上等；然后将问题转化为，求线段等长。
2.求线段等长：两点间距离（最笨的方法）；向坐标轴做垂线，构造一线三等角例1.如图，抛物线y=−x2+2x+3y=−x2+2x+3与y轴交于点C，点D(0,1)，点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为______．练习1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B 两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3,0)，与y轴交于C(0,−3)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标．练习2、已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y=﹣x+1与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△DBO∽△EBC；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．练习4.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交A(−1,0),B(−3,0)两点，与y轴交于点C(0,−3)，其顶点为D．(1)求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y=a(x−h)2+k的形式；(2)动点M从点D出发，沿抛物线对称轴方向向上以每秒1个单位的速度运动，运动时间为t，连接OM,BM，当t为何值时，△OMB为等腰三角形？练习5.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n （m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E 两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，与x轴交于点A（5，0），第一象限的点C（m，4）在抛物线上，y轴上有一点B（0，10）．（Ⅰ）求抛物线的解析式及它的对称轴；（Ⅱ）点P（0，n）在线段OB上，点Q在线段BC上，若OP＝2BQ，且P A＝QA．求n 的值；（Ⅲ）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．19-红桥一模25．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）．（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．(17河北一模)25(10分）如图，己知抛物线y=x2+bx+c图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣3），抛物线与x轴的另一个交点为C．（1）求这个抛物线的解析式：（2）若抛物线的对称轴上有一动点D，且△BCD为等腰三角形（CB≠CD），试求点D的坐标；二、直角三角形1.情景：平面内有点A、B，要找到点P使得△ABP为直角三角形2.思想：分类讨论（1）A为顶点：∠A（过A做垂线）（2）B为顶点：∠B（过B做垂线）（3）P为顶点：∠C（AB为直径的圆）【注】1.等腰直角三角形，只需在两直线上上下找与AB等长以及过O做AB垂线与圆交点即可例1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过矩形OABC的顶点A，B与x 轴交于点E，F且B，E两点的坐标分别为B(2，32)E(−1，0)(1)求二次函数的解析式；(2)在抛物线上是否存在点Q，使△QBF为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．练习1.如图，抛物线y=x2+bx+3顶点为P，且分别与x轴、y轴交于A、B两点，点A在点P的右侧，tan∠ABO=13(1)求抛物线的对称轴和PP的坐标．(2)在抛物线的对称轴上是否存在这样的点D，使△ABD为直角三角形？如果存在，求点D 的坐标；如果不存在，请说明理由．例2.如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于AB两点，与y 轴相交与点C，且点B与点CC 的坐标分别为(3,0)，C(0,3)，点M是抛物线的顶点．(1)求二次函数的关系式(2)在MB上是否存在点P，过点P作PD⊥x轴于点D,OD=m,使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由练习2.如图，在平面直角坐标系中，直线y=−13x+2交x轴点P，交y轴于点A．抛物线y=x2+bx+c的图象过点E(−1,0)，并与直线相交于A、B两点．(1)求抛物线的解析式（关系式）；(2)过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；(3)除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣3交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点P运动到直线AB下方某一处时，过点P作PM⊥AB，垂足为M，连接PA使△PAM为等腰直角三角形，请直接写出此时点P的坐标．（18东丽-一模）25.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，1）、（1，2），过点A、B分别作y轴的垂线，垂足为D、C，得到正方形ABCD，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，点P为第一象限内抛物线上一点（不与点A重合），过点P分别作x轴y轴的垂线，垂足为E、F，设点P的横坐标为m，矩形PFOE与正方形ABCD重叠部分图形的周长为l．（1）直接写出抛物线所对应的函数表达式．（2）当矩形PFOE的面积被抛物线的对称轴平分时，求m的值．（3）当m＜2时，求L与m之间的函数关系式．（4）设线段BD与矩形PFOE的边交于点Q，当△FDQ为等腰直角三角形时，直接写出m的取值范围．三、平行四边形存在性问题类型一：1.情景：一直平面内三点A、B、C，求一点P使四边形ABCP为平行四边形2.思想：分类讨论（1）以AC为对角线：ABCP1（2）以AB为对角线：ACBP3（3）以BC为对角线：ACP2B【注】找到P点后，用平行四边形的判定定理，求等长线段，或利用等角度、平行线求坐标即可。
等腰三角形中的分类讨论思想
等腰三角形中的分类讨论思想烟台牟平实验中学赵希格一、已知等腰三角形的两边，在未指明底边和腰时，求其周长须分两种情况进行讨论；最后务必检验每种情况是否满足三角形的三边关系。
例1：等腰三角形的两边为2和4，求它的周长。
错误答案：（１）、当腰长为 2，底长为 4 时；有 2+2+4=8；其周长为 8；（2）、当腰长为 4，底长为 2 时，有 4+4+2=10；其周长为 10。
∴该等腰三形的周长为 8 或 10正确答案为：（１）、当腰长为 2，底长为 4 时；有 2+2=4；显然不符合三角形的三边关系，（2）、当腰长为 4，底长为 2 时，有 4+4+2=10；其周长为 10。
∴该等腰三形的周长为 10二、已知三角形的一个内角，要讨论所给角分别为等腰三角形的顶角，底角两种情况，而学生往往只考虑到一种情况。
例2、已知等腰三角形的一内角为 50°；求其余两个内角。
错误答案：当顶角为 50°时；其余两底角为 65°，65°；正确答案：（１）、当顶角为 50°时；其余两底角为 65°，65°；（２）、当底角角为 50°时；其余两底角为 50°，80°；∴该等腰三角形其余两角为65°，65°或50°，80°。
而当这一内角为110°时，答案为：35°，35°三、已知等腰三角形的两角关系内，要讨论所给角分别为等腰三角形的顶角，底角的大小关系两种情况，而学生往往只考虑到一种情况。
例4、已知一个等腰三角形的两角之差为60°，求这个等腰三角形的三个内角。
正确答案：（１）、当顶角大于底角时；顶角—底角=60°，顶角+2底角=1800∴该等腰三角形三个内角为100°，40°，40°。
（１）、当底角大于顶角时；底角—顶角=60°，顶角+2底角=1800∴该等腰三角形三个内角为20°，80°，80°例5、等腰三角形上的中线把周长分为15和12两部分，则它的底边长是多少？解:设底边长为x,腰长为y（１）、x+y=12,y+y/2=15 .x=7,y=10（2）、x+y=15,y+y/2=152.x=11,y=8∴该等腰三角形底边长为7或11学生往往根据自己画的图形得出一种情况。
初中数学《等腰三角形分类讨论思想》教案基于学科核心素养的教学设计及教学反思
基于学科核心素养的教学设计
课程名称：《等腰三角形分类讨论思想》
姓名
教师姓名
任教学科
数学
学校
学校名称
教龄
5年
教学内容分析
教学内容
对等腰三角形的边角进行分类
教学目标
借助等腰三角形的特点，理解分类讨论思想的应用
教学重点与难点
分类讨论的原因和分类的方法
.......
说明：问题1、2形成对比，体会问题2为什么要进行分类讨论。
........
学生通过分析交流，初步体会分类思想。
......
板书设计
1、等腰三角形中，已知一角（顶角或底角），.......
2、等腰三角形中，已知一边（底边或腰），.........
教学反思
1、复习旧知，点明主题。
2、设计题目有梯度，符合学生认知。
教师活动
预设学生活动
设计意图
一、复习巩固、引入新课
1、△ABC中，AB=AC,∠A=80°，则底角为____________.
2、等腰△ABC中，∠A=80°，则底角为____________.
3、等腰三角形的周长为10cm,其中一边长为2cm,则另外两边长为__________.
二、学习新知、提升方法
学科核心素养分析
1、加强数学Biblioteka 维、方法的训练，形成学生数学探究能力。
2、提高分析问题、解决问题的能力以及空间想象能力。
学生学情分析
学生已经对等腰三角形的定义以及边角的性质有了一定的认识和掌握，能够简单地进行等腰三角形的分类计算，但是对于等腰三角形的分类作图没有接触，故在图中准确作图有一定的困难。
动点等腰三角形的分类讨论
动点等腰三角形的分类讨论等腰三角形是指两边长度相等的三角形，动点等腰三角形则是指在等腰三角形中，其中一个顶点在动态变化的情况下，讨论不同情况下的动点等腰三角形的特点和分类。
一、动点在底边上的情况：当动点在底边上时，等腰三角形的另外两个顶点分别位于底边的两侧。
此时，根据动点的位置不同，可以将动点等腰三角形进一步分类。
1. 动点在底边的中点上：当动点在底边的中点上时，等腰三角形的另外两个顶点将分别位于底边的两侧，且与底边的两个顶点的连线相等。
这种情况下，等腰三角形的两个等边边长相等，且底角为直角。
2. 动点在底边的延长线上：当动点在底边的延长线上时，等腰三角形的另外两个顶点将分别位于底边的两侧的延长线上，且与底边的两个顶点的连线相等。
这种情况下，等腰三角形的两个等边边长相等，且顶角为直角。
3. 动点在底边的延长线上但不与底边相交：当动点在底边的延长线上但不与底边相交时，等腰三角形的另外两个顶点将分别位于底边的两侧的延长线上，且与底边的两个顶点的连线相等。
这种情况下，等腰三角形的两个等边边长相等，且顶角为锐角。
二、动点在底边外的情况：当动点在底边外时，等腰三角形的另外两个顶点将分别位于底边的两侧。
此时，根据动点的位置不同，可以将动点等腰三角形进一步分类。
1. 动点在底边的延长线上但不与底边相交：当动点在底边的延长线上但不与底边相交时，等腰三角形的另外两个顶点将分别位于底边的两侧。
这种情况下，等腰三角形的两个等边边长不相等，且顶角为锐角。
2. 动点在底边的延长线上且与底边相交：当动点在底边的延长线上且与底边相交时，等腰三角形的另外两个顶点将分别位于底边的两侧。
这种情况下，等腰三角形的两个等边边长不相等，且顶角为钝角。
动点等腰三角形可以根据动点在底边上或底边外以及动点位置的具体情况进行分类。
不同情况下，等腰三角形的两个等边边长和顶角的大小都会有所不同。
通过对动点等腰三角形的分类讨论，可以更加全面地了解等腰三角形的特点和性质。
分类讨论思想在等腰三角形中的应用
如图等腰三角形△ABC中 边：腰和底边 角：顶角和底角
方法与应用一 遇角需考虑讨论顶角和底角
已知等腰三角形的一个 底内 角是 13000°° ， 则它的顶角是 1210100或200°3000 .
方法与应用二 遇边需考虑讨论腰和底边
1、已知等腰三角形的两边长分别是 31 和 2 ， 则它的周长是 7或5 8
以10为底边
以10为腰
课堂小结 1、遇边需考虑分类讨论腰和底边 2、遇角需考虑分类讨论顶角和底角 3、遇高线需考虑分类讨论三角形的类别
作业布置
收集用分类讨论思想解决的，与等腰三角 形有关的问题，并按一定的标准对收集的问 题进行归类。
2、若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和 12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。
方法与应用三 遇高线需考虑讨论三角形的类别
等腰三角形一腰上的高。
RJ DJ
综合应用
为了美化环境，计划在某小区内用草皮铺设一 块面积为30，一边长为10的等腰三角形绿地， 请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。
等腰三角形的分类讨论
1100或800
类型三：三角形的形状不明时需分类讨论
例：已知等腰△ABC 腰AB上的高CE 与另一腰AC
的夹角为30°，则其顶角的度数为 _6_0_°_或__1__2_0_°_
A E
B 图1
复习与回顾
1、等腰三角形的性质
①等腰三角形的两个底角相等.（等边对等角） ； ②等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合.
2、等腰三角形判定
有两个角相等的三角形是等腰三角形. （等角对等边）.
等腰三角形 分类讨论问题
平顶山市实验中学 孙艳霞
类型一：底和腰不明时需分类讨论
例：已知等腰三角形的两边长为3和7，则 其周长为___1_7__.
类型四：一边确定，确定等腰三角形个数时
练习：如图，已知点A的坐标为（2,2），点P在x轴上， △APO为等腰三角形，则满足 条件的点P的坐标为__（_2__2_，_0）___（__-__2__2_，0_）___（_4_，_0）___（__2_，0_）
类型四：一边确定，确定等腰三角形个数时
练习：如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A、B 是格点，以A，B，C为等腰三角形顶点的所有格点C的
个数为（ B ） A.7个 B.8个 C.9个 D.10个
方法总结 确定的边可能是等腰三角形的腰，也可能是
等腰三角形的底边，解决此类问题通常用圆规 能做到不重不漏.
课堂小结
类型一：底和腰不明时需分类讨论 类型二：顶角与底角不明时需分类讨论 类型三：三角形的形状不明时需分类讨论 类型四：一边确定，确定等腰三角形个数时
C
等腰三角形ppt课件
5.已知等腰三角形的两内角之比为4：1，则这个
三角形的顶角度数为
；
世上无难事，只要肯登攀
A
∴∠EOB=∠CBO， ∠∵FBOOC、=∠COBC分O别平分∠ABC、∠ACB
∴∠CBO＝∠ABO，∠BCO＝∠ACO ∴∠EOB＝∠ABO ，∠FOC＝∠ACO
OБайду номын сангаас
E
F
∴BE＝OE，CF=OF
∴ EF=EO+FO＝BE+CF
B
C
若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？结论还成立吗？
例题讲解
等腰三角形练习 ----分类讨论思想
一、课前热身，知识再现
1.已知等腰三角形的一内角为40°；求其余两个内角的
度数
；
2.已知等腰三角形的两边长为3和4，其周长
为
；
二、自主探究 （关于角的讨论）
1、已知等腰三角形的一外角为100°；则等腰三角形的
顶角的度数为 800或200
（关于等腰三角形边的讨论）
3
∴∠AFD＝∠4 ∵∠AFD＝∠3
4
∴∠3＝∠4 ∴CE＝CF
B
E
C
∴△CEF是等腰三角形
典 例2 如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.
例 过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.探究EF、BE、FC之间的关系.
精 析
解：EF=BE+CF.
∵ EF∥BC
理由如下：
证明：∵△ABC中AB＝AC，D在BC的中点， ∴∠B=∠C，BD=CD
∵DE⊥AB，DF⊥AC． ∴∠BED=∠CFD=9 0在°△BDE和△CDF中，
∠BED=∠CFD ∠B=∠C BD=CD
关于等腰三角形的分类讨论
关于等腰三角形的分类讨论一、形边的分类例如，已知等腰三角形的周长为15，其中一个边长为6，那么它的底边长多少？在解答这个问题的时候，题目当中的关键信息是边长为6的边不确定是腰还是底，这时分类讨论的两种情况分别是：第一种情况是设长为6的边为腰，则另两条边为6，3；第二种情况是设长为6的边为底，则另两条边是4.5，4.5.这时，要验证这样两组边长能不能组成一个三角形，也就是满不满足三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
经验证满足三角形的三边关系定理，所以等腰三角形的底边为6或4.5.例如，当已知等腰三角形的两个边的边长：一边长是6，另一边长是17，求这个三角形的周长时。
很多学生会想到应该分类讨论：第一种情况是设腰为6，底为17时，则三角形的三个边分别是6，6，17，这时要根据三角形的性质进行验证，因为6+6小于17，不符合三角形的性质，这样的三个边组不成三角形，所以这种假设是不成立的。
第二种情况是设腰为17，底为6，则三角形的三个边分别是17，17，6，根据三角形的性质进行验证，经验证符合三角形的性质，所以这个三角形是成立的，则其周长为17+17+6=40.二、形角的分类例如，已知等腰三角形的一个角是另一个角的2倍，求这个等腰三角形的三个内角大小时。
设一个角是x，另一个角就是2x，这时就要分情况进行讨论了。
第一种情况是x为顶角，则另两个角都是2x，根据三角之和为180°，得x+2x+2x=180°，解得x=36°，则这个等腰三角形的三个内角分别是36°，72°，72°。
第二种情况是当x为底角时，则另两个角是x，2x，得x+2x+x=180°，解得x=45°，则这个等腰三角形三个内角分别是45°，45°，90°。
所以这个等腰三角形的三个内角大小是36°，72°，72°或90°，45°，45°。