专题一：特殊三角形的分类讨论
等腰三角形中的分类讨论
等腰三角形中的分类讨论一、等腰三角形的定义等腰三角形是指具有两条边相等的三角形，也就是说，等腰三角形的两条边边长相等，而另一条边则较短。
等腰三角形可以有不同的形状和性质，下面将对等腰三角形进行分类讨论。
二、等腰三角形的分类1. 等腰直角三角形等腰直角三角形是一种特殊的等腰三角形，其中的一个内角为直角（即90度）。
在等腰直角三角形中，另外两个内角相等，均为45度。
根据勾股定理，等腰直角三角形的斜边与两条直角边之间的关系为：斜边的长度等于直角边长度的平方根乘以2。
2. 等腰锐角三角形等腰锐角三角形是指两个等腰三角形的顶点角小于90度的三角形。
在等腰锐角三角形中，两个等腰边的边长相等，而顶点角则小于90度。
等腰锐角三角形的两个等腰边的长度与顶点角之间的关系为：等腰边的长度等于另一条边的长度乘以正弦顶点角的一半。
3. 等腰钝角三角形等腰钝角三角形是指两个等腰三角形的顶点角大于90度的三角形。
在等腰钝角三角形中，两个等腰边的边长相等，而顶点角则大于90度。
等腰钝角三角形的两个等腰边的长度与顶点角之间的关系为：等腰边的长度等于另一条边的长度乘以正弦顶点角的一半。
4. 等腰等边三角形等腰等边三角形是一种特殊的等腰三角形，其中的三个边全都相等。
等腰等边三角形的三个内角均为60度。
等腰等边三角形具有许多特殊性质，例如：它的三条高线、中线、角平分线和垂直平分线都重合于同一个点；它的外接圆和内切圆都与三个顶点相切。
三、等腰三角形是指具有两条边相等的三角形，根据顶点角的大小和不同属性，可以进一步分类为等腰直角三角形、等腰锐角三角形、等腰钝角三角形和等腰等边三角形。
每种分类的等腰三角形都有其特殊的性质和关系，值得我们深入学习和研究。
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分类讨论思想在初中等腰三角形问题中的应用探究
分类讨论思想在初中等腰三角形问题中的应用探究【摘要】本文探讨了分类讨论思想在初中等腰三角形问题中的应用探究。
在我们介绍了研究背景和研究目的。
在我们首先介绍了初中等腰三角形的性质，然后详细探讨了分类讨论思想在这类问题中的作用和具体应用，并通过实际案例加以分析。
我们讨论了分类讨论思想的优势和局限性。
在我们总结了分类讨论思想在初中等腰三角形问题中的应用，并提出了未来的研究方向。
通过本文的研究，我们可以更加深入地理解分类讨论思想在解决等腰三角形问题中的重要性，同时也为未来的研究提供了一定的参考方向。
【关键词】初中等腰三角形、分类讨论思想、性质、作用、具体应用、实际案例、优势、局限性、结论、研究方向。
1. 引言1.1 研究背景在初中数学教学中，等腰三角形是一个重要的几何形状，学生在学习过程中常常会遇到与等腰三角形相关的各种问题。
在解决这些问题时，分类讨论思想被广泛运用，并显示出良好的效果。
研究表明，分类讨论思想在初中等腰三角形问题中的应用可以有效地帮助学生理清问题的结构，找到解决问题的关键点。
通过将问题进行分类和讨论，学生可以更好地把握问题的本质，准确地找到解决问题的方法。
目前对于分类讨论思想在初中等腰三角形问题中的具体应用还存在一些不足之处，比如在教学实践中，学生可能会遇到分类不清晰、讨论不透彻的情况。
有必要对分类讨论思想在初中等腰三角形问题中的应用进行深入研究，以便更好地指导数学教学实践，并提高学生解决问题的能力。
1.2 研究目的研究目的旨在深入探究分类讨论思想在初中等腰三角形问题中的应用，通过对等腰三角形性质的介绍和分类讨论思想的具体应用进行分析，揭示分类讨论思想在解决等腰三角形问题时的优势和局限性。
通过举例分析实际案例，抽丝剥茧地解析分类讨论思想在初中等腰三角形问题中的应用方法，准确把握等腰三角形的性质和特点。
就此，本研究旨在为初中生更好地理解和应用分类讨论思想提供指导，同时为教师在教学中有效运用这一思维方法提供参考。
二次函数特殊三角形存在性问题(等腰三角形、直角三角形)
特殊图形存在性问题一、等腰三角形1、情景：平面内有点A、B，要找到点P使得△ABP为等腰三角形。
2、思想：分类讨论（1）A为顶点：AB=AP（以A为圆心、AB长为半径画圆）（2）B为顶点：AB=BP（以B为圆心、AB长为半径画圆）（3）P为顶点：PA=PB（AB中垂线）【注】：1.利用两圆一线，找到符合要求的点，如P在抛物线对称轴上，在x轴上等；然后将问题转化为，求线段等长。
2.求线段等长：两点间距离（最笨的方法）；向坐标轴做垂线，构造一线三等角例1.如图，抛物线y=−x2+2x+3y=−x2+2x+3与y轴交于点C，点D(0,1)，点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为______．练习1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B 两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3,0)，与y轴交于C(0,−3)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标．练习2、已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y=﹣x+1与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△DBO∽△EBC；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．练习4.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交A(−1,0),B(−3,0)两点，与y轴交于点C(0,−3)，其顶点为D．(1)求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y=a(x−h)2+k的形式；(2)动点M从点D出发，沿抛物线对称轴方向向上以每秒1个单位的速度运动，运动时间为t，连接OM,BM，当t为何值时，△OMB为等腰三角形？练习5.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n （m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E 两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，与x轴交于点A（5，0），第一象限的点C（m，4）在抛物线上，y轴上有一点B（0，10）．（Ⅰ）求抛物线的解析式及它的对称轴；（Ⅱ）点P（0，n）在线段OB上，点Q在线段BC上，若OP＝2BQ，且P A＝QA．求n 的值；（Ⅲ）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．19-红桥一模25．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）．（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．(17河北一模)25(10分）如图，己知抛物线y=x2+bx+c图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣3），抛物线与x轴的另一个交点为C．（1）求这个抛物线的解析式：（2）若抛物线的对称轴上有一动点D，且△BCD为等腰三角形（CB≠CD），试求点D的坐标；二、直角三角形1.情景：平面内有点A、B，要找到点P使得△ABP为直角三角形2.思想：分类讨论（1）A为顶点：∠A（过A做垂线）（2）B为顶点：∠B（过B做垂线）（3）P为顶点：∠C（AB为直径的圆）【注】1.等腰直角三角形，只需在两直线上上下找与AB等长以及过O做AB垂线与圆交点即可例1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过矩形OABC的顶点A，B与x 轴交于点E，F且B，E两点的坐标分别为B(2，32)E(−1，0)(1)求二次函数的解析式；(2)在抛物线上是否存在点Q，使△QBF为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．练习1.如图，抛物线y=x2+bx+3顶点为P，且分别与x轴、y轴交于A、B两点，点A在点P的右侧，tan∠ABO=13(1)求抛物线的对称轴和PP的坐标．(2)在抛物线的对称轴上是否存在这样的点D，使△ABD为直角三角形？如果存在，求点D 的坐标；如果不存在，请说明理由．例2.如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于AB两点，与y 轴相交与点C，且点B与点CC 的坐标分别为(3,0)，C(0,3)，点M是抛物线的顶点．(1)求二次函数的关系式(2)在MB上是否存在点P，过点P作PD⊥x轴于点D,OD=m,使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由练习2.如图，在平面直角坐标系中，直线y=−13x+2交x轴点P，交y轴于点A．抛物线y=x2+bx+c的图象过点E(−1,0)，并与直线相交于A、B两点．(1)求抛物线的解析式（关系式）；(2)过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；(3)除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣3交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点P运动到直线AB下方某一处时，过点P作PM⊥AB，垂足为M，连接PA使△PAM为等腰直角三角形，请直接写出此时点P的坐标．（18东丽-一模）25.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，1）、（1，2），过点A、B分别作y轴的垂线，垂足为D、C，得到正方形ABCD，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，点P为第一象限内抛物线上一点（不与点A重合），过点P分别作x轴y轴的垂线，垂足为E、F，设点P的横坐标为m，矩形PFOE与正方形ABCD重叠部分图形的周长为l．（1）直接写出抛物线所对应的函数表达式．（2）当矩形PFOE的面积被抛物线的对称轴平分时，求m的值．（3）当m＜2时，求L与m之间的函数关系式．（4）设线段BD与矩形PFOE的边交于点Q，当△FDQ为等腰直角三角形时，直接写出m的取值范围．三、平行四边形存在性问题类型一：1.情景：一直平面内三点A、B、C，求一点P使四边形ABCP为平行四边形2.思想：分类讨论（1）以AC为对角线：ABCP1（2）以AB为对角线：ACBP3（3）以BC为对角线：ACP2B【注】找到P点后，用平行四边形的判定定理，求等长线段，或利用等角度、平行线求坐标即可。
特殊三角形中的分类讨论.
第6题图
类型二 等腰三角形腰和底不确定而产生的分类讨论 问题：已知点A、B和直线l，在l上求点P，使△PAB为等腰三角形.
分情况：对于等腰三角形的腰和底不确定问题，需分三种情况讨论，即三角形的 三条边两两为腰. 已知△ABP为等腰三角形，则有①AB＝AP；②AB＝BP；③AP＝BP三种情况.
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(10年7考，常在几何图形的折叠与动点问题和二次函数压轴题中涉及考查) 类型一 等腰三角形顶角和底角不确定而产生的分类讨论
已知等腰三角形的一个角为α，确定顶角或底角的度数时，分三种情况： ①若α为钝角，则α为顶角，底角的度数为 1 (180°－α)；
2 ②若α为直角，则α为顶角，且该三角形为等腰直角三角形，底角为45°； ③若α为锐角，当α为顶角时，底角为 1 (180°－α)；当α为底角时，顶角为
2 180°－2α.
满分技分
无论哪种情况，都要注意等腰三角形的三个角
必须满足三角形三个内角之和等于180°.
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针对训练 1. 已知等腰三角形中一个角的度数为40°，则底角的度数为_4_0_°__或__7_0_°_.
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满分技法 优选几何法去求解要求的量，因为根据勾股定理列式计算时，可能会产生高次 方，导致计算比较复杂，尽量避免.
针对训练 5. 如图，∠AOB＝50°，点P是边OB上一个动点(不与点O重合)，当∠A的度数 为 90°或40_°_时，△AOP为直角三角形.
人教版八年级上册数学方法技巧专题 等腰三角形的分类讨论思想
【初二数学方法技巧专题】等腰三角形的分类讨论思想等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在解有关等腰三角形问题时，当所给的边、角等条件不明确时，常常要进行分类讨论，否则易造成错解.那么在什么情况下应该进行分类讨论呢？下面有4种常考题型，快来和小名老师一起学习一下吧！类型1 : 针对顶角和底角进行分类例1. 若等腰三角形中有一个角等于70°，则这个等腰三角形的顶角的度数是( ) A．70°B．40° C．70°或40°D．70°或55°分析：70°角可能是底角，也可能是顶角.当70°是底角时，则顶角的度数为180°－70°×2=40°；当70°角是顶角时，则顶角的度数就等于70°.所以这个等腰三角形的顶角为30°或75°. 故应选C.变式1、已知一个等腰三角形中有一个角为100°，则这个等腰三角形的顶角为-------- . 方法归纳：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解. 类型2: 针对腰长和底边长进行分类题型1 遇边需讨论例2 已知等腰三角形一边长等于5，另一边长等于9，则它的周长是--------- . 分析：已知条件中并没有指明5和9谁是腰长谁是底边的长，因此需要针对腰长及底边长分别是哪一个进行分类谈论.当5是等腰三角形的腰长时，这个等腰三角形的底边长就是9，则此时等腰三角形的周长等于5+5+9=19；当9是等腰三角形的腰长时，这个等腰三角形的底边长就是5，则此时等腰三角形的周长等于9+9+5=23.故这个等腰三角形的周长等于19或23.方法归纳：在已知条件中没有明确等腰三角形的腰长和底边长时，应分类讨论.分类讨论时，还要判断所给的三边能否构成三角形，避免造成错解.题型2 遇中线需讨论例3 已知等腰△ABC中，一腰AC上的中线BD将三角形的周长分成9 cm和12 cm 两部分，则这个三角形的腰长和底边长分别为---------- .分析：已知条件并没有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，因此，应有两种情形：①AB+AD=9,BC+CD=12；②AB+AD=12,BC+CD=9.若设这个等腰三角形的腰长是xcm，底边长为ycm，可得：即当腰长是6 cm时，底边长是9 cm；当腰长是8 cm时，底边长是5 cm.3、变式若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和15cm两部分，则这个等腰三角形的底和腰的长分别为----------- .易错警示：这里求出来的解验证一下三角形的边满足三角形三边关系定理，如果不满足一定要舍去.类型3：针对三角形的形状进行分类题型1 遇高需讨论例4 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，求这个等腰三角形的底角的度数．分析：本题中等腰三角形腰上的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部，故应分原三角形为锐角三角形和钝角三角形进行分类求解.详解：分两种情况讨论：①若∠A＜90°，如图1所示．∵BD⊥AC，∴∠A＋∠ABD＝90°.∵∠ABD＝36°，∴∠A＝90°－36°＝54°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝1/2×(180°－54°)＝63°.②若∠A＞90°，如图2所示．同①可得∠DAB＝90°－36°＝54°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝1/2∠DAB＝27°.综上所述：等腰三角形底角的度数为63°或27°.题型2：遇中垂线需讨论例5 在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B=____.分析：本题中AB的中垂线与AC直线的交点不确定，交点可能在边AC上，也可能在其延长线上，故需进行分类讨论.详解：按照题意可画出如图1和如图2两种情况的示意图.如图1，当交点在腰AC上时，ΔABC是锐角三角形，此时可求得∠A=40°，所以如图2，当交点在腰CA的延长线上时，ΔABC为钝角三有形，此时可求得∠BAD=40°，所以故这个等腰三角形的底角为70°或20°.易错警示：这里的图2最容易漏掉，求解时一定要认真分析题意，画出所有可能的图形，这样才能正确解题.类型4：找点构造等腰三角形需讨论例6 如图，已知线段AB，在直线l上找一点C，使ΔABC为等腰三角形这样的C 点有------- 个.分析：存在三种情况①AB＝AC；②BA＝BC；③CA＝CB．详解：①当AB＝AC时，以点A为圆心，AB长为半径画圆与直线l的交点C3即为所求点；②当BA＝BC时，以点B为圆心，AB长为半径画圆与直线l的交点C1,C2即为所求点；③当CA＝CB时，做线段AB的垂直平分线与直线l的交点C4即为所要求点.所以使ΔABC为等腰三角形这样的C 点有4个方法指导：等腰三角形的存在性问题方法常用两圆一线。
专题训练等腰三角形中的分类讨论
专题复习——等腰三角形中的分类讨论例1. 已知等腰△ABC中，有一个内角为40o，则另两个内角分别为________________．例2. 在△ABC中，∠A的外角等于110°，△ABC是等腰三角形，那么∠B＝。
例3．等腰三角形两内角的度数比为2∶1，则顶角为。
例1.等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，则该三角形的周长是例2. 等腰三角形的周长为22 cm,其中一边的长是8 cm,则其余两边长分别为_________.例3. 一等腰三角形的周长是25cm，作某一腰上的中线分得两个三角形的周长一个比另一个长5cm，则腰长是例1. 等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,它的底角为例2. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于20 ,则等腰三角形的顶角度数为例1. 如图，点B在直线L上，点A在直线L外，在直线L上找点C，使得△ABC为等腰三角形。
（要求保留作图痕迹，写清点C的个数）LB例2．在直角坐标系中，O点为坐标原点，A（2，-4），动点B在坐标轴上。
则满足△OAB为等腰三角形的有B点共有个例3. P为直线1:32l y x A=-上一点，（2，0），求使△PAO为等腰三角形的点P的坐标.等腰三角形中的分类讨论练习姓名：日期：指导老师：侯尧等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的基本性质以外，还具有许多独特的性质，最主要的体现就是它的两底角相等，两腰相等，正是由于具有这两个相等，所以在解等腰三角形的有关题目时必须全面思考，分类讨论，以防漏解。
下面就常见题型举例说明如下：一、角不确定时需分类讨论1、若等腰三角形的一个角为40°，则其他两个角分别为若等腰三角形的一个角为100°，则其他两个角分别为二、边不确定时需分类讨论2、等腰三角形一边长是10cm，另一边长是6cm，则它的周长是等腰三角形的两边长分别是9cm和4cm，则它的周长是等腰三角形周长是20cm，一边长为8cm，则其他两边长分别是等腰三角形周长是20cm，一边长为4cm，则其他两边长分别是等腰三角形周长是13，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为三、高不确定时需分类讨论3、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为30°，则顶角的度数为等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则底角的度数为四、其它（1）等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分成12cm和15cm的两部分，求三角形各边的长（2）等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分成12cm和21cm两部分，求三角形的三边长（3）一等腰三角形的周长为20cm，从底边上的一个顶点引腰的中线，分三角形周长为两部分，其中一部分比另一部分长2cm，求腰长5、已知点A和点B，以点A和点B为其中两个点作位置不同的等腰三角形，一共可以作个6、有一个等腰三角形，三边分别是3x-2,4x-3,6-2x,求等腰三角形的周长7、如图，在等边ΔABC所在的平面内求一点P，使ΔPAB、ΔPBC、ΔPAC都是等腰三角形，你能找到几个这样的点？画图描述他们的位置。
专题1.2 三角形中四类重要的最值模型 专题讲练(原卷版)
专题1.2 三角形中四类重要的最值模型专题讲练三角形中重要的四类最值模型（将军饮马模型、瓜豆模型（动点轨迹）、胡不归模型、费马点模型等）在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。
在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换、旋转变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。
特殊三角形中的分类讨论则体现了另一种数学思想，希望通过本专题的讲解让大家对这两类问题有比较清晰的认识。
重要模型模型1：将军饮马模型【模型图示】将军饮马拓展型：1）点P位定点，在直线1l，2l上分别找点M，N，使PMN△周长（即MNPNPM++）最小操作：分别作点P关于直线1l，2l的对称点’P和”P，连结”’PP与直线1l，2l的交点为M，N，()”’最小值△PPCPMN=求”’P P 长度通法：如上图，一般会给一个特殊角（15°，30°，45°，60°，75°）A ，连结’AP ，AP ，”AP ，由对称性可求A AP P ∠=∠2”’也为特殊角（30°，60°，90°，120°，150°），”’AP AP AP ==，可得特殊等腰”’△P AP ，利用三边关系求出”’P P 2）点P ，Q 为定点，直线1l ，2l 上分别找M ，N ，使PQMN 周长（即MN PN PM PQ +++）小操作：分别作点P ，Q 关于直线1l ，2l 的对称点’P 和’Q ，连结’’Q P 与直线1l ，2l 的交点为M ，N ，()’’最小值四边形Q P PQ C PQMN +=例1．（2022·广东·九年级专题练习）已知点(1,1)A ，(3,5)B ，在x 轴上的点C ，使得AC BC +最小，则点C 的横坐标为_______．变式1．（2022·河南南阳·八年级阶段练习）如图，等边ABC D 的边长为4，点E 是AC 边的中点，点P 是ABCD 的中线AD 上的动点，则EP CP +的最小值是_____．例2．（2022·山东潍坊·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知()0,1A ，()4,2B ，PQ 是x 轴上的一条动线段，且1PQ =，当AP PQ QB ++取最小值时，点Q 坐标为______.变式2．（2022·成都市·八年级专题练习）如图，四边形ABCD 是平行四边形，4AB =，12BC =，60ABC ∠=°，点E 、F 是AD 边上的动点，且2EF =，则四边形BEFC 周长的最小值为______．例3．（2022·安徽·八年级期末）已知在平面直角坐标系中，点A（－1，－2），点B（4，12），试在x轴上找一点P，使得｜PA－PB｜的值最大，求P点坐标为_________．变式3．（2022·河南南阳·一模）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为____．例4．（2022·江苏·无锡市东林中学八年级期末）如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝4，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于4，则α＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°变式4．（2022·安徽·合肥市八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，∠AOB＝30°，P（5，0），在OB 上找一点M，在OA上找一点N，使△PMN周长最小，则此时△PMN的周长为___．例5．（2022·湖北武汉市·八年级期末）如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC与GB关于y轴对称，∠GAH＝60°，P、Q分别是AG、AH上的动点，则BP＋PQ＋CQ的最小值是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9变式5．（2022·湖北黄冈·八年级期末）已知，如图，30AOB ∠=°，点M ，N 分别是边OA ，OB 上的定点，点P ，Q 分别是边OB ，OA 上的动点，记MPQ a ∠=，PQN b ∠=，当MP PQ QN ++最小时，则b a -=______．模型2：瓜豆原理 （动点轨迹）【解题技巧】1）动点轨迹为直线时，利用“垂线段最短”求最值。
三角形的分类数学教案设计
三角形的分类數學教案設計
标题：三角形分类数学教案设计
一、课程目标
（1）知识与技能：理解并掌握三角形的定义及各类三角形的特征。
（2）过程与方法：通过观察、比较、归纳等方法，培养学生的逻辑思维能力。
（3）情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生勇于探索的精神。
二、教学内容
（1）三角形的基本概念
（2）三角形的分类：按照边的关系分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形；按照角的关系分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
三、教学策略
（1）引入阶段：通过实例或者故事引出三角形的概念，引发学生的兴趣。
（2）新知教授阶段：教师讲解三角形的定义和分类，并通过示例让学生理解和掌握。
（3）实践应用阶段：设计一些练习题，让学生在实践中巩固所学知识。
（4）总结反馈阶段：回顾本节课的内容，对学生的学习情况进行反馈。
四、教学资源
（1）教科书
（2）教学辅助工具（如黑板、粉笔、投影仪等）
（3）自编或选用的习题集
五、教学评价
（1）形成性评价：通过课堂提问、小组讨论等方式，了解学生对知识的理解程度。
（2）终结性评价：通过测试、作业等方式，评价学生的学习成果。
六、教学反思
（1）对教学过程进行反思，分析教学效果，找出问题，提出改进措施。
（2）对学生学习情况进行反思，了解学生的学习困难，为今后的教学提供参考。
以上就是关于三角形分类的数学教案设计的大纲，希望对你有所帮助。
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八年级上册数学 高频易错题
参考答案 1．50°或 80° 2．130° 3．50°或 80°或 65° 4．7 或 29
3
5．40°或 140°
6．4 或 4 3 或4 3
3
7．30°或 150°或 90° 8．126 或 66 9． 10或3 10或8
八年级上册数学 高频易错题
专题一：特殊三角形的分类讨论 编辑 初数高锦师 审核 初数陈颖哲
1. 在等腰△ABC 中，一个角的外角是 130°，则顶角度数为 2. 在等腰△ABC 中，一个外角为 50°，则顶角为 3. 在等腰△ABC 中，一个内角为 50°，则∠B 为 4. 等腰三角形的周长为 25，一腰上的中线把三角形的周长分成 差为 2 的两部分，则底边长为 5. 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于 50°，则顶 角度数为 6. 在等腰三角形 ABC 中。∠A=30°，AB=8，则 AB 边上的高 CD 等 于 7. 已知等腰三角形 BC 边上的高是 BC 的一半， 则顶角度数为 8. 在三角形 ABC 中，AB=13，AC=20，BC 边上的高为 12，则△ABC 的面积为 9. 等腰三角形中，一腰长为 5，一边上的高为 3， 则底边长为