高中数学_平面向量的基本定理教学设计学情分析教材分析课后反思
《普通高中数学课程标准（实验）》对本节课的要求是理解平面向量基本定理及其意义，我认为这是因为平面向量基本定理的理论性非常强，而对定理的应用又主要体现在向量线性运算的几何意义以及坐标运算上，直接应用极少．
但是，对平面向量基本定理的探究既是对前面所学向量线性运算知识的综合应用和对平行向量基本定理的推广，又为后继的平面向量坐标表示奠定了理论基础，充分展现了数学结构体系的严谨性和逻辑性，探究过程有助于学生体会数学思维的方式和方法，有利于培养学生进行数学思考和数学表述的能力．平面向量基本定理的验证过程是向量的分解，是两向量进行线性运算的逆过程，是对学生逆向思维的训练．平面向量基本定理将平面内任意向量的问题转化为一组基底的问题，从而使问题简单化和程序化，体现了化归与转化的数学思想．因此，本节课的教学重点是对平面向量基本定理的探究和理解．
深度思考：
1.一个平面内所有向量的一组基底有何特征？基底唯一吗？
2.若基底选取不同，则表示同一向量的实数 是否相同？试举例说明.
3.共线向量定理与平面向量基本定理有何联系？
小试牛刀：设 是不共线的两个向量，给出下列向量
其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是
（写出所有满足条件的序号）
学生口答
二.两向量的夹角：
1.已知非零向量 ，那么对于同一平面内的任意向量 是否能用
线性表示呢？否则又该怎样表示？
2.给定平面内的任意两个向量 ，试做向量
3.已知不共线向量 ，对于平面内任意向量 是否都可以用形如 来表示呢？
借助几何画板展示问题3帮助学生理解平面向量基本定理
一．平面向量基本定理
我们把平面内不共线的向量 叫做这一平面内的所有向量的一组基底
《§2.3.1平面向量基本定理》教学设计
一、教学目标
１.知识与技能:理解平面向量基本定理，学会利用平面向量基本定理解决问题， 掌握基向量表示平面上的任一向量.
２.过程与方法：通过学习平面向量基本定理，让学生体验数学的转化思想，培养学生发现问题的能力.
３.情感态度与价值观：通过学习平面向量基本定理，培养学生敢于实践的创新精神，在解决问题中培养学生的应用意识。
效果分析
通过课上当堂检测的反馈结果来看，全班的正答率在70%-80%之间，第二题的正答率明显的高于第一题。由此可见学生对平面向量基本定理的内容能够基本掌握，在平面几何中，对用基底表示指定向量的题目的做题方法基本能够掌握，但对一些题目的灵活处理还有所欠缺，下节课再做一些补偿练习.
教材分析
本节内容是人教A版必修4第二章第2.3.1节《平面向量基本定理》,学生在学习平面向量实际背景及基本概念、平面向量的线性运算之后的又一重点内容，又是引入向量坐标表示，将向量的几何运算转化为代数运算的基础，使向量的工具得到初步体现学思想——转化思想，有着十分广阔的应用空间。
讲测练习
1.如果 ， 是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________．
① ＝λ ＋μ (λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面内任一向量，使 ＝λ ＋μ 的实数对(λ，μ)有无穷多个；
教学重点：平面向量基本定理的应用；
教学难点：平面向量基本定理的理解.
二.教学基本流程：
三．教学过程：
（1）复习回顾：
向量加法的法则与共线向量定理
（2）新课引入：两条相交直线 可以确定一平面 ，在直线上取向量 ，那么在平面 内的任意向量都能否表示成 的线性组合，即 ？这就是我们本节所研究的内容。
（三）新知探究：
③若向量 与 共线，则 ；
④若实数 使得λ ＋μ ＝0，则 .
2.已知向量 是一组基底，实数x，y满足(3x－4y) ＋(2x－3y) ＝6 ＋3 ，则x－y的值为______．
课后反思
本节内容是人教A版必修4第二章第2.3.1节《平面向量基本定理》,学生在学习平面向量实际背景及基本概念、平面向量的线性运算之后的又一重点内容，是引入向量坐标表示，将向量的几何运算转化为代数运算的基础，使向量的工具得到初步体现，具有很重要的作用。在知识讲解的过程中，注重了学生的参与度，让学生充分参与到课堂中去。在教学过程中，注重知识的生成过程，让学生体验获得知识的过程，感受自我发现的乐趣。
感悟小结：1.平面向量基本定理
2.两向量的夹角
3.用基底表示任意向量的基本方法
布置作业：课本第118页第3题第4题
布置作业：
课本第118页第3题第4题
板书设计：
§2.3.1平面向量基本定理
1．平面向量基本定理例1
2．两向量的夹角例2
学情分析
一.前几节课已经学习了向量的基本概念和基本运算（特别是向量加法的平行四边形法则和数乘运算及向量共线的充要条件），都为本节课的学习提供了知识准备；
① ＝λ ＋μ (λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面内任一向量，使 ＝λ ＋μ 的实数对(λ，μ)有无穷多个；
③若向量 与 共线，则 ；
④若实数 使得λ ＋μ ＝0，则 .
2.已知向量 是一组基底，实数x，y满足(3x－4y) ＋(2x－3y) ＝6 ＋3 ，则x－y的值为______．
二.学生对向量的物理背景有了初步的了解。如：力的合成与分解、位移、速度的合成与分解等，同时作图习惯已经养成，这为我们学习向量的分解提供了认知准备；
三.学生对向量加减法及数乘运算的意义与作用认识不够，可能会增加用基底表示向量的难度；
四.对于向量的加减法及数乘运算停留在几何直观的理解上，缺乏从代数运算的角度理解向量运算特征的感受，容易将平面向量基本定理的作用仅仅理解为形式上的变换；如果不加启发和引导，学生很难从“基底”、“维数”这些角度去理解平面向量基本定理的深刻内涵，也难以认识这个定理在今后用向量方法解决问题中的重要作用
小试牛刀：
学生口答
学生口答
变式训练1：
例2.已知 用向量 （）
老师板书
变式练习2:
在 中，已知D是BC延长线上一点，点E为线段AD的中点，若 且 （）
归纳总结：在几何图形中用基底表示指定向量的基本方法是：利用向量的线性运算法则将待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止.
当堂达标：
1.如果 ， 是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________．
数学地位：向量是近代数学中重要和基本的数学概念，是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，它有着极其丰富的实际背景，又有着广泛的实际应用，具有很高的教育价值。
全章地位：平面向量基本定理是共线向量基本定理的一个推广，将来还可以推广到空间向量，得到空间向量基本定理，这三个定理可以看成是在一定范围内向量分解的唯一性定理。所以平面向量基本定理揭示了平面向量的基本关系和基本结构，是进一步研究向量问题的基础；是进行向量运算的基本工具，是解决向量或利用向量解决问题的基本手段。
高中数学_6.3 平面向量基本定理教学设计学情分析教材分析课后反思
平面向量基本定理教学设计数学课程标准解读中提出：数学学科是基础教育阶段最为重要的学科之一，通过基础教育阶段的数学教育，无论接受教育的人将来从事的工作是否与数学有关，终极培养目标都可描述为：会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界。
这“三会”就是高中阶段的数学学科核心素养。
以发展学生的数学学科核心素养为目标，设计了本节课。
【学习目标】知识与能力目标理解平面向量基本定理及其意义，并能运用平面向量基本定理解决简单平面几何问题。
过程与方法目标经历平面向量基本定理的探索与证明过程, 感悟数学抽象，逻辑推理，由特殊到一般等数学思想的作用，培养学生的学科素养。
情感态度与价值观目标在学习中注重培养学生合作交流的意识及积极探索勇于发现的学习品质。
【教学重点】平面向量基本定理的理解、定理的应用。
【教学难点】平面向量基本定理的理解及其推导。
【教学过程】（一）创设问题 引入新课情境：我们知道，世界上的所有旋律都是由7个基本音符谱成的，那么平面内的所有向量能否由几个基本向量来表示呢？【设计意图】通过类比的方法引入新课，激发学生的求知欲，并暗含平面向量基本定理的本质。
复习1:共线向量基本定理：复习2：向量求和的平行四边形法则？提出问题：反之呢？如图的向量 a 能否用向量表示呢？接着让学生拿出方格纸，通过作图的方法探究下面问题【设计意图】课程标准解读中曾指出：数学眼光是什么呢？主要表现为数学抽象，而与数学抽象关系密切的是直观想象，直观想象是实现数学抽象的思维基础。
因此在设计问题时，先把问题直观化，让同学们通过在方格纸上作图，直观感受向量的分解。
接着提出以下问题：1e 2e【师生活动】师生共同用PPT 展示向量a 的分解过程，并在展示过程中进一步提出小问题：（1）为何要把向量平移使其共起点？（2）利用什么知识对向量a 进行分解？（3）为什么OB OA a +=11e OA λ=22e OB λ=呢？学生回答问题。
高中数学_平面向量基本定理教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计一、教材分析本节课选自人教A版高中数学必修4第二章2.3.1平面向量基本定理。
学生在学习平面向量实际背景及基本概念、平面向量的线性运算（向量的加法、减法、数乘向量、共线向量定理）之后的又一重点内容，它是引入向量坐标表示，将向量的几何运算转化为代数运算的基础，是向量的工具性得到初步的体现，具有承前启后的作用.二、学情分析本节课的授课对象是普通中学的高一学生，该年级的学生已经学习了向量的基本概念和基本运算以及平面向量共线定理；学生对向量的物理背景有了初步的了解，如：力的合成与分解、位移、速度的合成与分解等，都为学习本课作了充分准备，具备了进一步探究的能力.但是本班学生不善于对知识进行总结归纳，因此在教学过程中，引导学生进行独立思考，并逐步培养他们的概括归纳能力.三、教学重难点1.教学重点：平面向量基本定理及其意义；两个向量夹角的简单计算；2.教学难点：平面向量基本定理的探究；向量夹角的判断.四、教学目标(一)知识与技能目标：1.了解平面向量基本定理及其意义，会选择基底来表示平面中的任一向量；2.能用平面向量基本定理进行简单的应用。
(二)过程与方法目标：1. 通过平面向量基本定理的探究，让学生体验数学定理的产生、形成过程，培养学生观察发现问题、由特殊到一般的归纳总结问题能力；2. 通过对平面向量基本定理的运用，增强学生向量的应用意识，让学生进一步体会向量是处理几何问题强有力的工具之一。
(三)情感、态度与价值观目标：1. 用现实的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神，发展学生的数学应用意识；2. 经历定理的产生过程，让学生体验由特殊到一般的数学思想方法，在探究活动中形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。
五、教学过程七个音符谱出千支乐曲，在多样的向量中，我们能否找到它的基本音符呢？首先通过问题复习平面向量的加减法运算及向量共线定理。
（学生回答）再来思考这么一个问题，给定平面内两个向量→→21e ,e ，如何作出量→→→→-+212121,2e e e e （学生用平行四边形法则、三角形法则等完成.教师进行投影展示.）反过来，平面内任一向量→a 是否都可以用形如→→λ+λ2211e e 的向量表示？（师生共同完成，通过GGB 软件动态展示向量→a 的任意性，让学生更直观的了解.）师生共同给出平面向量基本定理. 强调：向量a 的任意性、1e 、2e 不共线、系数1λ，2λ的存在性与唯一性。
高中数学_2.2.1平面向量基本定理教学设计学情分析教材分析课后反思
《平面向量基本定理》教学设计为了更好的完成本节课的教学目标，结合对新课程理念中“用教材教而不是教教材”的理解，在尊重教材的基础上，对课本内容进行整合与提炼，将教学过程设计为以下七个环节：知识储备、问题导学；创设情境、布疑激趣；合作探究、共探新知；学以致用、定理应用；归纳总结、内化所学；当堂巩固、检测所学；布置作业、落实巩固.教学环节教学过程设计意图复习回顾问题导学1.向量加法与减法有哪几种几何运算法则？2.怎样理解向量的数乘aλr？（大小和方向）3.平行向量基本定理？（由学生思考，举手回答.）重现原有的认知，为新课导入做好铺垫工作.创设情境布疑激趣通过火箭的飞行方向和速度的分解实例，将问题类比，引入本节问题-向量的分解.为了帮助学生理解，提供了直观的视频，直观形象.(由物理问题转换到数学问题)1视频的播放，激发学生爱国主义情怀；2借助实际与物理问题设置情境，引发学生思考与想象，将问题类比，引入本节课题.合作探究共探新知问题1：在下列两图中，向量OA OB OCu u u r u u u r u u u r、、不共线，能否在直线OA OB、上分别找一点M、N，使得OC OM ON=+u u u r u u u r u u u r？问题2：向量1eu r、2eu r、ar为定向向量，且1eu r、2eu r不共线，则是否存在实数1a、2a，使得1122a a e a e=r u r u u r+？1a、2a唯一？各小组成员讨论交流，合作学习，共同探讨问题，寻求结果，展示结果.发挥学生的主观能动性，自主探索，发现新知.问题3：向量a r 与1e u r或2e u r共线，a r 还能用1122a e a e u r u r+表示吗？若0a =r r？（小组合作探究，注意问题的解答顺序.先思考2分钟，再小组讨论3分钟）学 以 致 用 定理深化例1． 如图ABCD Y 的两条对角线交于点M ，且AB =a ρ，AD =b ρ，用a ρ，b ρ表示MA ，和MD .例2．已知基底{} a b r r，，实数,x y 满足向量等式3(10)(47)2xa y b y a xb u r u r u r u r+-=++.求,x y 的值.练习：已知点P 是AOB ∆的边AB 的中点，若OA a u u r r =，OB b u u r r =，则 OP u u r=.探究： （1）若P 是AB靠近A 的三等分点，则OP u u r= （2）若AP t AB u u r u u r =，则OP u u r =知识点二：若A B 、是直线l 上任意两点，O 是l 外一点. 则对直线l 上任一点P ，存在实数 t ，使OP uuu r关于基底｛OA u u u r ，OB uuu r｝的分解式为1 ( * )OP t OA tOB =-+u u u r u u u r u u u r（） 并且满足（*）式的点一定在l 上.例3．已知OA OB OP 、、不共线，P 在直线AB 上，若12OP OA OB λλ=+u u u r u u u r u u u r，则12λλ、的可能取值为（ B ．-1，2 ）投影展示 学生板演 学生点评 让学生在自评与互评中成长通过展示，让学生观察并总结知识点.深化对定理的认识，引导学生总结 模型一：定理的任意性应用. 二：定理的唯一性应用.进一步深化对定理的理解，引出直线的参数方程的表示方法.归纳总结内化所学鼓励同学们自由发言，谈谈本节课的个人收获.提高学生的总结能力和语言表达能力.当堂巩固走进高考1．如果1eu r、2eu u r是平面内的一组基底，那么（）A．对平面内任一向量aρ，使1122a e eλλ=r u r u u r+的实数1λ、2λ有无数对B．对实数1λ、2λ，1122e eλλu r u u r+不一定在平面内C．空间任一向量aρ，可以表示为1122a e eλλ=r u r u u r+D．若实数1λ、2λ使1122e eλλ=u r u u r+，则12λλ==2.在ABCDY中，,AB a AD b==u u u r r u u u r r，3AN NC=u u u r u u u r,M为BC的中点，则MN=u u u u r.进一步深化理解平面向量基本定理，巩固定理的内涵.第二题为高考题，一题多解，体会高考题的出题魅力.布置作业落实巩固必做题：课本第98页练习A第1、2、4、5题；思考题：（引出下节内容）本节内容较为基础，要求学生全员达标.学情分析学生知识储备1.从认知角度看，学生已经学习平面向量的线性运算以及平面向量共线定理，具备了进一步探究能力.2.高一学生已经具备了一定的分析问题和解决问题能力，有积极的学习态度，能适应以自主探究、合作学习为主的教学模式.3.学生基础参差不齐，个体差异比较明显，在教学中要关注不同层次学生的学习和发展.学生的困难本节内容比较抽象，对思维的严谨性和拓展、归纳推理等能力有较高要求，但学生在探究问题的能力以及合作交流等方面发展不够均衡，所以学生学习起来有一定难度。
高中数学_必修四第二章平面向量基本定理教学设计学情分析教材分析课后反思
平面向量基本定理教学设计一、教材分析本节课是在学习了共线向量基本定理的前提下，进一步研究平面内任一向量的表示，为今后平面向量的坐标运算打下坚实的基础。
所以，本节在本章中起到承上启下的作用。
平面向量基本定理揭示了平面向量之间的基本关系，是向量解决问题的理论基础。
平面向量基本定理提供了一种重要的数学思想—转化思想。
二、教学目标知识与技能: 理解平面向量基本定理，学会利用平面向量基本定理解决问题，掌握基向量表示平面上的任一向量.过程与方法：通过学习平面向量基本定理，让学生体验数学的转化思想，培养学生发现问题的能力.情感态度与价值观：通过学习平面向量基本定理，培养学生敢于实践的创新精神，在解决问题中培养学生的应用意识。
教学重点：平面向量基本定理的应用；教学难点：平面向量基本定理的理解.三、教学教法1.学情分析: 学生已经学习了向量的基本知识，并且对向量的物理背景有了初步的了解.2.教学方法：采用“问题导学—讨论探究—展示演练”的教学方法，完成教学目标.3.教学手段：有效使用多媒体和视频辅助教学，直观形象.四、学法指导1.导学：设置问题情境，激发学生学习的求知欲，引发思考.2.探究：引导学生合作探究，解决问题，注重知识的形成过程.3.应用：在解决问题中培养学生的应用意识与学以致用的能力.五、教学过程针对以上情况，结合我校“学本课堂”模式，我设计了如下教学过程，分为六个环节。
第一环节：问题导学自主学习首先是课前预习，预习学案分为问题导学、典例精析、巩固拓展三大部分。
通过预习学案，可以帮助学生完成课前预习。
设计意图：通过预习学案让学生预习新知识，发现问题，使学习更具针对性，培养学生的自学与探索能力.第二环节：创设情境导入课题进入新课，引入课题采用问题情境的办法。
通过导弹的飞行方向和力的分解两个实例，将问题类比，引入本节问题-向量的分解。
为了帮助学生理解，提供了两段直观的视频，直观形象。
设计意图：借助实际与物理问题设置情境，引发学生思考与想象，将问题类比，引入本节课题。
高中数学_平面向量基本定理及其坐标表示教学设计学情分析教材分析课后反思
2.3 平面向量基本定理及坐标表示一、复习巩固1.数乘的定义一般地,实数λ与向量a 的积是一个向量,记作:λa它的长度和方向规定如下:（1）|λa|＝；（2）当λ＞0时，λa的方向与a的方向；（3）当λ＜0时，λa的方向与a的方向；（4）当λ=0时，λa= ；2.数乘的运算律(1)λ(μ a)＝ ;(2)(λ+μ) a＝ ;(3)λ( a+b)＝ .3.向量共线定理向量b与非零向量a共线，有且只有一个实数λ,使得 .二、探究与思考1.给定平面内任意两个向量e1，e2，如何求作向量3e1＋2e2和e1－2e2？2.如图，设OA，OB，OC为三条共点射线，P为OC上一点，能否在OA、OB上分别找一点M、N，使四边形OMPN为平行四边形？3.向量e1，e2是同一平面内不共线的两，向量a是这一平面内的任一向量，向量a能用向量e1，e2表示吗？二、引入新知1.平面向量基本定理如果向量e 1，e 2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量a，有 且 实数λ1，λ2，使a ＝λ1 e 1+ λ2 e 2 .基底：不共线的向量e 1，e 2作为平面内所有向量的一组基底注意：（1） ；（2） ；（3） .2.巩固练习（1）若e 1，e 2是表示平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的（ ） A. e 1+ e 2和e 1﹣e 2 B. 3e 1﹣2e 2和﹣6e 1+4e 2C. e 1+3e 2和e 1+3e 2D. e 2和e 1+ e 2（2）如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________．(填对应说法的序号)①λe 1＋μ e 2（λ 、μ∈R ）可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μ e 2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1 e 1＋μ1 e 2与λ2 e 1＋μ2 e 2共线，则有且只有一个实数λ ，使得λ1 e 1＋μ1 e 2＝ λ(λ2 e 1＋μ2 e 2)；④若存在实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0.（3）如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ， 且AB ＝2CD ，M 、N 分别是DC 和AB 的中点，若AB→＝a ，AD →＝b ，试用a 、b 表示DC →、BC →、MN →.3．向量的夹角与垂直向量夹角的范围：θb4．向量的正交分解把一个向量分解为两个的向量，叫做把向量正交分解.5．向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a＝x i＋y j.我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).其中x做a在y轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示.思考：相等向量的坐标必然相等，作向量OA＝a，则OA＝(x，y)，此时点A是坐标是什么？三、课堂小结本节课我们主要学习了哪些内容？四、作业布置1.完成本课时作业本;2.小组思考并讨论向量的运算如何转化为坐标运算？坐标运算可以给我们带来哪些便利？本节课各小组代表发言总结。
高中数学_平面向量基本定理教学设计学情分析教材分析课后反思
《平面向量基本定理》教学设计一、教学内容：人教B版普通高中课程标准实验教科书必修四第二章2.2.1平面向量基本定理。
二、教材分析：平面向量基本定理是平面向量的重点内容，考纲要求要了解平面向量基本定理及其意义，此部分在高考中占有十分重要的地位。
以平面向量基本定理的理解为前提，进而引入平面向量的正交分解和坐标，为后面的平面向量坐标法甚至是空间向量坐标法的应用打下一个坚实的基础。
三、教学目标：1、知识与技能目标：（1）考纲要求了解平面向量基本定理及其意义；（2）会用平面向量基本定理解决一些简单的问题；（3）培养学生分析、抽象、概括的思维能力。
2、过程与方法目标：（1）自主学习，合作探究，体会特殊到一般的思想；（2）通过不同形式的自主学习和探究活动，体验数学发现和创造的历程，提高抽象概括、分析总结、数学表达等数学思维能力。
3、情感态度与价值观：通过探究学习培养学生独立思考和勇于探究的精神，促进学生形成数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养；通过师生互动、生生互动的教学活动过程，形成学生的体验性认识，体会成功的喜悦，提高数学学习的兴趣，树立学好数学的信心，培养锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度，培养学生的合作意识和竞争精神。
四、教学重点和难点重点：平面向量基本定理的应用；难点：平面向量基本定理的理解。
五、教学方法采用“问题探究式”教学方法，教师通过创设问题情境，让学生积极参与到教学活动中来，通过层层深入的问题设置，使学生的思路逐步开阔，倡导学生小组合作、小组竞争，提高学生解决问题的能力。
六、学法指导由于本节内容比较重要，且难度相对比较大，因此应指导学生合作学习、小组探究，充分发挥学生的主观能动性。
七、教学过程内容讲解都可以用ar、br来表示呢？作图验证 .探究3 （1）这一平面内所有向量的基底是否唯一呢？大家作图验证是否可以由其他两个向量来表示cr？（2）对你给的这两个向量有什么要求？（3）如果基底选定，1λ和2λ能唯一确定吗？能为零吗？平面向量基本定理：如果1eu r，2eu u r是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内任一向量ar，；不共线的向量1eu r，2eu u r叫做表示这一平面内所有向量的一组，记做 .特别的，1λ=2λ=0时，ar= ；1λ=0，2λ≠0时，ar= ，ar与2eu u r；1λ≠0，2λ=0时，ar= ，ar与1eu r；试一试：学生作图并回答，教师用几何画板展示学生针对问题思考、作图并回答，教师用几何画板展示，师生共同思考研究学生发言，教师针对个别地方适当进行点拨和引导学生练习并回答，实际体验平面向量基本定理的意义学生作图，提高直观想象和数学抽象能力，利用几何画板给学生展示向量直观的变化过程，利于学生理解通过探究3的三个问题，使学生对基底有更深的认识，即基底不唯一，基底两个向量不平行，同时思考1λ和2λ的唯一性，为平面向量基本定理的引入和深入理解打好基础锻炼学生的总结分析能力和语言表达能力实例验证，概念释疑，加深认识EFBADCe1e2内容讲解ABuuu r= , CDuuu r= , EFuuu r= .辨一辨：下列说法中，正确的有：（）1）一个平面内只有一对不共线向量可以作为表示该平面所有向量的基底；2）一个平面内有无数多对不共线向量可以作为表示该平面所有向量的基底；3）一个平面内任意两个向量都可作为一组基底.三、典例剖析，变式训练：例1、如右图所示，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，AB a=u u u r r，AD b=u u u r r，用ar，br表示MAu u u r,MBu u u r,MCu u u u r,MDu u u u r.变式1、已知ABC∆中，AC b=u u u r r，AB a=u u u r r，D为BC边的中点，试用ar，br表示ADuuu r.（方法一）（方法二）（方法三）（方法四）例2、如右图，OAu u u r,OBuuu r不共线，AP=t AB (t∈R)，用OAu u u r，OBuuu r表示OPuuu r.学生思考并练习，将自己的计算过程在展示台进行投影展示一题多解、变式训练，深化认识，学生到黑板展示并讲解，其他同学订正小组讨论，学生发言，师生共同探究通过线性运算对平面向量基本定理进行应用，强化基底意识通过四种方法的点拨诱导，开阔学生思维，激发学生的积极主动性和主观能动性让学生合作学习、发言、回答并练习，锻炼学生的集体意识和团队精内容讲解[方法提炼]：1、P在A,B确定的直线L上三点共线的方法：基底向量OAu u u r，OBuuu r的系数和是；2、向量等式叫做直线的 ,t是参数；12t=时，P是AB的，则OPuuu r= .变式2、如图，在ABC∆中，H为BC上异于B、C的任一点，M为AH的中点，若AM AB ACλμ=+u u u u r u u u r u u u r，则λμ+= .【课堂小结】今天你有哪些收获？学科知识：题型与方法：注意问题：【作业布置】A必做部分：P98 练习A 2、3、4B选作部分：P99 练习B 2、3学生归纳总结，教师加以补充与说明变式训练，学生思考并回答让学生自主总结本节课所学的知识、方法和应该注意的问题A层次要求所有学生完成，B层次只要求学有余力的同学完成教师讲解并朗读神培养学生的概括总结能力，举一反三深化学生对三点共线方法的认识和理解学生在回顾、总结、反思的过程中，将所学知识点条理化、系统化，使自己的认知结构更趋合理作业分两个层次，既巩固所学，又为学有余力的同学留出自由发展的空间激发学生的学习兴趣，培养学生坚持不懈、精益求精八、板书设计学情分析从学生对平面向量的认知情况进行分析，感觉向量比较抽象，普遍存在理解不够深刻的问题，所以这是学习向量的一个难点，必须培养学生的学习兴趣和学习精神。
高中数学_平面向量教学设计学情分析教材分析课后反思
平面向量【高考考纲解读】1.平面向量是高考必考内容，每年每卷均有一个小题(选择题或填空题)，一般出现在第3～7或第13～15题的位置上，难度较低．主要考查平面向量的模、数量积的运算、线性运算等，数量积是其考查的热点．2.有时也会以平面向量为载体，与三角函数、解析几何等其他知识相交汇综合命题，难度中等.【重点、难点剖析】1、（1）平面向量共线定理向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.（2）平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底.(1)向量共线的充要条件：O 为平面上一点，则A ，B ，P 三点共线的充要条件是OP → ＝λ1OA → ＋λ2OB →(其中λ1＋λ2＝1).(2)三角形中线向量公式：若P 为△OAB 的边AB 的中点，则向量OP → 与向量OA → ，OB → 的关系是OP → ＝12(OA → ＋OB →). (3)三角形重心坐标的求法：G 为△ABC 的重心⇔GA → ＋GB → ＋GC →＝0⇔G ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x A ＋x B ＋x C 3，y A ＋y B ＋y C 3.4.平面向量的三个锦囊【高考真题】2.平面向量的两个充要条件若两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则(1)a ∥b ⇔(2)a ⊥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.3.平面向量的三个性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2.(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.[练真题·考什么]1．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．02．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( )A.34AB →－14AC → B ．14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC → D ．14AB →＋34AC →4．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A ．－8 B ．－6 C ．6D ．836．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 43．(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－15解析：解法一：设BC 的中点为D，AD 的中点为E ，则有PB →＋PC →＝2PD →， 则PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·PD → ＝2(PE →＋EA →)·(PE →－EA →)＝2(PE →2－EA →2)．而EA →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫322＝34， 当P 与E 重合时，PE →2有最小值0，故此时PA →·(PB →＋PC →)取最小值， 最小值为－2EA →2＝－2×34＝－32.故选B.【规律方法】求数量积的最值，一般要先利用向量的线性运算，尽可能将所求向量转化为长度和夹角已知的向量，利用向量的数量积运算建立目标函数，利用函数知识求解最值．【典型例题】解法二：以AB 所在直线为x 轴，AB 的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，则A (－1,0)，B (1,0)，C (0，3)，设P (x ，y )，取BC 的中点D ，则D ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12，32. PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·PD →＝2(－1－x ，－y )·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－x ，32－y ＝2(x ＋1)·x －12＋y ·y －32＝2x ＋142＋y －342－34. 因此，当x ＝－1，y ＝3时，PA →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－34＝－32，故选B.2232413()()44x y ⎡⎤⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦+-【训练1】 (2017·衡阳二模)如图，正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC → ＝λAM → ＋μBN →，则λ＋μ＝()A.2B.83C.65D.85命题角度1 平面向量的线性运算热点一解析 法一 如图以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，AM → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，BN → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，AC →＝(1，1).∵AC → ＝λAM → ＋μBN →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－μ2，λ2＋μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－12μ＝1，λ2＋μ＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25，故λ＋μ＝85.法二：方程思想{}12,,1242=55245562558+=5AM AB AD AB AD AM AN BN AD AB AB AM BN AD AM BN AC AB AD AM BNλμ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩⎧-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩=+=+uuuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuuu r uuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuuu r uuu r 以，为基底来表示则有解得所以所以规 律 方 法1．平面向量线性运算的两个技巧(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算．(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当b ≠0时，a ∥b ⇔存在唯一实数λ，使得a ＝λb )来判断.【例1】 (1)已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________．(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为__________；DE →·DC →的最大值为________．命题角度1 平面向量的数量积热点二(2)法一 如图，以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (1，0)，C (1，1)，D (0，1)， 设E (t ，0)，t ∈[0，1]，则DE → ＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)， 所以DE → ·CB → ＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.因为DC → ＝(1，0)，所以DE → ·DC → ＝(t ，－1)·(1，0)＝t ≤1，故DE → ·DC→的最大值为1.【训练2】在平行四边形ABCD 中，M,N 分别为DC,BC 中点，若,+AC AM AN λμλμ=+u u u r u u u u r u u u r 求的值法二 如图，无论E 点在哪个位置，DE → 在CB →方向上的投影都是CB＝1，所以DE → ·CB → ＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE → 在DC →方向上的投影最大，即为DC ＝1，所以(DE → ·DC → )max ＝|DC →|·1＝1.4．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，且b 在a 上的投影为3，则向量a 与b 的夹角为________．（3）解析：设向量a 与b 的夹角为θ.∵b 在a 上的投影为3，且|a |＝ 12＋(3)2＝2，a ·b ＝3＋3m ，∴|b |cos θ＝|b |×a ·b |a ||b |＝3＋3m 2＝3，解得m ＝ 3.∴|b |＝2 3.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝3＋3×32×23＝32.∵θ∈[0，π]，∴向量a 与b 的夹角θ为π6.规律总结：求两个向量的数量积有三种方法：1、利用定义；2、利用向量的坐标运算；3、利用数量积的几何意义．【课堂小结】 1、 本节课你有哪些收获 2、本节课运用了哪些思想方法【作业】平面向量对应的活页作业NO.15学情分析本节课是高三二轮专题复习课，学生已经在第一轮的学习中基本掌握了平面向量基本定理的基本概念及运算，本节课是在此基础上进一步加强对平面向量的综合运用。
高中数学_ 平面向量的基本定理及坐标表示教学设计学情分析教材分析课后反思
2．3．1-----2.3.2平面向量基本定理、正交分解及坐标表示一、教材分析：本节课是在学生学习了向量的概念及表示向量的线性运算后对向量知识的进一步学习。
平面向量基本定理和坐标表示及综合前面的向量知识，同时又是后续向量的坐标运算奠定了基础，起到了承前启后的作用。
过程与方法借助于由特殊到一般的方式得出平面向量基本定理及坐标表示的过程，培养分析问题和解决问题的能力。
二、学习目标1、理解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题。
2、理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示了。
情感态度价值观1、感受数学的精确性、概括性和同一性。
2、体会数形结合的思想 三、重点、难点教学重点：平面向量的基本定理及坐标表示[来源: 教学难点：平面向量的基本定理。
教学方法：引导探究式 教学手段：多媒体教学 四、教学过程：(一)复习提问：1．向量的加法运算（三角形法则、平行四边形法则）。
2．实数与向量的积3．向量共线定理设计意图：为让学生更好的理解问题做好铺垫。
（二）引入新知设计意图：使学生自然进入探索新知环节 （二）新课讲解1AB ，， 问题：已知非零向量那么对于同一平面内的任意向量是否能用线性表示？a a 2， 问题：如果平面内的向量不能由单个向量线性表示 又该如何具体表示呢？121233 、，问题：已知向量求作向量2e e e e向量的合成 向量的分解问题4、对于平面内任意向量，是不是都可以用 e 1 e 2 来表示呢 教师引导学生思考问题，引出本节课的教学内容并用幻灯片演示分解过程向量的合成与分解是互逆过程，向量的合成适用平行四边形法则，分解当然也适合平行四边形法则，进而引导学生用平行四边形分解向量。
设计意图：通过幻灯片演示分解过程；使学生理解平面内任意向量都可以按向量e1、e2进行分解 经过之前几节课的学习，学生已经基本掌握了向量的线性运算及加减法元算，此处的思考题意在使学生更深入地思考：是否任意的向量都可以用任意的两个向量来表示，进而说明了平面向量基本定理的必要性。
高中数学_2.2.1 平面向量基本定理教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计：教材分析：平面向量基本定理是高中数学必修4第二章第二部分第一节的内容。
是在学习了共线向量基本定理的前提下,进一步研究平面内任一向量的表示,为今后平面向量的坐标运算建立向量坐标的一个逻辑基础,只有正确地构建向量的坐标才能有向量的坐标运算。
因此,平面向量基本定理的研究综合了前面学习过的向量知识,同时又为后继的内容作了奠基,起到了承前启后的作用。
平面向量基本定理揭示了平面向量之间的基本关系,是向量解决问题的理论基础，同时平面向量基本定理也为我们提供了一种重要的数学转化思想。
课标分析：：新课标对平面向量基本定理的要求是：理解平面基本定理及其意义。
平面向量的基本定理贯穿整个向量的教学，对后面向量的坐标运算起到了很好的铺垫，对知识的理解有很强的促进作用，并且提供了很好的解题思路与思想方法。
本节着重讲述了平面向量基本定理的推导过程，推出了任意性，不共线的基底，以及唯一性，不是直接把定理告诉学生，那样不容易理解，再就是着重讲述了直线的向量参数方程----考试的重点内容。
本节课的重点是：对平面向量基本定理的探究。
难点是：对平面向量基本定理的理解及其应用；本部分应该分为两个课时，第一课时，基本定理的推导及一些简单题目的处理，第二课时，本部分一些题目的深化和加强。
题型是新授课和习题课为了更好的突出教学重点，突破教学难点，完成教学目标，我把本节课的教学实施分为以下环节来进行：1、 复习引入：由于向量分解之后与基底共线，所以先复习向量的共线条件，便于后面的应用。
2、 创设情景:对于速度的分解学生已经非常熟悉，先从火箭的速度入手分解，在推广到任意情况，体会平行四边形的作用。
接着提出在平面内，向量怎样用21,e 表示，接着提问不共定点的能这样表示吗？如果能如何解决？从而得到2211e a e a a +=引出这一节要讲的课题，也就证明了定理的存在性3、 新课讲授：由于唯一性的证明用到反证法，所以定理直接给出，结合上面的例子强调基底的不共线，基底的表示方法，基底的组数等注意的问题。
高中数学_平面向量基本定理教学设计学情分析教材分析课后反思
教课方案一、教材剖析本节课选自人教 A 版高中数学必修 4 第二章 2.3.1 平面向量基本定理。
学生在学习平面向量实质背景及基本观点、平面向量的线性运算（向量的加法、减法、数乘向量、共线向量定理）以后的又一要点内容，它是引入向量坐标表示，将向量的几何运算转变为代数运算的基础，是向量的工具性获得初步的表现，拥有承上启下的作用 . 二、学情剖析本节课的讲课对象是一般中学的高一学生，该年级的学生已经学习了向量的基本观点和基本运算以及平面向量共线定理；学生对向量的物理背景有了初步的认识，如：力的合成与分解、位移、速度的合成与分解等，都为学习本课作了充足准备，具备了进一步研究的能力.可是本班学生不擅长对知识进行总结归纳，所以在教课过程中，指引学生进行独立思虑，并逐渐培育他们的归纳归纳能力.三、教课重难点1.教课要点：平面向量基本定理及其意义；两个向量夹角的简单计算；2.教课难点：平面向量基本定理的研究；向量夹角的判断.四、教课目的(一)知识与技术目标：1.认识平面向量基本定理及其意义，会选择基底来表示平面中的任一直量；2.能用平面向量基本定理进行简单的应用。
(二)过程与方法目标：1.经过平面向量基本定理的研究，让学生体验数学定理的产生、形成过程，培育学生察看发现问题、由特别到一般的归纳总结问题能力；2.经过对平面向量基本定理的运用，加强学生向量的应意图识，让学生进一步领会向量是办理几何问题强有力的工具之一。
(三)感情、态度与价值观目标：1.用现实的实例，激发学生的学习兴趣，培育学生不停发现、研究新知的精神，发展学生的数学应意图识；2.经历定理的产生过程，让学生体验由特别到一般的数学思想方法，在研究活动中形成持之以恒的研究精神和科学态度。
五、教课过程七个音符谱出千支乐曲，在多样的向量中，我们可否找到它的基本音符呢？第一经过问题复习平面向量的加减法运算及向量共线定理。
（学生回答）再来思虑这么一个问题，给定平面内两个向量e1 ,e2，怎样作出量e1 2 e2 , e11e2？（学生用平行四边形法例、三角形法例等达成. 教师2进行投影显现 . ）反过来，平面内任一直量a 能否都能够用形如1 12 2的向量表e e示？（师生共同达成，经过 GGB软件动向显现向量a的随意性，让学生更直观的认识 .）师生共同给出平面向量基本定理.重申：向量 a 的随意性、e1、e2不共线、系数 1 ， 2 的存在性与独一性。