2014-2015年浙江省衢州一中高一上学期数学期中试卷带答案

2014-2015学年浙江省衢州一中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，1，2}，B={x|x≥2或x≤﹣1}，则A∩B=（）A．{﹣1，1，2}B．{﹣2，﹣1，2}C．{﹣2，1，2}D．{﹣2，﹣1，1} 2．（5分）函数y=x2+x （﹣1≤x≤3 ）的值域是（）A．[0，12] B．[﹣，12]C．[﹣，12]D．[，12]3．（5分）设f（x）=2x﹣x2，则在下列区间中使函数f（x）有零点的区间是（）A．[0，1]B．[1，2） C．[﹣2，﹣1]D．[﹣1，0]4．（5分）已知a=log23+log22，则a，b，c大小关系为（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a5．（5分）下列函数中，在区间（0，1]上为增函数的是（）A．y=2x2﹣x+3 B．y=（）x C．y=x3 D．y=log x6．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．27．（5分）已知函数y=|log2x|的定义域为[，n]（m，n为正整数），值域为[0，2]，则满足条件的整数对（m，n）共有（）A．1个 B．7个 C．8个 D．16个8．（5分）设函数f（x）=的最小值为﹣1，则实数a取值范围（）A．B．C．D．{a|a≥﹣1}9．（5分）已知函数f（x）=a•2|x|+1（a≠0），定义函数给出下列命题：①F（x）=|f（x）|；②函数F（x）是奇函数；③当a＜0时，若mn＜0，m+n＞0，总有F（m）+F（n）＜0成立，其中所有正确命题的序号是（）A．②B．①③C．②③D．①②10．（5分）函数f（x）=x2﹣3x的图象为曲线C1，函数g（x）=4﹣x2的图象为曲线C2，过x轴上的动点M（a，0）（0≤a≤3）作垂直于x轴的直线分别交曲线C 1，C2于A，B两点，则线段AB长度的最大值为（）A．2 B．4 C．5 D．二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分）11．（4分）把﹣1125°化为k•360°+α（k∈Z，0≤α＜360°）形式．12．（4分）计算：=．13．（4分）幂函数y=f（x）的图象经过点（2，），则满足f（x）=﹣27的x的值是．14．（4分）若函数y=在（﹣1，+∞）上单调递增，则a的取值范围是．15．（4分）已知函数f（x）=，若f（a）=3，则a=•16．（4分）已知函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），当a，b∈（﹣∞，0）时总有，若f（m+1）＞f（2m），则实数m的取值范围是．17．（4分）已知f（x）=（其中a，b为常数，且ab≠2），在定义域内任一个x有（k为常数），则k=．三、解答题（本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤）18．（14分）设全集为R，集合A={x|x≤3或x≥6}，B={x|﹣2＜x＜9}．（1）求A∪B，（∁R A）∩B；（2）已知C={x|a＜x＜a+1}，若C⊆B，求实数a的取值范围．19．（14分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=ax3﹣2ax2+bx+1（a＞0）（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）若函数g（x）=在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，求a，b的值．20．（14分）已知f（x）=ln（e x+a）是定义域为R的奇函数，g（x）=λf（x）．（1）求实数a的值；（2）若g（x）≤xlog2x在x∈[2，3]上恒成立，求λ的取值范围．21．（15分）已知函数f（x）=log2，g（x）=log2（x﹣1）（1）判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性，并用定义证明你的结论；（2）记函数h（x）=g（2x+2）+kx，问：是否存在实数k使得函数h（x）为偶函数？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由；（3）记函数F（x）=f（x）+g（x）+log2（p﹣x），其中p＞1试求F（x）的值域．22．（15分）已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立．（1）函数f（x）=是否属于集合M？说明理由；（2）设函数f（x）=lg∈M，求a的取值范围；（3）设函数y=2x图象与函数y=﹣x的图象有交点，证明：函数f（x）=2x+x2∈M．2014-2015学年浙江省衢州一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，1，2}，B={x|x≥2或x≤﹣1}，则A∩B=（）A．{﹣1，1，2}B．{﹣2，﹣1，2}C．{﹣2，1，2}D．{﹣2，﹣1，1}【解答】解：由题意，因为集合A={﹣2，﹣1，1，2}，B={x|x≥2或x≤﹣1}，所以﹣2∈B，﹣1∈B，2∈B，所以A∩B={﹣2，﹣1，2}；故选：B．2．（5分）函数y=x2+x （﹣1≤x≤3 ）的值域是（）A．[0，12] B．[﹣，12]C．[﹣，12]D．[，12]【解答】解：由y=x2+x得，∴函数的对称轴为直线∵﹣1≤x≤3，∴函数在上为减函数，在上为增函数∴x=时，函数的最小值为x=3时，函数的最大值为12∴≤y≤12．故值域是[，12]故选：B．3．（5分）设f（x）=2x﹣x2，则在下列区间中使函数f（x）有零点的区间是（）A．[0，1]B．[1，2） C．[﹣2，﹣1]D．[﹣1，0]【解答】解：根据f（x）=2x﹣x2 是R上的连续函数，f（﹣1）=﹣＜0，f（0）=1＞0，可得函数f（x）在（﹣1，0）上有零点，故选：D．4．（5分）已知a=log23+log22，则a，b，c大小关系为（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a【解答】解：∵=＞log 24=2，∵37＞45，∴，∴＞2．∴．∴．∵1＞=＞log32=c．∴c＜b＜a．故选：D．5．（5分）下列函数中，在区间（0，1]上为增函数的是（）A．y=2x2﹣x+3 B．y=（）x C．y=x3 D．y=log x【解答】解：对于A：对称轴x=，函数在（0，）递减，在（，1）递增，不合题意，对于B：函数在（0，1）递减，不合题意，对于C：函数在（0，1）递增，符合题意，对于D：函数在（0，1）递减，不合题意，故选：C．6．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【解答】解：∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=x2+，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，故选：A．7．（5分）已知函数y=|log2x|的定义域为[，n]（m，n为正整数），值域为[0，2]，则满足条件的整数对（m，n）共有（）A．1个 B．7个 C．8个 D．16个【解答】解：由y=|log 2x|=0，解得x=1，由y=|log2x|=2，解得x=4或x=．则满足条件的（m，n）有（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（1，4），（2，4），（3，4），共7个，故选：B．8．（5分）设函数f（x）=的最小值为﹣1，则实数a取值范围（）A．B．C．D．{a|a≥﹣1}【解答】解：∵当x≥时，f（x）=log2x在[，+∞）上是增函数，且f（）=log2=﹣1，当x时，f（x）=﹣x+a在（﹣∞，）上是减函数，∴﹣+a≥﹣1，故a≥，故选：A．9．（5分）已知函数f（x）=a•2|x|+1（a≠0），定义函数给出下列命题：①F（x）=|f（x）|；②函数F（x）是奇函数；③当a＜0时，若mn＜0，m+n＞0，总有F（m）+F（n）＜0成立，其中所有正确命题的序号是（）A．②B．①③C．②③D．①②【解答】解：由题意得，F（x）=，而|f（x）|=，它和F（x）并不是同一个函数，故①错误；∵函数f（x）=a•2|x|+1是偶函数，当x＞0时，﹣x＜0，则F（﹣x）=﹣f（﹣x）=﹣f（x）=﹣F（x）；当x＜0时，﹣x＞0，则F（﹣x）=f（﹣x）=f（x）=﹣F（x）；故函数F（x）是奇函数，②正确；当a＜0时，F（x）在（0，+∞）上是减函数，若mn＜0，m+n＞0，总有m＞﹣n＞0，∴F（m）＜F（﹣n），即F（m）＜﹣F（n），∴F（m）+F（n）＜0成立，故③正确．故选：C．10．（5分）函数f（x）=x2﹣3x的图象为曲线C1，函数g（x）=4﹣x2的图象为曲线C 2，过x轴上的动点M（a，0）（0≤a≤3）作垂直于x轴的直线分别交曲线C 1，C2于A，B两点，则线段AB长度的最大值为（）A．2 B．4 C．5 D．【解答】解：|AB|=|f（x）﹣g（x）|=|2x2﹣3x﹣4|=|2|（0≤x≤3），可知函数|f（x）﹣g（x）|在[0，]上递增，在[，3]上递减，∴|f（x）﹣g（x）|max==，即线段AB长度的最大值为，故选：D．二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分）11．（4分）把﹣1125°化为k•360°+α（k∈Z，0≤α＜360°）形式﹣8π+．【解答】解：∵﹣1125°=﹣3×2π=﹣4×2π+=﹣8π+故答案为：﹣8π+12．（4分）计算：=1．【解答】解：原式===1．故答案为1．13．（4分）幂函数y=f（x）的图象经过点（2，），则满足f（x）=﹣27的x的值是﹣．【解答】解：设幂函数f（x）=x a，∵幂函数y=f（x）的图象经过点（2，），∴，解得a=﹣3，∴f（x）=x﹣3，∵f（x）=x﹣3=﹣27，∴x=﹣．故答案为：﹣．14．（4分）若函数y=在（﹣1，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（﹣∞，﹣3）．【解答】解：y=；∴当a＜3时，函数y在（a+2，+∞）上单调递增；又函数y在（﹣1，+∞）上单调递增；∴a+2≤﹣1，即a≤﹣3；∴a的取值范围是：（﹣∞，﹣3]．故答案为：（﹣∞，﹣3]．15．（4分）已知函数f（x）=，若f（a）=3，则a=﹣3•【解答】解：若a＜1，令log2（1﹣a）+1=3，解得a=﹣3；若a≥1，令a﹣2=3，解得（舍去）．∴a=﹣3．故答案为﹣3．16．（4分）已知函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），当a，b∈（﹣∞，0）时总有，若f（m+1）＞f（2m），则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）．【解答】解：∵函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），∴函数f（x）是偶函数又∵当a，b∈（﹣∞，0）时总有，∴函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增函数根据偶函数的性质可知函数f（x）在（0，+∞）上单调递减函数∵f（m+1）＞f（2m），∴f（|m+1|）＞f（|2m|），即|m+1|＜|2m|，则（m+1）2＜4m2，（3m+1）（1﹣m）＜0，m＞1或m＜﹣，解得：m∈（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）故答案为：（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）17．（4分）已知f（x）=（其中a，b为常数，且ab≠2），在定义域内任一个x有（k为常数），则k=．【解答】解：∵f（x）=，∴f（x）•f（）﹣k=•﹣k==0恒成立，故，解得，a=2b，k=．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤）18．（14分）设全集为R，集合A={x|x≤3或x≥6}，B={x|﹣2＜x＜9}．（1）求A∪B，（∁R A）∩B；（2）已知C={x|a＜x＜a+1}，若C⊆B，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵A={x|x≤3或x≥6}，B={x|﹣2＜x＜9}．∴A∪B=R，∁R A={x|3＜x＜6}，∴（∁R A）∩B={x|3＜x＜6}．（2）∵C={x|a＜x＜a+1}，B={x|﹣2＜x＜9}，且C⊆B，∴，解得﹣2≤a≤8，∴所求实数a的取值范围是[﹣2，8]．19．（14分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=ax3﹣2ax2+bx+1（a＞0）（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）若函数g（x）=在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，求a，b的值．【解答】解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，故f（﹣x）=a（﹣x）3﹣2a（﹣x）2+b（﹣x）+1=﹣ax3﹣2ax2﹣bx+1，又因为f（x）是定义在R上的奇函数，故f（x）=﹣f（﹣x）=ax3+2ax2+bx﹣1，所以f（x）=．（2）当x∈[2，3]时，g（x）==ax2﹣2ax+b=a（x﹣1）2+b﹣a，∵a＞0，∴g（x）在区间[2，3]上单调递增，故，∴，解得a=1，b=1．20．（14分）已知f（x）=ln（e x+a）是定义域为R的奇函数，g（x）=λf（x）．（1）求实数a的值；（2）若g（x）≤xlog2x在x∈[2，3]上恒成立，求λ的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=ln（e x+a）是定义域为R的奇函数，令f（0）=0，即ln（1+a）=0，解得a=0，故函数f（x）=ln（e x）=x．…（4分）显然有f（﹣x）=﹣f（x），函数f（x）=x是奇函数，满足条件，所求实数a的值为0．…（6分）（2）f（x）=x，g（x）=λx，则λx≤xlog2x在x∈[2，3]上恒成立，即λ≤log2x 在x∈[2，3]上恒成立，…（8分）∵函数y=log2x在x∈[2，3]上的最小值为log22=1，…（11分）∴λ≤1，即λ的取值范围为（﹣∞，1]．…（12分）21．（15分）已知函数f（x）=log2，g（x）=log2（x﹣1）（1）判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性，并用定义证明你的结论；（2）记函数h（x）=g（2x+2）+kx，问：是否存在实数k使得函数h（x）为偶函数？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由；（3）记函数F（x）=f（x）+g（x）+log2（p﹣x），其中p＞1试求F（x）的值域．【解答】解：（1）f（x）在区间（1，+∞）上的单调递减．证明如下：任取1＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=log2∵﹣1=∵1＜x1＜x2，∴＞0∴∴f（x1）﹣f（x2）＞0∴f（x）在区间（1，+∞）上的单调递减；（2）h（x）=g（2x+2）+kx=log2（2x+1）+kx，定义域为R假设存在这样的k使得函数h（x）为偶函数，则h（x）﹣h（﹣x）=0恒成立即log 2（2x+1）+kx﹣log2（2﹣x+1）+kx=0，化简得（1+2k）x=0∴k=﹣使得函数h（x）为偶函数．（3）首先函数F（x）的定义域是（1，p）F（x）=log2（x+1）（p﹣x）=log2[﹣x2+（p﹣1）x+p]=log2[﹣（x﹣）2+]，显然＜①当≤1，即1＜p≤3时，t=﹣（x﹣）2+在（1，p）上单调减，g （p）＜t＜g（1），即0＜t＜2p﹣2，∴f（x）＜1+log2（p﹣1），函数f（x）的值域为（﹣∞，1+log2（p﹣1））；②当1＜＜，即p＞3时，t=﹣（x﹣）2+在（1，）上单调递增，在（，p）上单调递减，即0＜t≤，∴f（x）≤2log2（p+1）﹣2，函数f（x）的值域为（﹣∞，2log2（p+1）﹣2]．综上：当1＜p≤3时，函数f（x）的值域为（﹣∞，1+log2（p﹣1））；当p＞3时，函数f（x）的值域为（﹣∞，2log2（p+1）﹣2]．22．（15分）已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立．（1）函数f（x）=是否属于集合M？说明理由；（2）设函数f（x）=lg∈M，求a的取值范围；（3）设函数y=2x图象与函数y=﹣x的图象有交点，证明：函数f（x）=2x+x2∈M．【解答】解：（1）若f（x）=∈M，在定义域内存在x0，则+1=0，∵方程x02+x0+1=0无解，∴f（x）=∉M；（5分）（2）由题意得，f（x）=lg∈M，∴lg+2ax+2（a﹣1）=0，当a=2时，x=﹣；当a≠2时，由△≥0，得a2﹣6a+4≤0，a∈．综上，所求的；（10分）（3）∵函数f（x）=2x+x2∈M，∴﹣3=，又∵函数y=2x图象与函数y=﹣x的图象有交点，设交点的横坐标为a，则，其中x0=a+1∴f（x0+1）=f（x0）+f（1），即f（x）=2x+x2∈M．（16分）赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。