沪科版2022-2023学年九年级数学上册第三次月考测试题(附答案)

2022-2023学年九年级数学上册第三次月考测试题（附答案）一、选择题（满分40分）1．如果α是锐角，且cosα＝，那么sinα的值是（）A．B．C．D．22．下列判断正确的是（）A．不全等的三角形一定不是相似三角形B．不相似的三角形一定不是全等三角形C．相似三角形一定不是全等三角形D．全等三角形不一定是相似三角形3．如图，点D在△ABC的边AC上，添加下列一个条件仍不能判断△ADB与△ABC相似的是（）A．∠ABD＝∠C B．∠ADB＝∠ABC C．BC2＝CD•AC D．AB2＝AD•AC 4．若x1，x2（x1＜x2）是方程（x﹣a）（x﹣b）＝1（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b 的大小关系为（）A．x1＜x2＜a＜b B．x1＜a＜x2＜b C．x1＜a＜b＜x2D．a＜x1＜b＜x2 5．已知在△ABC中，∠C＝90°且△ABC不是等腰直角三角形，设sin B＝n，当∠B是最小的内角时，n的取值范围是（）A．B．C．D．6．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则反比例函数y＝与一次函数y＝bx﹣c 在同一坐标系内的图象大致是（）A．B．C．D．7．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE＝2：3，连接AE，BD交于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（）A．2：3：5B．4：9：25C．4：10：25D．2：5：258．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，过D作BC的平行线交AC于M，若BC＝m，AC ＝n，则DM＝（）A．B．C．D．9．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B、C 不重合），作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BE+CF的值（）A．不变B．增大C．减小D．先变大再变小10．如图，在梯形ABCD中，AB＝BC＝10cm，CD＝6cm，∠C＝∠D＝90°，动点P、Q 同时以每秒1cm的速度从点B出发，点P沿BA、AD、DC运动，点Q沿BC、CD运动，P点与Q点相遇时停止，设P、Q同时从点B出发x秒时，P、Q经过的路径与线段PQ 围成的图形的面积为y（cm2），则y与x之间的函数关系的大致图象为（）A．B．C．D．二、填空题（满分20分）11．若点A（2，m）在函数y＝x2﹣1的图象上，则A点的坐标是．12．在△ABC中，若∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，则BC＝．13．如图所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上．设AB＝xm，长方形的面积为ym2，要使长方形的面积最大，其边长x应为．14．设△ABC的面积为1，如图①，将边BC、AC分别2等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB 的面积记为S2；…，依此类推，则S n可表示为．（用含n的代数式表示，其中n 为正整数）三、解答题（满分90分）15．计算：+sin45°．16．已知线段a、b、c满足，且a+2b+c＝26．（1）求a、b、c的值；（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x．17．如图，Rt△ABC中，斜边AB上一点M，MN⊥AB交AC于N，若AM＝3cm，AB：AC ＝5：4，求MN的长．18．如图，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，BE⊥AC，垂足为点F．求证：△AEF ∽△CAB．19．如图，两幢建筑物AB和CD，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝15m，CD＝20m．AB和CD 之间有一景观池，小双在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42°，在C点测得E点的俯角为45°，点B、E、D在同一直线上．求两幢建筑物之间的距离BD．（结果精确到0.1m）【参考数据：sin42°＝0.67，cos42°＝0.74，tan42°＝0.90】20．如图所示，已知平行四边形ABCD的周长为8cm，∠B＝30°，若边长AB＝x（cm）．（1）写出▱ABCD的面积y（cm2）与x的函数关系式，并求自变量x的取值范围．（2）当x取什么值时，y的值最大？并求最大值．21．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且AD：DB＝3：2，AE：EC＝1：2，直线ED和CB的延长线交于点F，求：FB：FC．22．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB＝90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．23．问题提出：数学课本上有这样一道题目：如图①，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？初步思考：（1）试计算出正方形零件的边长；深入探究：（2）李华同学通过探究发现如果要把△ABC按照图②加工成三个相同大小的正方形零件，△ABC的边BC与高AD需要满足一定的数量关系．则这一数量关系是：．（直接写出结论，不用说明理由）；（3）若△ABC可以按照图③加工成四个大小相同的正方形，且∠B＝30°，求证：AB＝BC．参考答案一、选择题（满分40分）1．解：∵sin2α+cos2α＝1，∴sinα＝＝＝．故选：C．2．解：A，不正确，两个相似的三角形相似但不全等；B，正确，因为全等三角形是特殊的相似三角形，不相似即不构成全等的前提；C，不正确，因为相似三角形可以是全等三角形，全等三角形是特殊的相似三角形；D，不正确，因为全等三角形一定是相似三角形；故选：B．3．解：∵∠A是公共角，∴当∠ABD＝∠C或∠ADB＝∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似）；故A与B正确；当＝，即AB2＝AC•AD时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似）；故D正确；当＝，即BC2＝CD•AC时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，故C错误．故选：C．4．解：用作图法比较简单，首先作出y＝（x﹣a）（x﹣b）图象，任意画一个（开口向上的，与x轴有两个交点），再向下平移一个单位，就是y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣1，这时与x轴的交点就是x1，x2，画在同一坐标系下，很容易发现：答案是：x1＜a＜b＜x2．故选：C．5．解：根据题意，知0°＜∠B＜45°．又sin45°＝，∴0＜n＜．故选：A．6．解：观察二次函数图象可得出：a＞0，﹣＞0，c＞0，∴b＜0．∴反比例函数y＝的图象在第一、三象限，一次函数y＝bx﹣c的图象经过第二、三、四象限．故选：A．7．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB，DC∥AB，∵DE：CE＝2：3，∴DE：AB＝2：5，∵DC∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴＝（）2＝，＝＝，∴＝＝＝（等高的三角形的面积之比等于对应边之比），∴S△DEF：S△ADF：S△ABF等于4：10：25，故选：C．8．解：∵CD平分∠ACB，过D作BC的平行线交AC于M，∴∠MDC＝∠MCD，∴DM＝MC，∴AM＝AC﹣MC＝n﹣DM，又∵DM∥BC，∴，即，解得DM＝．故选：C．9．解：∵BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，∴CF∥BE，∴∠DCF＝∠DBE，设∠DCF＝∠DBE＝α，∴CF＝DC•cosα，BE＝DB•cosα，∴BE+CF＝（DB+DC）cosα＝BC•cosα，∵∠ABC＝90°，∴O＜α＜90°，当点D从B向C运动时，α是逐渐增大的，∴cosα的值是逐渐减小的，∴BE+CF＝BC•cosα的值是逐渐减小的．故选C．面积法：S△ABC＝•AD•CF+•AD•BE＝•AD（CF+BE），∴CF+BE＝，∵点D沿BC自B向C运动时，AD是增加的，∴CF+BE的值是逐渐减小．故选：C．10．解：过点P作PE⊥BC于E，设P、Q同时从点B出发x秒时，△BPQ的面积是y，∴PE＝BP•sin B，∴当点P在AB上，即0＜x≤10时，y＝BQ•BP sin∠B＝x2×＝x2；∴当点P在AD上，即10≤x≤12时，y＝梯形ABCD面积﹣△PDQ面积＝36﹣PD•QD．而PD＝12﹣x，QD＝16﹣x，则y＝﹣x2+14x﹣60；P到D之后，面积达到最大36cm2，且不变．故选：C．二、填空题（满分20分）11．解：把A（2，m）代入y＝x2﹣1得m＝4﹣1＝3，所以A点坐标为（2，3）．故答案为（2，3）．12．解：作AB边的高CE．在Rt△ACE中，∵∠A＝30°，AC＝，∴CE＝AC＝．在等腰Rt△CBE中，BC＝CE，故BC＝．13．解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴△EAD∽△EBF，∴＝，即＝，解得，AD＝12﹣x，∴y＝x（12﹣x）＝﹣x2+12x＝﹣（x﹣）2+15，∴当x＝时，长方形的面积最大，故答案为：．14．解：如图，连接D1E1，设AD1、BE1交于点M，∵AE1：AC＝1：（n+1），∴S△ABE1：S△ABC＝1：（n+1），∴S△ABE1＝，∵＝＝，∴＝，∴S△ABM：S△ABE1＝（n+1）：（2n+1），∴S△ABM：＝（n+1）：（2n+1），∴S n＝．故答案为：．三、解答题（满分90分）15．解：原式＝+＝1+＝16．解：（1）设＝＝＝k，则a＝3k，b＝2k，c＝6k，所以，3k+2×2k+6k＝26，解得k＝2，所以，a＝3×2＝6，b＝2×2＝4，c＝6×2＝12；（2）∵线段x是线段a、b的比例中项，∴x2＝ab＝6×4＝24，∴线段x＝2．17．解：由题意得：△AMN∽△ACB∴AB：AC＝AN：AM＝5：4∴可知AN＝，根据勾股定理得AM2+MN2＝AN2∴MN＝．18．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，∵BE⊥AC于点F，∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，∴△AEF∽△CAB．19．解：由题意得：∠AEB＝42°，∠DEC＝45°，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴在Rt△ABE中，∠ABE＝90°，AB＝15，∠AEB＝42°，∴BE＝≈15÷0.90＝，在Rt△DEC中，∠CDE＝90°，∠DEC＝∠DCE＝45°，CD＝20，∴ED＝CD＝20，∴BD＝BE+ED＝+20≈36.7（m）．答：两幢建筑物之间的距离BD约为36.7m．20．解：（1）过A作AE⊥BC于E，如图，∵∠B＝30°，AB＝x，∴AE＝x，又∵平行四边形ABCD的周长为8cm，∴BC＝4﹣x，∴y＝AE•BC＝x（4﹣x）＝﹣x2+2x（0＜x＜4）；（2）y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣2）2+2，∵a＝﹣，∴当x＝2时，y有最大值，其最大值为2．21．解：过B作BG∥AC交EF于G，∴△DBG∽△ADE，∴＝＝，∵AE：EC＝1：2，∴BG：CE＝，∵BG∥AC，∴△BFG∽△CFE，22．解：①∵函数的图象与x轴相交于O，∴0＝k+1，∴k＝﹣1，∴y＝x2﹣3x，②假设存在点B，过点B做BD⊥x轴于点D，∵△AOB的面积等于6，∴AO•BD＝6，当0＝x2﹣3x，x（x﹣3）＝0，解得：x＝0或3，∴AO＝3，∴BD＝4即4＝x2﹣3x，解得：x＝4或x＝﹣1（舍去）．又∵顶点坐标为：（1.5，﹣2.25）．∵2.25＜4，∴x轴下方不存在B点，∴点B的坐标为：（4，4）；③∵点B的坐标为：（4，4），∴∠BOD＝45°，BO＝＝4，当∠POB＝90°，∴∠POD＝45°，设P点横坐标为：x，则纵坐标为：x2﹣3x，即﹣x＝x2﹣3x，解得x＝2 或x＝0，∴在抛物线上仅存在一点P（2，﹣2）．∴OP＝＝2，使∠POB＝90°，∴△POB的面积为：PO•BO＝×4×2＝8．23．解：（1）设正方形零件的边长为x mm，则KD＝EF＝x，AK＝80﹣x，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD⊥BC，∴，∴，解得x＝48．答：正方形零件的边长为48mm．（2）BC＝AD，如图2由已知条件得：EF∥GH∥BC，在△GBN与△EGM中，，∴△GBN≌△EGM，∴EG＝BG，∵△AEF∽△AGH，∴，∴AE＝EG，∴AE＝EG＝GB，∴△AEF∽△ABC，∴，∵PD＝2x，∴AD＝3x，BC＝3x，∴AD＝BC，故答案为：AD＝BC；（3）如图3，过点A作AD⊥BC于D，分别交EF、GH于点M、N，设每个正方形的边长为a，∵EF∥GH∥BC，∴△AEF∽△AGH∽△ABC，∴，∴，解得AD＝2.5a，BC＝5a，∴BC＝2AD．∵∠B＝30°，AD⊥BC，∴AB＝2AD，∴AB＝BC．。