定理线性定常系统
现代控制理论 系统镇定问题
《现代控制理论》MOOC课程5.3系统镇定问题一.状态反馈的镇定问题确定状态反馈控制u =−Kx +v ，使得所导出的状态反馈闭环系统x =A −BK x +Bv是渐近稳定的，也即闭环系统的特征值均有负的实部，则称系统实现了状态反馈镇定。
镇定是极点配置的一类特殊情况，它要求将极点配置到根平面的左半平面。
二. 状态反馈可镇定的条件可通过状态反馈u =−Kx +v 实现镇定的充要条件是其不能控子系统是渐近稳定的。
定理：线性定常系统x =A x +B u ，x 0=0，t ≥0y =Cx5.3系统镇定问题给定n 阶线性定常受控系统：x =A x +B u ，x 0=0，t ≥0y =Cx证明：设线性定常系统为不完全能控，故存在非奇异线性变换R C 对系统进行能控性分解且对任一状态反馈矩阵K =k 1k 2可导出෩K=KR c =෩k 1෩k2，由于{෩Ac ，෩B c }为能控，故必存在෩k 1使(෩A c −෩B c ෩k 1)的特征值具有负的实部，即存在K 使能因此，系统由状态反馈实现镇定的充要条件为不能控子系统的特征值均具有负实部。
得证=detλI −෩Ac +෩B c ෩k 1−෩A 12+෩B c ෩k 20λI −෩A തc det λI −A −BK=det[λI −R C −1A −BK R C ]于是有：=det λI −෩A c +෩B c ෩k 1det(λI −෩A തc )෩A =R C −1AR c =෩A c ෩A 120෩A തc ෩B=R C −1B=෩B c 0而导出：控子系统的特征值均具有负的实部。
三. 状态反馈镇定的算法算法给定不完全能控系统x=A x+B u，且知其满足可镇定的条件，则镇定问题中反馈矩阵K的计算步骤如下：1. 对给定系统进行能控性分解，导出能控子系统{෩A c，෩B c}，能控性分解的变换阵为R C；2.应用非奇异线性变换阵T C1，将能控子系统{෩A c，෩B c}化为能控标准I型{ഥA c，ഥB c}；3.应用极点配置算法,计算反馈增益阵ഥK使能控子系统的特征值具有负的实部；4.计算状态反馈矩阵K=k10；K=k10=ഥk1T C1−10R C−15.3系统镇定问题判别其是否为可镇定的，若是可镇定的，试求一状态反馈K ，使闭环系统为渐近稳定。
《现代控制理论》线性定常系统的反馈结构及状态观测器
求解状态反馈阵k 的步骤：
1) 校验系统的可控性
令
计算k
小结
B
I s
A
x
u
k
v
用状态反馈配置系统闭环极点
结论：1.状态反馈不改变系统的可控性，但可改变可观测性.
2.状态反馈不改变系统的闭环零点。
状态反馈的影响
二、状态反馈对系统零点和可观测性的影响
【例】 系统S：
此时系统可控可观
1).复合系统结构图（状态反馈＋状态观测器）
输出内反馈及状态可观测性
续
状态反馈
状态观测器
复合系统
选状态变量
即：
y=Cx
输出内反馈及状态可观测性
2) 传递函数矩阵
结论:
状态观测器不影响传递函数
输出内反馈及状态可观测性
3）特征多项式
特征多项式
结论
1.引入观测器提高了系统的阶次（由n 2n ）
2.整个闭环系统特征值由状态反馈下（A - BK）特征值和状态观测器下特征值（A－HC）组合而成，且相互独立。即观测器的引入不影响已配置好的系统特征值，而状态反馈也不影响观测性的特征值，这就是分离定理。
输出内反馈及状态可观测性
3.状态观测器的引入,不影响传递函数阵.且趋于 x(t) 的速度,取决于观测器的特征值。
分离定理
4).分离定理
定理: 若系统{A,B,C }可控又可观,用状态观测器估值形成状态反馈时,其系统的极点配置和观测器设计可分别独立运行,即K 和H 值的设计可分别进行,有时把K 和H 统称控制器. 一般观测器的响应速度应比状态反馈的响应速度快一些.
状态观测器概述
二、状态观测器概述
利用状态反馈能任意配置闭环系统的极点及有效改善系统性能,然而系统的状态变量并不能用物理方法测量.因此要使状态反馈在工程上实现就必须解决这个问题. 解决问题的方法之一就是重构系统的状态.并用这个重构状态代替原系统实际状态,实现状态反馈.
线性定常系统的计算
3 1 3
则
2 V ( x) xT Qx x3 0
0 0 K p 1 2 0 p 1 0 1 p
11
12
13
p p p
12
22
23
p p p
13
23
33
p p p
11
12
13
p p p
12
R1x 0 e1t R2 x 0 e2t
Re(i ) 0
i 1,, n
Rn x 0 ent
充分性 当
则x t 中每一项指数将随 t 0 而趋于0，并且对任意 x 0都 成立，系统是渐近稳定的。
现代控制理论
必要性 反证法。设系统渐近稳定，但存在某些i有 Re(i ) 0 ， 且 R i 0 ，则在 x 0 0 时，解 x t 中相应项将无限增 长，系统是不稳定的，与假设矛盾，故必有 Re( i ) 0 。 线性定常系统是渐近稳定的，意味着是一致渐近稳定且 是大范围一致渐近稳定的。 2. 线性时变系统（略）
3 2 2 V ( x) x Px x1 x1 x2 x2 0 2
T
2 V ( x) xT I x x12 x2 0
现代控制理论
例4-9 用李雅普诺夫方程确定使图所示系统渐近稳定的
K值范围。
u(s)
-
K x3(s) 1 x2(s) s 1 s2
现代控制理论
GT PG P Q
并且这个系统的李氏函数是
v x(k ) xT k Px(k )
证明 设所选李氏函数是 v x(k ) xT k Px(k )
《现代控制理论基础》讲义教案第4章.docx
III、综合部分第四早线性多变量系统的综合与设计4.1引言前面我们介绍的内容都属于系统的描述与分析。
系统的描述主要解决系统的建模、各种数学模型（时域、频域、内部、外部描述）Z间的相互转换等；系统的分析，则主要研究系统的定量变化规律（如状态方程的解，即系统的运动分析等）和定性行为（如能控性、能观测性、稳定性等）。
而综合与设计问题则与此相反，即在己知系统结构和参数（被控系统数学模型）的基础上，寻求控制规律，以使系统具有某种期望的性能。
一般说来，这种控制规律常取反馈形式，因为无论是在抗干扰性或鲁棒性能方面，反馈闭环系统的性能都远优于非反馈或开环系统。
在本章中，我们将以状态空间描述和状态空间方法为基础，仍然在吋域中讨论线性反馈控制规律的综合与设计方法。
4. 1. 1问题的提法给定系统的状态空间描述若再给定系统的某个期望的性能指标，它既可以是时域或频域的某种特征量（如超调量、过渡过程时间、极、零点），也可以是使某个性能函数取极小或极大。
此时，综合问题就是寻求一个控制作用u,使得在该控制作用下系统满足所给定的期望性能指标。
对于线性状态反馈控制律u = -Kx + r对于线性输岀反馈控制律u = -Ffy + r其中r e R'为参考输入向量。
由此构成的闭环反馈系统分别为x - {A- BK）x+ Br y-Cx或x = {A-BHC）x+Br y = Cx闭坏反馈系统的系统矩阵分别为九=A — BKA H=A-BHC即工K = (A—BK,B,C)或工〃=(A—BHC,B,C)°闭环传递函数矩阵G K⑶=C '[si-(A-BK)Y] BG H G) = C_,[si-(A-BHOf B我们在这里将着重指出，作为综合问题，将必须考虑三个方面的因素，即1)抗外部干扰问题；2)抗内部结构与参数的摄动问题，即鲁棒性(Robustness)问题；3)控制规律的工程实现问题。
一般说来，综合和设计是两个有区别的概念。
李雅普诺夫稳定性理论
定义三 对所有的状态(状态空间的所有点)，如 果由这些状态出发的轨迹都具有渐近稳定性，则 称平衡状态xe为大范围渐近稳定。
定义四 :如果从球域 S( )出发的轨迹，无论球
域选得多么小，只要其中有一条轨迹脱离球域， 则称平衡状态xe为不稳定。
❖线性系统：如果它是渐近稳定的，必是有大 范围渐近稳定性(线性系统稳定性与初始条件的 大小无关)。
❖非线性系统：稳定性与初始条件大小密切 相关,系统渐近稳定不一定是大范围渐近稳定。
三. 李雅普诺夫第一法（间接法）
利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。
1. 线性定常系统稳定性的特征值判据：
xAx x(0)x0 t 0
李氏稳定的充要条件：
Re(i ) 0 i1,2,n
即系统矩阵A的全部特征值位于复平面左半部。
2) 选取不当，会导V致( x , t ) 不定的结果。
2) 这仅仅是充分条件。
3)
例4：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。
x 1 x 2 x 2 x 1 x 2
解: x 1x 2 0 x1x2 0 即 xe 0
.
设 V(x)x12x2 2 则 V(x) 2x22
.
可见V
( x )与 x1 .
结论：
1) 若 Re(i) 0 i1,2,,n ，则非线
性系统在 x e 处是渐近稳定的，与 g ( x)
2) 无关。
2) 若 Re(i) 0 Re(j ) 0 ij1,,n
3) 则不稳定。
3) 若 Re(i ) 0，稳定性与 g (x)有关，
4)
g(x)50) 则是李雅普诺夫意义下的稳定性。
4.4 线性系统的李雅普诺夫稳定性分析
1．线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析
现代控制理论基础总复习
第二章线性系统的数学描述数学模型可以有许多不同的形式，较常见的有三种：第一种是：把系统的输入量和输出量之间的关系用数学方式表达出来，称之为输入输出描述，或外部描述；第二种是：不仅可以描述系统输入、输出之间的关系，而且还可以描述系统的内部特性，称之为状态空间描述或内部描述；第三种是：用比较直观的方块图（结构图）和信号流图模型进行描述。
910 2.1 线性系统的时域数学模型()(1)(2)121()()()()()n n n n n c t a c t a c t a c t a c t ---+++++()(1)(2)0121()()()()()m m m m m b r t b r t b r t b r t b r t ---=+++++ (2.1) 式中，()r t 和()c t 分别是系统的输入信号和输出信号，()()n c t 为()c t 对时间t 的n 阶导数；i a (1,2,)i n =和j b (0,1,)j m =是由系统的结构参数决定的系数。
2.2 传递函数11m n b s a s --++++++11 式中1011()m m m m M s b s b s b s b --=++++1011()nn n n N s a s a s a s a --=++++()M s 和()N s 分别称为传递函数()G s 的分子多项式和分母多项式。
2.5 线性系统的状态空间描述A Buy C du =+⎧⎨=+⎩x x x(2.3) 2.5.2 状态空间表达式与传递函数的关系1()()G s C sI A B D -=-+(2.4)12 2.5.3 状态空间表达式的建立情形一： 线性微分方程中不含输入的导数项，传递函数没有零点()(1)11n n n n y a y a y a y u --++++= (2.5)情形二 线性微分方程含有输入的导数(不超过3阶)，传递函数有零点 ()(1)()(1)11011n n n n n n n n y a y a y a y b u b u b u b u ----++++=++++ (2.6) 1011111()()n n n nn n n nb s b s b s b Y s U s s a s a s a ----++++=++++(2.7)13 Chp.9 状态空间系统响应、可控性与可观性9.1 线性定常系统的响应已知线性定常连续系统状态方程的一般形式为0()()(), (0)t A t B t =+=x x u x x(2.8) 状态变量的初始值为0x ，控制作用为()t u 。
线性定常连续系统的可控性和可观性
其中X 为n×1阶矢量,U 为r×1阶矢量,G 为n×n 阶矩阵,H 为
n×r 阶可控矩阵,那么离散系统(5-14)可控的充要条件是可控
判别阵:
的秩等于n。
第5章 系统的可控性和可观性
例5-5-已知某离散系统的系统矩阵G 和输入矩阵H 分别
为
试分析系统可控性。
解
我们可以从 M 阵的前3个列明显看出,Rank(M)=3=n,即
注意:Σc1 中的βi 与Σc2 中的βi 不是同一数值。
第5章 系统的可控性和可观性
Σc1 的模拟结构图如图5-4所示,Σc2 的模拟结构图如图5-5
所示。
图5-4 可控Ⅰ型模拟结构图
第5章 系统的可控性和可观性
图5-5-可控Ⅱ型模拟结构图
第5章 系统的可控性和可观性
Σc1(Ac1,bc1,Cc1)和Σc2(Ac2,bc2,Cc2)之所以称为可控型,主要
先看式(5-33):
第5章 系统的可控性和可观性
第5章 系统的可控性和可观性
再看式(5-34),两边同时左乘Tc2 ,得新关系Tc2 bc2=b。将
式(5-30)的Tc2和式(5-26)
的bc2代入,很容易就得以证明。
再看式(5-35),有
实际上,该式只给出Cc2的计算公式,Cc2没有像Ac2,bc2那样的固
第5章 系统的可控性和可观性
定理5.7 系统完全可观的充要条件是可观判别阵
的秩为n。
第5章 系统的可控性和可观性
例5-6 判别系统
的可观性。
解
因为 Rank(M)=2=n,所以系统可观。
第5章 系统的可控性和可观性
5.4 离散时间系统的可观性
定义5.4 考虑如下线性定常离散系统:
自动控制原理_第3章_4
Φ( s) =
Ts 2 + ( K p K 0τ + 1) s + K p K 0
K p K 0 (τ s + 1)
K p K 0τ =
T T K p K 0τ + 1 K p K0 2 s + s+ T T
K p K 0τ + 1 T K p K0
s+
K p K0
2ζωn =
求得
ωn =
T
ζ =
【例3-4】 二阶系统的方块图如下 】
R( s )
E ( s)
K0
-
10 s ( s + 1)
Y ( s)
τs
要求闭环系统的超调量 σ p = 16.3% ， 峰值时间为
tp = 1s ，求放大器的放大倍数和速度反馈系数。
6
【解】 系统的开环传递函数为
10 K 0 G (s) = 2 s + (1 + 10τ ) s
an an − 2 an − 4 an −1 an −3 an −5 b1 b2 b3
b1an −3 − an −1b2 c1 = b1 b1an −5 − an −1b3 c2 = b1
an −6 an −7 b4
L L L
s
n−2
35
劳斯列表的性质
1 在计算劳斯列表时，某一行各元同时乘以或除以 同一个正数， 不影响稳定性的判断结果， 这种乘除 往往可简化后续的运算。 2
+ ∑ Ck e
k =1
−ζ k ωnk t
ห้องสมุดไป่ตู้
( sin (ω
2 k
nk
1− ζ
2 k
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n1
若系统是能控的，那么对于任意给定的初始状态
x(0)都应从上述方程中解出 0，1，…，n 1。
这就要求系统能控性矩阵的秩为n，即
rank[ B AB A2B … An 1 B ] = n
例：设系统的状态方程为
1 3 2 2 1
x(t) 0
将对角标准形的每一行写成如下展开形式
~xi i~xi
~ (bi1u1
~ bi2u2
~ birur )
显见，上述方程组中，没有变量间的耦合。因此，x%i
( i = 1，2，…，n)能控的充要条件是下列元素 b%i1,b%i2,L ,b%ir 不同时为零。
例： 考察下列系统的状态能控性。
1
~x(t)
2
~x(t
)
B~u(t
)
n
中, B~ 不包含元素全为零的行。
证明：系统经线性非奇异变换后状态能控性不变。
由前章可知，系统(A，B)和(A~ ，B~ )之间做线性
非奇异变换时有：
x P~x A~ P 1 AP B~ P 1B
方法二：线性定常连续系统(A，B), 其状态完全能控的 充要条件是其能控性矩阵的秩为n，即：
rankQc = n Qc = [ B AB A2B … An 1B ]
证明 已知状态方程的解为
x(t f ) eA(tf t0) x(t0 )
t f eA(t f ) Bu( )d
4.1线性系统能控性和能观测性的概述
(1) 能控性 控制作用u(t)对被控系统状态x(t)进行控制的可能性。
(2) 能观测性 由系统输出量测值y(t)确定系统状态x(t)的可能性。
一、 状态能控性
线性定常系统
存在一个分段连续输入信号u(t)，能在有限时间 区间[t0，tf ]内 ，使系统的某一初始状态x(t0)转移到 指定的任一终端状态x(tf ) ，则称此状态是能控的。
2
0x(t
)
1
1u(t)
判断其状态能控性。 0 1 3
1 1
解：
2132 54
1122 44 Qc = [ B AB A2B ] = 1 1 2 2 4 4
rank(QC ) 2 n
所以系统状态不完全能控。
方法三：
u x 单输入系统中，
x(0)
n1
Ak B
tf 0
k ( )u( )d
k 0
因tf 是固定的，所以每一个积分都代表一个确定的量，令
t f
0
k ( )u( )d
k
n1
x(0) Ak B k k 0
B AB A2B
0
An1B
1
例： 考察下列各系统的状态能控性。
4 1 0
0
(1)
x(t)
0
4
0 x(t) 4u(t)
0 0 2
3
4 1 0
4 2
(2)
x(t)
0
4
0 x(t) 0 0u(t)
0 0 2
3 0
4.2 线性定常系统的能控性 一、 状态能控性判据
方法一：
转化为约旦标准形 ( Aˆ, Bˆ ) ，再根据 Bˆ 判断
方法二： 直接根据状态方程的A阵和B阵
方法三： 传递函数
方法一： （1）设线性定常连续系统(A，B)具有两两相异的特征值， 则其状态完全能控的充要条件是系统经线性变换后 的对角线矩阵
若系统在状态空间中的每一个状态都能控，那么 就称系统在[t0，tf]时间间隔内是状态完全能控的， 简称系统是能控的。
说明： 1.线性定常系统可以假设 t0=0，初始状态为x(0)，任意终端状态 为零状态，即x(tf)=0；反之亦可。 2.若存在能将系统从x(t0)=0转移到任意终态x(tf)的控制作用u(t)， 则称系统是可达的。 3.对线性定常系统，可控与可达是可逆的。 4.控制作用u(t)无约束，取值非唯一。
t0
设初始时刻为零，即t0 = 0以及终端状态为状态空间的原点， 即x(tf ) = 0。则有
x(0) tf eA Bu( )d 0
利用凯莱-哈密尔顿（Cayley-Hamilton）定理
n1
eA 0 ( )I 1( )A n1( )An1 k ( )Ak k 0
间的传递函数阵为
wux (s) (sI A)1b 状态完全能控的充分必要条件是 wux (s) 没有零点和极点重合
否则，被消的极点就是不能控的，系统也为不能控系统。
例：从输入和状态矢量间的传递函数确定其能控性？
例：判断线性连续系统能控性？ 解：
线性定常系统能控性判据小结： ① rankQc= rank[ B AB … An1B]= n ② 当A为对角形且特征值互异时，输入矩阵B中无全为零行； 当A为约当阵时且相同特征值分布在一个约当块内时，B中与 约当块最后一行对应的行不全为零，且B中相异特征值对应 的行不全为零。 ③ 单输入系统，由状态空间表达式导出的传递函数没有零极 点对消。
7
2
(1)
x(t)
5
x(t)
5u(t)
1
7
7
2
(2)
x(t
)
5
x(t)
0u(t
)
1
9
7
0 1
(3)
x(t)
5
x(t
)
4
0u(t)
1
Q~c B~ A~B~ A~2B~ A~n1B~
P 1B P 1APP1B P 1APP1APP1B P 1 B AB A2B An1B
P 1Qc
P是非奇异阵
rankQ~c rankQc
其次证明不包含元素为零的行是系统(A，B) 状态完全能控的充要条件。
7 5
（2）若线性连续系统(A，B)有相重的特征值,则其状态 完全能控的充要条件是：系统经线性变换后的约旦 矩阵
x&%(t) Jx%(t) B%u(t)
输入矩阵 B% 中对应于互异的特征值的各行，没 有 一 行的元素全为零； 输入矩阵 B%中与每个约当块最后一行相对应的 各 行，没有一行的元素全为零。