容斥原理
容斥原理的基本应用
容斥原理的基本应用什么是容斥原理容斥原理，又称为容错原理、排容原理，是组合数学中一种常用的计数原理。
容斥原理用于解决计数问题，特别是解决两个或多个集合的并、交、差等计数问题。
它通过将复杂的集合拆分成简单的部分，并根据不同情况逐步计算得到最终的结果。
容斥原理有助于简化计数问题的解决过程，使得问题的求解更加简洁明了。
容斥原理的应用场景容斥原理在组合数学、概率论、计算机科学等领域有广泛的应用。
它可以解决一些复杂的计数问题，包括排列组合问题、概率计算问题、鸽巢原理问题等。
容斥原理在解决这些问题时，可以极大地简化计算的复杂度，提高解题效率。
以下是容斥原理的基本应用场景：1.列表中元素的多重选择问题2.集合的并、交、差运算问题3.满足多个条件的计数问题4.重复计算问题容斥原理的基本原理容斥原理的基本原理可以通过一个简单的示例来说明。
假设有A、B两个集合，记其元素个数分别为|A|和|B|。
那么A和B的并集的元素个数可以通过以下公式计算得到：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|其中，|A∩B|表示A和B集合的交集中的元素个数。
上述公式中的两次求并集都将交集的元素计算了两次，所以需要将交集的元素个数减去一次，以避免重复计算。
这就是容斥原理的基本思想。
容斥原理的基本应用举例列表中元素的多重选择问题假设有一个列表，其中有苹果、橙子、香蕉、草莓这四种水果。
现在需要从这个列表中选择1种、2种、3种甚至全部4种水果的可能性有多少种？根据容斥原理，我们可以通过以下步骤进行计算：1.计算只选择1种水果的情况，共有4种可能性。
2.计算只选择2种水果的情况，共有C(4,2) = 6种可能性。
3.计算只选择3种水果的情况，共有C(4,3) = 4种可能性。
4.计算选择全部4种水果的情况，共有1种可能性。
根据容斥原理，计算总的可能性的公式为：总可能性 = 只选择1种水果的数量 - 只选择2种水果的数量 + 只选择3种水果的数量 - 选择全部4种水果的数量带入上述计算结果，得到总可能性为4 - 6 + 4 - 1 = 1种。
容斥原理的理解及应用
容斥原理的理解及应用容斥原理是组合数学中一种常用的计数方法，用于解决一些复杂的计数问题。
它基于一个简单而实用的思想：通过减去重复计数来得到所需的计数。
容斥原理的基本思想是通过枚举每个事件的包含情况来计算事件的并集。
它主要分为两步：1. 枚举所有的事件组合。
容斥原理将事件集合划分为若干个子集合，每个子集合代表一个事件的包含情况，通过枚举这些事件的包含情况来计算事件的并集。
例如，对于一个问题，A、B、C三个事件，我们可以枚举8种情况：A、B、C以及AB、AC、BC以及ABC、空集。
这样可以保证每个事件都被包含到，并且不会重复。
2. 计算每个事件组合中的事件的并集。
容斥原理的关键在于计算每个事件组合中事件的并集。
考虑每个子集合的事件个数的奇偶性，通过加减计算得到事件的并集。
以A、B、C三个事件为例，我们可以通过计算“A或B或C”减去“AB或AC或BC”再加上“ABC”来得到所需的计数。
容斥原理主要应用于解决计数问题，特别是计算事件的并集问题。
以下是容斥原理的几个应用示例：1. 求两个集合的并集的元素个数。
假设有两个集合A和B，我们想要求并集A∪B中元素的总个数。
根据容斥原理，我们可以通过计算A和B的元素个数再减去A∩B的元素个数来得到并集的元素个数。
这是因为A∪B中的每个元素都会被计算两次，而A∩B中的元素被计算两次后又被减去了一次，所以最终得到的结果是正确的。
2. 求多个集合的并集的元素个数。
若要求多个集合的并集的元素个数，可以使用容斥原理的推广。
假设有n 个集合A1, A2, ..., An，我们可以使用容斥原理的思想，通过计算每个子集合中的元素个数再根据子集合的个数的奇偶性进行加减操作来得到并集的元素个数。
3. 求满足多个条件的数的个数。
假设有n个条件P1, P2, ..., Pn，每个条件Pi代表一个谓词，我们想要求满足所有条件的数的个数。
我们可以使用容斥原理的思想，通过计算每个子集合中满足条件的数的个数再根据子集合的个数的奇偶性来得到满足所有条件的数的个数。
容斥原理
一、容斥原理在计数时，要保证无一重复，无一遗漏。
为了使重叠部分不被重复计算，在不考虑重叠的情况下，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
1.容斥原理1——两个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。
如图所示：公式：A∪B=A+B-A∩B总数=两个圆内的-重合部分的【例1】一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人?数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。
A∪B=15+12-4=23，共有23人至少有一门得满分。
2.容斥原理2——三个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2次。
如图所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1次，黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次，因此总数A∪B∪C=A+B+C-(A∩B-A∩B∩C)-(B∩C-A∩B∩C)-(C∩A-A∩B∩C)-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。
即得到：公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C总数=三个圆内的-重合两次的+重合三次的【例2】某班有学生45人，每人都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人?参加足球队→A，参加排球队→B，参加游泳队→C，足球、排球都参加的→A∩B，足球、游泳都参加的→C∩A，排球、游泳都参加的→B∩C，三项都参加的→A∩B∩C。
容斥原理
容斥原理（Inclusion–exclusion principle），是指在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法。
这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
公式也可表示为设S为有限集,,则两个集合的容斥关系公式：A∪B=A+B-A∩B(∩：重合的部分）三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C详细推理如下：1、等式右边改造={[（A+B-A∩B）+C-B∩C]-C∩A}+A∩B∩C2、文氏图分块标记如右图图：1245构成A，2356构成B，4567构成C3、等式右边（）里指的是下图的1+2+3+4+5+6六部分：那么A∪B∪C还缺部分7。
4、等式右边[]号里+C（4+5+6+7）后，相当于A∪B∪C多加了4+5+6三部分，减去B∩C（即5+6两部分）后，还多加了部分4。
5、等式右边{}里减去C∩A（即4+5两部分）后，A∪B∪C又多减了部分5，则加上A∩B∩C（即5）刚好是A∪B∪C。
2严格证明对于容斥原理我们可以利用数学归纳法证明：证明：当时，等式成立()。
假设时结论成立，则当时，所以当时，结论仍成立。
因此对任意，均可使所证等式成立。
3原理1如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
（A∪B=A+B-A∩B)例1一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？分析依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B 类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。
容斥原理公式大全
容斥原理公式大全容斥原理是组合数学中常用的一种计数方法，可以用于解决涉及多个集合的计数问题。
它的基本思想是通过求解包含或排除一些元素的方式来计算所需的数量。
1. 容斥原理的基本形式：如果A₁，A₂，...，Aₙ是有限集合，并且S表示它们的并集，则有：|S| = |A₁∪A₂∪...∪Aₙ| = Σ|Aᵢ| - Σ|Aᵢ∩Aₙ| + Σ|Aᵢ∩Aₙ∩Aₙ| - ... + (-1)ⁿ⁻¹|A₁∩A₂∩...∩Aₙ|，其中|X|表示集合X中元素的个数。
2. 两个集合的容斥原理：如果A和B是两个有限集合，则有：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|。
3. 三个集合的容斥原理：如果A，B和C是三个有限集合，则有：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|。
4. 四个集合的容斥原理：如果A，B，C和D是四个有限集合，则有：|A∪B∪C∪D| = |A| + |B| + |C| + |D| - |A∩B| - |A∩C| - |A∩D| -|B∩C| - |B∩D| - |C∩D| + |A∩B∩C| + |A∩B∩D| + |A∩C∩D| +|B∩C∩D| - |A∩B∩C∩D|。
5. n个集合的容斥原理：如果A₁，A₂，...，Aₙ是n个有限集合，则有：|A₁∪A₂∪...∪Aₙ| = Σ|Aᵢ| - Σ|Aᵢ∩Aₙ| + Σ|Aᵢ∩Aₙ∩Aₙ| - ... + (-1)ⁿ⁻¹|A₁∩A₂∩...∩Aₙ|。
容斥原理的思想可以扩展到更多个集合的情况，通过求解交集和补集的方式来计算复杂集合的数量。
它在组合数学中具有广泛的应用，特别是在计数问题中常常能够提供简洁有效的解决方案。
容斥原理
21
定理4.2.4 (对称原理、对称筛) 若子集A1 , A2 , , An 具有对称性质, 则有
| A1 A2
n n
An
|
1
R1
2
R2
(1)n1
n n
Rn
n n
N [0]
R0
1
R1
2
R2
18
例2 设某班共有学生30名,本学期开设日、德、 法三门外语供学生选修. 班里选修日语的有15 名, 选修德语、法语的各14名, 同时选修德语和 日语的有7名, 同时选修日语和法语的有6名, 同 时选修法语和德语的有6名, 三门全选修的有3 名, 问该班选修外语恰好k门的学生各有多少? 解 令S {a1 , a2 , , a30 },用A1 , A2 , A3分别表示 S中的学生选修日、德、法各种外语的学生集 合.则
N[1]
q1
C21q2
C
1 3
q3
43 2 19
33
14
N[2] q2 C32q3 19 3 3 10
N[3] q3 3
20
如果性质P1 , P2 , , Pn是对称的,即具有k个性质 的事物的个数总是等于同一个数值, 则称这个 值为公共数, 记作Rk , 即 R1 | A1 || A2 | | An | R2 | A1 A2 || A1 A3 | | An1 An | R3 | Ai Aj Ak |, 1 i j k n
这说明计算一个集合的元素个数时,有时间 接计算比直接计算更为简单.
2
预备知识 - -集合论知识初步: 设A, B,C, S是集合,集合主要有以下运算: (1) 集合的并(和): A B或A B; (2)集合的交(积): A B或AB; (3) 集合的差: A B, A B A B A AB; (4) 集合的非 : A S A (S为全集) 集合的运算满足下列定律: (1) 交换律 : A B B A, AB BA; (2) 结合律 : ( A B) C A (B C ),
容斥原理的三个公式
容斥原理的三个公式容斥原理是数学中一个挺有意思的概念，它有三个重要的公式，今天咱们就来好好聊聊这三个公式。
我先跟您说啊，这容斥原理在解决集合相关的问题时，那可真是大显身手。
就拿咱们生活中的例子来说吧，比如说学校组织活动，有参加书法比赛的同学，有参加绘画比赛的同学，还有既参加书法又参加绘画比赛的同学。
那怎么算总共有多少同学参加了这两类比赛呢？这时候容斥原理就派上用场啦！咱们先来说说容斥原理的第一个公式。
这个公式可以表述为：两个集合 A 和 B 的并集的元素个数，等于 A 的元素个数加上 B 的元素个数，再减去 A 和 B 的交集的元素个数。
简单来说就是：|A∪B| = |A| + |B| -|A∩B| 。
举个例子哈，一个班级里，喜欢语文的有 20 个同学，喜欢数学的有 30 个同学，既喜欢语文又喜欢数学的有 10 个同学。
那喜欢语文或者喜欢数学的同学一共有多少个呢？咱们就可以用这个公式来算。
|A|就是喜欢语文的 20 个同学，|B|就是喜欢数学的 30 个同学，|A∩B|就是既喜欢语文又喜欢数学的 10 个同学。
把数字带进去，那就是 |A∪B| = 20 + 30 - 10 = 40 个同学。
您瞧，是不是很清楚明了？再来说说第二个公式。
如果是三个集合 A、B、C ，那它们的并集的元素个数就是：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A| +|A∩B∩C| 。
咱们还是拿例子来说事儿。
比如说在一个班级里，喜欢体育的有 25 个同学，喜欢音乐的有 15 个同学，喜欢美术的有 20 个同学，既喜欢体育又喜欢音乐的有8 个同学，既喜欢音乐又喜欢美术的有6 个同学，既喜欢体育又喜欢美术的有 9 个同学，三个都喜欢的有 3 个同学。
那喜欢体育或者音乐或者美术的同学一共有多少个呢？咱们就把数字往公式里带：|A|是 25 ，|B|是 15 ，|C|是 20 ，|A∩B|是 8 ，|B∩C|是 6 ，|C∩A|是 9 ，|A∩B∩C|是 3 。
组合数学之容斥原理
对个人学习建议
01
深入理解容斥原理的 基本概念
要学好容斥原理，首先要深入理解其 基本概念和公式，掌握其基本原理和 思想。
02
多做练习题
通过大量的练习题，可以加深对容斥 原理的理解和掌握，提高解题能力和 思维水平。
03
拓展相关数学知识
容斥原理涉及到许多相关的数学知识 ，如集合论、概率论等。为了更好地 理解和应用容斥原理，建议学习者拓 展相关数学知识，建立完整的知识体 系。
THANK YOU
感谢聆听
有限制的排列问题
在n个元素中取出m个元素进行排列，要求某些元素必须相邻或某些元素不能相邻。可以 利用容斥原理，通过计算不满足条件的排列数，进而求得满足条件的排列数。
棋盘多项式问题
在n×n的棋盘上放置k个棋子，要求任意两个棋子不在同一行或同一列上。可以利用容斥原理， 通过计算至少有两对棋子在同一行或同一列上的放置方式数，进而求得满足条件的放置方式 数。
图论基本概念
01
图
02
顶点
03 边
04
度
路径
05
由顶点集和边集构成的一种数据结构，表示对象及其之间的 关系。 图中的基本元素，表示对象。
连接两个顶点的线段，表示对象之间的关系。
与顶点相关联的边的数目。
从一个顶点到另一个顶点的一条边的序列。
容斥原理在图论中应用
计算图的着色数
利用容斥原理，通过计算不同 颜色着色的子图个数，进而求 得图的着色数。
当某些元素不能同时选取或某些选取 方式不符合要求时，可以通过容斥原 理来求解符合条件的排列组合数。
典型问题解析
错排问题
n个元素进行排列，要求每个元素都不在原来的 位置，求这样的排列有多少种。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
犀鸟，你赶 紧去统计鸟 的种数。
是，大王
我有翅膀 ，我算鸟 类。
大王，共 有80种鸟 类。
彭彭，去统计 兽类的种数
是，大王！
我没有羽毛，我应 该算兽类
共有70种兽类
森林中共有鸟类 和兽类多少种?
鸟类与兽类共 有150种
你确定有这么多鸟类和 兽类吗？你是未来的狮 子王一定要清楚你的领 地有多少人。
一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请 举手！”有37人举手。又问：“谁做完数学作业？请举手！” 有42人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没 有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。
语文 数学
①
语文作业完成
②
③
总人数
①②③分别 代表什么呢
语文、数学作业都完成
数学作业完成
某校选出50名学生参加地区作文比赛和数学比赛，结果3 人两项比赛都获奖了，有27人两项比赛都没有获奖。已知 作文比赛获奖的有14人，问数学比赛获奖的有多少人？
全部人数
获奖的人数：
50-27=23（人） 只有作文获奖的人数： 14-3=11（人） 数学获奖的人数： 23-11=12（人） 答：数学比赛获奖的有12人。
①②③分别 代表什么呢
语文、数学都优秀
数学成绩优秀
①+②
②+③
①+②+③
②
65+87-122 =152-122 =30（人）
36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二 题的有23人，两题都答对的有15人。问多少个同学两题都答得不对？
全部人数
只第一题答对的人数： 25-15=10（人） 至少有一题答对的人数：
①+②
②+③
①+②+③
②
37+42-48 =79-48 =31（人）
答：这个班语文、数学作业都完成的人数为31人。
五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有 一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65人， 数学优秀的有87人，语文、数学都优秀的有多少人？
语文 数学
①
语文成绩优秀
②
③
总人数
五年级
六年级
科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科 技作品，其中有110件不是一年级的，有100件不是二年级 的，一、二年级参展的作品共有32件。其他年级参展的作 品共有多少件？
（110+100-32）÷2 =178÷2 =89（件）
答：其他年级参展的作品共有89件。
一年级
二年级
被计数的事物有A、B两类，那么，既不是A 类又不是B类的元素个数=总数-属于A类元素 个数+属于B类元素个数。
（28+24-20）÷2 =32÷2 =16（幅）
一、二年级的作品数：
五年级
六年级
（16-4）÷2=6（幅）
答：其他年级参展的书法作品共有18幅。
课后过关：
一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法 语的18人，两样都不会的有4人。两样都会的有 多少人？
我算错了吗？
错啦，大王，蝙蝠重复 数了，所以要减去一个， 应该是149种。
这个故事反映了一个事实，那就是 被称为“容斥原理”的数学原理， 很多数学题都与容斥原理有关。
容—包括 斥—排除
一张照片上有两对父子，数 数却只有3个人，为什么？
想一想
1、排队问题：从前面数，从后面数，丽丽都排第6， 这一排共有几个人？
6＋6－1=11（人）
答：共有11人。
2、洗好的8块手帕夹在绳子上晾干，同一个夹子夹住相邻的两 块手帕的两边，这样一共要多少个夹子？
8×2－7=9（个）
答：一共要9个夹子。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计 数，应从它们的和中排除重复部分。 容斥原理：对几个事物，如果采用两种不同 的分类，那么具有性质1或性质2的事物个数等 于性质1＋性质2减去它们的共同性质。
第一题 第二题
10+23=33（人） 两题都答得不对的人数：
36-33=3（人） 答：3个同学两题都答得不对。
芭啦啦综合教育学校有40个学生，其中25人参加数学 小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了。 那么，有多少人两个小组都没有参加？
全部人数
只参加数学小组的人数：
25-19=6（人） 至少参加一个小组的人数： 6+23=29（人） 两个小组都没参加的人数： 40-29=11（人） 答：有11个人两个小组都没有参加。
数学 作文
六年级一班参加合唱队的有40人，参加舞蹈队的有20人， 既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人，两队都没有参加的 有10人。请算一算，这个班共有多少人？
全部人数
只参加合唱队的人数：
40-14=26（人） 至少参加一队的人数： 26+20=46（人） 全班人数： 46+10=56（人） 答：这个班共有56人。
合唱队 舞蹈队
芭芭啦综合教育学校举办学生书法展，学校的橱窗里展 出每个年级学生的书法作品，其中有28幅不是五年级的， 有24幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有20 幅。一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展作品的 总数少4幅。一、二年级参展的书法作品共有多少幅？ 一、二、三、四年级的作品数：
数学 科技
被计数的事物有A、B两类，那么，既是A 类又是B类的元素个数=属于A类元素个数+ 属于B类元素个数-A类B类元素个数总和。
一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有 18人，两样都不会的有4人。两样都会的有多少人？
全部人数
至少会一样的人数：
36-4=32（人） 两样都会的人数： 24+18-32=10（人）
会英语 会法语
答：两样都会的有10人。
实验学校举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个 年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅 不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其 他年级参展的书法作品共有多少幅？
（24+22-10）÷2 =36÷2 =18（幅）
答：其他年级参展的书法作品共有18幅。