高三数学寒假作业(理科一)

高三理科数学寒假作业（一）

一．选择题

1．设全集为R ，}065|{2>--=x x x A ，)}(5{为常数a a x x B <-=，且B ∈11，则（ ） A ．R A B =R e B ．R A B =R e C ．R R

A B =R 痧 D ．A B =R

2．若)232cos(,31)6sin(

απ

απ

+=-则的值为（ ） A ．31 B ．31- C ．97 D ．9

7-

3．在ABC △中，AB = c ，AC = b ．若点D 满足2BD DC = ，则AD =

（ ）

A ．2133+b c

B ．5233-c b

C ．2133-b c

D ．1233

+b c

4．若直线032:1:22=--++=x y x C kx y l 被圆截得的弦最短，则直线l 的方程是（ ） A ．0=x B ．1=y C ．01=-+y x D ．01=+-y x 5．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线)(x f y =，一种是平均价格曲线)(x g y =（如3)2(=f 表示开始交易后2小时的即时价格为3元，4)2(=g 表示开始交易后两小时内所有成交股票的平均价格为4元）.下面所给出的四个图像中，实线表示)(x f y =，虚线表示)(x g y =，其中可能正

确的是（ ）

A. B. C. D.

6．已知直线βαβα?⊥m l m l ,,,,,且平面，给出下列四个命题

①若m l ⊥则,//βα；②若βα//,则m l ⊥；③若m l //,则βα⊥；④若βα⊥则,//m l 其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

7．在教材中，我们学过“经过点),,(000z y x P ，法向量为),,(C B A e =

的平面的方程是：

0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A ”

．现在我们给出平面α的方程是1=+-z y x ，平面β的方程是16

36=--z

y x ，则由这两平面所成的锐二面角的余弦值是（ ） A ．32 B ．33 C ．93 D ．32

2

8、已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n ，则a 100等于( ) A ．9 900 B ．9 902 C ．9 904 D ．11 000

9、4．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 005(x )等于( ) A ．sin x B ．－sin x C ．cos x D ．－cos x 10. 定义在R 上的函数)(x f 满足)()2(x f x f =+，当]5,3[∈x 时42)(--=x x f ，则（ ） A ．(sin

)(cos )66f f ππ

<

B ．(sin1)(cos1)f f >

C ．22(sin )(cos )33

f f ππ

< D ．(sin 2)(cos 2)f f >

二． 填空题

11. 已知双曲线的右焦点为（5，0），一条渐近线方程为02=-y x ，则此双曲线的标准方程是 .

12. 已知2,4,

320x x y x y z x y x y c ??

+=+??-++?

≥满足≤且目标函数≥的最小值是5，则z 的最大值是 13. 过点),(a a A 可作圆0322222=-++-+a a ax y x 的两条切线，则实数a 的取值范围为 .

14. 已知21F F 、为椭圆19

252

2=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若1222=+B F A F ，则AB =______________.

15. 已知函数a ax

x

x x f 其中,1ln )(-+=为大于零的常数，若函数),1[)(+∞在区间x f 内调递增，则 a 的取值范围是___________

三．解答题

16、已知向量,2sin ),cos ,(cos ),sin ,(sin C A B B A =?==且A 、B 、C 分别为△ABC 的三边a 、b 、c 所对的角。

（1）求角C 的大小； （2）若18)(,sin ,sin ,sin =-?B C A 且成等差数列，求c 边的长。

17．如图，直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，C 1C=CB=CA=2，AC ⊥CB. D 、E 分别为棱C 1C 、B 1C 1的中点. （Ⅰ）求B A 1与平面A 1C 1CA 所成角的正切值； （Ⅱ）求二面角B —A 1D —A 的余弦值；

（Ⅲ）试在线段AC 上确定一点F ，使得EF ⊥平面A 1BD.

18．设数列.,3,2,1,012,}{2

==+--n S a S S S n a n n n n n n 且项和为的前

（1）求;,21a a （2）求n S 的表达式．

19．某养殖厂规定：饲料用完的第二天方可购买饲料，并且每批饲料可供n *()n ∈Z 天使用．已知该厂每天需要饲料200公斤，每公斤饲料的价格为1.8元，饲料的保管费为平均每公斤每天0.03元（当天用掉的饲料不计保管费用），购买饲料每次支付运费300元． （1）求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小；

（2）若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少5吨时其价格可享受八五折优惠（即原价的85%）．问该厂是否考虑利用此优惠条件，请说明理由．

20．已知函数.)1ln()(23ax x x ax x f --++= （Ⅰ）若3

2

=

x 为)(x f 的极值点，求实数a 的值； （Ⅱ）若)(x f y =在),1[+∞上为增函数，求实数a 的取值范围.

21. 已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b

+=>>的长轴长为4，离心率为21

，21,F F 分别为其左右焦点．一动圆

过点2F ，且与直线1-=x 相切．

（Ⅰ）①求椭圆1C 的方程； ②求动圆圆心轨迹C 的方程；

（Ⅱ） 在曲线C 上有两点M 、N ，椭圆C 上有两点P 、Q ，满足2MF 与2NF 共线，2PF 与2QF 共线，且022=?MF PF ，求四边形PMQN 面积的最小值．

高三理科数学寒假作业（一）参考答案

一、DDADC CABCC

二、11.

120

522=-y x ；12 10；13. 3-

对于C B A C C B A ABC sin )sin(0,,=+∴<<-=+?ππ，.sin C =?∴

又C 2sin =? ，.3

,21cos ,sin 2sin π==

=∴C C C C （2）由B A C B C A sin sin sin 2,sin ,sin ,sin +=得成等差比数列，

由正弦定理得.2b a c +=，18,18)(=?∴=-? ，即.36,18cos ==ab C ab …10分 由余弦弦定理ab b a C ab b a c 3)(cos 22222-+=-+=，36,3634222=?-=∴c c c ，.6=∴c 17、解（Ⅰ）连接A 1C.∵A 1B 1C 1－ABC 为直三棱柱，∴CC 1⊥底面ABC ，∴CC 1⊥BC. ∵AC ⊥CB ，∴BC ⊥平面A 1C 1CA. ……………1分

∴1BAC ∠为1A B 与平面A 1C 1CA 所成角，∴22tan 11==∠C A BC C BA . ∴B A 1与平面A 1C 1CA 所成角正切值为2

2.…………3分

（Ⅱ）分别延长AC ，A 1D 交于G. 过C 作CM ⊥A 1G 于M ，连结BM ， ∵BC ⊥平面ACC 1A 1，∴CM 为BM 在平面A 1C 1CA 内的射影， ∴BM ⊥A 1G ，∴∠CMB 为二面角B —A 1D —A 的平面角，…5分 平面A 1C 1CA 中，C 1C=CA=2，D 为C 1C 的中点， ∴CG=2，DC=1 在直角三角形CDG 中，

CM ∴=

，tan CMB ∴…7分

即二面角B —A 1D —A 的余弦值为

6

6

.……………………8分 （Ⅲ）取线段AC 的中点F ，则EF ⊥平面A 1BD.……………9分 证明如下：∵A 1B 1C 1—ABC 为直三棱柱，∴B 1C 1//BC ，

∵由（Ⅰ）BC ⊥平面A 1C 1CA ，∴B 1C 1⊥平面A 1C 1CA ，……………10分 ∵EF 在平面A 1C 1CA 内的射影为C 1F ，当F 为AC 的中点时， C 1F ⊥A 1D ，∴EF ⊥A 1D.

同理可证EF ⊥BD ，∴EF ⊥平面A 1BD.……………………12分 解法二：

（Ⅰ）同解法一……………………3分

（Ⅱ）∵A 1B 1C 1—ABC 为直三棱柱，C 1C=CB=CA=2，AC ⊥CB ，D 、E 分别为C 1C 、B 1C 1的中点. 建立如图所示的坐标系得：C （0，0，0），B （2，0，0），A （0，2，0）， C 1（0，0，2）， B 1（2，0，2）， A 1（0，2，2）， D （0，0，1）， E （1，0，2）.………………6分

1(2,0,1),(2,2,2)BD BA ∴=-=-

，设平面A 1BD 的法向量为n ),,1(μλ=，

10,20,1,2220. 2.0.n BD n BA μλλμμ??=-+==-???

∴???

-++==?=?

??? 即得 (1,1,2)n ∴=- .……6分 平面ACC 1A 1的法向量为m =（1，0，0）

，cos ,6n m <>==

.…7分 即二面角B —A 1D —A 的余弦值为6

6

.………………8分

（Ⅲ）F 为AC 上的点，故可设其坐标为（0，b ，0），∴(1,,2)EF b =--

.

G

M

由（Ⅱ）知(1,1,2)n =-

是平面A 1BD 的一个法向量，欲使EF ⊥平面A 1BD ，当且仅当//n .…10分 ∴1b =，∴当F 为AC 的中点时，EF ⊥平面A 1BD.…………………13分

18．解：（1）当1=n 时，由已知得.21,01212

1121==+--a a a a 解得 同理，可解得.6

12=a

（2）法一：由题设0122

=-+-n n n n S a S S 当1*,)(2--=∈≥n n n S S a N n n 时

代入上式，得.0121=+--n n n S S S 由（1）可得.3

2

6121,2121211=+=+===a a S a S

由（*）式可得.433=S 由此猜想：)(1

*N n n n

S n ∈+=

. 证明：①当1=n 时，结论成立．②假设当)(*N k k n ∈=时结论成立，

即,1+=k k S k 那么，由（*）得,21

1k

k S S -=+.211

211++=+-

=

∴+k k k k S k 所以当1+=k n 时结论也成立，根据①和②可知，

1+=n n S n 对所有正整数n 都成立．因1

+=n n

S n 12分

法二：由题设.0122

=-+-n n n n S a S S 当1*,)(2--=∈≥n n n S S a N n n 时.

代入上式，得.0121=+--n n n S S S 1

11121121

1,21-----+-=

--=-∴-=∴n n n n n n S S S S S S ,1

1

11211111-+-=--=-∴---n n n n S S S S 公差为是首项为,211}11{

1-=--∴S S n -1的等差数列， .1)1()1(21

1

--=-?-+-=-∴n n S n 1111+=++-

=∴n n n S n . 19．解：（1）设该厂应隔()n n N +∈天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为1y 元.∵饲料的保管费用每

天比前一天少200×0.03=6（元），∴x 天饲料的保管费用共是2

6(1)6(2)633n n n n -+-++=- . 从而有211(33300)200 1.8y n n n =

-++? 3003357417n n =++≥.当且仅当300

3n n

=，即10n =时，1y 有最小值417.即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小.

（2）若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料，设该厂利用此优惠条件，每隔n 天(25n ≥)购

买一次饲料，平均每天支付的总费用为2y 元，则221

(33300)200 1.80.85y n n n

=

-++?? 300

3303(25)n x n

=

++≥. ∵223003y n

'=-+，∴当25x ≥时，02>'y ，即函数2y 在[)25+∞，上是增函数. ∴当25x =时，2y 取得最小值390. ∵390<417，故该厂应该利用此优惠条件. 20. 解：（I ）a x x ax a x f --++='231)(2

1

)]2()23(3[22++--+=ax a x a a x )(32x f x 为= 的极值点，0)32(='∴f .22

223()(32)(2)033a a a ∴+--+=，

2103a +≠且，0=∴a .又当0=a 时，)23()(-='x x x f ， 从而)(3

2

x f x 为=的极值点成立． （II ）因为),1[)(+∞在x f 上为增函数，所以22

[3(32)(2)]0[1,)1

x ax a x a ax +--+≥+∞+在上恒成立．

若0=a ，则)23()(-='x x x f ，∴),1[)(+∞在x f 上为增函数不成立.

若.0101,0>>>+≠a x ax a 恒成立知对由

所以),1[0)2()23(322+∞∈≥+--+x a x a ax 对上恒成立．令)2()23(3)(22+--+=a x a ax x g ， 其对称轴为,2131a x -=

因为,3

12131,0<->a a 所以从而),1[)(+∞在x g 上为增函数．

所以只要0)1(≥g 即可，即012

≥++-a a 。所以

251251+≤≤-a 又因为.2

5

10,0+≤<>a a 所以

21．解：（Ⅰ）①由已知可得3122

14

2222=-=???

?==????

??===c a b c a a c e a ， 则所求椭圆方程13

4:2

21=+y x C . ②由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线C 的焦点为)0,1(，准线方程为1-=x ，则动圆圆

心轨迹方程为x y C 4:2=.

（Ⅱ）当直线MN 的斜率不存在时，4||=MN ，此时PQ 的长即为椭圆长轴长，4||=PQ 从而8442

1

||||21=??=?=

PQ MN S PMQN . 设直线MN 的斜率为k ，则k ≠0，直线MN 的方程为)1(-=x k y ，直线PQ 的方程为)1(1

--=x k

y . 设),(),,(),,(),,(44332211y x Q y x P y x N y x M .

由???=-=x

y x k y 4)1(2，消去y 可得0)42(2222=++-k x k x k .由抛物线定义可知： 2

2221224

424211||||||k k k x x NF MF MN +=++=+++=+=.

由???????=+--=134)1(12

2y x x k y 消去y 得01248)43(2

22=-+-+k x x k ， 从而4

3)1(12||)1(1||2

2432++=--+=k k x x k PQ . ∴242

222243)1(2443)1(12)44(21||||21k k k k k k PQ MN S PMQN ++=+++=?=

令t k =+2

1，∵,0>k 则1>t

则=?=||||21PQ MN S PMQN

2

222212324

1

2324)1(4)1(324t

t t t t t t t --=--=-+-

而2123t t --

=)3,0()1

1(42∈+-t

，所以PMQN S =2

12324

t

t --＞8.

所以四边形PMQN 面积的最小值为8.