16.2.2 二次根式的除法
25 3 5 25 3 5 25 9 3 9 3 3 9 3
解：原式
3 100 3 10
3 (3) ; 5 解：原式
3 5 5 5 15 5
3 2 (4) ; 27
解：原式
3 2 93
8 (5) . 2a
在二次根式的运算中，最后结果中的二 次根式一般要写成最简二次根式的形式.
三、巩固新知
1、计算
72 b b （ 1 ）18 2 （2） （3） 2a 6a （4） 5 20a 2 6
2、化简
（ 1） 32
2 （2） 2
（3）1.5
4 （4） 3
3、设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b. 已知S= 2 3 ，b= 10,求a.
9
25
9 4 16 5 . ____ 25
6 36 7 . ____
6 36 7 (3) ____;
49
49
二、探究新知
1.归纳：
一般地，二次根式的除法法则是：
a a (a 0, b＞0). b b
讨论：二次根式乘除法的类同点与不同 之处.
二、探究新知
例1.计算
24 (1) ; 3 解：原式
初中数学掌上课堂
第十六章 二次根式
16.2 二次根式的乘除
第2课时 二次根式的除法
学习目标
1、撑握二次根式的除法 法则： a a (a 0, b 0) b b
2、理解最简二次根式的 定义并会化简。
一、提出问题
计算下列各式，观察计算结果，你能发现 什么规律？
2 4 (1) __3 . ____
24 3 8 4 2
2 2
3 1 (2) . 2 18 解：原式
3 1 2 18 3 18 2 3 9 3 3
二、探究新知
二次根式除法法则的逆用
a a (a 0, b＞0). b b 例2.化简
3 (1) ; 100
75 (2) ; 27
解：原式
解：原式
2 4 2 a
3 2 9 3 3 2 3 3 2 2 3 6 3 3 3 3
4 a 2 a 2 a 2 a a a a
二、探究新知
24 2 2 3
3 3 100 10
8 2 a a 2a
我们把被开方数不含分母（分母不含二 次根号）且被开方数中不含能开得尽方的因 数或因式的二次根式叫做最简二次根式.
四、总结归纳
1.二次根式除法法则.
a a (a 0, b 0) b b
2、最简二次根式
被开方数不含分母（分母不含二次根号） 且被开方数中不含能开得尽方的因数或 因式的二次根式叫做最简二次根式.
16.2.2二次根式的除法(教案)
在今天的课堂中，我们探讨了二次根式的除法，这是一个对学生来说相对新颖且具有一定难度的概念。我注意到，在引入新课时，通过联系日常生活的问题，学生的兴趣被成功激发，他们对接下来的学习内容充满了好奇心。
在理论介绍环节，我发现学生们对于被开方数相除的概念接受得比较快，但当我引入带分数的二次根式除法时，一些学生开始表现出困惑。我及时放慢了讲解速度，通过详细的步骤分解和例题演示，帮助学生逐步理解了这个难点。我认为，在未来的课程中，我需要准备更多的类似例题，让学生有更多的练习机会，以便更好地掌握这个知识点。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次根式除法在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次根式除法的基本概念。二次根式除法是指将两个含有二次根式的数相除，其基本法则是两个二次根式相除等于它们的被开方数相除。这个概念在数学运算和实际问题中都有广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设我们需要计算√36 / √4，通过二次根式除法的法则，我们可以简化这个计算过程，得到3。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次根式的除法》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算一个数是另一个数的平方根的几倍的情况？”（例如，计算一个正方形的边长是另一个正方形边长的平方根的两倍）。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次根式除法的奥秘。
16_2_2二次根式的除法同步作业 解析版【2023春人教版八下数学优质备课】
16.2 二次根式的乘除第 2 课时 二次根式的除法参考答案与试题解析夯基训练知识点1二次根式的除法法则1. 计算√5×√15√3的结果是_____________.1.【答案】52.√a−3√a−1=√a−3a−1成的条件是( )A.a ≠1B.a ≥1且a ≠3C.a>1D.a ≥32.【答案】D解:由√a √a =√a b (a ≥0,b>0),得{a −3≥0a −1≥0所以a ≥3.故选D. 3.计算√34÷√16的结果是( )A.√22B.√24C.3√22D.√32 3.【答案】C解：掌握二次根式的除法，直接计算即可.4.下列计算结果正确的是( )A.2+√3=2√3B.√8÷√2=2C.(-2a 2)3=-6a 6D.(a+1)2=a 2+14.【答案】B 知识点2商的算术平方根的性质 5若√a 2−a =√a √2−a ，则a 的取值范围是( )A ．a ＜2B ．a ≤2C ．0≤a ＜2D ．a ≥05解析：根据题意得⎩⎨⎧a ≥0，2－a ＞0，解得0≤a ＜2.故选C. 方法总结：运用商的算术平方根的性质：√b a =√b √a a ＞0，b ≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件．6化简：(1)√179； (2)√3c 34a 4b 2(a ＞0，b ＞0，c ＞0)．6解析：运用商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根．解：(1)179＝169＝169＝43； (2)3c 34a 4b 2＝3c 34a 4b 2＝c 2a 2b3c . 方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式7.下列各式计算正确的是( ) A.√32=√32 B.√82=√3 C.√34=√32 D.√a 9b =√a 3b 7.【答案】C 8.若√1−a a 2=√1−a a ,则a 的取值范围是( )A.a ≤0B.a<0C.a>0D.0<a ≤18.【答案】D解:由题意得1-a ≥0且a>0,解得0<a ≤1.此题容易忽略1-a ≥0这个条件.9.下列等式不一定成立的是( )A.√a b =√a√b (b ≠0) B.a 3·a −5=1a 2(a ≠0) C.a 2−4b 2=(a+2b)(a-2b)D.(-2a 3)2=4a 69.【答案】A10.下列计算正确的是( )A.√12=2√3B.√32=√32 C.√−x 3=x D.√x 2=x10.【答案】A知识点3 最简二次根式11在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？并说明理由． (1)45；(2)13；(3)52；(4)0.5；(5)145. 解析：根据满足最简二次根式的两个条件判断即可． 解：(1)45＝35，被开方数含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式；(2)13＝33，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式； (3)52，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式；(4)0.5＝12＝22，被开方数含有小数，因此不是最简二次根式； (5)145＝95＝355，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式． 方法总结：解决此题的关键是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母； (2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．题型总结题型1 利用二次根式的乘除法法则计算 12计算：(1)9√45÷3√212×32√223; (2)a 2∙√ab ∙b √b a ÷√9b 2a解析：先把系数进行乘除运算，再根据二次根式的乘除法则运算．解：(1)原式＝9×13×32×45×25×83＝183； (2)原式＝a 2·b ·ab ·b a ·a 9b 2＝a 2b 3a . 方法总结：二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，在运算时要注意运算符号和运算顺序，若被开方数是带分数，要先将其化为假分数． 题型2利用商的算术平方根的性质求代数式的值13.已知√x−69−x =√x−6√9−x ,且x 为奇数,求(1+x)·√x 2−5x+4x 2−1的值. 13.解:∵√x−69−x =√x−6√9−x , ∴{x −6≥09−x ≥0∴6≤x<9. 又∵x 是奇数,∴x=7.∴(1+x)√x 2-5x+4x 2-1=(1+x)√(x -1)(x -4)(x+1)(x -1)=(1+x)√(x -4)(x+1)=√(x +1)(x −4).当x=7时,原式=√(7+1)(7−4)=2√6.题型3 利用商的算术平方根的性质确定字母的取值范围14若√a 2−a =√a √2−a ，则a 的取值范围是( )A ．a ＜2B ．a ≤2C ．0≤a ＜2D ．a ≥0解析：根据题意得⎩⎨⎧a ≥0，2－a ＞0，解得0≤a ＜2.故选C. 方法总结：运用商的算术平方根的性质：b a ＝b a(a ＞0，b ≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件．题型4 利用商的算术平方根的性质化简二次根式15化简：(1)√179； (2)√3c 34a 4b 2(a ＞0，b ＞0，c ＞0)．解析：运用商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根．解：(1)179＝169＝169＝43； (2)3c 34a 4b 2＝3c 34a 4b 2＝c 2a 2b3c . 方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式拓展培优拓展角度1利用二次根式的性质活用代数式表示数16.老师在讲解“二次根式及其性质”时,在黑板上写下了下面的一题作为练习:已知√7=a,√70=b,用含有a,b 的代数式表示√4.9.甲的解法:√4.9=√4910=√49×1010×10=√7×√7010=ab 10; 乙的解法:√4.9=√49×0.1=7√0.1, 因为√0.1=√110=√770=√7√70=a b , 所以√4.9=7√0.1=7·a b =7a b .请你解答下面的问题:(1)甲、乙两人的解法都正确吗?(2)请你再给出一种不同于上面两人的解法.16.解:(1)都正确.(2)∵√10=√707=√70√7=b a , ∴√4.9=√4910=√49×1010×10=710√10=710·b a =7b 10a .拓展角度2 利用二次根式的乘除法法则进行分母有理化(类比思想)19.化简√3+√2,甲、乙两位同学的解法如下:甲:√3+√2=√3-√2(√3+√2)(√3-√2)=√3−√2; 乙:√3+√2=√3+√2=√3+√2)(√3-√2)√3+√2=√3−√2.以上两种化简的步骤叫做分母有理化.仿照上述两种方法化简:√7−√5.19.解:方法1:√7−√5=√7+√5)(√7−√5)(√7+√5)=2(√7+√5)2=√7+√5. 方法2:√7−√5=√7−√5=√7+√5)(√7−√5)√7−√5=√7+√5.拓展角度3二次根式除法的综合运用20座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其周期计算公式为T ＝2π√l g ，其中T 表示周期(单位：秒)，l 表示摆长(单位：米)，g ＝9.8米/秒2，假若一台座钟摆长为0.5米，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声(π≈3.14)?解析：由给出的公式代入数据计算即可．要先求出这个钟摆的周期，然后利用时间除周期得到次数．解：∵T ＝2π√0.59.8≈1.42，60T ＝601.42≈42(次)，∴在1分钟内，该座钟大约发出了42次滴答声．方法总结：解决本题的关键是正确运用公式．用二次根式的除法进行运算，解这类问题时要注意代入数据的单位是否统一．。
八年级数学人教版下册课件 16.2.2 二次根式的除法
解：(3)(4)是最简二次根的取值范围是( C )
A．a≤0 B．a＜0
C．0＜a≤1 D. a＞0
11．若 a＞0，把 －b4a化成最简二次根式为( C )
2 A.b
－ab
B．－2b ab
C．－2b －ab D. 2b －ab
12．(2015·南京)计算
5× 3
15的结果是__5__．
13．若 xx－ －23＝ xx－ －23成立，则 x 的取值范围是__x_＞__3____.
14．已知长方形的面积是 48 cm2，其中一边的长是 32 cm，则另
一边的长是__6___2__cm.
15．计算： (1) 45÷3 51×32 5；
解：原式＝125 5
(2)－43 18÷2 8×13 54； 解：原式＝－ 6
(3)2 xy÷(－32 x2y·3 x)． 解：原式＝－94x
16．在△ABC 中，BC 边上的高 h＝6 3 cm，它的面积恰好等于 边长为 3 2 cm 的正方形的面积，求 BC 的长．
2．下列运算正确的是( C )
A. 10÷ 2＝2 2 B. 10÷2 5＝2 2
C. 27÷ 3＝3 D. 42＋32＝4＋3＝7
3. 23..56＝__56__；3 30÷ 10＝__3___3__． 4．计算：
(1)
12； 3
解：2
28 (2) 3÷ 27.
解：32
知识点 2：二次根式除法的逆用： ba＝ ab(a≥0，b＞0) 5．下列计算错误的是( C )
人教版数学八年级下册16.2第2课时《二次根式的除法》说课稿
人教版数学八年级下册16.2第2课时《二次根式的除法》说课稿一. 教材分析人教版数学八年级下册16.2第2课时《二次根式的除法》这一节，主要让学生掌握二次根式相除的方法。
在此之前，学生已经学习了二次根式的性质和二次根式的乘法。
本节课的内容是在此基础上进行的，目的是让学生能够运用二次根式的除法解决实际问题，提高他们的数学应用能力。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次根式的性质和乘法有一定的了解。
但是，他们在处理二次根式的除法问题时，可能会感到困惑，对于如何将除法问题转化为乘法问题，以及如何在计算过程中保持二次根式的简洁性，还需要进一步引导和培养。
三. 说教学目标1.让学生掌握二次根式相除的基本方法。
2.培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。
3.提高学生解决实际问题的数学应用能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次根式相除的方法和步骤。
2.教学难点：如何将除法问题转化为乘法问题，以及在计算过程中的简洁性处理。
五. 说教学方法与手段1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究二次根式除法的方法。
2.利用多媒体手段，展示二次根式除法的运算过程，帮助学生直观理解。
3.采用小组合作学习的方式，让学生在讨论中互相学习，共同进步。
六. 说教学过程1.导入新课：回顾二次根式的性质和乘法，引出二次根式的除法。
2.探究新知：学生自主尝试解决二次根式的除法问题，教师引导学生将除法问题转化为乘法问题，并讲解运算过程。
3.例题讲解：教师选取典型例题，讲解二次根式除法的步骤和方法。
4.巩固练习：学生独立完成练习题，教师及时给予反馈和指导。
5.拓展应用：学生分组讨论，将二次根式除法应用于实际问题，分享解题过程和心得。
6.总结归纳：教师引导学生总结二次根式除法的方法和步骤，以及注意事项。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，突出二次根式除法的方法和步骤。
主要包括以下内容：1.二次根式除法的定义。
2.二次根式除法的步骤。
16.2.2 二次根式的除法 课件 人教版八年级数学下册
××
√
×
×
2
x2 y,
ab ,
3xy ,
5(a2 b2 )
25
√
×
√
√
课堂小测
4.计算:
解： 18 = 18 = 3.
;
6
6
2
25 5;
解： 25 = 5
25 = 5. 5
3 6x2 y 解： 6x2 y = 6x2 y = 2x.
3xy ;
3xy
3xy
4 56 解： 56 =- 1 56 =- 1 4= 1.
八年级数学人教版·下册
第十六章 二次根式
16.2.2 二次根式的除法
教学目标
1.会进行简单的二次根式的除法运算 , 会用商的算术平方根的 性质进行二次根式的化简与运算 ;（重点）
2.二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用 .（难点）
新课导入
如果 a≥0 , b≥0 , 那么有 a· b ab（a≥0 , b≥0）;
知识归纳
a = a (a≥0 , b>0) , 即商的算术平方根等于 bb 被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 .
(1) 当a<0 , b<0时 , 虽然 a 有意义 , 但是 a = -a , 而不等于 a .
b
b -b
b
(2) 如果被开方数是带分数 , 应先将其化成假分数 , 如 4 1 必
6
(2)当被除式中的被开方数不能被除式中的被开方数整除时 , 或 者被除式是整数而除式是二次根式时 , 可以利用分数的基本性质 把分母中的根号化去 . 如 2 = 2 5 = 10 ，2 = 2 7 = 2 7 .
5 5 5 5 7 7 7 7
16.2.2二次根式的除法
(2) 4 2 93
(3) 16 4 (4) 16 4
25 5
25 5
你发现了什么？用你发现的规律填空：
(1) 81 9 3
(2) 49 36 7
6
二次根式除法法则
？ 性质4： a a (a 0，b＞0) bb
算术平方根的商，等于商的算术平方根.
∵( a )2 ( a)2 a b ( b)2 b
根号化去的过程，我们称之为分母有理化。
(1)化简时，有时需将被开方数分解因数； (2)当一个式子的分母中含有二次根式时，一 般应把分母有理化.
二次根式运算的结果，应该尽量化简. 最后的结果中的二次根式一般要写成最简二 次根式的形式.即：被开方数不含分母；被开方
数中不含能开得尽方的因数或因式。
如何化二次根式为最简二次根式 ？
第16 章 《二次根式》
沪 科 版 八 年 级 数 学 下
1.二次根式的乘法法则(性质3)是什么？ 2.二次根式的运算结果要怎样？ 3.满足什么条件的二次根式是最简二次根式？
二次根式能进行乘法运算，是否能进行 除法运算呢？
？ ？ 24 3 1
3
2 18
计算:
(1) 4 2 93
计算、化简：
(1) 102 2.82 (2) a4b2 a2b4 (3) 7 3 14 3 2 1
15 2 2 (4) ab3 (3 b ) (3 2a )
2a
1、化简 25x3 y 4
解：由二次根式的意义可知：
25x3 y 4 0, y 4 0, x 0.
2 5 x 3 y 4 2 5 y 4 x 3
2、计算与化简：
(1) 2 (2) 2 3 (3) 27 (4) 4 4
16.2.2二次根式乘法除法 正式稿
(2) 99 99 199=100；
(3) 999 999 1999=1000；
(4) 9999 9999 19999=10000.
观察上面几题的结果，你能发现什么规律？用你发现 的规律直接写出下题的结果：
99 9 99 9 199 9 100 0
n个9
n个9
n个9
n个0 .
课堂小结
八年级 下册
16.2 二次根式的乘除（3）
复习导入
二次根式的除法法则是：
a a a 0，b 0.
bb 文字语言： 二次根式与二次根式相除，被开方数相除， 根指数不变. 二次根式的除法法则的逆用：
a a a 0，b 0
bb
公式的拓展
a b c a b c a 0,b 0,c 0
解：(1) b b2 4ac 2a
10 102 4 1 (15)
21 10 160 5 2 10.
2
5.根据下列条件求代数式 b b2 4ac 的值； (1) a=1，b=10，c=－15； 2a
(2) a=2，b=－8，c=5．
解：(2) b b2 4ac 2a
8 (8)2 4 2 5
（1）最简二次根式有何特征？ 被开方数不含分母； 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
（2）如何化去分母中的根号，请举例说明． 可以用二次根式的性质，乘除运算法则及分数
基本性质化去分母中的根号．
课堂小结
（3）把一个二次根式化为最简二次根式的依据是什 么？ 把一个二次根式化为最简二次根式的依据是二
m a n b m n a b a 0,b 0
最简二次根式有何特征？
（1）：被开方数不含分母或分母中不含根号； （2）：被开方数不含能开得尽方的因数或因式。
2020年春人教版初中数学八年级下册同步课件 第十六章 16.2 16.2.2 二次根式的除法
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2．计算：
27×
8 3÷
12＝________.
解析： 27× 答案：12
8 3÷
12＝3 3×
8 3÷
12＝3
3×83×2＝12.
八年级数学 ·下
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母题变式
(改变问法)计算 27× 83÷ 提示：原式＝ 27× 83×2
12的结果与原题相同吗？
＝ 27×83×2＝12. 答案：相同
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易错警示 二次根式的运算结果必须化为最简二次根式，若含有分母，则分母中不能含有二次根 式．
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[纠错训练] 计算：(1) 132；(2) 32÷ 18；(3)4 21÷(－2 7)．
解析： 12＝ 3
132＝ 4＝2.
(2)
3 2÷
1＝ 8
32÷18＝
32×8＝ 3×4＝ 3×2＝2 3.
解析：(1)
48＝ 3
438＝ 16＝4；
(2) 21255＝12·
125＝1 52
25＝12×5＝52.
(3)－
1 23÷
16＝－
11 23÷6
＝－ 73×6＝－ 14.
(4)∵a＞0，b＞0，
∴ a3b6＝ ab
a3b6＝ ab
a2b5＝ab2
b.
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答案：C
八年级数学 ·下
－ 2．把
45y2化简后得(
)
3 5y
－ 9y A. 3
B．－ y
C．－3 5y
D.3
5 5
人教版 八年级下册16.2.2二次根式的除法
例5：化简 1 3
100
2
25x 9y2
解： 1 3 3 3
100 100 10
2
25x 9y2
25x 5 x 9y2 3y
1、化简
（1） 3
64
45
（2）
125
解（: 1） 3 =
64
33 =
64 8
（2）
45 =
32 5 =
32
3 =
125 52 5 52 5
）.
2、
a= b
ba（ a ≥0, b >0 ）
再见
求它的底面积S。
解：Q Vs Vsh 4 3 4 3 2 h 3 2 3 2 2
4 6 2 6
6
3
(3) 3
8 40
5
解: 8 5
3 40
40
=
3 40
1
=
3
(4) 27 50 6
解: 27 50 6
=3 35 2 6 = 15 6 6
= 15
注意： 以上变形的目的是为了被__开__方__数_不__含_.分母
例题解析
最简二次根式
例6 计算：
（2）3 2
知 识 点
解： 273 2 =
27
32
32
32 3 = 32 3
一
3
=
3
2 3
=
2 3
=
2 3
2
6
=________
3
3
最简二次根式
归纳：
满足以下两个条件： (1)被开方数不含__分__母________； (2)被开方数中不含能__开__得__尽_方_ 的因数或 因式.这样的二次根式叫做最简二次根式. 注意：二次根式的运算结果要化为 最简二次根式，并且分母中不含_二__次_根__式__.
16.2.2 二次根式的乘除
例４：计算
2 2
3 9
3
3 3
试一试
32 (1) 2 计算：
1 7 3 4 5 10
解： 1 32 32 16 4
50 (2) 10
1 1 (4)2 1 5 2 6
50 50 2 5 2 2 10 10 1 7 21 10 如果根号前 ＝ 4 ＝ ＝ 6 (3)原式 有系数，就 5 10 5 7
3
8 8 2a 4 a 2 a 2a a 2a 2a 2a
(2) 最后结果中的二次根式 要求写成最简的二次根式 的形式. 5
a b
a b
a 0 , b 0
( 2) 1
两个二次根式相除，等于把被开方数相除， 商的算术平方根等于被除式的算术平方根 除以除式的算术平方根。 作为商的被开方数 25 x 3 例5：化简 3 3
1
智慧导入计算下列各式,观察计算结果,你发现什么规律?
4 1. 9 16 2. 49
2 3
,
4 , 7
a b
4 9 16 49
2 3
4 9
4 9
4 7
16 16 49 49
2 2 (3) ＝ 3 3 a 规律: b
10
11
(1)
100
16
9y
2
解：
3 3 3 1 100 100 10 19 3 19 19 （2） 1 ＝ ＝ ＝ 16 16 4 16
3
25 x 25 x 5 x 9y 9y 3y
2 2
注意： 如果被开方数是 带分数，应先化 成假分数。
6
1.被开方数不含分母 2.被开方数不含能开得尽 方的因数或因式