矩阵特征值计算.ppt
合集下载
计算方法之计算矩阵的特征值和特征量
4
1 取对应于1=4的基础解向量 P1 1 则对应于1=4的全部特征向量为：kP1 (k 0)
（2）2=2 将1=2代入(A-E)X=0得(A-2E)X=0
3 2 1 x1 1 3 2 x 0 2
总可以用 Xi 的线性组合来表示： V(0)=1X1+ 2X2+...+ nXn（其中10） 取 V(1)=AV(0) V(2)=AV(1)=A2V(0) ……
10
V(k+1)=AV(k) =Ak+1V(0) 以构成向量迭代序列。 由矩阵特征值的定义有： AXi=iXi （i=1,2,...,n） 则有
k 1 1
i [ 1 X 1 i i2 1
n
k 1
Xi ]
11
V 同理可得：
(k )
i [ 1 X 1 i X i ] i2 1
n k 1 n k 1
k
V(k+1)的第j个分量：
16
（二）按模最大特征值是互为反号的实根 设n 阶方阵A有 n 个线性无关的特征向量 Xi ， 其对应的特征值为i （i=1,2,...,n)，且满足： |1| = |2|>|3| … |n|，设其中1>0, 1=- 2
由迭代变换： V ( k ) Ak V ( 0 )
3 1 求矩阵 A 1 3 的特征值与特征向量
3
解：计算特征多项式方程，即 3 1 A E ( 3 )2 1 0 1 3 解得A的两个特征值：1=4， 2=2。 （1）1=4 将1=4代入 (A-E)X=0得(A-4E)X=0
第章矩阵特征值的计算
的特征向量的近似值。
规范化乘幂法
令max(x)表示向量x分量中绝对值最大者。即如果有某i0，使
xi0
max
1 i n
xi
则
max (x) = xi
对任取初始向量x(0)，记
y(0) x(0) max( x(0) )
则
x(1) Ay(0)
一般地，若已知x(k)，称公式
y(k ) x(k ) max( x(k ) )
2
S sin sin 2
2C
（4）
aip aiq
aipC aiq S a pi aip s aiqC aqi
a pp a ppC 2 2a pqC S aqq S 2 aqq a pp S 2 2a pqC S aqqC 2 a pq (a pp aqq )C S a pq (C 2 S 2 ) aqp
它们之间有如下的关系：
ai(pk )
a(k ip
1)
cos
a(k iq
1)
sin
a(k) pi
ai(qk )
ai(pk1) sin
a(k iq
1)
cos
a(k qi
)
i p,q
aaq((pqkkp))源自a(k 1) ppa(k 1) pp
cos2 sin2
2a
(k 1) pq
sin
cos
2a
然后对j = 1, 2, …, n 解方程
x (k2) j
px j (k 1)
qx j(k )
0
求出p 、q 后，由公式
1
p 2
i
q
p
2
2
2
p 2
i
计算方法(5)第四章 矩阵特征值和特征向量的计算
n
使得u 0
i xi
i 1
n
n
uk Auk1 Aku0 Ak (i xi ) iik xi
i 1
i 1
1k [1x1
n i2
( i 1
)k i xi ]
由1 0, 1 i (i 2, 3,L , n) 得
lim(
对矩阵A1用乘幂法得 uk
A-1u
k
，
1
因为A1 的计算
比较麻烦，而且往往不能保持矩阵A 的一些好性质
（如稀疏性），因此，反幂法在实际计算时以求解
方程组
Auk
u
k
，代替迭代
1
uk
A-1uk1求得uk，每
迭代一次要解一线性方程组。 由于矩阵在迭代过
程中不变，故可对A 先进行三角分解，每次迭代只 要解两个三角形方程组。
且
2 p 2 n
2 n
2 n 2
1 p 21 2 n 1 n 1 2 1 n 1
因此，用原点平移法求1可使收敛速度加快。
三、反幂法
反幂法是计算矩阵按模最小的特征值及特征向 量的方法，也是修正特征值、求相应特征向量的最 有效的方法。
0
0.226
0.975
做正交相似变换后得到
3.366
A3 =R2 AR2T
0.0735
0.317
0.0735 1.780
0
0.317
0
1.145
雅可比方法是一个迭代过程，它生成的是一个矩阵的
序列 Ak，当k越大时Ak就越接近于对角矩阵，从而
第7章 计算矩阵的特征值和特征向量
A (7)
0 0 2.125825 = 0 8.388761 0.000009 0 0.000009 4.485401
从而A的特征值可取为 A
λ1≈2.125825, λ2≈8.388761, λ3≈4.485401
V
下面分析吉文斯变换作用到对称矩阵后正 交相似的变换效果。
注:
bpp = (app cosϑ − aqp sinϑ) cosϑ − (apq cosϑ − aqq sinϑ) sinϑ
注:
1 − s
2 t 1 − t
2
= 0 ⇒
t
2
+ 2 st
− 1 = 0
雅可比方法就是对A连续施行以上变换的方法。 取p,q使 a pq = max aij
由于求解高次多项式的根是件困难的事上述方法一般无法解出阶数略大n4的矩阵特征值的精确解在实际计算中难以按定义计算矩阵特征值
第7章 计算矩阵的特征值和特征向量
在线性代数中，一个n阶矩阵A，若有数λ及非零n维向量 v满足Av=λv，则称λ为A的特征值，v为属于特征值λ的特征 向量。在线性代数中，先计算矩阵A的特征多项式，即计算 det(λ I - A)= λn +…+(-1)ndetA的根，算出A的n个特征值λ i， i=1，2， …，n。然后解线性方程组(A- λiI)v=0，计算出对 应于λ i的特征向量。由于求解高次多项式的根是件困难的事， 上述方法一般无法解出阶数略大(n>4)的矩阵特征值的精确解， 在实际计算中难以按定义计算矩阵特征值。 本章介绍一些简单有效的计算矩阵特征值和特征向量 的近似值的数值方法。
7 ．2
反 幂 法
反幂法
Av = λv ⇒ A v =
人教A版高中数学选修4-2-4.1.2-特征值特征向量的计算-课件(共30张PPT)
an1 an2 ann
a11 l A l E a21
a12
a22 l
a11 l
AlE
a21
an1
a12 a22 l
an2
a1n
A11 A12
a2n A21 A22
an1
an 2
ann l An1 An2
1 A A j1 j2 jn 1 j1 2 j2
Anjn
j1 j2 jn
4 2 4 x1 0 2 1 2 x2 0 4 2 4 x3 0
4 2 4 0 2 1 2 0 A 2 1 2 0 0 0 0 0
4 2 4 0 0 0 0 0
2x1 x2 2x3 0
x2 2x1 2x3
令
x1 x3
分别取
10,10 ，得基础解系
定理 3 矩阵A与其转置 矩阵A’有相同的特征值
证明：
A lE A (lE) (A lE) A lE
即 A与A’有相同的特征多项式 故A与A’有相同的特征值
定理 4 设l1、l2 、…、l n是A的n个特征值，则
（1） l1+l2 +…+ln=a11+ a22+ …+ann （2）l1l2 …l n A
【例5】 设A为n阶正交矩阵，证明A的实特征向量所
对应的特征值的绝对值等于1。
证明： 因为A为正交矩阵，有AA E
设是A的一个实特征向量，对应的特征值为l
即实向量 0，且满足 A l 要证l 1
由A l
A l
A l
方程两边右乘A
左边= AA E ,
右边=lA ll l2 l2 ,
证明：设l是A的特征值，是A的属于l的特征向量
矩阵特征值计算
其 中 每个 对角 块 ������������������ 均 为方阵 ， 则矩 阵 ������ 的 特征 值为各 对 角块 矩阵 特征 值的合 并 ，即 ������(������) = ⋃������ ������=1 ������(������������������ ). 定理 5.5： 矩阵的相似变换(similarity transformation)不改变特征值. 设矩阵������和������为相似矩阵， 即存在非奇异矩阵������使得������ = ������−1 ������������，则 (1) 矩阵������和������的特征值相等，即 ������(������) = ������(������) ; (2) 若������为������的特征向量，则相应地，������������为������的特征向量. 通过相似变换并不总能把矩阵转化为对角阵，或者说矩阵 ������ 并不总是 可对角化 的 (diagonalizable). 下面给出特征值的代数重数、几何重数，和亏损矩阵的概念，以及几个定 理.. ̃1 , ⋯ , ������ ̃������ ，若������ ̃������ 是特征方程的������������ 重 定义 5.2: 设矩阵������ ∈ ℝ������×������ 有 m 个（mn）不同的特征值������ ̃������ 的代数重数(algebraic multiplicity)，并称������ ̃������ 的特征子空间(ℂ������ 的子空间)的维数 根，则称������������ 为������ ̃������ 的几何重数(geometric multiplicity). 为������ ̃1 , ⋯ , ������ ̃������ ，特征值������ ̃������ , (������ = 1, ⋯ , ������)的代数 定理 5.6：设矩阵������ ∈ ℝ������×������ 的 m 个不同的特征值为������ 重数为������������ ，几何重数为������������ ，则 (1) ∑������ ������=1 ������������ = ������，且任一个特征值的几何重数不大于代数重数，即∀������，������������ ≥ ������������ . (2) 不同特征值的特征向量线性无关，并且将所有特征子空间的∑������ ������=1 ������������ 个基(特征向量)放在 一起，它们构成一组线性无关向量. (3) 若每个特征值的代数重数等于几何重数，则总共可得������个线性无关的特征向量，它们是 全空间ℂ������ 的基. 定义 5.3：若矩阵������ ∈ ℝ������×������ 的某个代数重数为 k 的特征值对应的线性无关特征向量数目少于 k（即几何重数小于代数重数） ，则称 ������为亏损阵（defective matrix） ，否则称其为非亏损阵 （nondefective matrix）. 定理 5.7：设矩阵������ ∈ ℝ������×������ 可对角化，即存在非奇异矩阵������ ∈ ℂ������×������ 使得 ������−1������������ = ������, 其中������ ∈ ℂ������×������ 为对角阵, 的充要条件是������为非亏损矩阵. 此时，������的对角线元素为矩阵������的特 征值，而矩阵������的列向量为 n 个线性无关的特征向量. 定理 5.7 中方程的等价形式为������ = ������������������−1, 它被称为特征值分解，也叫谱分解(spectrum decomposition). 特征值分解存在的充要条件是������为非亏损矩阵. 但现实中还有很多矩阵是亏 损矩阵，例如例 5.2 中的矩阵，它的特征值 2 的代数重数为 2，而几何重数仅为 1. 这种矩阵
数值分析ppt第8章-矩阵特征值问题计算
现讨论求λ1及x1旳措施.
上页 下页
幂法旳基本思想是: 任取非零旳初始向量v0 , 由矩 阵A构造历来量序列{vk}
v1 Av0 , .v.2.......A..v..1......A...2v0 , vk1 Avk Ak1v0 , .........................
(2.2)
(2.5)
即为矩阵A旳相应特征值1 旳一种近似特征向量.
因为 vk1 Avk 1k1a1 x1 1vk , (2.6)
用(vk)i 表达vk旳第i个分量，则当k充分大时，有
vk1 i
vk
i
1.
(2.7)
即为A旳主特征值1旳近似值.
这种由已知非零向量v0及矩阵A旳乘幂Ak构造向
量序列{vk}以计算A旳主特征值1(2.7)及相应特征向量
当A为实矩阵，假如限制用正交相同变换，因为
A有复旳特征值， A不能用正交相同变换约化为上三
角阵. 用正交相同变换能约化到什么程度呢？
上页 下页
定理10 (实Schur分解) 设A∈Rn×n，则存在正 交矩阵Q使
R11
QT
AQ
R12 R22
R1m
R2m
,
Rmm
其中Rii(i=1,2,,m)为一阶或二阶方阵，且每个一阶 Rii是A旳实特征值，每个二阶对角块Rii旳两个特征值 是 A旳两个共轭复特征值.
上页 下页
8.2.1 幂法（又称乘幂法）
设实矩阵A=(aij)有一种完全旳特征向量组，即 A有n个线性无关旳特征向量，设矩阵A旳特征值为 λ1,λ2,,λn, 相应旳特征向量为x1,x2,,xn. 已知A旳主 特征值λ1是实根，且满足条件
| 1 || 2 | | n |,
矩阵特征值和特征向量计算.ppt
j
＝1
1
1
1
j
i
n 2
i
i 1
k
1
j
i
n 2
i
i 1
k
1
i
j
i
j
( 4.2)
lim
uk
j
k
uk1
j
1 ,
故k充
分
大
时
， uk
j
uk1
j
1 ，
(j
1,2,, n)
由（4.1）显然知k充分大时， 0 ,
x 故 uk ( 1k1 1 )就 是1对 应 的 近 似 特 征 向 量 。
v u v u u 如用
m
m
或 m
m
代替 继续迭代, m
u( )m max
(u ) min m
u u u 这里(
m )max 和(
m )min 分 别 表 示 向 量(
)的 绝 对 值
m
最 大 的 分 量 和 最 小 分 量;
4. 由(4.1),乘 幂 法 的 速 度 与 比 值| 2 | 有 关, 1
n
A1
x
1
x
一 定 是A1的
按
模
最
大
的
征值，故对A1用乘幂法— 反幂法，可得1 的近似值
算法（步1）骤：u0 0
n
( 2) (3)
计 算u k
1 A uk 1
(k 1,2,3,)
u 若k充分大后 ( u(
k)j c, ) k 1 j
则n
1 ,
c
uk
就
是n
注：实际相计对算应: A的u特征u向量三。角分解A LU ,
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
6
幂法
幂法（乘幂法，幂迭代）
计算矩阵的主特征值（按模最大）及其特征向量
假设：(1) |1| > |2| … |n| 0
(2) 对应的 n 个线性无关特征向量为：x1, x2, ..., xn
计算过程： (1) 任取一个非零向量 v0，要求满足 (x1,v0) 0 (2) 对 k = 1, 2, ... ，直到收敛，计算
4
圆盘定理
设 A=(aij)Rnn ，记
Di C
n
| aii |
aij
j1, ji
i=1, 2, ... , n
Gerschgorin 圆盘
定理：(Gerschgorin 圆盘定理) 设 是 A 的特征值，则
n
Di
i 1
若有 m 的圆盘互相连通，且与其它圆盘都不相连，则这 m 个圆盘内恰好包含 m 个特征值。
vk Avk1
7
幂法的收敛性
收敛性分析 设 v0 1x1 2 x2 n xn (1 0) v1 Av0 11x1 22 x2 nn xn
vk
Avk1
11k x1
k
22
x2
k
nn
xn
1k
1 x1
假设：(1) |1| |2| … |n-1| > |n| > 0
(2) 对应的 n 个线性无关特征向量为：x1, x2, ..., xn
A-1 的特征值为：
1
1
1
2
1 1
n1 n
对应的特征向量仍然为 x1, x2, ..., xn
反幂法：对矩阵 A-1 使用幂法
则由改进的幂法生成的向量满足
lim
k
uk
x1 , x1
lim
k
vk
1
13
举例
例：用改进的幂法计算下面矩阵的主特征值和对应的特征向量
1.0 1.0 0.5 A 1.0 1.0 0.25
0.5 0.25 2.0
ex81.m
14
幂法的加速
幂法的收敛速度取决于 r 2 的大小 1
当 r 接近于 1 时，乘幂法收敛会很慢！
幂法的加速：原点平移法
带位移的幂法
令 B = A – pI，则 B 的特征值为：i - p
选择适当的 p 满足： (1) | 1 p || j p | ( j = 2, ... , n )
(2) max j p 2 2 jn 1 p 1
uk
vk Akv0
vk vk 1
Akv0
Auk
Ak 1v0 Akv0
k1 1
1 x1
n
i
i2
i 1
k 1
xi
1k
1 x1
n
i
i2
i 1
k
xi
lim
k
vk
1
12
改进的幂法
改进的幂法
(1) 任取一个非零向量 v0，要求满足 (x1,v0) 0
(2) 对 k = 1, 2, ... ，直到收敛，计算
uk
vk , vk
vk1 Auk
定理：设 A 有 n 个线性无关的特征向量，其特征值满足
1 2 3 n
用幂法计算矩阵 B 的主特征值：1 - p
保持主特征值 加快收敛速度
15
举例
例：用带位移的幂法计算下面矩阵的主特征值和对应的特征向
量，取 p=0.75
ex82.m
1.0 1.0 0.5 A 1.0 1.0 0.25
0.5 0.25 2.0
16
反幂法
反幂法
计算矩阵的按模最小的特征值及其特征向量
17
反幂法
反幂法
(1) 任取一个非零向量 v0，要求满足 (x1,v0) 0
(2) 对 k = 1, 2, ... ，直到收敛，计算
2
2 1
k
x2
n
n 1
k
xn
1k1 x1
2 1
越小，收敛越快
8
幂法的收敛性
当 k 充分大时，有
vk 1k1 x1 vk1 1k11 x1
vk1 1vk
又 vk1 Avk
vk1 j vk j
1 ( j =1, 2, ... , n )
Avk 1vk
vk 为 1 的近似特征向量
9
幂法的收敛性
定理：设 A 有 n 个线性无关的特征向量，其特征值满足
1 2 3 n
则由幂法生成的向量满足
lim,
lim (vk1 ) j k (vk ) j
5
Rayleigh 商
定理：设 A 是 n 阶实对称矩阵，其特征值为 1 2 n
则对任意非零向量 x，有
n
( Ax, x) (x, x)
1
且
1
max x0
( Ax, x) (x, x)
,
n
min x0
( Ax, x) (x, x)
R( x) ( Ax, x) 称为矩阵 A 关于 x 的 Rayleigh 商。 (x, x)
1
注：幂法的收敛速度取决于 2 的大小 1
10
幂法
幂法中存在的问题
vk 1k1 x1
, | 1 | 1 0, | 1 | 1
改进方法：规范化
vk1 Avk
uk
vk , vk
vk1 Auk
lim
k
uk
x1 x1
11
幂法
1 的计算
计算方法
第八章 矩阵特征值计算
—— 幂法与反幂法
1
本章内容
特征值基本性质 幂法与反幂法 正交变换与矩阵分解 QR 方法
2
本讲内容
特征值基本性质 幂法 幂法的加速 反幂法
3
特征值性质
特征值与特征向量
A x = x ( C, x 0 )
性质 (1) Ax x ( A I )x ( )x (2) Ax x Ak x k x (3) B P 1AP, Ax x By y, y P 1x (4) 若 A 对称，则存在正交矩阵 Q，使得 QT AQ diag(1, 2, , n )
幂法
幂法（乘幂法，幂迭代）
计算矩阵的主特征值（按模最大）及其特征向量
假设：(1) |1| > |2| … |n| 0
(2) 对应的 n 个线性无关特征向量为：x1, x2, ..., xn
计算过程： (1) 任取一个非零向量 v0，要求满足 (x1,v0) 0 (2) 对 k = 1, 2, ... ，直到收敛，计算
4
圆盘定理
设 A=(aij)Rnn ，记
Di C
n
| aii |
aij
j1, ji
i=1, 2, ... , n
Gerschgorin 圆盘
定理：(Gerschgorin 圆盘定理) 设 是 A 的特征值，则
n
Di
i 1
若有 m 的圆盘互相连通，且与其它圆盘都不相连，则这 m 个圆盘内恰好包含 m 个特征值。
vk Avk1
7
幂法的收敛性
收敛性分析 设 v0 1x1 2 x2 n xn (1 0) v1 Av0 11x1 22 x2 nn xn
vk
Avk1
11k x1
k
22
x2
k
nn
xn
1k
1 x1
假设：(1) |1| |2| … |n-1| > |n| > 0
(2) 对应的 n 个线性无关特征向量为：x1, x2, ..., xn
A-1 的特征值为：
1
1
1
2
1 1
n1 n
对应的特征向量仍然为 x1, x2, ..., xn
反幂法：对矩阵 A-1 使用幂法
则由改进的幂法生成的向量满足
lim
k
uk
x1 , x1
lim
k
vk
1
13
举例
例：用改进的幂法计算下面矩阵的主特征值和对应的特征向量
1.0 1.0 0.5 A 1.0 1.0 0.25
0.5 0.25 2.0
ex81.m
14
幂法的加速
幂法的收敛速度取决于 r 2 的大小 1
当 r 接近于 1 时，乘幂法收敛会很慢！
幂法的加速：原点平移法
带位移的幂法
令 B = A – pI，则 B 的特征值为：i - p
选择适当的 p 满足： (1) | 1 p || j p | ( j = 2, ... , n )
(2) max j p 2 2 jn 1 p 1
uk
vk Akv0
vk vk 1
Akv0
Auk
Ak 1v0 Akv0
k1 1
1 x1
n
i
i2
i 1
k 1
xi
1k
1 x1
n
i
i2
i 1
k
xi
lim
k
vk
1
12
改进的幂法
改进的幂法
(1) 任取一个非零向量 v0，要求满足 (x1,v0) 0
(2) 对 k = 1, 2, ... ，直到收敛，计算
uk
vk , vk
vk1 Auk
定理：设 A 有 n 个线性无关的特征向量，其特征值满足
1 2 3 n
用幂法计算矩阵 B 的主特征值：1 - p
保持主特征值 加快收敛速度
15
举例
例：用带位移的幂法计算下面矩阵的主特征值和对应的特征向
量，取 p=0.75
ex82.m
1.0 1.0 0.5 A 1.0 1.0 0.25
0.5 0.25 2.0
16
反幂法
反幂法
计算矩阵的按模最小的特征值及其特征向量
17
反幂法
反幂法
(1) 任取一个非零向量 v0，要求满足 (x1,v0) 0
(2) 对 k = 1, 2, ... ，直到收敛，计算
2
2 1
k
x2
n
n 1
k
xn
1k1 x1
2 1
越小，收敛越快
8
幂法的收敛性
当 k 充分大时，有
vk 1k1 x1 vk1 1k11 x1
vk1 1vk
又 vk1 Avk
vk1 j vk j
1 ( j =1, 2, ... , n )
Avk 1vk
vk 为 1 的近似特征向量
9
幂法的收敛性
定理：设 A 有 n 个线性无关的特征向量，其特征值满足
1 2 3 n
则由幂法生成的向量满足
lim,
lim (vk1 ) j k (vk ) j
5
Rayleigh 商
定理：设 A 是 n 阶实对称矩阵，其特征值为 1 2 n
则对任意非零向量 x，有
n
( Ax, x) (x, x)
1
且
1
max x0
( Ax, x) (x, x)
,
n
min x0
( Ax, x) (x, x)
R( x) ( Ax, x) 称为矩阵 A 关于 x 的 Rayleigh 商。 (x, x)
1
注：幂法的收敛速度取决于 2 的大小 1
10
幂法
幂法中存在的问题
vk 1k1 x1
, | 1 | 1 0, | 1 | 1
改进方法：规范化
vk1 Avk
uk
vk , vk
vk1 Auk
lim
k
uk
x1 x1
11
幂法
1 的计算
计算方法
第八章 矩阵特征值计算
—— 幂法与反幂法
1
本章内容
特征值基本性质 幂法与反幂法 正交变换与矩阵分解 QR 方法
2
本讲内容
特征值基本性质 幂法 幂法的加速 反幂法
3
特征值性质
特征值与特征向量
A x = x ( C, x 0 )
性质 (1) Ax x ( A I )x ( )x (2) Ax x Ak x k x (3) B P 1AP, Ax x By y, y P 1x (4) 若 A 对称，则存在正交矩阵 Q，使得 QT AQ diag(1, 2, , n )