矩形折叠问题

Ａ Ｄ
Ｅ
Ｂ Ｃ
Ｆ
4.折叠矩形ABCD，让点B落在对角线AC上 若AD=4，AB=3，请求出线段CE的长度。
A F
D
B
E
C
1、如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点 落在BC边上的F点处，如果∠BAF=60°，那 么∠DAE等于
2.如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点， 点G是BC上的一点，∠BEG＞60°．现沿直线EG将 纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH， 则与∠BEG相等的角的个数为_____.
（3）在折叠问题中，若直接解决较困难时， 可将图形还原，可让问题变得简单明了。 有时还可采用动手操作，通过折叠观察得 出问题的答案。
4.如图，已知矩形ABCD，将△BCD沿对角线BD折叠 点C落在点E处，BE交AD于点F。根据图形，你能发 现图中有哪些相等的线段和角吗？
E
解：AB=CD=DE,BF=DF BC=BE=AD,AF=EF, ∠A=∠E=90° ∠ABF=∠EDF ∠BDC=∠BDE ∠FBD=∠FDB=∠DBC
4≤A′C≤8
分析：根据点E、F分别在 AB、AD上移动，可画出两 个极端位置时的图形。
6
(E)
4
E
6
F
8 10 10
6
(F)
线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD的 交于点F。 （1）求证△ABF≌△ EDF； （2）若将折叠的图形恢复原状，点F与 边BC边上的点M正好重合，连接DM，试 判断四边形BMDF的形状，并说明理由。
Ｆ Ｍ Ｄ
Ａ
Ｅ
Ｃ
Ｂ
四、一边沿对角线翻折
例4、如图，已知将矩形ABCD沿着直线BD折叠， 使点C落在C/处，BC/交AD于E，AD=8，AB=4， 求△BDE的面积
C/ A E
D F
B
C
( 1 )折叠过程实质上是一个轴对称变换，折 痕就是对称轴，变换前后两个图形全等。
（2）在矩形的折叠问题中，若有求边长问 题，常设未知数，找到相应的直角三角形， 用勾股定理建立方程，利用方程思想解决 问题。
1、如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠, 点C落在点E处,BE交AD于点F.连结AE.证明 :AE∥BD6、来自E AFD
B
C
2.如图,矩形纸片ABCD中,AB=6cm,AD=10cm， 点E、F仍在矩形ABCD的边AB 、AD上，仍将△AEF 沿EF折叠，使点A′在BC边上, 当折痕EF移动时， 点A′在BC边上也随之移动。则A′C的范围为
Ｃ
Ｂ
Ａ
二、一条对角线的顶点折叠重合
例２、如图，矩形纸片ＡＢＣＤ的长ＡＤ＝９cm， 宽ＡＢ＝3cm,将其折叠，使点Ｄ与点Ｂ重合，那 么折叠后ＤＥ的长和折痕ＥＦ的长分别是多少？
Ａ
Ｅ Ｄ
Ｏ Ｂ
Ｆ
Ｃ
三、将一个顶点折到一边上
例３、四边形ＡＢＣＤ是一块矩形纸片，Ｅ是ＡＢ上一点， 且ＢＥ：ＥＡ＝５：３，ＥＣ＝ 15 5 ，将△ＢＣＥ沿 折痕ＥＣ翻折，若点Ｂ恰好落在ＡＤ边上的点Ｆ上，求Ａ Ｂ、ＢＣ的长。
A
F
D
B
C
1、 如图，已知矩形ABCD，将△BCD沿对角 线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F。 （1）若∠ADE=20°，求∠EBD的度数。 （2）若AB=4，BC=8，求AF。 E （3）在（2）的条件下，试求 重叠部分△DBF的面积。 A D F
B C
1、 如图，已知矩形ABCD，将△BCD沿对角 线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F。 （1）若∠ADE=20°，求∠EBD的度数。
3.将矩形纸片ABCD按如图1所示的方式折 叠，得到图2所示的菱形AECF.若AB=3, 则BC的长为( ) (A)1 (B) 2 (C) 2 (D) 3
4.如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将 △ABE折叠后得到△GBE , 延长BG交CD于点 F，若CF=1.FD=2，则BC的长为（ ）
B E
2 3 １
A'
C
H (x,y)
A
G
F
D
x
1、如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落 在BC边上的F点处。
（1）若∠BAF＝60°，求∠EAF的度数； （2）若AB＝6cm， AD＝10cm， 求线段CE的 长及△AEF的 面积.
2、如图，矩形纸片ABCD中，现将A、C重合，使
纸片折叠压平，设折痕为EF。
矩形的翻折一直是中考的重点，关于矩形 的翻折通常有以下几种情况
一、将一边折到对角线上 二、将一个顶点折到一边上 三、一边沿对角线翻折
四、一条对角线的顶点折叠重合
一、将一边折到对角线上 例１、折叠矩形纸片ＡＢＣＤ，先折出折 痕（对角线）ＢＤ，再折叠ＡＤ边与对角 线ＢＤ重合，得折痕ＤＧ。若ＡＢ＝２， ＢＣ＝１，求ＡＧ Ｄ Ｅ Ｇ
3、如图，把一张矩形的纸片ABCD沿对角
证明线段相等的方法有证 全等，等角对等边，平行 如图,矩形纸片ABCD中， AB=6cm,AD=8cm， 四边形，等量线段的和差 等。 点E、F是矩形ABCD的边 AB 、AD上的两个
点，将△AEF沿EF折叠，使A点落在BC边 上的A′点，过A′作A′G∥AB交EF于H点， y 交AD于G点。 （1）找出图中所有 相等的线段（不包括矩 形的对边） （2）请你自己提出一 个问题，自己解决。
让我们的亲人及朋友因我们的存在而感 到快乐和幸福
矩形性质独特,折叠起来形态各异, 趣味无穷,会产生丰富多彩的几何问题, 而这些问题往往融入了丰富的数学知识 和思想，以矩形为背景的折叠问题是近 年来兴起的一类比较新型的问题，在中 考试题，竞赛试题中屡见不鲜。在很多 中考试卷中，矩形的折叠问题成为一道 最后的“压轴题”。为此今天咱们专题 研究有关矩形折叠的数学问题。
B
E
C
3.如图,矩形纸片ABCD中，AB=6cm,AD =8cm，在BC上找一点F，沿DF折叠矩形AB 使C点落在对角线BD上的点E处， 此时折痕DF的长是多少？
A 6 4 B 8-x x D
6
x C
1．把一张长方形的纸片按如图所示的方式 折叠，EM、FM 为折痕，折叠后的C点落 在MB′或MB′的延长线上，那么∠EMF的 度数是（ ）
（1）连结CF，四边形AECF是 什么特殊的四边形？为什么？ （2）若AB＝4cm，AD＝8cm， 你能求出线段BE及折痕EF的 长吗？
B E A
G F
D
C
3、在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、 OC分别落在x轴，y轴上，且OA=4，0C=3。 （1）求对角线OB所在直线的解析式；
y
C
B
E A F D
B
C
1、如图，已知矩形ABCD，将△BCD沿对角 线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F。 （2）若AB=4，BC=8，求AF。
E
A B
F
D
C
1、如图，已知矩形ABCD，将△BCD沿对角 线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F。 （3）在（2）的条件下，试求 重叠部分△DBF的面积。 E A F D B C
学习目标:通过本节课对矩形折叠问题的探究 学习，达到总结折叠问题的规律，提炼解 决折叠问题的方法，并利用折叠的规律和 方法进行计算和证明. 学习重难点：综合运用知识挖掘矩形折叠问 题中角度和线段的数量关系.。
1. 如果一个图形沿一条直线折叠后,直 线两旁的部分能够互相重合，那么这 个图形叫做 轴对称 图形，这条直线 叫做 对称轴 这时,我们也说这个图形 关于这条直线对称. 2.关于某条直线对称的两个图形是 全等 形。 3.如果两个图形关于某条直线对称，那么 对称轴是对应点连线的 垂直平分 线。
O
A
x
3、在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、 OC分别落在x轴，y轴上，且OA=4，0C=3。 （2）如图，将△OAB沿对角线OB翻折得到 △OBN，ON与AB交于点M。 ① 判断△OBM是什么三角形，并说明理由； ② 试求直线MN的解析式.
B
y
C
O
A
x
2、 如图，矩形纸片ABCD中，AB=3厘米 BC=4厘米，现将A、C重合，再将纸片折叠 压平， （1）找出图中的一对全等三角形，并证明； （2）△AEF是何种形状的三角形？说明你的 G 理由； F （3）求AE的长。 D A （4）试确定重叠部分△AEF 的面积。
若连结CF,四边形AECF是菱形吗?
2．如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点 D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝ 65°，则∠AED′等于（ ）
3．如图5，四边形ABCD 为矩形纸片．把 纸片ABCD 折叠，使点 B恰好落在CD 边 的中点E 处，折痕为 AF．若CD=6 ，则 AF 等于（ ） A.4 3 Ｂ．3 3 Ｃ．4 2 Ｄ．8