时间序列电子科大第二章

通常将“冲击”序列理想化为白噪声 过程 {t , t Z }，时间序列{ Xt }取为白噪 声的加权和.
Wold 分解式（正交分解）：任意零均
值纯非确定的平稳过程都可表示为线性形
式
X t j t j , t Z
(2.1.1)
j0
权系数
无穷阶滑动平均
{ j , j 0,1,2,}, 0 1
lim
n
E ( n )
E (
)
推论 若时间序列{Yt}满足下式左端的级数
收敛条件, 则有
n
E[ Yt t
]
lim
n
E[ Yt
tn
]
E ( Yt
t
)
注 几乎处处收敛, 若二阶矩荐在，则一定
均方收敛，故 有
lim
n
E (ξ n
)
E (l.i.m.
ξn
)
定理2.1.2 (控制收敛定理) 若随机变量
n
n
lim
n
E(
j0
j
t
j
)(
h0
h
tkh
)
nn
lim
n
j0
h0
j h E ( t j tk h )
n
lim
n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
j0
j
jk
2
j0
j
jk
？ 思考： lim (k ) 0 k
四、线性过程的平稳性
命题2.1.1 线性过程
X t j t j , t Z j0
若满足以下条件之一，序列具有平稳性 .
r(k
)
2
j jk
(2.1.4)
j0
特别 证明
级数可和保
r
(0)
2 X
2
2 j
j0
证限过方程差(2.有1.5有)
n
X t
lim
n
φjεt j , (a.s.)
j0
tZ
由单调收敛定理之推论
n
E( X t
)
lim
n
j0
φ j E (εt
j)
φ j E(εt j ) 0, j0
tZ
r(k) E(Xt Xtk )
若其自相关函数满足
r(h)
2
,
h 0;
0, h 0.
不相关
又若 {t , t Z } 是正态时间序列，称为正态
白噪声（WN(0, σ2)）.
若存在非负整数 q 和常数a0, a1, …, aq，使 时间序列{Xt}可表示为
X t a0 t a1 t1 aq tq , t Z
称为白噪声的滑动平均.
序列{ξn}满足 n 0 , a.s.和 E 0 ,
则当 n , a.s. 时，有 E( ) ，且
lim
n
E ( n
)
E (
)
定理2.1.3 线性过程
X t (B) t jt j , t Z j0
若传递函数绝对可和 j , 则有 j0
均值函数 E ( X t ) 0 ， 自相关函数为
j1
或 t (1 j B j )X t (B)X t , t Z
j1
{t , t Z } 是白噪声序列
无穷阶自回归
…Xt－p … Xt－2 Xt－1 Xt
例2.1.1 考虑单摆运动 单摆受扰图
X t aX t1 t , t 0,1,2,
X0是单摆的初始振幅，Xt 是第t 次摆动的最
注1 可将{Xt} 视为线性滤波器的输出，白 噪声看成驱动系统的扰动序列(激励).
白噪声{t , t Z } 线性滤波器
Xt
例 发声系统
注2 {Xt ,t∈Z } 是平稳序列. E( X t ) a0E( t ) a1E( t1 ) aq E( tq ) 0, t Z
r(t,t k) E(Xt Xtk )
(B) (B)1 1 1 B
1 B 2B2 jB j
求得传递形式为
X t 1 ( B ) t ( B ) t
jt j
j0
三、线性过程的均值函数与自协方差函数
定理2.1.1 (单调收敛定理) 若非负随机变
量序列 0 1 2 单调不减，则当 n , a.s. 时 ，有
1）沃尔德系数绝对可和：
j
j0
定理2.1.3 之证明
2）沃尔德系数的生成函数
(z) 1 j z j j z j
j1
j0
当 z 1 收敛.
解释 在单位圆上或单位圆内级数收敛.
称为沃尔德系数(格林函数、传递函数)，其
中 { t , t Z } 是白噪声序列.
注1 （2.1.1）式可表示为算子形式
X t (B)t
(2.1.1)
其中 (B) 1 j B j j B j
j1
j0
称为传递函数或沃尔德系数的生成函数.
注2 对动态数据进行适当的预处理，可 将非平稳序列平稳化与零均值化.
注3 （2.1.1）式的工程解释
X t (B)t
线性滤波 器模型
将时间序列{Xt} 视为线性滤波器的输出， 白噪声看成驱动系统的扰动序列(激励)
输入
{ t , t Z }
传递函数 输出
线性滤波器
(B)
Xt
2. 自回归形式
在适当条件下 { X t , t Z } 可表示为线性形式
X t t j X t j , t Z (2.1.2)
第二章 线性平稳过程
§2.1一般线性过程 §2.2 平稳序列的线性数学模型 §2.3 ARMA序列的因果可逆性 §2.4 ARMA模型的平稳性条件
和可逆条件
§2.1一般线性过程
一、线性平稳序列 在应用时间序列分析中，最常用的平稳
序列是线性平稳序列，即由白噪声的线性 组合构成的平稳序列.
定义 零均值序列 {t , t Z } 称为白噪声
大振幅，{ t }是空气振动造成的随机干扰，
3. 生成函数的关系 式(2.1.2) 与式(2.1.1)互为逆转形式：
X t (B ) t , t ( B) X t
将生成函数 (B)作用于(2.1.2)式
X t (B)t (B)(B)X t
得 (B)(B) 1,
(2.1.3)
满足一 定条件
q
q
E( a j t j )( ah tkh )
j0
h0
qq
a jah E( t j tkh )
j0 h0
tjtkh
q
2
a ja jk r(k)
j0
二、线性过程的两种等价形式 1. 传递形式 时间序列分析中建立随机模型的思想：
将顺序值之间高度依赖的时间序列{ Xt } 看成由一系列独立“冲击”序列所生成.
或 (B ) (B )1 , (B ) (B )1 收敛.
传递形式：
白噪声{t , t Z }
X t (B)t
(B)
逆转形式：
t (B)Xt, t Z
(B)
Xt,t Z
例2.1.2 若平稳序列的自回归形式为
X t X t 1 t
或
(B)Xt t
其 中 (B) 1 B，有