5网络分析的状态变量分析法
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国家电网考试题库电网络习题库
电网络习题网络元件及其基本性质:1.电网络中的基本表征量分为：基本变量、高阶基本变量和基本复合量。
2.基本变量包括：电压、电流、电荷、磁链。
3.高阶基本变量中的微积分指数为：除了0和-1以外的任意整数。
4.高阶基本变量中，微积分指数为正值时表示对时间t 的求导次数；为负值时表示对时间t 的积分次数。
5.基本复合量包括：功率和能量。
6.基本表征量之间的关系：电流为电荷的一阶导数；电压为磁链的一阶导数；功率为能量的一阶导数。
7.容许信号偶指的是n 口元件端口的电压、电流向量随时间的变化或波形，如，对于一个3Ω电阻，{}3cos ,cos t t ωω为该电阻的一组容许信号偶。
8.元件的赋定关系是区分不同类型元件的基本依据。
9.由同一时刻的代数、常微分和积分运算的方程来描述的元件通常为集中元件；而由偏微分方程描述的元件或元件的特性方程中含有延时运算时，该元件一般为分布元件。
10.如果对于元件的任一容许信号偶()(){},u t i t 和任一实数T ，()(){},u t T i t T --也是该元件的容许信号偶，则该元件是时不变元件。
11.对于端口型的时不变网络，其内部元件不一定都是时不变的。
12.电气参数为常量的线性元件是时不变的。
13.由独立电源和时不变元件组成的网络称为时不变网络。
14.线性特性包含了齐次性和叠加性两种性质。
15.若某个电阻元件的电压u 和电流i 符合下列方程()2,0i f u i i u u=-+=，则该电阻元件属于非线性元件。
（注：满足齐次性，但不满足叠加性。
）16.由独立电源和线性元件组成的电路称为线性电路。
17.赋定关系为u 和i 之间的代数关系的元件称为电阻元件。
18.赋定关系为u 和q 之间的代数关系的元件称为电容元件。
19.赋定关系为i 和ψ之间的代数关系的元件称为电感元件。
20.赋定关系为ψ和q 之间的代数关系的元件称为忆阻元件。
21.直流电压源和凸电阻属于流控电阻。
第6章状态变量分析法
间变化而描述的路径，称为状态轨迹。
6
通信与信息基础教学部
状态与状态空间(3) 状态变量分析法的一般步骤
用状态变量来描述和分析系统的方法称为状态变量分 析法。当已知系统的模型及激励，用状态变量分析法时， 一般分两步进行：
一是选定状态变量，并列写出用状态变量描述系统特 性的方程，一般是一阶微分（或差分）方程组，它建立了 状态变量与激励之间的关系；同时，还要建立有关响应与 激励、状态变量关系的输出方程，一般是一组代数方程；
M
M
M
M
M
yr (t) cr1x1 (t) cr2 x2 (t) L crn xn (t) dr1 f1 (t) dr2 f2 (t) L drm fm (t)
11
Байду номын сангаас
通信与信息基础教学部
连续系统状态方程的一般形式(4)
状态方程、输出方程（P323）
x1
x
Mxx2n
a11
16
通信与信息基础教学部
由电路图建立状态方程(1) 由电路直接建立状态方程的步骤
(1) 选择独立的电容电压和电感电流作为状态变量；
(2)
对于电容C应用KCL写出该电容的电流
iC
C
dvC dt
与其它状态
变量和输入变量的关系式；
(3)
对于电感L应用KVL写出该电感的电压
vL
L
diL dt
与其它状态
变量和输入变量的关系式；
(4) 消除非状态变量（称为中间变量）； (5) 整理成状态方程和输出方程的标准形式。
17
通信与信息基础教学部
由电路图建立状态方程(2)
M
M
M
M
系统的状态变量分析法
出
状
方
态
程
方
程
9-1 连续系统状态空间方程建立
一、引例 t<0，K在2；t=0，K从2打到1。求t>0时，电压uR和uL。
（
状
态
方
程
）
（ 输 出
uR t Ri(t)
方 程
uL t Ri(t) uc (t) us (t)
）
状态方程和输出方程通称为
状态空间方程
uc(t)和i(t)称为状态变量
说明：同一系统函数或微分方程，可以有不同的模拟图或信号流图，所以 可以得到不同的状态方程和输出方程，但特征根相同，同一系统，它的系 统矩阵A相似。
练习1：列写状态方程和输出方程，已知系统函数为
状态变量：选积分器输出。
练习2：已知系统函数，用级联型信号流图列写状态方程和 输出方程
状态变量：选积分器输出。来自3、系统函数矩阵与单位冲激响应矩阵 1）系统函数矩阵
2）单位冲激响应矩阵： 3）系统自然频率：
意义：第j个激励单独作用时 与所产生的第i个响应之间的 关系。
3、状态方程：描述系统状态变量和激励与状态变量一阶导数关系 的微分方程组。
4、输出方程：描述系统状态变量和激励与输出响应关系的代数方程组。 5、状态向量：由状态变量做分量所构成的向量。（n维） 6、状态空间：状态变量所有取值的集合。即状态向量所在的空间。 7、状态轨迹：在状态空间中状态向量端点随时间变化所形成的轨迹。
（2）便捷的运用到多输入多输出系统； （3）可以分析系统的“可观测性”和“可控制性”； （4）可以描述非线性系统和时变系统； （5）便于计算机求解（一阶微分方程、差分方程）。
4、分析方法：状态变量法
以系统内部的状
第五章 时域离散系统的基本网络结构
数字滤波器和FFT一样，是数字信号处理 的重要内容。
本章的主要内容就是描述数字滤波器的基 本网络结构。（IIR、FIR）
引言
时域离散系统或网络可以用差分方程、单 位脉冲响应以及系统函数进行描述。
M
N
y(n) bi x(n i) ai y(n i)
i0
i 1
系统函数H(z)为
M
H (z)
(2) 流图环路中必须存在延时支路；
(3) 节点和支路的数目是有限的。
信号流图表达的系统含义
每个节点连接的有输入支路和输出支路，节点变 量等于所有输入支路的输出之和.
根据信号流图可以求出系统函数（节点法、梅逊 公式法）。
1(n) 2 (n 1) 2 (n) 2 (n 1) 2 (n) x(n) a12 (n) a21n y(n) b21(n) b12 (n) b02(n)
画出H(z)的直接型结构和级联型结构。
级联型
解： 将H(z)进行因式分解，得到： H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2)
其直接型结构和级联型结构如图所示。
x(n)
0.6
z－ 1 0.5
1.6 z－ 1
2 z－ 1
3
y(n) x(n)
z－ 1
z－ 1
z－ 1
0.96 2
2.8 1.5 y(n)
0 j
y(n)
1 j
z－ 1 1j
1 j
z－ 11 j
(a)
2 j
z－
1
2
j
(b)
一阶和二阶直接型网络结构 (a)直接型一阶网络结构；(b)直接型二阶网络结构
IIR的级联型例题
本章的主要内容就是描述数字滤波器的基 本网络结构。（IIR、FIR）
引言
时域离散系统或网络可以用差分方程、单 位脉冲响应以及系统函数进行描述。
M
N
y(n) bi x(n i) ai y(n i)
i0
i 1
系统函数H(z)为
M
H (z)
(2) 流图环路中必须存在延时支路；
(3) 节点和支路的数目是有限的。
信号流图表达的系统含义
每个节点连接的有输入支路和输出支路，节点变 量等于所有输入支路的输出之和.
根据信号流图可以求出系统函数（节点法、梅逊 公式法）。
1(n) 2 (n 1) 2 (n) 2 (n 1) 2 (n) x(n) a12 (n) a21n y(n) b21(n) b12 (n) b02(n)
画出H(z)的直接型结构和级联型结构。
级联型
解： 将H(z)进行因式分解，得到： H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2)
其直接型结构和级联型结构如图所示。
x(n)
0.6
z－ 1 0.5
1.6 z－ 1
2 z－ 1
3
y(n) x(n)
z－ 1
z－ 1
z－ 1
0.96 2
2.8 1.5 y(n)
0 j
y(n)
1 j
z－ 1 1j
1 j
z－ 11 j
(a)
2 j
z－
1
2
j
(b)
一阶和二阶直接型网络结构 (a)直接型一阶网络结构；(b)直接型二阶网络结构
IIR的级联型例题
电网络第一讲(大纲124)
注意：
赋定关系可有多种表达式，但只要有一种赋定关系属 于代数元件 的赋定关系，该元件就应归于代数元件
例如
u (t) i 2
di dt
其赋定关系为
f (u, i, i ( 1) ) 0
不能直接说该元件是动态元件。 出现三个变量的情况，应尽量对变量进行合并。
3 t t 1 di 1 di 1 di 3 u (t) i = u (t)dt dt (t ) i 3 C 0 0 3 dt 3 dt 3 dt 2
u
i
( )
u
i
( ) 1
u
i
( ) 2
u
i
( ) T n
( )
( ) 1
( ) 2
( ) T n
4 动态元件(相对代数元件而言)
定义：
凡是赋定关系不能写成代数元件的赋定关系形式 的集中参数元件统称为动态元件。
区分代数元件和动态元件的依据：
( 1) ( 2 ) f ( u , i ,i ) 动态元件：uk和ik同时以几个不同的阶次出现：
f , 0
比如压控电容 的赋定关系可 以表示为： q(t ) f (u (t ), C )
• η控元件: θ＝f (η) • θ控元件： η＝f (θ)
• 单调元件： 元件既是η控的,又是θ控的
元件既不是η控的,也不是θ控的 • 多值元件：
（1）电阻元件(Resistor) 定义： 赋定关系为u和i之间的代数关系的元件
信号 组
• 可能存在于（多口）元件端口的电压、 电流向量（随时间的变化或波形）称为 容许的电压—电流偶，简称容许信号偶 (Admissible Signal Pair),记作 u(t ), i (t )
王勤电网络理论第五章
is
1isl 0 0 0
Ll
0 1L l 0 0
Rl
0 0 1R l 0
Cl ⎥ 0 ⎥ 1C l ⎥ ⎦
0 ⎥ 0 ⎤
0 0
0
Lt代表纯电感割集，不关联R、C，故Q43 = Q44 = 0， Cl代表纯电容回路，不关联R、L，故B43 =-Q34T = 0
根据Qf ib = 0、Bf ub = 0和上述八类支路的VAR即可 导出状态方程的系统公式列写法。
& x( t ) = Ax ( t ) + Bf ( t )
n× n阶矩阵
m × m阶矩阵
& x( t ) = Ax ( t ) + Bf ( t )
状态变量的 一阶导数 m维激励向量
n维状态变量
输出方程：一组表示输出变量与状态变量和输入变量 之间关系的代数方程。 对于有个n状态变量、 m个激励、 h个输出变量的网络 ，输出变量用yk(t)(k=1,2,…,h)表示，输出方程的形式 为
§5-1 状态方程的直观列写与系统公式列写法
一、网络的复杂性阶数nd (order of complexity) 1.nd 定义 nd ≡一组能够描述网络动态特性的独立且 充分的状态变量的个数； ≡能够完全确定网络动态响应的一组 独立初始条件的个数； ≡能够完全描述网络动态响应的一组 恰当的一阶微分方程的个数 一个网络复杂性的阶数不可能大于该网络中储能元件 的总数。
例 解
求图示网络的nd bLC =11
nC =1
nL =2
nd =11 – 1 – 2 = 8
纯电容割集和纯电感回路对网络复杂性的阶数有无影 响呢？
纯电感回路不会减少网络中独立的初始条件数 ，即不会改变网络复杂性的阶数。
2023年博士生入学考试初试科目考试大纲科目名称：电网络理论
2023年博士生入学考试初试科目考试大纲
科目名称：电网络理论
一、考试总体要求
《电网络理论》是介绍现代电路分析中一些较为成熟和先进的内容,是了解现代电路理论的“窗口”。
牢记基本概念,掌握基本方法,与大学电路原理的内容有机地联系在一起。
掌握与电气工程及电子工程相关的电路理论的一些新思想、新方法、新元件和新进展。
综合利用所学知识解决复杂电路分析计算问题。
二、考试内容
1．网络理论基础：网络元件的新体系，网络的互联规律性以及网络及元件的基本性质，如（1）线性与非线性、（2）无源性和有源性、（3）时变性与时不变性、（4）互易性与非互易性等。
2.简单非线性电路：非线性电阻电路的基本概念和常用分析方法以及一、二阶非
线性动态电路的分析方法。
重点掌握低阶自治电路的定性分析。
3．多口网络：含源及无源多口网络的常见矩阵表示法，重点掌握不定导纳矩阵的计算方法及其应用。
4．电路的代数方程：电路代数方程的矩阵形式，混合分析法，稀疏表格法和改进节点法，重点掌握混合分析法和改进节点法。
5．动态电路的时域方程：网络分析的状态变量法，状态方程的列写，线性状态方程的解析解法，重点掌握含有高阶元件、非线性元件或非常态电路的状态方程的列写。
6．网络的灵敏度分析：灵敏度分析的意义和在本专业分析计算中的主要应用，重点掌握伴随网络法。
三、考试题型
证明题、计算题、论述题
四、参考书目
1．梁贵书．高等电网络．讲义．．2.．高等电力网络分析． 2007。
状态变量分析
RiL (t)
vs
（3）消除中间变量 vC2，将 vC2 vS vC1 代入，得
C1
d vC1 dt
iL
C2
d(vS vC1 ) dt
0
（4）整理，得
diL dt
R L iL
1 L vC1
1 L vS
d
vC1
dt
1 C1 C2
iL
C2 C1 C2
dvS dt
写成矩阵形式，为
diL
x2
dx1 dt
(b1 a1b2 ) f
dy dt
b2
df dt
(b1 a1b2 ) f
正如前面所述，状态变量的选取可以是多种形式的。
输出方程为 y x1 b2 f
写成矩阵形式，为
y 1
0
x1 x2
b2
f
7.2.4 从模拟图建立状态方程
根据系统的输入－输出方程或系统函数可以作出系 统的时域或复频域模拟图，然后选择每一个积分器的输 出端信号作为状态变量，最后得到系统的状态方程和输 出方程。
信号与系统
第七章 状态变量分析
第七章 状态变量分析
状态变量分析概述 7.1 状态与状态空间 7.2 连续系统状态方程的建立 7.3 系连续系统状态方程的 本章要点
状态变量分析概述
系统的描述方法 – 输入－输出描述法、状态变量描述法
输入－输出描述法（端口分析法、外部法） – 用系统的输入－输出变量之间的关系来描述系统的 特性； – 数学模型是 n 阶微分（或差分）方程。
方程。
iS (t)
解 选取 vC (t) 和 iL (t) 为状态变量， 它们都是独立的状态变量。
vC
(t)
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第五章
5.2.2 例题 例1
i1 L1 L2 i2
5.2 状态方程的列写
+ eS
R1
C
+
uC
R2
(1) 选取常态树和状态变量（uC， i1，i2） (2) 对每一个由电容树支决定的基本割集，写出KCL方程 duc duc 1 1 = C i1 C i2 C = i1 i2 dt dt (3) 对每一个由电感连支决定的基本电路，写出KVL方程
1）对任一时间t1，由t1时的这组数据X(t1)和从t1开始 的输入，能唯一确定任一t>t1时的数据X(t)；
现代电路与系统
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第五章
5.1 一些有关的概念
系统中一组变量的数据
X(t)=[x1(t) x2(t) ··· n(t)]T x
1）对任一时间t1，由t1时的这组数据X(t1)和从t1开始 的输入，能唯一确定任一t>t1时的数据X(t)；
(s)=(S1A)1
UC(s)
=
(S+1)(S+3)
S
12 S 12 1 (S+1)(S+3) = S+17/4 1 (S+1)(S+3)
5.3.1 解析解法 时域的解法 解析解法 复频域解法
5.3 状态方程的求解
幂级数法 矩阵函数的有限项表示法 对角线化变换矩阵法
X=AX+BF
令 则 (S)=(S1A) 1
•
£
(S1A)X(s)=X(0)+BF(s) 状态方程的预解矩阵
X(S)= (s)X(0)+ (s)BF(s) det(S1A) 矩阵A的特征多项式
R1
+
u1
i
L
+ C1 u2 +
C2
R2
gmu1
iC2 0 i u1 u2 +
1 L1
i
d dt
u1
R1 L 1 = C1
1 L1
u2
0
gm 1 1 C1 R2C1 R2C1 g 1 + m 1 R2 C 2 C2 R2 C2
0 eS 0
讨论： 若受控电流源为ic2，且 =1，
5.2 状态方程的列写
对LTI网络，选择电容电压和电感电流作为状态 变量，因此各个标量方程的左边 duc dt diL dt duc C dt = ic diL L dt = uL
建立包含电容支路的KCL方程
建立包含电感支路的KVL方程
现代电路与系统
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第五章
5.2.1 状态方程的分析
duc dt diL dt • duc C dt = ic diL L dt = uL
(1)仅由电容元件构成的回路(全电容电路)；
(2)仅由电感元件构成的割集(全电感割集)；
(3)仅由电压源与电容构成的回路； (4)仅由电流源和电感元件构成的割集；
状态变量的数目 = 动态元件的数目 常态树的概念 树包含所有电容支路，而不含任何电感支路。
现代电路与系统
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第五章
5.2.1 状态方程的分析
现代电路与系统
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第五章
duc 1 1 = C i1 C i2 dt
5.2 状态方程的列写
(3) 对每一个由电感连支决定的基本电路，写出KVL方程 例1
i1 L1 L2
i2
+
eS
R1
C
+
uC
R2
现代电路与系统
di1 =uc R1 i1 e S dt di L2 1 =uc R2 i2 dt L1
5.2 状态方程的列写
建立包含电容支路的KCL方程 建立包含电感支路的KVL方程
只有将KCL应用于割集才能最大限度得到满足，只要使 所选取的每个割集仅含一个电容支路（单电容割集）； 从方程的右边考虑，所选取的每个割集应尽可能多地 包含电感元件的支路。
现代电路与系统
• 所选取的每个回路只含一条电感元件的支路（单电感 回路）；另外回路应尽可能多地包含电容支路。 基本割集 单电容割集 树（常态树） 单电感回路 基本回路
5.2 状态方程的列写
i2
L2 R2
+ u1
R1 C1 C2
+ u5
+ u2
R5
+ u4 R 4
(1) 选取常态树和状态变量 du2 i1 i2 (2) du1 = i1 C1 dt dt = C2 + C2 di1 1 = L (u4u5u2u1R1 i1) dt 1 di2 1 = L (u4u5u2R2 i2) 现代电路与系统 dt 2
第五章
5.1.3 状态方程与输出方程 例
iL 3 4H
5.1 一些有关的概念
+
uC
1 12 F
uC 1 duC 12 dt = 3 iL diL 4 dt = uC
4 12 uC d uC = 1 dt iL 0 iL 4
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第五章
5.1.3 状态方程与输出方程
5.1 一些有关的概念
iL
3 4H
+
uC
= iL(t) iL
uc
1 0
t
1
0
t
现代电路与系统
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第五章
例
5.1 一些有关的概念
如图，uC(0)=1V,iL(0)=1A求零输入响应的状态轨迹。 uc uc t=0 1 1 t= t 0 0 1 iL
1
2
iL 3 4H
+
uC
0
1 12 F
iL
13 t 15 3t 2 e + 2 e = 13 t 5 3t iL(t) 8 e - 8 e 现代电路与系统
uC(t)
t
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第五章
5.1 一些有关的概念
5.1.3 状态方程与输出方程 概念：联系输入与状态变量的一阶微分方程组 •
X=AX+BF
方程的特点：
• 左边为状态变量的一阶导数，且每 个标量方程只含一个一阶导数项
• 右边为状态变量与输入的线性组合， 除输入外不含任何非状态变量
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第五章
5.2 状态方程的列写
(3)消去除输入外的非状态变量
消去除输入外的非状态变量，就是用 状态变量和输入去表示那些非状态变量。
u5=R5(i1+i2) 将电容元件用电压源代替，电感元 件用电流源代替
R4 RR u4= R +R es R 3 4 ( i1+i2) 3 4 3+R4
+ eS
(R1+R2)L2MR2
d 1 = dt i2 L1L2M2 (R1+R2)M +L1R2 讨论：
现代电路与系统
R2L2+(R2+R3)M
i1 +
L2 M
(R2+R3)L1MR2 i2
uS
若
则
L1L2 M2=0
（全耦合）
det L=0，L1不存在，i1、i2线性相关。
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第五章
uC iL
4 = 1 4 (S+4)
12 0 12 S
uC iL
(S1A)=
现代电路与系统
- 1
4
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第五章
iL
5.3 状态方程的求解
+
uC
3 4H
1 12 F
uc(0) 1 = iL(0) 1
det(S1A)=S(S+4)+3=(S+1)(S+3)
S 12 (S+4) 1 4
特征多项式的零点
2）t时刻的这组数据连同t时刻的输入(有时可能为输入 的某个导数)能唯一确定系统中任一变量在t时刻的值。
电网络中的状态变量：一组独立的电容电压uC(或电荷) 和独立的电感电流iL(或磁链)
现代电路与系统
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第五章
5.1.2 状态空间与状态轨迹 x1(t) X(t)= x2(t)
5.1 一些有关的概念
零状态响应
转移函数矩阵
Y(t)= £1 [C(s)X(0)]+ £1 [H(s)F(s)]
现代电路与系统
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第五章
5.3.1 解析法解法 复频域解法
5.3 状态方程的求解
例1 对图示电路,列出状态方程,并求解。
iL 3 4H
+
uC
1 12 F
uc(0) 1 = iL(0) 1
d dt
i2
1 a33= L (R1+R5+ R3R4 ) R3+R4 1 1 a34= L (R5+ R3R4 ) R3+R4 1
1 a43= L (R5+ R3R4 ) R3+R4 2
1 a44= L (R2+R5+ R3R4 ) R3+R4 2
现代电路与系统
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第五章
例3
uS
5.2 状态方程的列写
i1+ i2
R3 i3
+
u4
R4
现代电路与系统
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第五章
u1 d dt u2 i1 0 0 = 1 0
L1