2018-2019学年河南省洛阳市涧西区东方二中九年级(上)期中数学试卷

2018-2019学年河南省洛阳市涧西区东方二中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2+10x+16＝0的两个根，则x1+x2的值是（）A．﹣10B．10C．﹣16D．163．（3分）以原点为中心，把点A（3，6）逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为（）A．（6，3）B．（﹣3，﹣6）C．（6，﹣3）D．（﹣6，3）4．（3分）方程x2+6x﹣5＝0的左边配成完全平方后所得方程为（）A．（x+3）2＝14B．（x﹣3）2＝14C．（x+3）2＝4D．（x﹣3）2＝45．（3分）如图，点A、C、B在⊙O上，已知∠AOB＝∠ACB＝a，则a的值为（）A．135°B．100°C．110°D．120°6．（3分）如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是（）A．40°B．30°C．20°D．15°7．（3分）已知圆的直径为10cm，如果圆心与直线的距离是6cm，那么直线和圆的公共点的个数为（）A．0B．1C．2D．38．（3分）如图，△ABC中，∠C＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得△ADE，AE与BC交于F，则∠AFB 为多少度？（）A．70°B．90°C．60°D．55°9．（3分）如图，在⊙O中，弦AB的长为24，圆心O到AB的距离为5，则⊙O的半径为（）A．12B．12C．13D．1210．（3分）如图：点A、B、C、D为⊙O上的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O﹣C﹣D﹣O的路线做匀速运动．设运动的时间为t秒，∠APB的度数为y．则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（）A．B．C．D．二、填空题（每题3分，共15分）11．（3分）平面直角坐标系中，点P（﹣2，5）关于原点的对称点坐标为．12．（3分）已知二次函数y＝﹣2x2+x+4，当x＜时，y随x的增大而增大．13．（3分）如图，P A、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠P＝52°，则∠C的度数为．14．（3分）如图，A在线段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为7平方厘米和11平方厘米，则△CDE 的面积等于平方厘米．15．（3分）如图，矩形ABCD中，AD＝20，AB＝32，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点F落在矩形ABCD的对称轴上时，则DE的长为三、解答题（共75分）16．（9分）已知关于x的方程x2+2x+a﹣2＝0（1）若方程有一根为1，求a的值；（2）若a＝1，求方程的两根．17．（9分）用铝合金型材做一个形状如图1所示的矩形窗框，设窗框的一边为xm，窗户的透光面积为ym2，y与x 的函数图象如图2所示．（1）观察图象，当x为何值时，窗户透光面积最大？（2）当窗户透光面积最大时，窗框的另一边长是多少？18．（9分）某校九年级二班的一个数学综合实践小组去沃尔玛超市调查某种商品“十•一”节期间的销售情况，下面是调查后小阳与其他两位同学交流的情况：小阳：据调查，该商品的进价为12元/件．小佳：该商品定价为20元时，每天可售出240件．小欣：在定价为20元的基础上，涨价1元，每天少售出20件；降价1元，则每天多售出40件．根据他们的对话，若销售的商品每天能获利1920元时，应该怎样定价更合理？19．（9分）在如图所示的直角坐标系中，解答下列问题：（1）分别写出A、B两点的坐标；（2）将△ABC绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的△AB1C1；（3）求出线段B1A所在直线l的函数解析式，并写出在直线l上从B1到A的自变量x的取值范围．20．（9分）已知，如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴，y轴分别相交于点A（﹣1，0），B（0，3）两点，其顶点为D（1）求该抛物线的解析式；（2）若抛物线与x轴另一个交点为E，求四边形ABDE的面积．21．（9分）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若AB＝4+，BC＝2，求⊙O的半径．22．（10分）如图（1），在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，D、E分别是AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，如图（2），设旋转角为a（0＜a≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．（1）求证：BD1＝CE1；（2）当∠CPD1＝2∠CAD1时，则旋转角为a＝（直接写结果）（3）连接P A，△P AB面积的最大值为（直接写结果）23．（11分）已知，如图抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（2，0）．OC＝3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是线段AC下方抛物线上的动点，求三角形P AC面积的最大值．（3）在（2）的条件下，△P AC的面积为S，其中S为整数的点P作“好点”，则存在多个“好点”，则所有“好点”的个数为（4）在（2）的条件下，以P A为边向直线AC右上侧作正方形APHG，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变，当顶点H或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标．2018-2019学年河南省洛阳市涧西区东方二中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共30分）1．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；B、是轴对称图形，不是中心对称图形；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；D、是轴对称图形，是中心对称图形．故选：D．2．【解答】解：∵x1，x2一元二次方程x2+10x+16＝0两个根，∴x1+x2＝﹣10．故选：A．3．【解答】解：如图所示，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（﹣6，3）．故选：D．4．【解答】解：移项得：x2+6x＝5，配方可得：x2+6x+9＝5+9，即（x+3）2＝14，故选：A．5．【解答】解：∵∠ACB＝a∴优弧所对的圆心角为2a∴2a+a＝360°∴a＝120°．故选：D．6．【解答】解：连接CO，如图：∵在⊙O中，＝，∴∠AOC＝∠AOB，∵∠AOB＝40°，∴∠AOC＝40°，∴∠ADC＝∠AOC＝20°，故选：C．7．【解答】解：根据题意，可知圆的半径为5cm．因为圆心到直线l的距离为6cm，d＞r，直线和圆相离，所以直线和圆的公共点的个数为0，故选：A．8．【解答】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得△ADE，∴∠CAE＝60°，∵∠C＝30°，∴∠AFC＝90°，∴∠AFB＝90°．故选：B．9．【解答】解：∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝12，则OA＝＝13，故选：C．10．【解答】解：根据题意，分3个阶段；①P在OC之间，∠APB逐渐减小，到C点时，为45°，②P在CD之间，∠APB保持45°，大小不变，③P在DO之间，∠APB逐渐增大，到O点时，为90°；又由点P作匀速运动，故①③都是线段；分析可得：B符合3个阶段的描述；故选：B．二、填空题（每题3分，共15分）11．【解答】解：点P（﹣2，5）关于原点的对称点坐标为（2，﹣5），故答案为：（2，﹣5）．12．【解答】解：∵y＝﹣2x2+x+4＝﹣2（x﹣）2+，∴抛物线开口向下，对称轴为x＝，∴当x＜时，y随x的增大而增大，故答案为：．13．【解答】解：∵P A、PB分别与⊙O相切于A、B两点，∴OA⊥P A，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣52°＝128°，∴∠C＝∠AOB＝×128°＝64°．故答案为64°．14．【解答】解：过E作EH⊥CD于H，如图，∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3，又∵∠EHD＝∠DAG＝90°，ED＝DG，∴△EDH≌△DGA，∴EH＝AG，∵S ABCD＝7cm2，S DGFE＝11cm2，∴CD＝AD＝cm，DG＝，∴在Rt△ADG中，AG＝，∴S△CDE＝CD×EH＝CD×AG＝××2＝cm2，故答案为：．15．【解答】解：过点F作MN⊥AB于点N，MN交CD于点M，如图1所示．设DE＝a，则D′E＝a．∵矩形ABCD有两条对称轴，∴分两种情况考虑：①当DM＝CM时，AN＝DM＝CD＝AB＝16，AD＝AF＝20，由勾股定理可知：NF＝＝＝12，∴MF＝MN﹣NF＝AD﹣NF＝8，EM＝DM﹣DE＝16﹣a，∵EF2＝EM2+MF2，即a2＝（16﹣a）2+64，解得：a＝10；②当MF＝NF时，MF＝NF＝MN＝AD＝10，由勾股定理可知：AN＝＝10，∴EM＝DM﹣DE＝AN﹣DE＝10﹣a，∵EF2＝EM2+MF2，即a2＝（10﹣a）2+102，解得：a＝．综上知：DE＝10或．故答案为：10或．三、解答题（共75分）16．【解答】解：（1）将x＝1代入方程得1+2+a﹣2＝0，解得a＝﹣1；（2）将a＝1代入方程得x2+2x﹣1＝0，∵a＝1，b＝2，c＝﹣1，∴x＝＝﹣1．∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．17．【解答】解：（1）由图象可知，当x＝1时，窗户透光面积最大．（3分）（2）因为最大透光面积是1.5平方米，即矩形的最大面积是1.5平方米，此时x＝1米，根据矩形面积计算公式，另一边为1.5米．所以窗框另一边长为1.5米．（5分）18．【解答】解：当涨价时，设每件商品定价为x元，则每件商品的销售利润为（x﹣12）元，根据题意，得[240﹣20（x﹣20）]×（x﹣12）＝1920整理，得x2﹣44x+480＝0解得，x1＝20，x2＝24当降价时，设每件商品定价为y元，则每件商品的销售利润为（y﹣12）元，根据题意，得[240+40（20﹣y）]×（y﹣12）＝1920整理，得y2﹣38y+360＝0解得，y1＝20，y2＝18，综上所述，比较两种方案后，定价为18元更合理．19．【解答】解：（1）从图中可得出：A（2，0），B（﹣1，﹣4）（2分）（2）画图正确；（4分）（3）设线段B1A所在直线l的解析式为：y＝kx+b（k≠0），∵B1（﹣2，3），A（2，0），∴，（5分），（6分）∴线段B1A所在直线l的解析式为：，（7分）线段B1A的自变量x的取值范围是：﹣2≤x≤2．（8分）20．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（0，3）两点代入解析式可得：，解得：．故该抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3．（2）由函数解析式为y＝﹣x2+2x+3，可得点D坐标为：（1，4），点E坐标为（3，0），过点D作DF⊥x轴，交x轴于点F，则点F坐标为（1，0），从而可得S△ABO＝AO×BO＝，S梯形BOFD＝（BO+DF）×OF＝，S△DFE＝EF×DF＝4，故可得S四边形ABDE＝S△ABO+S梯形BOFD+S△DFE＝9．21．【解答】（1）证明：连接OA，∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°，又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，又∵AP＝AC，∴∠P＝∠ACP＝30°，∴∠OAP＝∠AOC﹣∠P＝90°，∴OA⊥P A，∴P A是⊙O的切线；（2）解：过点C作CE⊥AB于点E．在Rt△BCE中，∠B＝60°，BC＝2，∴BE＝BC＝，CE＝3，∵AB＝4+，∴AE＝AB﹣BE＝4，∴在Rt△ACE中，AC＝＝5，∴AP＝AC＝5．∴在Rt△P AO中，OA＝，∴⊙O的半径为．22．【解答】解：（1）在△ABD1和△ACE1中∴△ABD1≌△ACE1∴BD1＝CE1；（2）延长BA交D1E1于F，如图（2），由（1）知△ABD1≌△ACE1，∴∠ABD1＝∠ACE1，∵∠AGB＝∠CGP，∴∠CPG＝∠BAG＝90°∴∠CPD1＝90°，∵∠CPD1＝2∠CAD1，∴∠CAD1＝∠CPD1＝45°；故答案为45°；（3）如图3，∵AC＝AB＝4，∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴AD＝AE＝2，由旋转知，AD1＝AE1＝AD＝2作PH⊥AB，交AB所在直线于点G，∵D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，此时四边形AD1PE1是正方形，PD1＝2，则BD1═＝2，∴∠ABP＝30°，∴PB＝2+2，∴点P到AB所在直线的距离的最大值为：PH＝1+．∴△P AB的面积最大值为AB×PH＝2+2，故答案为2+2．23．【解答】解：（1）OC＝3OB＝6，故点B、C的坐标分别为：（2，0）、（0，﹣6），则抛物线y＝ax2+3ax﹣6，将点B的坐标代入上式得：0＝4a+6a﹣6，解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣6；（2）y＝x2+x﹣6，令y＝0，则x＝﹣5或2，故点A（﹣5，0），将点A、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣6，过点P作y轴的平行线交AC于点H，设点P（x，x2+x﹣6），点H（x，﹣x﹣6），△P AC面积S＝PH×OA＝5×（﹣x﹣6）﹣（x2+x﹣6）＝﹣x2﹣x，∵0，故S有最大值，当x＝﹣时，S的最大值为：；（3）△P AC面积S＝﹣x2﹣x，当x＝﹣4时，S＝6，当x＝﹣3时，s＝9，当x＝﹣2时，S不为整数，当x＝﹣1时，s＝6，故“好点”的个数为3，故答案为3；（4）如图2左侧图，①当点G在y轴上时，∵∠GAO+∠P AO＝90°，∠P AO+∠APR＝90°，∴∠APR＝∠GAO，∠AOG＝∠PRA＝90°，AP＝AG，∴△AOG≌△PRA（AAS），∴OA＝PR＝5，故点P的纵坐标为：﹣5，则y＝x2+x﹣6＝﹣5，解得：x＝（不合题意的值已舍去），故点P（，﹣5）；②当点H在y轴上时，图2右侧图同理可得：点P（，）；综上，点P的坐标为：（，﹣5）或（，）．。