第三十七讲9-5 驻 波

第三十七讲：§9-5驻波
一、驻波的形成
1、驻波形成的条件：在同一直线上相向传播的两列同振幅、频率、波速的波的叠加，是一种波的干涉现象。

2、图示
3、特点：其波形不变，与行波不同；不是振动的传播，而是媒质中各质点都作稳定的振动。

二、驻波的波动方程
右行波：左行波：合成波：
)
(
2
cos
1λ
ν
π
x
t
A
y-
=
)
(
2
cos
2λ
ν
π
x
t
A
y+
=
()()t y x A
t
x
A
y
y
y=
=
+
=πν
λ
π
2
cos
2
cos
2
2
1
其中()x A x A
=λ
π
22为驻波的振幅，是x 函数；()t y t =πν2cos 为质点作简谐振动，是t 函数。

1、驻波振幅的分布特点——波腹与波节
①波腹公式：
推导：当12cos
=x λ
π
，()A x A 2=，振幅最大，为波腹。

12cos =x λ
π
⇒
πλπk x ±=2 ⇒ 2
λ
k x ±= ,2,1,0=k
②波节公式：
推导：当02cos
=x λ
π
，()0=x A ，振幅最小，为波节。

02cos =x λ
π
⇒
()2122πλπ
+±=k x ⇒ ()4
12λ
+±=k x ,2,1,0=k
③两个相邻波腹（波节）之间的间距 2
1λ
=-=∆+k k x x x
2、驻波相位的分布特点
①波节两侧点的振动相位相反，即相位差为π。

,,,k k
x 2102
=±=λ
()
,2,1,04
12=+±=k k x λ
②波节之间点的振动相位相同。

即相位差为π2。

③各质点的振幅一定，仅在平衡位置附近做往复运动，顾其波形不变。

3、驻波的能量
驻波振动中无位相传播，也无能量的传播。

一个波段内不断地进行动能与势能的相互转换，并不断地分别集中在波腹和波节附近而不向外传播。

①波节处主要集中于势能（越靠近波节就越大，∵dx dy E P ∝）。

②波腹处主要集中于动能（越靠近波腹就越大，∵22
1υm E k =）。

③其他各质点是动能和势能共存。

④驻波不传递能量，与行波不同。

驻波的能量在相邻的波腹和波节间往复变化，在相邻的波节间发生动能和势能间的转换，动能主要集中在波腹，势能主要集中在波节，但无长距离的能量传播.
三、半波损失
当波从波疏介质到波密介质组成的界面上反射时，其振动方向相
反，即相位差为πϕ=∆ ⇒ 2λ=∆r ，故称为半波损失。

r ∆=∆λ
π
ϕ2，相位
跃变π。

＊四、弦线振动的简正模式（两端固定弦振动的简正模式）
利用驻波特征来讨论弦乐的音调（基频、基音）、音色（谐频、泛音），基频与谐频统称为本征频率（简正频率）。

两端固定的弦振动的简正模式。

是通过弦线振动发声的，如二胡、京胡、扬琴、吉他、提琴等。

2
n k λ= ⇒ k n
2=λ
2u
k u n n ==λν ,3,2,1=k 其中：1=k 为基频； ,3,2=k 为谐频。

＊五、玻璃空气柱振动的简振模式
利用驻波特征来讨论管乐的音调（基频、基音）、音色（谐频、泛音），本征频率（简正频率）。

一端固定一端自由的弦振动的简正模式。

是通过管内空气柱振动发声的，如长笛、短笛、萨克管、小号、
圆号等。

()4
12n
k λ+= ⇒ ()124+=
k n λ
()
412u
k u n n +==λν ,3,2,1=k 其中：1=k 为基频； ,3,2=k 为谐频。

作业：P71 9-11；9-12 预习：§9.6 多普勒效应
第三十七讲：§9-5驻 波
9-11 解（1）因合成波方程为：21y y y +=
tm
x m t x t x t x t x m
t x t x ππππππππ4cos cos 12.02
)
4()4(cos
2
)
4()4(cos
06.02)]4(cos 06.0)4(cos 06.0[⨯=+--⨯++-⨯=++-=
故细绳上的振动为驻波式振动。

(2) 由0cos =x π得： 2
)12(π
π+=k x
故波节位置为： )2,1,0())(12(2
1
±±=+=
k m k x
由1|cos |=x π得： ππk x = 故波腹位置 )2,1,0()
( ±±==k m k x
(3) 由合成波方程可知，波腹处振幅为：m 12.0=A 在x=1.2m 处的振幅为：097.0|2.1cos 12.0|==m A x π 9-12 (1) )2410cos(2)40(10cos πππππ+-=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+-
=x t A x t A y 入 ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
-+--
=πππ2)4028(10cos x t A y 反 )2
3410cos(2)4028(10cos π
ππππ-+=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡---
=x t A x t A (2) 驻波方程
)2
3410cos()2
4
10cos(ππ
ππ
π
π-+
++
-
=+=x t A x t A y y y 反入 )4
c o s ()2
10cos(2x t A π
ππ
π-
-
=
t x A t x A ππ
ππ
π10sin 4
cos
210sin )4
cos(2-=-
=
(3) 波节24)12(22
1
24
4
cos +=+-⇒+=
=k k x k x x ππ
π
波腹k x k x x 44
1
4
cos
===ππ
π
∴波节：x=2,6,10,14 ；波腹：x=0,4,8,12。