第3章模糊模型识别
X={(A,B,C )| A+B+C =180, A≥B≥C}
标准模型库={E(正三角形),R(直角三角形), I(等腰三角形),I∩R(等腰直角三角形),T(任意三 角形)}.
某人在实验中观察到一染色体的几何形状， 测得其三个内角分别为94,50,36,即待识别对象 为x0=(94,50,36).问x0应隶属于哪一种三角形？
内积与外积的性质
(a ° b )c = a c⊙b c ; (a⊙b ) c = a c ° b c.
模糊向量集合族
设A1, A2, …, An是论域X上的n个模糊子集,称 以模糊集A1, A2, …, An为分量的模糊向量为模糊 向量集合族，记为A = (A1, A2, …, An).
若X 上的n个模糊子集A1, A2, …, An的隶属函 数分别为A1(x), A2(x) , …, An(x),则定义模糊向量 集合族 A = (A1, A2, …, An)的隶属函数为
判别规则往往通过的某个函数来表达, 我们 把它称为判别函数, 记作W(i; x).
一旦知道了判别函数并确定了判别规则，最 好将已知类别的对象代入检验，这一过程称为回 代检验，以便检验你的判别函数和判别规则是否 正确.
§3.2 最大隶属原则
模糊向量的内积与外积 定义 称向量a = (a1, a2, …, an)是模糊向量, 其
或者 R( A, B,
C
)
1
p
90 1,
1 p
,
其中 p = | A – 90| p 0,
则R(x0)=0.54. p 0.
正三角形的隶属函数E(A,B,C)应满足下列约 束条件：
(1) 当A = B = C = 60时, E(A,B,C )=1;
(2) 当A = 180, B = C = 0时, E(A,B,C)=0;
例1 在论域X=[0,100]分数上建立三个表示 学习成绩的模糊集A=“优”,B =“良”,C =“差”. 当一位同学的成绩为88分时,这个成绩是属于哪
一类？
0, 0 x 80,
A(
x)
x
80
10 1
,
80 x 90, 90 x 100.
A(88) =0.8
0, 0 x 70,
例2 论域 X = {x1(71), x2(74), x3(78)}表示三 个学生的成绩,那一位学生的成绩最差？
C(71) =0.9, C(74) =0.6, C(78) =0.2,
根据最大隶属原则Ⅱ， x1(71)最差.
例3 细胞染色体形状的模糊识别 细胞染色体形状的模糊识别就是几何图形的 模糊识别,而几何图形常常化为若干个三角图形, 故设论域为三角形全体.即
B(x)
x
70
10 1,
,
70 x 80, 80 x 85,
95
10 0,
x
,
85 x 95, 95 x 100;
B(88) =0.7
1, 0 x 70,
C(x)
80
10 0
x
,
70 x 80, 80 x 100.
A(88) =0.8, B(88) =0.7, C(88) =0. 根据最大隶属原则Ⅰ,88分这个成绩应隶属 于A,即为“优”.
先建立标准模型库中各种三角形的隶属函数.
直角三角形的隶属函数R(A,B,C)应满足下列 约束条件：
(1) 当A=90时, R(A,B,C)=1;
(2) 当A=180时, R(A,B,C)=0;
(3) 0≤R(A,B,C)≤1.
因此，不妨定义R(A,B,C ) = 1 - |A - 90|/90.
则R(x0)=0.955.
(1) 当A = B 或者 B = C时, I(A,B,C )=1;
(2) 当A = 180, B = 60, C = 0时, I(A,B,C ) = 0;
(3) 0≤E(A,B,C)≤1.
因此，不妨定义E(A,B,C ) = 1 – (A – C)/180.
则E(x0) =0.677.
或者
E( A, B,C 则E(x0)=0.02.
)
1Leabharlann p180 1,1 p
,
其中 p = A – C p 0,
p 0.
等腰三角形的隶属函数I(A,B,C)应满足下列约 束条件：
中0≤ai≤1. 若ai 只取0或1, 则称a = (a1, a2, …, an)是 Boole向量.
设 a = (a1, a2, …, an), b = (b1, b2, …, bn)都是模 糊向量，则定义
内积： a ° b = ∨{(ak∧bk) | 1≤k≤n}； 外积：a⊙b = ∧{(ak∨bk) | 1≤k≤n}.
A(x) = ∧{A1 (x1), A2 (x2) , … , An(xn)}
或者
A(x) = [A1 (x1) + A2 (x2) + … + An(xn)]/n.
其中x = (x1, x2, …, xn)为普通向量.
最大隶属原则
最大隶属原则Ⅰ 设论域X ={x1, x2, … , xn } 上有m个模糊子集A1, A2, … , Am(即m个模型),构 成了一个标准模型库,若对任一x0∈X,有k∈{1, 2, … , m },使得
Ak(x0)=∨{A1(x0), A2(x0), … , Am(x0)}， 则认为x0相对隶属于Ak .
最大隶属原则Ⅱ 设论域X上有一个标准模 型A,待识别的对象有n个：x1, x2, … , xn∈X, 如果 有某个xk满足
A(xk)=∨{A(x1), A(x2), … , A(xn)}, 则应优先录取xk .
模糊模型识别
所谓模糊模型识别,是指在模型识别中,模型 是模糊的.也就是说,标准模型库中提供的模型是 模糊的.
模型识别的原理
为了能识别待判断的对象x = (x1, x2,…, xn)T是 属于已知类A1, A2,…, Am中的哪一类？
事先必须要有一个一般规则, 一旦知道了x的 值, 便能根据这个规则立即作出判断, 称这样的一 个规则为判别规则.
第3 章 模糊模型识别
§3.1模糊模型识别
模型识别
已知某类事物的若干标准模型，现有这类事 物中的一个具体对象，问把它归到哪一模型，这 就是模型识别.
模型识别在实际问题中是普遍存在的.例如， 学生到野外采集到一个植物标本，要识别它属于 哪一纲哪一目；投递员(或分拣机)在分拣信件时 要识别邮政编码等等，这些都是模型识别.
标准模型库={E(正三角形),R(直角三角形), I(等腰三角形),I∩R(等腰直角三角形),T(任意三 角形)}.
某人在实验中观察到一染色体的几何形状， 测得其三个内角分别为94,50,36,即待识别对象 为x0=(94,50,36).问x0应隶属于哪一种三角形？
内积与外积的性质
(a ° b )c = a c⊙b c ; (a⊙b ) c = a c ° b c.
模糊向量集合族
设A1, A2, …, An是论域X上的n个模糊子集,称 以模糊集A1, A2, …, An为分量的模糊向量为模糊 向量集合族，记为A = (A1, A2, …, An).
若X 上的n个模糊子集A1, A2, …, An的隶属函 数分别为A1(x), A2(x) , …, An(x),则定义模糊向量 集合族 A = (A1, A2, …, An)的隶属函数为
判别规则往往通过的某个函数来表达, 我们 把它称为判别函数, 记作W(i; x).
一旦知道了判别函数并确定了判别规则，最 好将已知类别的对象代入检验，这一过程称为回 代检验，以便检验你的判别函数和判别规则是否 正确.
§3.2 最大隶属原则
模糊向量的内积与外积 定义 称向量a = (a1, a2, …, an)是模糊向量, 其
或者 R( A, B,
C
)
1
p
90 1,
1 p
,
其中 p = | A – 90| p 0,
则R(x0)=0.54. p 0.
正三角形的隶属函数E(A,B,C)应满足下列约 束条件：
(1) 当A = B = C = 60时, E(A,B,C )=1;
(2) 当A = 180, B = C = 0时, E(A,B,C)=0;
例1 在论域X=[0,100]分数上建立三个表示 学习成绩的模糊集A=“优”,B =“良”,C =“差”. 当一位同学的成绩为88分时,这个成绩是属于哪
一类？
0, 0 x 80,
A(
x)
x
80
10 1
,
80 x 90, 90 x 100.
A(88) =0.8
0, 0 x 70,
例2 论域 X = {x1(71), x2(74), x3(78)}表示三 个学生的成绩,那一位学生的成绩最差？
C(71) =0.9, C(74) =0.6, C(78) =0.2,
根据最大隶属原则Ⅱ， x1(71)最差.
例3 细胞染色体形状的模糊识别 细胞染色体形状的模糊识别就是几何图形的 模糊识别,而几何图形常常化为若干个三角图形, 故设论域为三角形全体.即
B(x)
x
70
10 1,
,
70 x 80, 80 x 85,
95
10 0,
x
,
85 x 95, 95 x 100;
B(88) =0.7
1, 0 x 70,
C(x)
80
10 0
x
,
70 x 80, 80 x 100.
A(88) =0.8, B(88) =0.7, C(88) =0. 根据最大隶属原则Ⅰ,88分这个成绩应隶属 于A,即为“优”.
先建立标准模型库中各种三角形的隶属函数.
直角三角形的隶属函数R(A,B,C)应满足下列 约束条件：
(1) 当A=90时, R(A,B,C)=1;
(2) 当A=180时, R(A,B,C)=0;
(3) 0≤R(A,B,C)≤1.
因此，不妨定义R(A,B,C ) = 1 - |A - 90|/90.
则R(x0)=0.955.
(1) 当A = B 或者 B = C时, I(A,B,C )=1;
(2) 当A = 180, B = 60, C = 0时, I(A,B,C ) = 0;
(3) 0≤E(A,B,C)≤1.
因此，不妨定义E(A,B,C ) = 1 – (A – C)/180.
则E(x0) =0.677.
或者
E( A, B,C 则E(x0)=0.02.
)
1Leabharlann p180 1,1 p
,
其中 p = A – C p 0,
p 0.
等腰三角形的隶属函数I(A,B,C)应满足下列约 束条件：
中0≤ai≤1. 若ai 只取0或1, 则称a = (a1, a2, …, an)是 Boole向量.
设 a = (a1, a2, …, an), b = (b1, b2, …, bn)都是模 糊向量，则定义
内积： a ° b = ∨{(ak∧bk) | 1≤k≤n}； 外积：a⊙b = ∧{(ak∨bk) | 1≤k≤n}.
A(x) = ∧{A1 (x1), A2 (x2) , … , An(xn)}
或者
A(x) = [A1 (x1) + A2 (x2) + … + An(xn)]/n.
其中x = (x1, x2, …, xn)为普通向量.
最大隶属原则
最大隶属原则Ⅰ 设论域X ={x1, x2, … , xn } 上有m个模糊子集A1, A2, … , Am(即m个模型),构 成了一个标准模型库,若对任一x0∈X,有k∈{1, 2, … , m },使得
Ak(x0)=∨{A1(x0), A2(x0), … , Am(x0)}， 则认为x0相对隶属于Ak .
最大隶属原则Ⅱ 设论域X上有一个标准模 型A,待识别的对象有n个：x1, x2, … , xn∈X, 如果 有某个xk满足
A(xk)=∨{A(x1), A(x2), … , A(xn)}, 则应优先录取xk .
模糊模型识别
所谓模糊模型识别,是指在模型识别中,模型 是模糊的.也就是说,标准模型库中提供的模型是 模糊的.
模型识别的原理
为了能识别待判断的对象x = (x1, x2,…, xn)T是 属于已知类A1, A2,…, Am中的哪一类？
事先必须要有一个一般规则, 一旦知道了x的 值, 便能根据这个规则立即作出判断, 称这样的一 个规则为判别规则.
第3 章 模糊模型识别
§3.1模糊模型识别
模型识别
已知某类事物的若干标准模型，现有这类事 物中的一个具体对象，问把它归到哪一模型，这 就是模型识别.
模型识别在实际问题中是普遍存在的.例如， 学生到野外采集到一个植物标本，要识别它属于 哪一纲哪一目；投递员(或分拣机)在分拣信件时 要识别邮政编码等等，这些都是模型识别.
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模糊识别模型在高职院校专业发展阶段上的应用研究
特征 的函数 ，它可 以反映 各个 指标 的不 同状态 ，可 以将这 些 的不 同状态 综合 ， 成 用特 定 函数 所表 达 的不 同产 品生命 周 形 期阶段的模糊集合 。②求出这些不同阶段的隶属度－ ． 素属于
减少盲 目性和随意性。但同时我们也应该看到高职院校除了 在增设新专业上要有理论和科学的依据外 ， 对于高职院校已
维普资讯
湖南农机
模糊识别模型在高职院校专业 发展阶段上的应用研究
徐 果 杨 斌
（ 四川大学公共管理学 院 四川 成都 ６０ ６ ） １０ ４ 摘 要： 本文试 图通过确 定高职 院校专业发展 阶段识 别的指标体 系， 立相应的模糊识别模 建
Ａ ａ ｓ ｎｆｚｙ ｅｏ ｎｔ ｎｍｏ ｅ Ｓ ｓ ｇ ｎｍａｏ ｅ ｅ ｐ ｎ ｅ ｉｌ ｅ ｏｌ ｅ ｎ ｌ ｉ ｏ ｚ ｃｇ ｉ ｏ ｄ ｌ ｉ ｊｒ ｖ ｌ ｍｅ ｔ ｆ ｐ ｃ ｉ ｄｃｌ ｇ ｙｓ ｕ ｒ ｉ ’ｕ ｎ ｉ ｄ ｏ ｏｓ ａ ｚ ｅ
ＸｕＧｕ Ｙ ｎ ｏ ａ ｇＢｉ ｎ
型， 客观地认识和 区分高职院校 已有专业 所处的发展 阶段， 准确地掌握 高职院校专业的发展 现状与未来变动趋势， 并为增设新 专业、 调整和修改老专业提供 一个 系统化 、 可操作性强的 分析管理工具， 减少专业设置和发展 中的盲 目性和随意性。 关键词 ： 模糊识别模型 高职 院校 发展 阶段 中圈分类号 ： ７ ２ Ｇ １ 文献标 识码 ： Ａ 文章编号 ：０ ７８ ２ （０ ８Ｏ 一０ ４０ １０ —３ ０２ ０ ）ｌ ７ —３ ０
近年来随着我国产业结构的优化升级和市场经济体制的 进一步深入发展 ， 使人才的供求更加的市场化、 多元化 ， 以市
１模糊 识别模 型及 应用简 介
减少盲 目性和随意性。但同时我们也应该看到高职院校除了 在增设新专业上要有理论和科学的依据外 ， 对于高职院校已
维普资讯
湖南农机
模糊识别模型在高职院校专业 发展阶段上的应用研究
徐 果 杨 斌
（ 四川大学公共管理学 院 四川 成都 ６０ ６ ） １０ ４ 摘 要： 本文试 图通过确 定高职 院校专业发展 阶段识 别的指标体 系， 立相应的模糊识别模 建
Ａ ａ ｓ ｎｆｚｙ ｅｏ ｎｔ ｎｍｏ ｅ Ｓ ｓ ｇ ｎｍａｏ ｅ ｅ ｐ ｎ ｅ ｉｌ ｅ ｏｌ ｅ ｎ ｌ ｉ ｏ ｚ ｃｇ ｉ ｏ ｄ ｌ ｉ ｊｒ ｖ ｌ ｍｅ ｔ ｆ ｐ ｃ ｉ ｄｃｌ ｇ ｙｓ ｕ ｒ ｉ ’ｕ ｎ ｉ ｄ ｏ ｏｓ ａ ｚ ｅ
ＸｕＧｕ Ｙ ｎ ｏ ａ ｇＢｉ ｎ
型， 客观地认识和 区分高职院校 已有专业 所处的发展 阶段， 准确地掌握 高职院校专业的发展 现状与未来变动趋势， 并为增设新 专业、 调整和修改老专业提供 一个 系统化 、 可操作性强的 分析管理工具， 减少专业设置和发展 中的盲 目性和随意性。 关键词 ： 模糊识别模型 高职 院校 发展 阶段 中圈分类号 ： ７ ２ Ｇ １ 文献标 识码 ： Ａ 文章编号 ：０ ７８ ２ （０ ８Ｏ 一０ ４０ １０ —３ ０２ ０ ）ｌ ７ —３ ０
近年来随着我国产业结构的优化升级和市场经济体制的 进一步深入发展 ， 使人才的供求更加的市场化、 多元化 ， 以市
１模糊 识别模 型及 应用简 介
模糊数学在经济与管理中的应用
模糊数学在经济与管理中的应用作者：杜春雪来源：《中外企业家》 2014年第6期杜春雪（佳木斯大学理学院，黑龙江佳木斯 154007）摘要：良好的经济发展模式与较高的管理水平才能不断的带动经济的高速发展，因此如何提高经济与管理水平是非常关键的。
而经济效益的评价对于经济增长有着基础性作用，因此利用模糊数学对于经济效益进行评价，从而提升经济管理水平是非常有意义的，文章讲针对模糊数学在经济与管理中的应用，特别是在经济效益评价上的应用进行探讨。
关键词：模糊数学；经济；管理中图分类号：F931 文献标志码：A 文章编号：1000-8772（2014）16-0209-021. 前言作为一门人文科学，数学在经济发展中的应用越来越深，数学工具在经济与管理中的介入越来越广泛，在整个经济学领域中数学知识的身影充斥着经济发展的历史。
在经济发展与管理的方方面面都可以看到数学所起的作用于变化。
一般讲经济发展与管理作为社会学发展进行研究，数学的应用对于其发展有着至关重要的意义。
模糊数学对于经济发展与管理可以起到非常重要的作用，对于经济发展效益进行质与量的综合评价，一般来说经济与管理会受到许许多多的因素的干扰，因此其发展水平与管理效益通过模糊数学来加以应用和分析，是一种非常好的反馈与监督手段。
2.模糊数学概述2.1定义模糊数学是上世纪六十年代中期基于模糊逻辑、模糊集合等方面内容发展起来的一种数学领域的统称，其研究对象主要是许多界限不清、问题模糊的领域。
基于纯数学的角度进行定义，数学的分支由于许多概念的扩充而增添更多的内容，包括模糊代数学、模糊分析学、模糊范畴等等，这些领域都得到了深入的研究。
一般来说模糊数学在实践应用中取得了较大的成就，特别是其对于模糊集的描述方式，通过判断、评价、推理、决策以及控制等方面的应用，充分体现模糊性数学的工具性优势。
模糊性数学作为一种系统理论，逐渐形成其思辨的雏形，对于各个领域都有着突出的贡献。
特别是计算机智能、经济与管理等领域，取得了巨大的经济效益。
智能控制基础-第3章 模糊建模和模糊辨识
13
智能控制 基础
3.2 模糊系统的通用近似特性
n
其中
p j ( x ) i1 Aij ( xi ) M
n
3-7
(
j 1
i 1
Aij ( xi
))
称为模糊基函数（Fuzzy Basis Function，FBF）,而式（3-6） 称为模糊系统的模糊基函数展开式。模糊基函数具有下列特点：
(1) 每条规则对应一个基函数； (2) 基函数是输入向量x的函数。一旦输入变量的模糊集合个数 及隶属函数确定，模糊基函数也就确定了；
i
3-10
( ( x ) ( x )) j 11 j2 1 i1
A1ji1
i
A2j2i
i
Chapter 5 Perspectives on Fuzzy Control
17
智能控制 基础
3.2 模糊系统的通用近似特性
k1 k2
n
f1( x )
f2( x )
(
z zj1 j2 12
)(
既然每条规则都推导出了一个精确输出，Tsukamoto 模糊模型通过加权平均的方法把每条规则的输出集成起来 ，这样就避免了耗时的解模糊过程。
Chapter 5 Perspectives on Fuzzy Control
7
智能控制 基础
3.1
模糊模型的类型与分割形式
最小或相乘
A1
B1
C1
A2
w1
X
j1 1 j2 1
k1 k2
n
i 1
( x ) ( x )) A1ji1
i
A2ji2
i
3-11
( ( x ) ( x )) j 11 j2 1 i1
6法及其应用PT(第四章：模糊模式识别)
表中数据形式为：均值±标准差＝ x j 2s j
j (1, 2,3, 4)
()
4个主要指标相应的隶属函数为：
0, Aij ( x j ) xj xj 2 ) , 1 ( 2s j x j x j >2s j x j x j 2s j
（i=1,2,3,4,5; j=1,2,3,4）
5类标准体质的4个主要指标的数据如下表所示
类型 指标 身高cm 体重kg 胸围cm 肺活量cm3 差 158.4±3.0 47.9±8.4 84.2±2.4 3380±184 中下 163.4±4.8 50.0±8.0 89.0±6.2 3866±800 中 166.9±3.6 55.3±9.4 88.3±7.0 4128±526 良 172.6±4.6 57.7±8.2 89.2±6.4 4399±402 优 178.4±4.2 61.9±8.6 90.9±8.0 4536±756
第四章 模糊模式识别
问题：已知某类事物的若干标准F 集，现有该类事物中的一个具体对
象，问把它归到哪一类？
例1 苹果分级问题.
按照苹果的大小，色泽，有无损伤将苹果分
为4级，分级是模糊的.标准模型库＝{Ⅰ级，Ⅱ 级，Ⅲ级，Ⅳ级}. 现有一个苹果，它属于哪一 级？ ――元素对问他应属于哪一类？ 解：计算45岁分别属于各模糊集的隶属度.
A1 (45) 0, A2 (45) 0.875, A3 (45) 0
max{ A1 (45), A2 (45), A3 (45)} max{0,0.875,0} A2 (45)
⑤其它三角形模糊集T，因
T ( I R E) I R E
j (1, 2,3, 4)
()
4个主要指标相应的隶属函数为：
0, Aij ( x j ) xj xj 2 ) , 1 ( 2s j x j x j >2s j x j x j 2s j
（i=1,2,3,4,5; j=1,2,3,4）
5类标准体质的4个主要指标的数据如下表所示
类型 指标 身高cm 体重kg 胸围cm 肺活量cm3 差 158.4±3.0 47.9±8.4 84.2±2.4 3380±184 中下 163.4±4.8 50.0±8.0 89.0±6.2 3866±800 中 166.9±3.6 55.3±9.4 88.3±7.0 4128±526 良 172.6±4.6 57.7±8.2 89.2±6.4 4399±402 优 178.4±4.2 61.9±8.6 90.9±8.0 4536±756
第四章 模糊模式识别
问题：已知某类事物的若干标准F 集，现有该类事物中的一个具体对
象，问把它归到哪一类？
例1 苹果分级问题.
按照苹果的大小，色泽，有无损伤将苹果分
为4级，分级是模糊的.标准模型库＝{Ⅰ级，Ⅱ 级，Ⅲ级，Ⅳ级}. 现有一个苹果，它属于哪一 级？ ――元素对问他应属于哪一类？ 解：计算45岁分别属于各模糊集的隶属度.
A1 (45) 0, A2 (45) 0.875, A3 (45) 0
max{ A1 (45), A2 (45), A3 (45)} max{0,0.875,0} A2 (45)
⑤其它三角形模糊集T，因
T ( I R E) I R E
第3章 模糊控制
期望值
＋ － y
e
ec
ke d/dt kec
E
EC
ห้องสมุดไป่ตู้
模糊
控制器
U
u
ku
图中ke、kec为量化因子，ku为比例因子
量化： 将一个论域离散成确定数目的几小段(量化 级)。每一段用某一个特定术语作为标记，这 样就形成一个离散域。
假设在实际中，误差的连续取值范围是 e=[eL,eH]，eL表示低限值，eH表示高限值。 将离散语言变量E的论域定义为{-m,„,-1, 0,1, „,m}。则有量化因子： 2m ke eH eL 量化因子实际上类似于增益的概念，在这 个意义上称量化因子为量化增益更为合适。
i Ri : IF x1 IS A1i AND x2 IS A2 AND xp IS Aip
i i THEN vi a0 a1 x aip x p i 1 , , N
(3 1)
vi 是模糊语言值; xi是一个输入变量；是输 i 出变量；系数集{a j }是待辨识的参数。模型的辨 i i ( N , p ) { A , a 识分两步。即结构参数 的辨识和系数 j j } 的确定。
1、最大隶属度函数法 简单地取所有规则推理结果的模糊集合中隶属 度最大的那个元素作为输出值。即： 当论域 V 中，其最大隶属度函数对应的输出 值多于一个时，简单取最大隶属度输出的平均即 可： U 0 max v (v) v V 为具有相同最大隶属度输出的总数。 此方法计算简单，但丢失信息，控制性能不高。
式中，<>代表取整运算。 模糊控制器的输出U可以通过下式转换为 实际的输出值u：
uH uL u ku U 2
问题的提出 变量量化会导致一定的量化误差。 解决方法 在量化级之间，加入插值运算。对于任意一 个连续的测量值可以通过相邻两个离散值的加 权运算得到模糊度的值。
第3章 模糊控制理论的基础讲解
（3）模糊控制易于被人们接受。模糊控 制的核心是控制规则，模糊规则是用语言 来表示的，如“今天气温高，则今天天气 暖和”，易于被一般人所接受。 （4）构造容易。模糊控制规则易于软件 实现。 （5）鲁棒性和适应性好。通过专家经验 设计的模糊规则可以对复杂的对象进行有 效的控制。
第二节 模糊集合
一、模糊集合 模糊集合是模糊控制的数学基础。
c (x) Min A (x), B (x)
② 代数积算子
c (x) A (x) B (x)
③ 有界积算子
c (x) Max0, A (x) B (x) 1
（2）并运算算子 设C=A∪B，有三种模糊算子： ① 模糊并算子
c (x) Max A (x), B (x)
c (x) A (x) B ( x) 1 1 (1 A (x)) (1 B (x))
γ取值为[0，1]。
当γ=0时， c (x) A (x) ，B相(x当) 于A∩B
时的算子。
当γ=1时，c (x) A(x) B (x) A(，x)相.B (x)
（3）等集
两个模糊集A和B，若对所有元素u，
它们的隶属函数相等，则A和B也相等。
即
A B A (u) B (u)
（4）补集 若 A 为A的补集，则
A A (u) 1 A (u)
例如，设A为“成绩好”的模糊集， 某学生 u0 属于“成绩好”的隶属度为：
A (u0 ) 0.8 则u0 属于“成绩差”的隶属度
第三章 模糊控制的理论基础
第一节 概 述 一、 模糊控制的提出
以往的各种传统控制方法均是建立在 被控对象精确数学模型基础上的，然而， 随着系统复杂程度的提高，将难以建立 系统的精确数学模型。
第三章 模糊模式识别
例1. 苹果的分级问题 设论域 U = {若干苹果}。苹果被摘下来后要分 级。一般按照苹果的大小、色泽、有无损伤等特征来 分级。于是可以将苹果分级的标准模型库规定为 = {Ⅰ级，Ⅱ级，Ⅲ级，Ⅳ级}，显然，模型Ⅰ级，Ⅱ 级，Ⅲ级，Ⅳ级是模糊的。当果农拿到一个苹果 x0 后，到底应将它放到哪个等级的筐里，这就是一个元 素（点）对标准模糊集的识别问题。
阈值原则：
•有时我们要识别的问题，并非是已知若干模 糊集, 确定论域中的一个元素最大隶属于哪个 模糊集 •而是在某个阈值水平的限制下该元素隶属于 哪些模糊集，或在某个阈值下，该元素是否相 对属于某模糊集 •这就是阈值原则，该原则的数学描述如下：
等腰直角三角形的隶属函数 (I∩R)(A,B,C) = I(A,B,C)∧R (A,B,C); (I∩R) (x0)=0.766∧0.955=0.766. 任意三角形的隶属函数 T(A,B,C) = Ic∩Rc∩Ec= (I∪R∪E)c. T(x0) =(0.766∨0.955∨0.677)c = (0.955)c = 0.045. 通过以上计算,R(x0) = 0.955最大,所以x0应隶属于直角 三角形.
最大隶属原则Ⅰ：
设 A1 , A2 ,L, Am 为给定的论域 U 上的 m 个模糊模型，
x0 ∈ U 为一个待识别对象，若 Ai ( x0 ) = max{ A1 ( x0 ), A2 ( x0 ),L, Am ( x0 )}，
则认为 x0 相对隶属于模糊模型 Ai 。
最大隶属原则Ⅱ：
设 A 为给定论域 U 上的一个模糊模型，x1 , x2 ,L, xn 为 U 中的 n 个待识别对象，若
C n
证： 1. (a o b) = 1 − a o b = 1 − ∨ (ai ∧ bi ) = ∧[1 − (ai ∧ bi )]
模糊控制-5模糊模型识别
§3.3 择近原则(间接方法)
设在论域X ={x1, x2, … , xn}上有m个模糊子集A1, A2, … , Am(即 m个模型),构成了一个标准模型库. 被识别的对象B也是X上一个模糊集,它与标准模型库中那一个 模型最贴近？这是第二类模糊识别问题.
先将模糊向量的内积与外积的概念扩充.
设A(x), B(x)是论域X上两个模糊子集的隶属函数,定义 内积： A ° B = ∨{A(x) ∧B(x) | x∈X }；
第三章
模糊模型识别
1
模糊模式识别
§3.1模糊模型识别
模型识别
已知某类事物的若干标准模型，现有这类事物中的一个具体 对象，问把它归到哪一模型，这就是模型识别。 模型识别在实际问题中是普遍存在的。例如，学生到野外采 集到一个植物标本，要识别它属于哪一纲哪一目；投递员(或分 拣机)在分拣信件时要识别邮政编码等等，这些都是模型识别。
模糊模型识别
所谓模糊模型识别,是指在模型识别中,模型是模糊的。也就 是说,标准模型库中提供的模型是模糊的.
• 模糊模式识别问题的分类
• 一种是模式库(所有已知模式的全体)是模糊的，而待识别 对象是分明的模式识别问题；另一种模式库和待识别对象 都是模糊的模式识别问题。 • 解决前一种模糊模式识别问题的方法称为模糊模式识别的 直接方法；而解决后者的方法称为模糊模式识别的间接方 法。
三角形 E和非典型三角形T 四个标准类型，取论域X为：
X={(A,B,C )| A+B+C =180, A≥B≥C} 已知：
• 现给定三角形x1=(A,B,C)=(85,50,45)，则x1对以上四个标准 类型的隶属度分别为：
• 由最大隶属度原则，x1相对属于直角三角形。 • 取d=0.9，由于 I ( x1 ) 0.916 0.9, R( x1 ) 0.94 0.9 • 按阈值原则，x1相对地属于 I R ，即x1=(85,50,45)可识别 为等腰直角三角形。
基于生产实际的大孔道模糊识别模型及评价体系研究
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ｉ ｔ ’ Ｓ ｅ ｃ ｏ ｎ ｏ ｍｉ ｃ ａ ｌ ａ ｎ ｄ ｓ ｉ ｍｐ ｌ ｅ ｔ ｏ ｕ ｓ ｅ Ｆ ｕ ｚ ｚ Ｃｏ ｍｐ ｒ ｅ ｈ ｅ ｎ ｓ ｉ ｖ ｅ Ｅｖ ａ ｌ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｔ ｏ ｒ ｅ ｃ ｏ ｇ ｎ ｉ ｚ ｅ ｂ ｉ ｇ ｃ ｈ ａ ｎ ｎ ｅ ｌ ｓ ， ｂ ｕ ｔ ｔ ｈ ｅ ｓ ｅ ｌ ｅ ｃ ｔ ｅ ｄ ｉ ｎ ｄ ｅ ｘ ａ ｎ ｄ ｅ ｓ ｔ ａ ｂ ｌ ｉ ｓ ｈ ｅ ｄ ｅ ｖ ａ ｌ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ｗｉ ｌ ｌ ｄ ｉ ｒ ｅ ｃ ｔ ｌ ｙ ａ ｆ ｆ ｅ ｃ ｔ ｔ ｈ ｅ ａ ｃ ｃ ｕ ｒ ａ ｃ ｙ ｏ ｆ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｓ ． Ａｃ ｃ ｏ ｒ ｄ ｉ ｎ ｇ ｔ ｏ ｔ ｈ ｅ ａ ｃ ｔ ｕ ａ ｌ ｒ ｅ ｓ ｅ ｒ ｖ ｏ ｉ ｒ ｃ ｈ ａ ｒ ａ ｃ ｔ ｅ ｒ ｉ ｓ ｔ ｉ ｃ ｓ ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ｄ ａ ｔ ａ ａ ｖ ａ ｉ ｌ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ， ９ ｓ ｔ ａ ｔ ｉ ｃ ｉ ｎ ｄ ｅ ｘ ｅ ｓ ｔ ｈ ａ ｔ ａ ｆ ｆ ｅ ｃ ｔ ｔ ｈ ｅ ｆ ｏ ｒ ｍ ｏ ｆ ｂ ｉ ｇ ｃ ｈ ａ ｎ ｎ ｅ ｌ ｓ ａ ｎ ｄ ９ ｄ ｙ ｎ ａ ｍｉ ｃ ｉ ｎ ｄ ｅ ｘ ｅ ｓ ｔ ｈ ａ ｔ ｒ ｅ ｐ ｒ ｅ ｓ ｅ ｎ ｔ ｔ ｈ ｅ ｆ ｏ ｒ ｍ ｏ ｆ ｂ ｉ ｇ ｃ ｈ ａ ｎ ｎ ｅ ｌ ｓ ａ ｒ ｅ ｓ ｅ ｌ ｅ ｃ ｔ ｅ ｄ ａ ｓ ｉ ｎ ｄ ｅ ｘ ｅ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｉ ｓ ｆ ｕ ｚ ｚ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ｉ ｎ ｔ ｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ． Ａｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ｎ ｓ ｅ ｌ ｅ ｃ ｔ ｅ ｄ ｉ ｎ ｄ ｅ ｘ ｅ ｓ ｌ ｉ ｍｉ ｔ ｓ ａ ｒ ｅ ｄ ｅ ｔ ｅ ｒ ｍｉ ｎ ｅ ｄ ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ ａ ｃ ｕａ ｔ ｌ ｒ ｅ ｓ ｅ ｒ ｖ ｏ ｉ ｒ ｄ ａ ｔ ａ ． Ｗｉ ｔ ｈ ｔ ｈ ｅ ｓ ｅ ｌ ｅ ｃ ｔ ｅ ｄ ｉ ｎ ｄ ｅ ｘ ｅ ｓ ａ ｎ ｄ ｌ ｉ ｍｉ ｔ ｓ ， ｆ ｕ ｚ ｚ ｐ ａ ｔ ｔ ｅ ｒ ｎ ｒ ｅ ｃ ｏ ｇ ｎ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ａ ｎ ｄ ｅ ｖ ａ ｌ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ ａ ｃ ｔ ｕ ａ ｌ ｐ ｒ ｏ ｄ ｕ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｉ ｔ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｒ ｅ ｅ ｓ ｔ ａ ｂ ｌ ｉ ｓ ｈ ｅ ｄ ． Ｂｙ ｃ ｏ ｍｐ ａ ｒ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｓ ｏ ｆ ｕｚ ｆ ｚ ｒ ｅ ｃ ｏ ｇ ｎ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ａ ｎ ｄ ｔ ｒ ａ ｃ ｅ ｒ ｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ｐ ｒ ｅ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ， ｉ ｔ ｉ ｆ ｇ ｕ ｒ ｅ ｓ ｏ ｕ ｔ ｔ ｈ ａ ｔ ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｉ ｎ ｃ ｉ ｄ ｅ ｎ ｃ ｅ ｒ ａ ｔ ｅ ｉ ｓ ｕ ｐ ｔ ｏ ８ ０ ％， ａ ｎ ｄ ｗｈ ｉ ｃ ｈ ｍｅ ａ ｎ ｔ ｈ ｅ ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ａ ｎ ｄ ｒ ｅ ｌ ｉ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｅ ｓ ｔ ａ ｂ ｌ ｉ ｓ ｈ ｅ ｄ ｉ ｎ ｔ ｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ｉ ｓ ｖ ｅ ｒ ｙ ｗｅ ｌ １ ．
模糊数学教学大纲
《模糊数学》教学大纲院系名称数学与应用数学系制定人董媛媛制定时间 2008年7月6日《模糊数学》教学大纲一、总则1、课程代码：2、课程名称：中文名称：模糊数学英文名称：Fuzzy Mathematics3、开课对象：数学与应用数学专业的本科生4、课程性质：专业任选课模糊数学诞生于1965年，40余年来，它的思想已广泛渗透到数学的许多分支，在科技、工程等领域显示出了强大的生命力，并在人文科学（经济、管理、社会等）领域里，也已获得了相当多的应用。
本课程是数学系专业选修课，为数学系本科数学与应用数学专业四年级学生所选修。
5、教学目的和要求：通过本门课程的学习：（1）了解和掌握模糊集合，模糊关系，模糊矩阵，模糊聚类与模糊变换等基本概念和基本理论；掌握模糊聚类分析，模糊模型识别，模糊决策的实际应用所运用的模糊数学方法；初步了解模糊规划及模糊控制理论，并运用上述有关理论和方法进行进一步的科学研究与实际应用；（2）掌握模糊数学有关方面的理论知识和处理模糊现象的基本思维方法；（3）培养学生的抽象概括问题、自我学习接受知识的能力及科学研究能力；同时培养学生综合运用所学知识分析并通过相关数学模型的建立与运用进而解决生活中实际问题的能力。
（4）提高学生的素质，为部分考研学生的后继学习以及将来从事科学研究等工作奠定必要的数学基础。
6、教学内容：本课程主要研究了利用用模糊数学的知识来解决实际问题的理论及其方法。
主要内容有：模糊集合的基本概念、模糊聚类分析、模糊模型识别、模糊决策、模糊线性规划、模糊控制。
7、教学重点与难点：重点：通过本课程的学习，掌握模糊数学的基本思想，基础理论，从而进一步了解模糊理论的基本应用，能够运用模糊理论解决生活中的实际问题。
难点：模糊数学的基本理论及如何正确运用这些理论知识来解决实际问题。
8、先修课程：数学分析、高等代数、概率论与数理统计、运筹学。
9、教学时数教学时数：36学时学分数： 2学分教学时数具体分配：10、教学方式：课堂讲授+习题课，课外作业及批改。