高中数学第2讲参数方程二圆锥曲线的参数方程练习新人教A版选修4_6.doc

二 圆锥曲线的参数方程
一、基础达标 1.参数方程⎩⎪⎨
⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ
(θ为参数)化为普通方程为( )
A.x 2
＋y 24＝1 B.x 2
＋y 22＝1
C.y 2
＋x 2
4
＝1
D.y 2
＋x 2
4
＝1
解析 易知cos θ＝x ，sin θ＝y
2，∴x 2
＋y 2
4＝1，故选A.
答案 A
2.方程⎩
⎪⎨⎪⎧x cos θ＝a ，
y ＝b cos θ(θ为参数，ab ≠0)表示的曲线是( )
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.双曲线的一部分
解析 由x cos θ＝a ，∴cos θ＝a
x
，代入y ＝b cos θ，得xy ＝ab ，又由
y ＝b cos θ知，y ∈[－|b |，|b |]，∴曲线应为双曲线的一部分.
答案 D
3.若点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2
，
y ＝4t (t 为参数)上，则|PF |等于( )
A.2
B.3
C.4
D.5
解析 抛物线为y 2
＝4x ，准线为x ＝－1，|PF |为P (3，m )到准线x ＝－1的距离，即为4. 答案 C
4.当θ取一切实数时，连接A (4sin θ，6cos θ)和B (－4cos θ，6sin θ)两点的线段的中点的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.直线
D.线段
解析 设中点M (x ，y )，由中点坐标公式，得x ＝2sin θ－2cos θ，y ＝3cos θ＋3sin θ，即x 2＝sin θ－cos θ，y 3＝sin θ＋cos θ，两式平方相加，得x 24＋y 2
9＝2，是椭圆. 答案 B
5.实数x ，y 满足3x 2
＋4y 2
＝12，则2x ＋3y 的最大值是________.
解析 因为实数x ，y 满足3x 2
＋4y 2
＝12，所以设x ＝2cos α，y ＝3sin α，则2x ＋3
y ＝4cos α＋3sin α＝5sin(α＋φ)，其中sin φ＝45，cos φ＝35
.当sin(α＋φ)＝1
时，2x ＋3y 有最大值为5. 答案 5
6.抛物线y ＝x 2
－2x t
的顶点轨迹的普通方程为________.
解析 抛物线方程可化为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1t 2
－1t 2，∴其顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1
t ，－1t 2，记M (x ，y )为所求轨迹
上任意一点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1
t
，y ＝－1
t 2
，
消去t 得y ＝－x 2
(x ≠0).
答案 y ＝－x 2
(x ≠0)
7.如图所示，连接原点O 和抛物线y ＝12x 2
上的动点M ，延长OM 到点P ，
使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明是什么曲线？ 解 抛物线标准方程为x 2
＝2y ，其参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，
y ＝2t 2.得M (2t ，
2t 2
).
设P (x ，y )，则M 是OP 中点.
∴⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝x ＋0
2，2t 2
＝y ＋02
，∴⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝4t y ＝4t 2
(t 为参数)，消去t 得y ＝14x 2
，是以y 轴为对称轴，焦点为(0，
1)的抛物线.
二、能力提升
8.若曲线⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2
θ，
y ＝cos θ－1(θ
为参数)与直线x ＝m 相交于不同两点，则m 的取值范围是
( ) A.R B.(0，＋∞) C.(0，1)
D.[0，1)
解析 将曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2
θ，y ＝cos θ－1
化为普通方程得(y ＋1)2
＝
－(x －1)(0≤x ≤1).它是抛物线的一部分，如图所示，由数形结合知0≤m ＜1. 答案 D
9.圆锥曲线⎩
⎪⎨⎪
⎧x ＝t 2
，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________.
解析 将参数方程化为普通方程为y 2
＝4x ，表示开口向右，焦点在x 轴正半轴上的抛物线，由2p ＝4⇒p ＝2，则焦点坐标为(1，0). 答案 (1，0) 10.设曲线C
的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________.
解析 ⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2化为普通方程为y ＝x 2
，由于ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以化为极坐标方程为ρsin θ＝ρ2cos 2θ，即ρcos 2
θ－sin θ＝0. 答案 ρcos 2
θ－sin θ＝0
11.在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为
⎩⎨
⎧x ＝3cos α，
y ＝sin α
(α为参数). (1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正
半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；
(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值.
解 (1)把极坐标系下的点P ⎝
⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标，得点(0，4).因为点P 的直角坐标(0，
4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上.
(2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l 的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋4
2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋22，由此
得，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.
三、探究与创新
12.设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e ＝
32，已知点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，32到这个椭圆
上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P 的距离等于7的点的坐标.
解 设椭圆的参数方程是⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θy ＝b sin θ，其中，a ＞b ＞0，0≤θ＜2π.由e 2
＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a 2
可得b a ＝1－e 2＝12即a ＝2b .设椭圆上的点(x ，y )到点P 的距离为d ，则d 2＝x 2
＋
⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝a 2cos 2θ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b sin θ－322
＝a 2－(a 2－b 2)sin 2θ－3b sin θ＋94
＝4b 2－3b 2sin 2
θ－3b sin θ＋94
＝－3b 2
⎝
⎛⎭⎪⎫sin θ＋12b 2
＋4b 2
＋3，
如果12b ＞1即b ＜12
，即当sin θ＝－1时，d 2
有最大值，
由题设得(7)2
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫b ＋322
，由此得b ＝7－32＞12，与b ＜12矛盾.因此必有12b ≤1成立，于
是当sin θ＝－12b
时，d 2
有最大值，
由题设得(7)2
＝4b 2
＋3，由此可得b ＝1，a ＝2.
所求椭圆的参数方程是⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，
y ＝sin θ.
由sin θ＝－12，cos θ＝±32可得，椭圆上的点⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－12，点⎝
⎛⎭⎪⎫3，－12到点P 的
距离都是7.。