傅里叶变换
傅里叶全部公式
傅里叶全部公式
傅里叶变换是一种将函数从时域（时间域）转换到频域的数学工具。
它通过将时域函数表示为不同频率的正弦和余弦函数的叠加来实现。
傅里叶变换和逆变换的公式如下：
傅里叶变换公式：F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^−jωt dt
逆傅里叶变换公式：f(t) = (1 / 2π) ∫[−∞,+∞] F(ω) e^jωt dω
其中，f(t)是时域函数，F(ω)是频域函数，e是自然常数，j 是虚数单位√(-1)，ω是频率，t是时间。
此外，傅里叶级数展开公式也是傅里叶变换的一种形式，它用来将周期函数分解成一系列振幅和相位不同的正弦和余弦函数的和。
傅里叶级数展开公式：f(t) = a0/2 + ∑[n=1,∞] (an cos(nωt) + bn sin(nωt))
其中，a0、an、bn是常数系数，表示不同频率分量的振幅，ω是基本频率。
这些公式是傅里叶变换和级数展开的基础公式，用于将函数在时域和频域之间进行转换，并在信号处理、图像处理、通信等领域有广泛应用。
需要注意的是，傅里叶变换和级数展开还有一些特定的性质和变体公式，这些公式可以根据具体的应用场景进行扩展和变换。
常见的傅里叶变换
常见的傅里叶变换
傅里叶变换（FourierTransformation）是在数学术语中指任何将时域信号转换成频域信号（包括反向转换）的一种算法。
它可以将任何时域函数转换为复杂的频率函数，并使用它来衡量信号的性质。
这种变换的另一种表达形式是“Fourier分析”，它可以用于分析和解释复杂的信号，以及从中提取有关信号频率和振幅的信息。
傅里叶变换的主要用途是将复杂的时域信号转换为频域信号，以便快速获取信号的性质。
它也被广泛用于信号处理，数字信号处理，图像处理，科学可视化，生物信号处理，信号检测，滤波器设计等领域。
它可以提取有关信号的重要特征，包括频率，振幅，相位等，这些特征在信号分析，处理和重构方面非常重要。
在数学中，傅里叶变换可以用来进行积分及其反向变换，以及用于传输函数系统的稳定性分析。
此外，它也可以用于语音处理，设计滤波器，图像处理等方面。
常见的傅里叶变换有：
1. 傅里叶变换（Fourier Transform）：这是最基本的傅里叶变换，它用于将时域函数转换为频域函数。
2. 快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform）：它是基于傅里叶变换的优化算法，可以将复杂信号的傅里叶变换运算时间减少到计算机可承受的最低水平。
3. 非负傅里叶变换（Non-negative Fourier Transform）：它是一种特殊的傅里叶变换，它只用非负数来表示傅里叶变换的系数，这
样可以更加精确地表示一个原始信号的复杂结构。
4. 小波变换（Wavelet Transform）：它是一种相对傅里叶变换而言的更加复杂的算法，它可以更精确地描述复杂信号，更有效地提取信号特征。
傅里叶变换t dt f df
傅里叶变换t dt f df傅里叶变换是一种数学工具，它在信号处理、图像处理以及物理学等领域中有着广泛的应用。
它的主要作用是将一个函数在时间域中的描述转换为频域中的描述，从而帮助我们更好地理解信号的特性。
傅里叶变换的基本思想是将一个函数分解成不同频率的正弦和余弦函数的叠加。
通过将函数在时间域中的描述转换为频域中的描述，我们可以得到函数的频谱信息，即函数中不同频率的成分的强度和相位。
在傅里叶变换中，t表示时间，dt表示时间的微小变化量。
f表示频率，df表示频率的微小变化量。
通过对函数进行傅里叶变换，我们可以得到函数在不同频率上的能量分布情况。
傅里叶变换的应用十分广泛。
在通信领域，傅里叶变换可以帮助我们理解信号的频谱特性，从而实现信号的传输和解调。
在图像处理领域，傅里叶变换可以帮助我们分析图像的频域特征，如边缘和纹理等。
在物理学领域，傅里叶变换可以帮助我们研究物体的振动和波动等现象。
虽然傅里叶变换在数学上是一个严谨的理论，但我们可以通过直观的例子来理解它的基本原理。
比如，假设我们要分析一段音乐的频谱特性。
我们可以将这段音乐信号进行傅里叶变换，得到它在不同频率上的能量分布情况。
通过分析这个频谱图，我们可以了解这段音乐信号中不同乐器的成分和它们的强度。
总的来说，傅里叶变换是一种非常重要的数学工具，它帮助我们理解和分析信号的频域特性。
通过对函数进行傅里叶变换，我们可以得到函数在不同频率上的能量分布情况，从而更好地理解信号的特性。
无论是在通信领域、图像处理领域还是物理学领域，傅里叶变换都有着广泛的应用。
通过深入学习和理解傅里叶变换，我们可以更好地应用它来解决实际问题，并推动科学技术的发展。
傅里叶变换原理
傅里叶变换原理傅里叶变换是一种非常重要的数学工具，它在信号处理、图像处理、通信系统等领域都有着广泛的应用。
傅里叶变换的原理是将一个信号分解成不同频率的正弦和余弦函数的叠加，从而可以分析信号的频谱特性。
在本文中，我们将详细介绍傅里叶变换的原理及其在实际应用中的重要性。
首先，让我们来了解一下傅里叶变换的数学表达式。
对于一个连续信号 f(t)，它的傅里叶变换F(ω) 定义为：F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt)dt。
其中，e^(-jωt) 是复指数函数，ω 是频率。
这个公式表示了信号 f(t) 在频域上的表示，也就是说，它将信号 f(t) 转换成了频率域上的复数函数F(ω)。
通过傅里叶变换，我们可以得到信号的频谱信息，从而可以分析信号的频率成分和能量分布。
傅里叶变换的原理可以通过一个简单的例子来说明。
假设我们有一个周期为 T 的正弦信号f(t) = Asin(2πft)，其中 A 是振幅，f 是频率。
对这个信号进行傅里叶变换，我们可以得到频谱F(ω)= A/2 (δ(ω-f) δ(ω+f))，其中δ(ω) 是狄拉克δ函数。
这个频谱表示了信号只包含了频率为 f 的正弦成分，而其他频率成分的能量为零。
这样，我们就可以通过傅里叶变换来分析信号的频率特性。
在实际应用中，傅里叶变换有着广泛的应用。
在信号处理中，我们可以通过傅里叶变换来对信号进行滤波、频谱分析等操作。
在图像处理中，傅里叶变换可以用来进行图像的频域滤波、频谱分析等操作。
在通信系统中，傅里叶变换可以用来对调制信号进行频谱分析、信道估计等操作。
可以说，傅里叶变换已经成为了现代科学技术中不可或缺的数学工具。
总之，傅里叶变换是一种非常重要的数学工具，它可以将一个信号从时域转换到频域，从而可以分析信号的频率特性。
通过傅里叶变换，我们可以对信号进行频谱分析、滤波等操作，从而可以更好地理解和处理信号。
傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信系统等领域都有着广泛的应用，它已经成为了现代科学技术中不可或缺的数学工具。
傅里叶级数与傅里叶变换
傅里叶级数与傅里叶变换傅里叶级数和傅里叶变换是数学中重要的概念，广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统等领域。
它们为我们理解和分析周期信号以及非周期信号提供了有效的数学工具。
本文将分别介绍傅里叶级数和傅里叶变换的基本概念、性质和应用。
一、傅里叶级数傅里叶级数是指将一个周期函数表示成一系列正弦和余弦函数的和。
它的基本思想是利用正弦和余弦函数的基本频率，将一个周期函数分解成多个不同频率的谐波分量，从而得到函数的频谱内容。
在数学上，傅里叶级数表示为：\[f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{i \omega_n t}\]其中，$c_n$代表系数，$e^{i \omega_n t}$是正弦和余弦函数的复数形式，$\omega_n$是频率。
将周期函数用傅里叶级数表示的好处是，可以通过调整系数来控制频谱内容，进而实现信号的滤波、合成等操作。
傅里叶级数的性质包括线性性、对称性、频谱零点等。
线性性意味着可以将不同的周期函数的傅里叶级数叠加在一起，得到它们的叠加函数的傅里叶级数。
对称性则表示实函数的傅里叶级数中系数满足一定的对称关系。
频谱零点表示在某些特殊条件下，函数的傅里叶级数中某些频率的系数为零。
傅里叶级数的应用广泛，例如在音频信号处理中，利用它可以进行音乐合成、乐音分析和音频压缩等操作。
此外，在图像处理领域，傅里叶级数被广泛应用于图像滤波、增强、噪声消除等方面。
二、傅里叶变换傅里叶变换是傅里叶级数的推广，用于处理非周期信号。
它将时域的信号转换为频域的信号，从而可以对信号进行频谱分析和处理。
傅里叶变换的定义为：\[F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i \omega t}dt\]其中，$F(\omega)$表示信号的频域表示，$f(t)$为时域信号，$\omega$为连续的角频率。
傅里叶变换可以将时域的信号分解成不同频率的复指数函数，并用复数表示频谱信息。
常用信号的傅里叶变换
常用信号的傅里叶变换傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的数学工具。
它是以法国数学家傅里叶的名字命名的，用于分析信号的频谱成分。
在信号处理和通信领域，傅里叶变换被广泛应用于信号的频谱分析、滤波、解调和压缩等方面。
1. 正弦信号的傅里叶变换正弦信号是最简单的周期信号之一，它可以表示为一个频率和幅度确定的正弦函数。
对于一个正弦信号，它的傅里叶变换是一个由两个峰值组成的频谱图。
其中一个峰值位于正弦信号的频率上，另一个峰值位于负频率上，其幅度与正弦信号的幅度相等。
2. 方波信号的傅里叶变换方波信号是一种以方波函数为基础的周期信号。
方波信号可以表示为一系列正弦信号的叠加，其傅里叶变换是一个由多个峰值组成的频谱图。
频谱图上的峰值对应于方波信号中各个频率的成分。
3. 矩形脉冲信号的傅里叶变换矩形脉冲信号是一种在有限时间内突然变化的信号。
它在时域上表现为一个宽度有限的矩形脉冲，其傅里叶变换是一个以脉冲宽度为主要参数的频谱图。
频谱图上的峰值表示了矩形脉冲信号中各个频率的成分。
4. 高斯信号的傅里叶变换高斯信号是一种以高斯函数为基础的连续非周期信号。
高斯信号在时域上呈钟形分布，其傅里叶变换是一个以高斯函数为形状的频谱图。
频谱图上的峰值表示了高斯信号中各个频率的成分。
5. 三角波信号的傅里叶变换三角波信号是一种以三角函数为基础的周期信号。
三角波信号可以表示为一系列正弦信号的叠加，其傅里叶变换是一个以基频为主要参数的频谱图。
频谱图上的峰值对应于三角波信号中各个频率的成分。
6. 音频信号的傅里叶变换音频信号是一种连续时间的信号，它可以通过傅里叶变换转换为频域信号进行分析。
音频信号的傅里叶变换可以得到音频信号的频谱图，从而可以对音频信号进行频谱分析、滤波和合成等操作。
7. 语音信号的傅里叶变换语音信号是一种声音信号，它可以通过傅里叶变换转换为频域信号进行分析。
语音信号的傅里叶变换可以得到语音信号的频谱图，从而可以对语音信号进行声音分析、语音识别和语音合成等操作。
傅里叶变换(fft)
傅里叶变换(fft)
傅里叶变换（Fourier Transform）是一种将信号从时域（时间域）转换到频域（频率域）的数学工具。
它是一种将信号分解成不同频率成分的方法，可以用来分析和处理各种类型的信号，包括音频、图像、雷达信号等。
傅里叶变换的基本思想是，任何信号都可以看作是不同频率正弦波的叠加。
通过对信号进行傅里叶变换，可以将信号分解成不同频率成分的正弦波，并计算它们在信号中的相对强度。
这些频率成分可以用幅度和相位来描述，它们可以用来分析信号的频谱特性，如频率分布、谐波含量、峰值位置等。
傅里叶变换有多种形式，其中最常见的是快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）。
FFT是一种快速计算傅里叶变换的算法，它通过分治法将傅里叶变换的计算复杂度从O(N^2)降低到O(N log N)，其中N是信号的长度。
FFT广泛应用于信号处理、图像处理、音频处理、通信系统等领域。
除了FFT之外，还有其他的傅里叶变换算法，如离散余弦变换（Discrete Cosine Transform，DCT）、离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）等。
这些算法在不同的应用场景中有不同的优缺点，需要根据具体的需求进行选择。
常用傅里叶变换公式大全
常用傅里叶变换公式大全傅里叶变换是一种重要的数学工具，它可以将时域信号转换为频域信号，从而更好地理解信号的特性。
下面就是常用的傅里叶变换公式大全：1、傅里叶变换：$$F(u)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-2\pi iux}dx$$2、傅里叶反变换：$$f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}F(u)e^{2\pi iux}du$$3、离散傅里叶变换：$$F(u)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n)e^{-2\pi iun}$$4、离散傅里叶反变换：$$f(n)=\frac{1}{N}\sum_{u=-\infty}^{\infty}F(u)e^{2\pi iun}$$5、快速傅里叶变换：$$F(u)=\sum_{n=0}^{N-1}f(n)W_N^{nu}$$6、快速傅里叶反变换：$$f(n)=\frac{1}{N}\sum_{u=0}^{N-1}F(u)W_N^{-nu}$$7、离散余弦变换：$$F(u)=\sum_{n=0}^{N-1}f(n)\cos\frac{(2n+1)u\pi}{2N}$$8、离散余弦反变换：$$f(n)=\frac{1}{N}\sum_{u=0}^{N-1}F(u)\cos\frac{(2n+1)u\pi}{2N}$$9、离散正弦变换：$$F(u)=\sum_{n=0}^{N-1}f(n)\sin\frac{(2n+1)u\pi}{2N}$$10、离散正弦反变换：$$f(n)=\frac{1}{N}\sum_{u=0}^{N-1}F(u)\sin\frac{(2n+1)u\pi}{2N}$$以上就是常用的傅里叶变换公式大全，它们可以帮助我们更好地理解信号的特性，并且可以用来解决许多实际问题。
因此，傅里叶变换在科学研究和工程应用中都有着重要的作用。
傅里叶级数变换
数据压缩
通过傅里叶级数变换，可以实现 数据的压缩和解压缩，节省存储 空间和传输带宽。
在量子计算领域的应用
1 2
量子信号处理
利用傅里叶级数变换处理量子信号，有助于实现 量子通信和量子计算中的信息处理。
量子纠缠态分析
通过傅里叶级数变换，可以对量子纠缠态进行分 析和操作，有助于实现量子纠缠态的操控和应用。
解压缩处理
在解压缩过程中，傅里叶级数变换可以用于将压缩后的频率分量转换回原始像 素值，恢复出原始图像。解压缩过程与压缩过程相反，需要逆向操作以重建完 整图像。
傅里叶级数变换的未来发展
06
与挑战
高效算法的研究
01
快速傅里叶变换 （FFT）
针对傅里叶级数变换的快速算法， 能够显著降低计算复杂度，提高 计算效率。
02
并行计算
利用多核处理器或多计算节点并 行计算，加速傅里叶级数变换的 计算过程。
03
优化算法
研究更高效的算法，减少计算过 程中的冗余和复杂度，提高变换 的精度和速度。
在大数据和人工智能领域的应用
信号处理
在语音识别、图像处理、雷达信 号处理等领域，傅里叶级数变换 是关键技术之一。
机器学习
在深度学习中，傅里叶级数变换 可用于特征提取和降维，提高模 型的泛化能力。
傅里叶级数变换
目录
• 傅里叶级数变换概述 • 傅里叶级数变换的性质 • 傅里叶级数变换的运算 • 傅里叶级数变换在信号处理中的应
用
目录
• 傅里叶级数变换在图像处理中的应 用
• 傅里叶级数变换的未来发展与挑战
01
傅里叶级数变换概述
傅里叶级数变换的定义
傅里叶级数变换是一种数学工具，用于将一个函 数表示为无穷级数，其中每个项都是正弦和余弦 函数的线性组合。
傅里叶变换
线性性质
k f(x) → k F(ω); f(x)+g(x) → F(ω)+ G(ω)
分析性质
f '(x) → iωF(ω);
∫
x
∞
f ( x ) dx →
1 iω
F (ω )
傅里叶变换
位移性质
f(x-a) → exp(-iωa)F(ω) ; exp(iφx)f(x) → F(ω-φ)
相似性质
f(ax) → F(ω/a)/a; f(x/b)/b → F(bω) .
卷积性质
f(x)*g(x)≡∫f(ξ)g(x-ξ)dξ → 2πF(ω)G(ω); f(x)g(x) → F(ω)*G(ω)≡∫ F(φ)G(ω-φ)dφ
对称性质
正变换与逆变换具有某种对称性; 适当调整定义中的系数后,可以使对称性更加明显.
傅里叶变换
应用举例
rect( x) → sin 1 ω /(π ω) 2
S1 1
S3 0.75
0.5
0.5 0.25
-3
-2
-1 -0.5
1
2
3
-3
-2
-1 -0.25 -0.5 -0.75
1
2
3
-1
S6 0.75 0.5 0.25 -3 -2 -1 -0.25 -0.5 -0.75 1 2 3 -3 -2 -1
S24 0.75 0.5 0.25 1 -0.25 -0.5 -0.75 2 3
展开系数:
1 cn = 2L
∫
L
L
exp(i
nπ x ) f ( x)dx L
傅里叶生平
1768年生于法国 1807年提出"任何 周期信号都可用正 弦函数的级数表示" 1822年发表"热的 分析理论",首次 提出"任何非周期 信号都可用正弦函 数的积分表示" 返 回
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傅氏变换和频谱概念有着非常密切的联系．频谱这个术语来
自于光学.通过对频谱的分析，可以了解周期函数和非周期函数的
一些基本性质.
若已知
是以
为周期的周期函数，且满足狄利
克雷条件，则可展成傅里叶级数
(7.2.16)
其中
,我们将
称为
的第
次谐波，
称为第
次谐波的频率．
由于
其中
称为初相，
称为第
次谐波的振幅，记为
（7.2.8）
3. 偶函数的傅里叶积分 定义 7.2.3 实数形式的傅里叶余弦积分 傅里叶余弦变换 若 为偶函数，
的傅里叶积分为傅里叶余弦积分：
(7.2.9)
式（7.2.9）满足条件 的傅里叶余弦变换：
．其中
是
（7.2.10） 上述公式可以写成另一种对称的形式
（7.2.11）
(7.2.12)
7.2.2 复数形式的傅里叶积分
（7.2.6）
上式(7.2.6)的物理意义为： 称为
称为
的振幅谱，
的相位谱．可以对应于物理现象中波动（或振动）
我们把上述推导归纳为下述严格定理： 1．傅里叶积分定理
定理7.2.1 傅里叶积分定理 若函数 上满足条件 （1） （ 2） 在任一有限区间上满足狄利克雷条件； 在 上绝对可积，则 可表为傅 在区间
用图形表示出来，这样的图 形就是频谱图. 由于 不连续的，称之为离散频谱． ,所以频谱 的图形是
7．3 傅里叶变换定义
7.3.1 傅里叶变换的定义
由上一节对实数和复数形式的傅里叶积分的讨论，最后我 们以简洁的复数形式（即指数形式）作为傅里叶变换的定义
定义7.3.1 傅里叶变换 称表达式
若
满足傅氏积分定理条件， （7.3.1）
上一节我们讨论了周期函数的傅里叶级数展开，下面讨论非 周期函数的级数展开．
7.2.1 实数形式的傅里叶积分
定义 7.2.1 实数形式的傅里叶变换式 傅里叶积分 傅里叶积分表示式 设非周期函数 时的极限情形．这样， 为一个周期函数 当周期
的傅里叶级数展开式 (7.2.1)
在
时的极限形式就是所要寻找的非周期函数
若令 （7.2.4）
式（7.2.4）称为 故（7.2.2）在 ）
的（实数形式）傅里叶变换式． 时的极限形式变为（注意到
(7.2.5)
上式(7.2.5)右边的积分称为（实数形式）傅里叶积分． (7.2.5)式称为非周期函数 叶积分表示式．
的（实数形式）傅里
事实上，上式（7.2.5）还可以进一步改写为
的傅里叶（Fourier）变换， 的傅氏变换．同时我们称
的傅里叶逆变换．
（2）特别当核函数 改写为变量 ），当
（注意已将积分参变量 ，则
称函数 为函数
为函数
的拉普拉斯 (Laplace)变换，简称 为
的拉氏变换．同时我们称
的拉氏逆变换．
7.1 傅里叶级数
本节简明扼要地复习高等数学中的傅里叶级数基本内容
定义7.2.4 复数形式的傅里叶积分 复数形式的傅里叶变换式
对于上述实数形式的傅里叶变换，我们觉得还不够紧凑．下
面我们讨论复数形式的傅氏积分与变换，而且很多情形下，复数
形式（也称为指数形式）的傅氏积分变换使用起来更加方便． 利用欧拉公式则有
代入式（7.2.5）得到
将右端的第二个积分中的
换为
，则
上述积分能合并为 (7.2.13) 其中
第七章 傅里叶变换
在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为 较简单的运算，人们常采用变换的方法来达到目的．例如 在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较 简单的加法和减法运算．在工程数学里积分变换能够将分 析运算（如微分、积分）转化为代数运算，正是积分变换 的这一特性，使得它在微分方程、偏微分方程的求解中成 为重要的方法之一．积分变换的理论方法不仅在数学的诸 多分支中得到广泛的应用，而且在许多科学技术领域中， 例如物理学、力学、现代光学、无线电技术以及信号处理 等方面，作为一种研究工具发挥着十分重要的作用．
，即
（7.2.17）
若将傅里叶级数表示为复数形式，即 (7.2.18)
其中
恰好是
次谐
波的振幅的一半.我们称 与复振幅有下列关系：
为复振幅.显然
次谐波的振幅
（7.2.19） 当取 这些数值时，相应有不同的频率
和不同的振幅，所以式(7.2.19)描述了各次谐波的振幅随频率变化 的分布情况．频谱图通常是指频率和振幅的关系图. 的振幅频谱（简称频谱）. 若用横坐标表示频率 ，纵坐标表示振幅 ，把点 称为函数
7.1.1
周期函数的傅里叶展开
定义7.1.1 傅里叶级数 傅里叶级数展开式 傅里叶系数
若函数
以
为周期，即为
的光滑或分段光滑函数，且定义域为 函数族
，则可取三角
(7.1.2)
作为基本函数族，将 级数）
展开为傅里叶级数（即下式右端
(7.1.3)
式（7.1.3）称为周期函数
的傅里叶级数展开式
（简称傅氏级数展开），其中的展开系数称为傅里叶系数（简 称傅氏系数）．
（2）在每个周期内只有有限个极值点，则级数（7.1.3）收敛，
且
在收敛点有：
在间断点有：
7.1.2 奇函数及偶函数的傅里叶展开
定义 7.1.2 傅里叶正弦级数 傅里叶余弦级数 若周期函数 (7.1.4)可见，所有 是奇函数，则由傅里叶系数的计算公式
均等于零，展开式(7.1.3)成为
(7.1.5)
这叫作傅里叶正弦级数．容易检验（7.1.5）中的正弦级数在
所谓积分变换，就是把某函数类A中的任意一个函数 ，经过某种可逆的积分方法（即为通过含参变量 的积分）
变为另一函数类 B中的函数
这里
是一个确 称为
定的二元函数，通常称为该积分变换ห้องสมุดไป่ตู้核． 的像函数或简称为像， 称为
的原函数．
在这样的积分变换下，微分运算可变为乘法运算，原来的偏 微分方程可以减少自变量的个数，变成像函数的常微分方程；
里叶积分形式（7.2.5)，且在
的连续点处傅里叶积分值＝
；在间断点处傅里叶积分值＝ 2．奇函数的傅里叶积分 定义 7.2.2 实数形式的傅里叶正弦积分 傅里叶正弦变换 若
为奇函数，我们可推得奇函数
的傅里叶积
分为傅里叶正弦积分： (7.2.7) 式（7.2.7）满足条件 其中 是 的傅 里叶正弦变换：
1. 定义7.3.3
函数定义 函数 函数，并记为
如果一个函数满足下列条件，则称之为
(7.3.4)
且
(7.3.5)
我们不加证明地指出与定义7.3.3等价的 定义7.3.4 函数
函数的另一定义
如果对于任意一个在区间 恒有
上连续的函数
则称满足上式中的函数 对于任意的连续可微函数
为 ,定义
函数， 函数的导数为
(7.1.10) 式中“*”代表复数的共轭 上式(7.1.9)的物理意义为一个周期为2l 的函数 为频率为 ，复振幅为 的复简谐波的叠加． 可以分解 称为谱点，
所有谱点的集合称为谱．对于周期函数
而言，谱是离散的．
尽管 且满足：
是实函数，但其傅里叶系数却可能是复数， 或 (7.1.11)
7.2 实数与复数形式的傅里叶积分
原来的常微分方程可以变为像函数的代数方程，从而容易在像
函数类B中找到解的像；再经过逆变换，便可以得到原来要在A
中所求的解，而且是显式解．
另外需要说明的是，当选取不同的积分区域和核函数时，
就得到不同名称的积分变换:
（1）特别当核函数
变量 改写为变量 ），当
（注意已将积分参 ，则
称函数 简称 为
为函数 为函数
（7.3.6） 根据上式显然有 （7.3.7） 由
函数定义7.3.4有
(7.3.8)
2. 性质1 对于
函数性质 的实常数，有
(7.3.9)
性质2 设 ，则
当
时，即对应为
，故为偶函数．
7.3.2 多维傅氏变换
在多维（
维）情况下，完全可以类似地定义函数
的傅氏变换如下：
它的逆变换公式为：
7.3.3 傅里叶变换的三种定义式
在实际应用中，傅里叶变换常常采用如下三种形式，由于 它们采用不同的定义式，往往给出不同的结果，为了便于相互 转换，特给出如下关系式： 1.第一种定义式
2.第二种定义式
数展开，需要采用类似于高等数学中的延拓法，使其延拓为周 期函数．
9.1.3复数形式的傅里叶级数
定义7.1.3 复数形式的傅里叶级数 取一系列复指数函数
(7.1.8) 作为基本函数族，可以将周期函数 傅里叶级数 展开为复数形式的 (7.1.9)
利用复指数函数族的正交性，可以求出复数形式的傅里叶系数
为
的傅里叶变换式,记作 为
．我们
称函数
的傅里叶变换，简称傅氏变换
（或称为像函数）．
定义7.3.2 傅里叶逆变换 如果
(7.3.2)
则上式为 我们称 为
的傅里叶逆变换式，记为 的傅里叶逆变换，简称傅氏逆变换
（或称为像原函数或原函数）．
由（7.3.1）和（7.3.2）知傅里叶变换和傅里叶逆变换是互 逆变换，即有 (7.3.3) 或者简写为
将（7.2.4）代入上式可以证明无论对于 均可以合并为
，还是
（7.2.14）
证明：（1）
时
（ 2）
时
证毕． （7.2.13）是 （7.2.14）则是 的复数形式的傅里叶积分表示式,
的复数形式的傅里叶变换式．
上述变换可以写成另一种对称的傅氏变换（对）形式
（7.2.15）
7.2.3 傅里叶变换式的物理意义——频谱