连续体方程
连续体04
R,1,1
K,1,0,0,0 K,2,1,0,0 K,3,1,1,0 K,4,0,1,0
! 设定实常数No.1，厚度
!生成几何点No.1 !生成几何点No.2 !生成几何点No.3 !生成几何点No.4
DK,1,ALL
DK,4,ALL FK,2,FX,-1
! 对几何点1施加固定的位移约束
! 对几何点4施加固定的位移约束 ! 对几何点2施加外力FX=–1
• 材料及控制方程一致时，应力状态完全由边界条件决定。
连续体问题求解的虚功原理
• 对于一般弹性问题 (以2D问题为例)，在几何域Ω 中，受 有体积力 力 为 • 虚应变能为 • 而外力虚功为 ，在外力边界 上，受有施加的分布 ， 。设有满足位移边界条件的位移场
——试函数(其中有一些待定的系数)——则它的虚位移
位移边界条件BC(u ) :
Fini
/clear
/PREP7 !进入前处理 !设定为静态分析 ANTYPE,STATIC
A,1,2,3,4
面No.1 MAT,1 TYPE,1 REAL,1
!由几何点连成几何
! 设定为材料No.1 ! 设定单元No.1 ! 设定实常数No.1
MP,EX,1,1
量 MP,PRXY,1,0.25 比 ET,1,PLANE42 KEYOPT,1,3,3 问题
NB
NB_UX=UX(NB) NB_UY=UY(NB) ALLSEL,ALL !获取节点号NB处的位移UX，赋值给NB_UX !获取节点号NB处的位移UY，赋值给NB_UY ! 选择所有的对象 ! 获取几何位置为(1,1,0) (C点)所对应的节点号码，赋值给
NC=NODE(1,1,0) NC NC_UX=UX(NC) NC_UY=UY(NC)
连续方程的定义
连续方程的定义
连续方程是数学中的一个重要概念，它描述了一个物理系统中的物质、能量或其他性质的守恒规律。
通过连续方程，我们可以理解并描述物质在空间和时间上的变化以及它们之间的关系。
在物理学中，连续方程是质量守恒、动量守恒和能量守恒等基本定律的数学表达。
它们揭示了物质在空间和时间上的变化规律，使我们能够定量地描述物质的运动和变化。
质量守恒定律告诉我们，在一个封闭系统中，物质的质量总是守恒的。
这意味着物质既不能从系统中消失也不能无缘无故地出现。
通过连续方程，我们可以描述物质在空间上的分布和流动，从而揭示了物质的质量守恒规律。
动量守恒定律告诉我们，物质的动量在一个封闭系统中总是守恒的。
通过连续方程，我们可以描述物质的动量在空间上的分布和传递，从而揭示了物质的动量守恒规律。
能量守恒定律告诉我们，能量在一个封闭系统中总是守恒的。
通过连续方程，我们可以描述能量在空间上的传递和转化，从而揭示了能量的守恒规律。
连续方程不仅仅适用于质量、动量和能量的守恒规律，还适用于其他物理量的守恒规律。
通过连续方程，我们可以揭示物质在空间和时间上的变化规律，进而理解和解释各种物理现象。
连续方程是描述物质在空间和时间上的变化规律的数学工具。
通过连续方程，我们可以深入理解和揭示物质的守恒规律，从而推动科学的发展和应用。
理论力学教程 (周衍柏)(第四版)
理论力学教程 (周衍柏)(第四版)介绍《理论力学教程》是中国科学技术大学教授周衍柏先生编写的理论力学教程的第四版。
本教程系统地介绍了力学的基本原理、定律和方法，旨在帮助读者深入理解和掌握理论力学的核心概念，培养分析和解决力学问题的能力。
目录1.力学的基本概念–力学的起源和发展–力学的基本假设–物体的受力分析2.动力学–一维运动学–牛顿定律–静力学–动力学定律的应用3.连续体力学–连续体的基本概念–物质点系和质点系的运动方程–连续体的动力学方程4.运动学的数学方法–坐标系和位置矢量–速度和加速度–运动学定理–曲线运动的描述5.动力学的数学方法–牛顿第二定律的矢量形式–动量和动量守恒定律–力矩和力矩定律–统一的动力学方法6.力学系统的理论–多体系统的动力学–质点系和刚体系的力学–力学系统的能量和能量守恒定律7.外力作用下的刚体运动–刚体的运动学–刚体受力和动力学–刚体运动的定理和方法–刚体系统动力学的能量和能量守恒定律8.振动–简谐振动–非简谐振动–耦合振动–振动的应用内容概述《理论力学教程》共分为八个章节，包含了力学的基本概念、动力学、连续体力学、运动学的数学方法、动力学的数学方法、力学系统的理论、外力作用下的刚体运动以及振动等内容。
在力学的基本概念部分，教程介绍了力学的起源和发展，以及力学的基本假设和物体的受力分析方法，为后续章节的学习奠定了基础。
动力学部分介绍了一维运动学、牛顿定律、静力学以及动力学定律的应用。
读者可以学习如何利用牛顿定律分析力学问题，并应用其定律解决实际问题。
连续体力学部分讲解了连续体的基本概念、物质点系和质点系的运动方程，以及连续体的动力学方程。
通过学习这一章节，读者可以了解连续体力学的基本理论和应用。
运动学的数学方法一章介绍了坐标系和位置矢量的概念，以及速度和加速度的定义与计算方法。
运动学定理和曲线运动的描述也是本章的重要内容。
动力学的数学方法部分将牛顿第二定律推广到矢量形式，详细介绍了动量和动量守恒定律以及力矩和力矩定律的应用。
第五章连续体力学
m(
L)2 2
可见，与转动惯量有关的因素：
J mi ri2
转轴的位置 刚体的质量
刚体的形状(质量分布)
2、平行轴定理
若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对其转
动惯量为J，则有：
z
Jo＝Jc＋md2
o
C
两轴平行；
x
d
d
说明
JC 为刚体绕质心轴的转动惯量 d 为两平行轴间距离。
3、正交轴定理
a r 2 4
线速度与角速度之间的矢量关系为:
v r
定轴转动的特征12））：各各点点的的角线位位移移、、角线速速度度、、角线加加速速度度相不同同。。
例1 一半径为R=0.1m的砂轮作定轴转动，其角位置随时间t的变 化关系为=(2+4t3)rad,式中t以s计。试求： （1）在t=2s时,砂轮边缘上一质点的法向加速度和切向加速 度的大小。 （2）当角为多大时,该质点的加速度与半径成45o角。
所以
1 Mlv J
12 v
4
7l
[例5]一棒长l，质量m,其质量密度分布与到O点的距离成正比，
将细棒放在粗糙的水平面上，棒可绕O点转动，如图，棒的初始
角速度为ω0 ，棒与桌面的摩擦系数为μ。 求: (1)细棒对O点的转动惯量。
(2)细棒绕O点的摩擦力矩。 (3)细棒从以ω0 开始转动到停止所经历的时间。
dm
0
J 是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。
[例2] 求质量为m、半径为R的均匀薄圆盘的转动惯量。轴与盘 平面垂直并通过盘心。
解：设面密度为σ 取半径为r 宽为dr 的薄圆环,
R O r dr
dm ds 2rdr
连续性方程
也是调和函数
例：不可压缩流体，ux=x2－y2，uy= － 2xy，是否满足连续 性方程？是否无旋流？有无速度势函数？是否是调和函 数？并写出流函数。
解：（1）ux uy 2x 2x 0
x y
满足连续性方程
（2） z
1 2
u y x
ux y
0
是无旋流
（3）无旋流存在势函数：
d
uxdx
u ydy
例：平面流场ux=ky，uy=0（k为大于0的常数），分析流场运 动特征
解：流线方程： 线变形：
y c （流线是平行与x轴的直线族）
x
ux x
0
y
u y y
0
（无线变形）
角变形：
z
1 2
u y x
u x y
k 2
（有角变形）
旋转角速度：
z
1 2
u y x
ux y
k 2
（顺时针方向为负）
y
o
x
例：平面流场ux=－ky，uy= kx （k为大于0的常数），分析流 场运动特征
a→0：偶极流
φ=C Ψ=C
源流和源流的叠加
离心泵的叶片形状
源流和环流的叠加 （流线与等势线为相互正交的对数螺旋线族）
例：速度场ux=ay（a为常数），uy=0，流线是平行于x轴的 直线，此流动是有旋流动还是无旋流动？
解： z
1 2
u y x
ux y
1 (0 a) 1 a 0
2
2
是有旋流
y ux
o
x
相当于微元绕瞬心运动
速度势函数
1.速度势函数
无旋
有势
类比：重力场、静电场——作功与路径无关→势能
连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的表达式
连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的表达式
蒲福连续性方程是流体力学中最重要的基本方程之一。
它是以斯特劳斯·蒲福(Stroesser)为基础的质量守恒定律的表达式，旨在对连续性，守恒以及恒定性方面的流体变化有一定的把握和预测。
简单来说，蒲福连续性方程可以用来描述不同41力学问题。
蒲福连续性方程的式子如下：
$$\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla \cdot \rho \mathbf{v}=0$$
其中ρ是流体的密度，t是时间，$\mathbf{v}$是流体的流速向量，函数
n⃗abla表示微元流出，即每一单位体积的流体部分流入或者流出。
如果ρ固定不变，蒲福连续性方程将变为守恒定律。
根据蒲福连续性方程，建立模型时，得出的结果可以帮助我们向流体学家提供有关流体运动和变化的重要信息，包括密度变化，流速和流动轨迹等。
因此，它被用于如气体动力学，波动和稳定性，动量积分和自由边界，流固耦合等气体运动的控制。
蒲福连续性方程也在高等教育领域得到了广泛的应用。
当我们需要解决流体学问题和分析流体性能时，可以利用该方程对流体运动和变化有精确的了解。
此外，蒲福连续性方程也常常被大学气动学和流体力学课程等介绍上用以加深学生重视流体动态变化及应用研究方及来自实验和分析等方面获得体会。
综上所述，蒲福连续性方程在流体力学中发挥着至关重要的作用，高校和高等教育也多次引用它来加强课题的讨论。
因此，在流体力学课题的研究中，理解这一基本方程的含义及其应用意义是十分必要的。
机械系统中连续体的概念
机械系统中连续体的概念在机械系统中，连续体是指在空间上无间隙的物质或物质分布的集合体。
它是物质状态的一种理论模型，用于描述机械系统中物质的运动和变形。
连续体力学是一门研究连续体行为的学科，它基于连续介质假设，将物质视为连续、均匀而无间断的，以简化描写实际系统的复杂性。
连续体力学广泛应用于工程领域的结构分析、流体力学、固体力学等，对于解决能源、交通、制造等领域的实际问题具有重要的理论基础和应用价值。
在连续体力学中，连续体的运动和变形可以通过物质点的运动和相邻物质点之间的相对运动来描述。
连续体的运动可以分为平动和转动两种类型。
平动是指整个连续体的每一个点都沿着相同的方向和速度移动，转动则是指连续体绕其内部某个轴进行的旋转运动。
连续体的变形是指连续体内部各点之间的相对位置发生改变。
可以分为线性变形和角变形两种类型。
线性变形是指物质点之间的距离发生改变，可以是拉伸或压缩，受力作用下引起的变形称为应力变形。
角变形是指旋转角度发生改变，如弯曲、扭转等，受力作用下引起的变形称为应变变形。
连续体力学中，连续体的运动和变形可以通过连续介质力学方程来描述。
该方程包括质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程。
质量守恒方程用于描述物质连续性，即物质在空间中的连续分布不会发生空白、重叠和破碎等情况；动量守恒方程用于描述物质的运动状态和受力情况；能量守恒方程用于描述物质的热力学行为和能量转化。
连续体力学的研究对象包括固体和流体。
对于固体连续体，通常使用弹性力学理论来描述其行为。
弹性力学分析固体力学中的弹性变形和应力场，通过物理学和数学方法来研究材料的变形和变形导致的应力。
而对于流体连续体，通常使用流体力学来描述其行为。
流体力学分析流体运动，涉及液体和气体运动的基本方程，如流体的连续性方程、动量守恒方程和能量守恒方程。
总之，连续体是机械系统中一个重要的概念，其研究不仅奠定了固体力学和流体力学的理论基础，也对于工程领域的设计和分析具有重要的意义。
材料力学控制方程
材料力学的基本控制方程通常包括平衡方程、本构方程和边界条件。
1. 平衡方程：描述了结构在受力后的静力平衡状态。
对于一个连续体，这些方程可以表述为：
-力的平移平衡：∑F_x = 0, ∑F_y = 0, ∑F_z = 0 （力的三个分量的总和为零）
-弯矩的旋转平衡：∑M_α = 0 （在某一点或某一片段关于任意轴的力矩之和为零）这些平衡方程适用于线性弹性问题，也适用于塑性问题和粘弹性问题。
2. 本构方程：定义了材料的应力-应变关系。
对于线弹性材料，本构方程可以表示为胡克定律：
σ_ij = C_ijkl ε_kl
其中，σ_ij 是应力张量，ε_kl 是应变张量，C_ijkl 是材料弹性常数的第四阶张量。
对于塑性材料，本构方程更加复杂，通常涉及流动函数和硬化模型。
3. 边界条件：描述结构边界上的约束情况。
边界条件分为两类：
- Dirichlet条件：也称为固定条件，指定位移边界条件，例如u_x(边界) = 0。
- Neumann条件：也称为载荷条件，指定力边界条件，例如F_x(边界) = 0。
对于非齐次边界条件，可能需要指定特定的位移分布或载荷分布。
将这些方程结合起来，就可以求解出结构在给定载荷作用下的应力、应变和位移分布。
在实际应用中，还需要考虑初始条件（例如初始应变或初始速度）和材料的损伤、疲劳以及其他复杂因素。
连续性方程
• 同理可得沿y方向和z方向的净流出量为：
dq y v y y vz dqz dxdydz z dxdydz
• 单位时间内通过微元体的质量净流出量为：
dqx dq y dqz vx v y vz y z x dxdydz
• 单位时间内微元体内所含质量对时间的变化率为：
dM x, y, z, t dt x, y, z , t dxdydz dt dt dxdydz t
根据质量守恒定律：
dq
因此：
dM dt
dxdydz 0
vx v y vz x y z t
常数
得柱坐标系下不可压缩流体的连续方程为：
(vr ) vr 1 (v ) vz 0 r r r z
s1 s2
1v1n s1 2v2 n s2
v1 s1 v2 s2
vx v y vz 0 x y z
不可压缩流体二维流动的连续性方程
vx v y 0 x y
物理意义：在同一时间内通过流场中任一封闭表面的体积流 量等于零，也就是说，在同一时间内流入的体积流量与流出 的体积流量相等。
二、恒定总流的连续性方程
（1）恒定流动，该段元流的形状、位置不随时间发生变 化； （2）没有流体穿过元流，从侧面流入和流出； （3）元流内流体不存在空隙。
直角坐标系中的连续方程
如图所示，在流场中取出一平 行六面微元体，其边长分别为 dx、dy、dz。在整个流场中处 处应满足质量守恒定律。因此， 单位时间内微元体内质量的改 变量应等于单位时间内通过微 元体的质量的净流出量。设流 体的密度为，以x方向通过微元 体的质量流量为例。单位时间 内通过控制面ABCD流进控制体 的质量流量为
考研力学知识点总结
考研力学知识点总结一、牛顿力学牛顿力学是经典力学的基本理论，是研究物体运动的一般规律。
其核心概念包括牛顿三定律、质点运动方程、质点系的运动等。
1. 牛顿三定律牛顿三定律是牛顿力学的基本原理，包括惯性定律、运动定律和作用-反作用定律。
其中，惯性定律表明物体在没有受到外力作用时，会保持匀速直线运动或静止状态；运动定律则描述了物体在受到外力作用时的加速度与力的关系；作用-反作用定律则说明了作用在物体上的力会有一个等大反向的反作用力。
2. 质点运动方程质点运动方程描述了质点在力的作用下的运动规律。
其一般形式为牛顿第二定律，即F=ma，其中F为合外力，m为质点的质量，a为质点的加速度。
通过对该方程的求解，可以获得质点在力的作用下的运动轨迹、速度和位置等信息。
3. 质点系的运动质点系的运动是指多个质点在相互作用下的运动规律。
在研究质点系的运动时，需要考虑多个质点之间的相互作用力，以及质点之间的约束条件。
通过牛顿定律和动量守恒定律等可以对质点系的运动规律进行分析和求解。
二、刚体力学刚体力学是研究刚体的运动和相互作用的科学。
刚体是指形状和大小在运动过程中不发生变化的物体，刚体力学包括刚体的平动和转动运动、刚体的静力学和动力学等内容。
1. 刚体的平动和转动运动刚体的平动运动是指刚体作直线运动或曲线运动的运动规律，需要考虑刚体质心的运动规律和速度等问题；刚体的转动运动是指刚体绕固定轴的旋转运动，需要考虑刚体的角速度、角加速度和转动惯量等问题。
2. 刚体的静力学刚体的静力学是研究刚体在静止或平衡状态下的力学问题。
在研究刚体的静力学时，需要考虑刚体受到的外力和支持力的平衡条件，以及刚体内部的力的平衡条件。
3. 刚体的动力学刚体的动力学是研究刚体在运动状态下的力学问题。
在研究刚体的动力学时，需要考虑刚体受到的外力和内力的作用，以及刚体的运动规律和动力学方程等问题。
三、连续体力学连续体力学是研究连续介质（如流体和固体）的运动和相互作用的科学。
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连续体方程
连续体方程是描述物理系统中连续介质运动的方程组。
这些方程在流体力学、气体力学、固体力学等领域中有着广泛的应用。
本文将依次介绍连续体方程的七个方面。
1.运动方程
运动方程是描述质点或粒子运动规律的方程。
在经典力学中，牛顿第二定律就是一种常见的运动方程，表达了物体加速度与作用力之间的关系。
在连续体力学中，运动方程通常表示连续介质中每个质点的运动状态，涉及到速度、加速度和作用力等物理量。
2.连续性方程
连续性方程是描述流体、气体等连续介质流动的方程。
它表达了质量守恒的原理，即在一定时间内，流入和流出某个截面的质量之和等于该截面上质量的变化量。
在流体和气体流动中，连续性方程是必不可少的，它可以表示流体微团在运动中的质量变化。
3.动量方程
动量方程是描述流体、气体等流动中微小扰动的动量变化率的方程。
它表达了动量定理，即在一定时间内，流入和流出某个截面的动量之和等于该截面上动量的变化量。
在流体力学中，动量方程可以表示流体微团受到的力与加速度之间的关系。
4.动量矩方程
动量矩方程是描述流体、气体等流动中微小扰动的动量矩变化率的方程。
它表达了角动量定理，即在一定时间内，流入和流出某个截
面的角动量之和等于该截面上的角动量的变化量。
在流体力学中，动量矩方程可以表示流体微团受到的扭矩与角加速度之间的关系。
5.能量方程
能量方程是描述流体、气体等流动中微小扰动的能量变化率的方程。
它表达了能量守恒的原理，即在一定时间内，流入和流出某个截面的能量之和等于该截面上能量的变化量。
在流体力学中，能量方程可以表示流体微团受到的热量与内能之间的关系。
6.熵方程
熵方程是描述流体、气体等流动中微小扰动的熵变化率的方程。
它表达了热力学第二定律，即在孤立系统中，过程总是朝着熵增加的方向进行。
在流体力学中，熵方程可以表示流体微团受到的热量与熵之间的关系。
7.本构方程
本构方程是描述流体、气体等流动中微小扰动的本构关系的方程。
它涉及到应力与应变、压力与体积等物理量之间的关系，反映了流体的内在属性。
在流体力学中，本构方程需要根据不同的流体类型进行推导和建立。
总之，连续体方程是由运动方程、连续性方程、动量方程、动量矩方程、能量方程、熵方程和本构方程组成的方程组，用于描述连续介质的运动规律和内在属性。
这些方程在流体力学、气体力学、固体力学等领域中有着广泛的应用，对于解决实际问题具有重要的意义。