新版高中数学人教A版必修4习题：第二章平面向量 检测A(1)

第二章检测(A )

(时间:90分钟 满分:120分)

一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1若四边形ABCD 是矩形,则下列命题不正确的是( )

A .A

B ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线

B .A

C ⃗⃗⃗⃗⃗ 与B

D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等

C .A

D ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 模相等,方向相反

D .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 模相等

答案:B

2已知A (1,2),B (3,-1),C (3,4),则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( )

A.11 B .5

C .-1

D .-2

解析:AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2),则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2−3×2=−2.

答案:D

3已知向量a =(1,m ),b =(m ,2),若a ∥b ,则实数m 等于

( )

A.−√2

B.√2

C.−√2或√2

D.0

解析:由a ∥b 知1×2-m 2=0,即m =√2或−√2.

答案:C

4若向量a =(1,-2)与b 的夹角是180°,且|b |=3√5,则b 等于( )

A.(-3,6)

B.(3,-6)

C.(6,-3)

D.(-6,3)

解析:由于向量a ,b 的夹角为180°,可设b =λa =λ(1,-2)=(λ,-2λ),其中λ<0,又|b |=3√5,则√λ2+4λ2=3√5,解得λ=±3,又λ<0,所以λ=-3,所以b =(-3,6).

答案:A

5在下列向量组中,可以把向量a =(3,2)表示出来的是( )

A .e 1=(0,0),e 2=(1,2)

B .e 1=(-1,2),e 2=(5,-2)

C .e 1=(3,5),e 2=(6,10)

D .e 1=(2,-3),e 2=(-2,3)

解析:由平面向量基本定理可知,平面内任意一个向量可用平面内两个不共线向量线性表示,A 中e 1=0·e 2,B 中e 1,e 2为两个不共线向量,C 中e 2=2e 1,D 中e 2=-e 1.故选B .

答案:B 6已知M 是平行四边形ABCD 对角线的交点,下列四个式子不能化简为AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的是( )

A .AB

⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ B .AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC

⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C .OC

⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ D .MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

解析:∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,

∴选项A 错;

∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +(MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +0=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴选项B 错;

∵OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴选项C 错;

MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .

答案:D

7下列说法正确的个数为( )

①AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB

⃗⃗⃗⃗⃗ ; ②已知向量a =(6,2)与b =(-3,k )的夹角是钝角,则k 的取值范围是k<9;

③向量e 1=(2,-3),e 2=(12,-34

)能作为平面内所有向量的一组基底; ④若a ∥b ,则a 在b 上的投影为|a |.

A .1

B .2

C .3

D .4

解析:①正确;②由a ·b <0,得k<9,由a ∥b ,得k=-1,此时,a =-2b ,∴k<9,且k ≠-1,故②错;

③∵e 1=4e 2,∴e 1与e 2共线,不能作为基底;

④由a ∥b ,若a 与b 同向,则a 在b 方向上的投影为|a |,若a 与b 方向相反,则a 在b 方向上的投影为-|a |.

答案:A

8在△ABC 中,已知D 为AB 边上的一点,若AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13

CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ=( ) A .23B.13C.−13D.−23

解析:∵CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴λ=23

. 答案:A

9已知向量a 与向量b 的夹角为120°,若向量c =a +b ,且a ⊥c ,则|a ||b |的值为( )

A .12B.2√33 C.2D.√3

解析:∵c=a+b,a⊥c,∴a·c=0,即a·(a+b)=a2+a·b=|a|2+|a||b|·cos120°=|a|2−1

2

|a||b|=0,

∴|a|2=1

2|a||b|,∴|a|

|b|

=1

2

.

答案:A

10设a,b是非零向量,若函数f(x)=(x a+b)·(a-x b)的图象是一条直线,则必有() A.a∥b B.a⊥b

C.|a|=|b|

D.a=b

解析:f(x)=(x a+b)·(a-x b)=x a2-x2a·b+a·b-x b2=-x2a·b+(a2-b2)x+a·b,

由于函数f(x)的图象是一条直线,则a·b=0.

又a,b是非零向量,所以a⊥b.

答案:B

二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)

11已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且λa+b=0(λ∈R),则|λ|=.

解析:|b|=√22+12=√5,由λa+b=0,得b=-λa,故|b|=|-λa|=|λ||a|,所以|λ|=|b|

|a|=√5

1

=√5.

答案:√5

12已知向量a=(1,3),b=(-2,m),若a与a+2b垂直,则m的值为. 解析:a+2b=(1,3)+(-4,2m)=(-3,3+2m),

∵a⊥(a+2b),∴a·(a+2b)=0,

∴-3+3(3+2m)=0,解得m=-1.

答案:-1

13已知a =(1,2),b =(-2,log 2m ),若|a ·b |=|a ||b |,则正数m 的值等于 .

解析:∵|a ·b |=|a ||b |,∴a ∥b ,

∴log 2m=-4,∴m=2-4=

116. 答案:1

16

14设O ,A ,B ,C 为平面内四点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,且a+b+c =0,a ·b=b ·c=c ·a =-1,则

|a|2+|b|2+|c|2= .

解析:(a+b+c )2=|a|2+|b|2+|c|2+2(a ·b+b ·c+c ·a )=|a|2+|b|2+|c|2-6=0,则|a|2+|b|2+|c|2=6.

答案:6

15如图,在▱ABCD 中,P 在对角线AC 上,且AP =13AC,用基底BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示AP

⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ = .

解析:∵AC

⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13

BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 答案:−23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13

BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

16(8分)在平面直角坐标系xOy 中,点A (16,12),B (-5,15).

(1)求|OA

⃗⃗⃗⃗⃗ |,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |; (2)求∠OAB.

解(1)∵OA

⃗⃗⃗⃗⃗ =(16,12),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−21,3), ∴|OA

⃗⃗⃗⃗⃗ |=√162+122=20, |AB

⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(-21)2+32=15√2. (2)AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−16,−12)·(-21,3)=300,

则cos ∠OAB =AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=20×15√2=√22, 又∠OAB ∈[0,π],故∠OAB =π

4.

17(8分)在平面直角坐标系xOy 中,点O 是坐标原点,已知▱ABCD 的三个顶点A (2,3),B (-1,-2),C (-2,-

1).

(1)求对角线AC 及BD 的长;

(2)若实数t 满足(AB

⃗⃗⃗⃗⃗ +tOC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,求t 的值. 解(1)设顶点D 的坐标为(x ,y ).在▱ABCD 中,由BA

⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得(3,5)=(x+2,y+1),所以x=1,y=4,所以顶点D 的坐标为(1,4),所以|AC

⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√2,|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√10. (2)因为AB

⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,−5),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−1),(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +tOC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +tOC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=6+5+5t =0,所以t=−115

. 18(9分)设向量a =(cos α,sin α)(0≤α<2π),b =(-12,√32),a 与b 不共线.

(1)证明向量a +b 与a -b 垂直;

(2)当两个向量√3a +b 与a −√3b 的模相等时,求角α.

(1)证明a +b =(-12+cosα,√32+sinα),a -b =(12+cosα,sinα-√32),(a +b )·(a -b )=cos 2α−14+sin2α−3

4=0,∴(a +b )⊥(a -b ).

(2)解由题意知(√3a +b )2=(a −√3b)2,得a ·b =0,

∴−12cosα+√32sin α=0,

得tan α=√33.又0≤α<2π,得α=π6或α=7π6. 19(10分)已知直角三角形的两条直角边长分别为4和6,试用向量求出两直角边中线所成钝角θ的余弦函数值.

以直角边所在直线为x 轴、y 轴建立如图平面直角坐标系,则A (4,0),B (0,6),

设AF ,BE 分别为OB ,OA 边上的中线,则E (2,0),F (0,3).

因为AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,3),BE

⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−6), 所以cos θ=AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−13√1050

. 所以两中线所成钝角的余弦值为−13√1050

. 20(10分)(1)已知|a |=4,|b |=3,(2a -3b )·(2a +b )=61,求a 与b 的夹角θ.

(2)设OA

⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,5),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,3),在OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 上是否存在点M,使MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.

解(1)∵(2a -3b )·(2a +b )=61,

∴4a 2-4a ·b -3b 2=61.

又|a |=4,|b |=3,

∴a ·b =-6.

∴cos θ=a ·b

|a ||b |=−12

, ∴θ=120°.

(2)设存在点M ,且OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOC

⃗⃗⃗⃗⃗ =(6λ,3λ)(0<λ≤1), ∴MA

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−6λ,5−3λ),MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−6λ,1−3λ). ∴(2-6λ)(3-6λ)+(5-3λ)(1-3λ)=0, ∴45λ2-48λ+11=0,

解得λ=13或λ=1115,

∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)或OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(225,115

). ∴存在M (2,1)或M (225,115)满足题意.