应用圆的对称性解题
第07讲 圆与对称性(5种题型)(解析版)
第07讲圆与对称性（5种题型）1.在探索过程中认识圆，理解圆的本质属性；2.了解圆及其有关概念，理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；一．圆的认识（1）圆的定义定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．（2）与圆有关的概念弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．二．点与圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r②点P在圆上⇔d＝r①点P在圆内⇔d＜r（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．三．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．四．垂径定理的应用垂径定理的应用很广泛，常见的有：（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．五．圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．一．圆的认识（共3小题）1．（2022秋•邗江区校级月考）已知⊙O的半径是3cm，则⊙O中最长的弦长是（）A．3cm B．6cm C．1.5cm D．cm【分析】利用圆的直径为圆中最长的弦求解．【解答】解：∵圆的直径为圆中最长的弦，∴⊙O中最长的弦长为2×3＝6（cm）．故选：B．【点评】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．2．（2022秋•江阴市校级月考）下列说法错误的是（）A．直径是圆中最长的弦B．半径相等的两个半圆是等弧C．面积相等的两个圆是等圆D．半圆是圆中最长的弧【分析】利用圆的有关定义和性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、直径是圆中最长的弦，说法正确，不符合题意；B、半径相等的两个半圆是等弧，说法正确，不符合题意；C、面积相等的两个圆是等圆，说法正确，不符合题意；D、由于半圆小于优弧，所以半圆是圆中最长的弧说法错误，符合题意．故选：D．【点评】考查了圆的有关概念，解题的关键是了解圆的有关定义及性质，难度不大．3．（2022秋•启东市校级月考）画圆时圆规两脚间可叉开的距离是圆的（）A．直径B．半径C．周长D．面积【分析】画圆时，圆规两脚分开的距离，即圆的半径，据此解答即可．【解答】解：画圆时圆规两脚间可叉开的距离是圆的半径．故选：B．【点评】本题主要考查了圆的认识，认识平面图形，解答本题关键是抓住圆规画圆的方法．二．点与圆的位置关系（共6小题）4．（2022秋•连云港期中）已知⊙O的半径为3，点P在⊙O外，则OP的长可以是（）A．1B．2C．3D．4【分析】由⊙O的半径及点P在⊙O外，可得出OP的长大于3，再对照四个选项即可得出结论．【解答】解：∵⊙O的半径为3，点P在⊙O外，∴OP的长大于3．故选：D．【点评】本题考查了点与圆的位置关系，牢记“①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r；③点P在圆内⇔d＜r”是解题的关键．5．（2021秋•无锡期末）已知⊙O的半径为4，OA＝5，则点A在（）A．⊙O内B．⊙O上C．⊙O外D．无法确定【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．【解答】解：∵⊙O的半径为4，OA＝5，∴OA＞半径，∴点A在⊙O外．故选：C．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．6．（2022秋•江阴市校级月考）已知⊙O的半径是4，OA＝3，则点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在圆内B．点A在圆上C．点A在圆外D．无法确定【分析】根据⊙O的半径r＝4，且点A到圆心O的距离d＝3知d＜r，据此可得答案．【解答】解：∵⊙O的半径r＝4，且点A到圆心O的距离d＝3，∴d＜r，∴点A在⊙O内，故选：A．【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r；③点P在圆内⇔d＜r．7．（2022秋•如皋市期中）在数轴上，点A所表示的实数为4，点B所表示的实数为b，⊙A的半径为2，要使点B在⊙A内时，实数b的取值范围是（）A．b＞2B．b＞6C．b＜2或b＞6D．2＜b＜6【分析】首先确定AB的取值范围，然后根据点A所表示的实数写出a的取值范围，即可得到正确选项．【解答】解：∵⊙A的半径为2，若点B在⊙A内，∴AB＜2，∵点A所表示的实数为4，∴2＜b＜6，故选：D．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．8．（2022秋•梁溪区校级期中）已知⊙O的半径是4，点P到圆心O的距离d为方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根，则点P与⊙O的位置关系为（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．不能确定【分析】求出方程的根，再根据点到圆心的距离与半径的大小关系判断位置关系即可．【解答】解：x2﹣4x﹣5＝0的根为x1＝5，x2＝﹣1＜0（舍去），于是点P到圆心O的距离d＝5，而半径r＝4，∴d＞r，所以点P在⊙O的外部，故选：C．【点评】本题考查点与圆的位置关系，解一元二次方程，求出方程的根是解决问题的前提，掌握点到圆心的距离与半径的大小是判断点与圆位置关系的关键．9．（2022秋•东台市期中）如图，点A，B的坐标分别为A（3，0）、B（0，3），点C为坐标平面内的一点，且BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A．B．C．D．2【分析】作点A关于点O的对称点A'根据中位线的性质得到OM＝A′C，求出A'C的最大值即可．【解答】解：如图，作点A关于点O的对称点A'（﹣3，0），则点O是AA'的中点，又∵点M是AC的中点，∴OM是△AA'C的中位线，∴OM＝A′C，∴当A'C最大时，OM最大，∵点C为坐标平面内的一点，且BC＝2，∴点C在以B为圆心，2为半径的⊙B上运动，∴当A'C经过圆心B时，A′C最大，即点C在图中C'位置．A'C'＝AB+BC'＝3+2．∴OM的最大值＝+1．故选：A．【点评】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是解题的关键．三．垂径定理（共4小题）10．（2022秋•锡山区校级月考）如图，在⊙O中，OC⊥AB于点C，若⊙O的半径为10，AB＝16，则OC 的长为6．【分析】连接OA，利用垂径定理，勾股定理求解即可．【解答】解：如图，连接OA．∵OC⊥AB，∴AC＝CB＝AB＝8，∵OA＝10，∠ACO＝90°，∴OC＝＝＝6，故答案为：6．【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．11．（2022秋•惠山区期中）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，若AB＝10，CD＝8，则图中阴影部分的面积为20．【分析】利用垂径定理，得出CH＝DH＝4，由OC＝OD得出Rt△COH≌Rt△DOH，进而得出图中阴影部，即可得出答案．分的面积为S△ABD【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，CD＝8，∴CH＝DH＝4，∵OC＝OD，∴Rt△COH≌Rt△DOH（HL），＝S△DOH，∴S△COH＝AB•DH＝×10×4＝20．故图中阴影部分的面积为：S△ABD故答案为：20．是解题关键．【点评】此题主要考查了垂径定理，得出图中阴影部分的面积为：S△ABD12．（2022秋•高邮市期中）如图，已知⊙O的直径为26，弦AB＝24，动点P、Q在⊙O上，弦PQ＝10，若点M、N分别是弦AB、PQ的中点，则线段MN的取值范围是（）A．7≤MN≤17B．14≤MN≤34C．7＜MN＜17D．6≤MN≤16【分析】连接OM、ON、OA、OP，由垂径定理得OM⊥AB，ON⊥PQ，AM＝AB＝12，PN＝PQ＝5，由勾股定理得OM＝5，ON＝12，当AB∥PQ时，M、O、N三点共线，当AB、PQ位于O的同侧时，线段MN的长度最短＝ON﹣OM＝7，当AB、PQ位于O的两侧时，线段EF的长度最长＝OM+ON＝17，便可得出结论．【解答】解：连接OM、ON、OA、OP，如图所示：∵⊙O的直径为26，∴OA＝OP＝13，∵点M、N分别是弦AB、PQ的中点，AB＝24，PQ＝10，∴OM⊥AB，ON⊥PQ，AM＝AB＝12，PN＝PQ＝5，∴OM＝＝5，ON＝＝12，当AB∥PQ时，M、O、N三点共线，当AB、PQ位于O的同侧时，线段MN的长度最短＝ON﹣OM＝12﹣5＝7，当AB、PQ位于O的两侧时，线段MN的长度最长＝ON+OM＝12+5＝17，∴线段MN的长度的取值范围是7≤MN≤17，故选：A．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理以及线段的最值问题，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．13．（2022秋•大丰区月考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若BE＝CD＝8，则⊙O的半径的长是（）A．5B．4C．3D．2【分析】连接OC，设⊙O的半径为R，则OE＝8﹣R，根据垂径定理得出CE＝DE＝4，根据勾股定理得出OC2＝CE2+OE2，代入后求出R即可．【解答】解：连接OC，设⊙O的半径为R，则OE＝8﹣R，∵CD⊥AB，AB过圆心O，CD＝8，∴∠OEC＝90°，CE＝DE＝4，由勾股定理得：OC2＝CE2+OE2，R2＝42+（8﹣R）2，解得：R＝5，即⊙O的半径长是5，故选：A．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．四．垂径定理的应用（共4小题）14．（2022秋•如皋市校级月考）兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，高度CD为4m．【分析】根据图可知OC⊥AB，由垂径定理可知∠ADO＝90°，AD＝AB＝8，在Rt△AOD中，利用勾股定理可求OD，进而可求CD．【解答】解：∵OC⊥AB，∴∠ADO＝90°，AD＝AB＝8，在Rt△AOD中，OD2＝OA2﹣AD2，∴OD＝＝6，∴CD＝10﹣6＝4（m）．故答案是4．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键是先求出OD．15．（2022秋•江宁区校级月考）如图是一个隧道的横截图，它的形状是以点O为圆心的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，若CD＝4m，EM＝6m，则⊙O的半径为m．【分析】因为M是⊙O弦CD的中点，根据垂径定理，EM⊥CD，则CM＝DM＝2，在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，进而可求得半径OC．【解答】解：∵M是⊙O弦CD的中点，根据垂径定理：EM⊥CD，又CD＝4则有：CM＝CD＝2m，设圆的半径是x米，在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，即：x2＝22+（6﹣x）2，解得：x＝，所以圆的半径长是m．故答案为：．【点评】此题主要考查了垂径定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2＝d2+（）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．16．（2022•钟楼区校级模拟）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A．1米B．2米C．米D．米【分析】连接OC，OC交AB于D，由垂径定理得AD＝BD＝AB＝2（米），再由勾股定理得OD＝（米），然后求出CD的长即可．【解答】解：连接OC，OC交AB于D，由题意得：OA＝OC＝3米，OC⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝2（米），∠ADO＝90°，∴OD＝＝＝（米），∴CD＝OC﹣OD＝（3﹣）米，即点C到弦AB所在直线的距离是（3﹣）米，故选：C．【点评】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．17．（2022秋•泰州月考）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？【分析】（1）连接OA，利用r表示出OD的长，在Rt△AOD中根据勾股定理求出r的值即可；（2）连接OA′，在Rt△A′EO中，由勾股定理得出A′E的长，进而可得出A′B′的长，据此可得出结论．【解答】解：（1）连接OA，由题意得：AD＝AB＝30（米），OD＝（r﹣18）米，在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，解得，r＝34（米）；（2）连接OA′，∵OE＝OP﹣PE＝30米，∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，解得：A′E＝16（米）．∴A′B′＝32（米）．∵A′B′＝32＞30，∴不需要采取紧急措施．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．五．圆心角、弧、弦的关系（共5小题）18．（2022秋•溧水区期中）如图，C是的中点，弦AB＝8，CD⊥AB，且CD＝2，则所在圆的半径为（）A．4B．5C．6D．10【分析】由垂径定理，勾股定理，可以求解．【解答】解：设所在圆的圆心为点O，⊙O的半径为r，连接OD，OA，∵CD⊥AB，点C是中点，∴O，D，C三点共线，AD＝BD＝4，∵OA2＝OD2+AD2，∴r2＝（r﹣2）2+42，∴r＝5，故选：B．【点评】本题考查勾股定理，垂径定理，关键是定出圆心，构造直角三角形，应用勾股定理列出关于半径的方程．19．（2022秋•淮阴区月考）如图，A、B、C、D是⊙O上四点，且AD＝CB，求证：AB＝CD．【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可．【解答】证明：∵AD＝CB，∴＝，∴+＝+，即＝，∴AB＝CD．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能根据定理求出＝是解此题的关键．20．（2022秋•吴江区校级月考）如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG＝MN，∠A＝50°，则∠BOC＝（）A．100°B．110°C．115°D．120°【分析】过点O作OP⊥AB于点P，OQ⊥AC于点Q，OK⊥BC于点K，由于DE＝FG＝MN，所以弦的弦心距也相等，所以OB、OC是角平分线，可求出∠POQ，进而可求出∠BOC．【解答】解：如图，过点O作OP⊥AB于点P，OQ⊥AC于点Q，OK⊥BC于点K，∴∠APO＝∠AQO＝90°，∵∠A＝50°，∴∠POQ＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∵DE＝FG＝MN，∴OP＝OK＝OQ，∴OB、OC平分∠ABC和∠ACB，∴∠BOC＝＝115°．故选：C．【点评】本题主要考查垂径定理，解题关键是构造出辅助线——弦心距．21．（2022秋•玄武区期末）如图，在⊙O中，AB＝AC．（1）若∠BOC＝100°，则的度数为130°；（2）若AB＝13，BC＝10，求⊙O的半径．【分析】（1）根据圆周角、弧、弦间的关系可以得到AB＝AC，结合等腰三角形的性质解答；（2）连接AO，延长AO交BC于D，则AD⊥BC，构造直角三角形，通过勾股定理求得该圆的半径即可．【解答】解：（1）∵在⊙O中，∠BOC＝100°，∴∠BAC＝50°，∵＝，∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝65°，∴＝130°，故答案为：130；（2）连接AO，延长AO交BC于D，则AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝5，∴在直角△ABD中，由勾股定理，得AD＝＝＝12；在直角△OBD中，由勾股定理，得OB2＝（12﹣OB）2+52，解得OB＝，即⊙O的半径是．【点评】考查了圆周角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．22．（2022秋•吴江区校级月考）已知⊙O的半径为2，弦，弦，则∠BOC的度数为150°或30°．【分析】分类讨论：①当点B和点C在AO两侧时，过点O作OP⊥AB于点P，作OQ⊥AC于点Q，根据垂径定理可求出，，再根据勾股定理可求出，OQ＝1，从而得出AP＝OP，，即得出∠PAO＝45°，∠QAO＝30°，进而可求出∠BAC＝75°，最后由圆周角定理即可求出∠BOC的大小；②当点B和点C在AO同侧时，过点O作OM⊥AB于点M，作ON⊥AC于点N，同理可求出∠BAC＝15°，再由圆周角定理即可求出∠BOC的大小．【解答】解：分类讨论：①当点B和点C在AO两侧时，过点O作OP⊥AB于点P，作OQ⊥AC于点Q，如图，∴．∵OA＝2，∴，∴AP＝OP，∴∠PAO＝45°．∵，OA＝2，∴，∴，∴∠QAO＝30°，∴∠BAC＝∠PAO+∠QAO＝75°∴∠BOC＝2∠BAC＝150°；②当点B和点C在AO同侧时，过点O作OM⊥AB于点M，作ON⊥AC于点N，如图，由①同理可得：∠MAO＝45°，∠NAO＝30°，∴∠BAC＝∠MAO﹣∠NAO＝15°，∴∠BOC＝2∠BAC＝30°．综上可知∠BOC的度数为150°或30°．故答案为：150°或30°．【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质．正确的作出图形和辅助线并利用分类讨论的思想是解题关键．一．选择题（共10小题）1．（2022秋•邗江区期中）已知⊙O的半径为2，则⊙O中最长的弦长（）A．2B．C．4D．【分析】利用圆的直径为圆中最长的弦求解．【解答】解：∵圆的直径为圆中最长的弦，∴⊙O中最长的弦长为2×2＝4．故选：C．【点评】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．2．（2022秋•无锡期末）已知⊙O的半径为5cm，当线段OA＝5cm时，则点A在（）A．⊙O内B．⊙O上C．⊙O外D．无法确定【分析】点在圆上，则d＝r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，OA＝5cm，∴点A在⊙O上．故选：B．【点评】本题考查了点与圆的位置关系，判断点与圆的位置关系，也就是比较点与圆心的距离和半径的大小关系．3．（2023•沛县模拟）如图．AB是⊙O的直径，∠D＝40°，则∠BOC＝（）A．80°B．100°C．120°D．140°【分析】根据圆周角定理即可求出∠BOC．【解答】解：∵∠D＝40°，∴∠BOC＝2∠D＝80°．故选：A．【点评】本题考查圆周角定理，邻补角定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4．（2022秋•姑苏区校级期中）已知⊙O的半径为2，点P是⊙O内一点，且OP＝，过P作互相垂直的两条弦AC、BD，则四边形ABCD面积的最大值为（）A．4B．5C．6D．7【分析】设出OE＝x，利用勾股定理表示出AC，BD，用对角线互相垂直的四边形的面积的计算方法建立面积和OE的函数关系式，即可得出结论．【解答】解：如图：连接OA、OD，作OE⊥AC于E，OF⊥BD于F，∵AC⊥BD，∴四边形OEPF为矩形，∵OA＝OD＝2，OP＝，设OE为x（x＞0），根据勾股定理得，OF＝EP＝＝，在Rt△AOE中，AE＝＝∴AC＝2AE＝2，同理得，BD＝2DF＝2＝2，又∵任意对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的，∴S四边形ABCD＝AC×BD＝×2×2＝2＝2当x2＝即：x＝时，四边形ABCD的面积最大，等于2＝5．故选：B．【点评】此题是一道综合性较强的题，融合了方程思想、数形结合思想．勾股定理，对角线互相垂直的四边形的面积的计算方法，表示出AC，BD是解本题的关键．5．（2023•盐都区一模）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，OC⊥AB于点C，则OC的长为（）A．1B．2C．3D．4【分析】由于OC⊥AB于点C，所以由垂径定理可得，在Rt△ABC中，由勾股定理即可得到答案．【解答】解：∵OC⊥AB，AB＝8，∴，在Rt△ABC中，OA＝5，AC＝4，由勾股定理可得：．故选：C．【点评】本题考查了垂径定理，熟练运用垂径定理并结合勾股定理是解答本题的关键．6．（2022秋•亭湖区校级期末）如图是一个圆柱形的玻璃水杯，将其横放，截面是个半径为5cm的圆，杯内水面AB＝8cm，则水深CD是（）A．cm B．cm C．2cm D．3cm【分析】连接OA、OC，先由垂径定理可得AC长，再由勾股定理得OC长，从而求出CD长．【解答】解：如图，连接OA、OC，则OC⊥AB，∴AC＝AB＝4（cm），在Rt△OAC中，OC＝＝＝3（cm），∴CD＝5﹣3＝2（cm）．故选：C．【点评】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．7．（2022秋•海陵区校级期末）如图，AB为⊙O的直径，点D是的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F．若，AE＝2，则⊙O的直径长为（）A．B．8C．10D．【分析】连接OF，首先证明，设OA＝OF＝x，在Rt△OEF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：如图，连接OF．∵DE⊥AB，∴DE＝EF，，∵点D是弧AC的中点，∴，∴，∴，∴，设OA＝OF＝x，在Rt△OEF中，则有，解得x＝4，∴AB＝2x＝8．故选：B．【点评】本题考查勾股定理，垂径定理，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．8．（2022秋•启东市校级月考）下列说法中，不正确的是（）A．过圆心的弦是圆的直径B．等弧的长度一定相等C．周长相等的两个圆是等圆D．直径是弦，半圆不是弧【分析】对于A，直径是通过圆心且两个端点都在圆上的线段，即可进行判断；对于B，能重合的弧叫等弧，即可进行判断；对于C和D，分别根据等圆，直径，半圆的知识，也可进行判断．【解答】解：A．直径是通过圆心且两个端点都在圆上的线段，故正确；B．能重合的弧叫等弧，长度相等，故正确；C．周长相等的圆其半径也相等，为等圆，故正确．D．直径是弦，半圆是弧，故错误．故选：D．【点评】本题考查圆的认识，解题的关键是掌握弦，弧等知识，灵活运用所学知识解决问题．9．（2022秋•邳州市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（）A．3B．4C．5D．6【分析】由勾股定理求出AC的长度，再由点C在⊙A内且点B在⊙A外求解．【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝＝3，∵点C在⊙A内且点B在⊙A外，∴3＜r＜5，故选：B．【点评】本题考查点与圆的位置关系，解题关键是掌握勾股定理．10．（2022秋•邗江区校级期末）已知圆O的半径为5，同一平面内有一点P，且OP＝4，则点P与圆O 的关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆外C．点P在圆上D．无法确定【分析】根据题意：OP＝4＜r，进行判断即可．【解答】解：设圆的半径为r，由题意得：OP＝4＜r＝5，∴点P与圆O的关系是：点P在圆内．故选：A．【点评】本题考查点与圆的位置关系．熟练掌握利用点到圆心的距离与半径的大小关系，来判断点与圆的位置关系是解题的关键．二．填空题（共8小题）11．（2022秋•兴化市期末）若⊙O的半径为5，OA＝4，则点A与⊙O的位置关系是：点A在⊙O内．（填“内、上、外”）【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内判断出即可．【解答】解：∵⊙O的半径为5，OA＝4，∴d＜r，∴点A与⊙O的位置关系是：点A在⊙O内，故答案为：内．【点评】此题主要考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．12．（2022秋•兴化市校级期末）一个圆的半径是15cm，点P在圆上，那么P点到该圆圆心的距离为15 cm．【分析】圆上点到圆心的距离等于圆的半径，由此即可求解．【解答】解：根据题意，点P在圆上，圆的半径是15cm，∴P点到该圆圆心的距离为15cm，故答案为：15．【点评】本题主要考查的点与圆的位置关系，当点在圆外，点到圆心的距离大于半径；当点在圆上，点到圆心的距离等于半径；当点在圆内，点到圆心的距离小于半径，解题的关键是看点到圆心的距离与圆半径的关系．13．（2023•邳州市一模）如图，某同学准备用一根内半径为5cm的塑料管裁一个引水槽，使槽口宽度AB 为8cm，则槽的深度CD为2cm．【分析】根据垂径定理得到，再利用勾股定理即可求出答案．【解答】解：如图，由题意可知，OA＝5cm，OC⊥AB，则cm，在Rt△ADO中，由勾股定理得，OD＝＝3（cm），∴CD＝OC﹣OD＝5﹣3＝2（cm）．故答案为2．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理是正确解答的前提．14．（2023•鼓楼区模拟）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，则这个花坛的半径为20．【分析】通过作弦心距，构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理进行计算即可．【解答】解：如图，连接OA，过点O作OD⊥AB，垂足为D，∵AB是弦，OD⊥AB，AC＝11，BC＝21，∴AD＝BD＝AB＝16，∴CD＝AD﹣AC＝5，∴OD＝＝＝12，∴OA＝＝＝20．故答案为：20．【点评】本题考查垂径定理的应用，掌握垂径定理和勾股定理是解决问题的前提，构造直角三角形是正确解答的关键．15．（2022秋•连云港期末）如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OE，CD的延长线交⊙O于点E．若∠C＝25°，则∠CEO度数为50°．【分析】根据CD＝OD求出∠DOC＝∠C＝25°，根据三角形的外角性质求出∠EDO＝∠C+∠DOC＝50°，根据等腰三角形的性质求出∠E＝∠EDO＝50°．【解答】解：连接OD．∵CD＝OE，OE＝OD，∴CD＝OD，∵∠C＝25°，∴∠DOC＝∠C＝25°，∴∠EDO＝∠C+∠DOC＝50°，∵OD＝OE，∴∠E＝∠EDO＝50°．故答案为：50．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能求出∠ODE的度数是解此题的关键．16．（2022秋•连云港期末）如图，在⊙O中，弦AB＝4，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC，交⊙O于点D，则CD长的最大值为2．【分析】根据勾股定理求出CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，根据垂径定理计算即可．【解答】解：∵CD⊥OC，∴∠DCO＝90°，∴CD＝＝，当OC的值最小时，CD的值最大，OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，∴CD＝CB＝AB＝2，即CD的最大值为2，故答案为：2．【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．17．（2022秋•秦淮区期末）如图，在以O为圆心半径不同的两个圆中，大圆和小圆的半径分别为6和4，大圆的弦AB交小圆于点C，D．若AC＝3，则CD的长为．【分析】由垂径定理得到CH＝DH，由勾股定理列出关于CH的方程，求出CH长，即可求出CD的长．【解答】解：作OH⊥AB于H，连接OC，OA，设CH＝x，∴CH＝DH，AH＝x+3，∵OH2＝OC2﹣CH2＝OA2﹣AH2，∴42﹣x2＝62﹣（x+3）2，∴x＝，∴CD＝2CH＝．故答案为：．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是掌握垂径定理，勾股定理．18．（2023•南京二模）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E．若AB＝4，CE＝6，则⊙O的半径r为．【分析】如图，作辅助线；设⊙O的半径为r，运用勾股定理列出r2＝22+（6﹣r）2，求出r即可解决问题．【解答】解：如图，连接OA．设⊙O的半径为r，则OE＝6﹣r．∵弦AB⊥CD，∴AE＝BE＝2；由勾股定理得：r2＝22+（6﹣r）2，解得：r＝，故答案为：．【点评】主要考查了垂径定理、勾股定理及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．三．解答题（共8小题）。
5.2圆的对称性(二)
九年级数学5.2 圆的对称性（二）班级 姓名 学号 学习目标1．理解圆的对称性（轴对称）及有关性质. 2．理解垂径定理并运用其解决有关问题. 学习重点：垂径定理及其运用. 学习难点：灵活运用垂径定理. 教学过程 一、情境创设（1）什么是轴对称图形？（2）如何验证一个图形是轴对称图形？ 二、探究学习 1.尝试（1） 在圆形纸片上任意画一条直径.（2） 沿直径将圆形纸片对折，你能发现什么？请将你的发现写下来： _______________________________________________________________. 2.探索如图，CD 是⊙O 的弦，画直径AB ⊥CD ，垂足为P ；将圆形纸片沿AB 对折.通过折叠活动，你发现了什么？__________________________________________________________________. 请试一试证明！ 3.总结垂径定理：_________________________________________________________。
4.典型例题例1.如图，以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C 、D.AC 与BD 相等吗？为什么？例2.如图，已知：在⊙O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离为3。
（1）求的半径；（2）若点P 是AB 上的一动点，试求OP 的范围。
5.巩固练习（1）判断下列图形是否具有对称性？如果是中心对称图形，指出它的对称中心，如果是轴对称图形，指出它的对称轴。
① ② ③④ ⑤DDBB（2）如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离是3.求⊙O 的半径.（3）如图，在⊙O 中，直径AB=10，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，OE=3，求弦CD 的长.（4）如图，OA=OB ，AB 交⊙O 与点C 、D ，AC 与BD 是否相等？为什么？（5）在直径为650mm 的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图，若油面宽AB=600mm ，求油的最大深度.（6）设AB 、CD 是⊙O 的两条弦，AB ∥CD ，若⊙O 的半径为5，AB=8,CD=6，则AB 与CD 之间的距离为_____________（有两种情况）. 三、归纳总结1．圆的轴对称性及有关性质.2．理解垂径定理并运用其解决有关问题.【课后作业】班级 姓名 学号1． 如图，∠C=90°，⊙C 与AB 相交于点D ，AC=5，CB=12，则AD=_____ 2．如图,在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，CD ⊥AB ，垂足为M ．则有AM=_____， _____= ， ____= ．3. ⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点P ，AB=10cm,CD=8cm ，则OP 的长为 CM.4. ⊙O 的弦AB 为5cm ，所对的圆心角为120°，则圆心O 到这条弦AB 的距离为___5. 圆内一弦与直径相交成30°且分直径为1cm 和5cm ，则圆心到这条弦的距离为 cm.6.已知在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，求⊙O 的半径．7.已知，如图 ，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E,AE=1,BE=5, AEC =45°,求CD 的长。
圆的对称性
圆的对称性温故知新：1.已知:如图,点O是∠EPF的平分线的一点,以O为圆心的圆和∠EPF的两边分别交于点A、B和C、D.求证: ∠OBA=∠OCD1、圆的对称性(1)圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。
(2)圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
(3)圆是旋转对称图形。
2、垂径定理。
(1)垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。
(2)推论：平分弦(非直径)的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。
【例1】如图，AB、AC、BC是⊙O的弦，∠AOC＝∠BOC.∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？【例2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝28°，以C为圆心，DE的度数．CA为半径的圆交AB于点D，交BC与点E．求⌒AD、⌒【例3】如图，在同圆中，若⌒AB＝2⌒CD，则AB与2CD的大小关系是( ) ．A. AB＞2CDB. AB＜2CDC. AB＝2CDD. 不能确定【例4】如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径．【例5】如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=10cm，水深GF=1cm，若水面上升1cm（EG=1cm），则此时水面宽AB为多少？【例6】有一座弧形的拱桥，桥下水面的宽度AB 为7.2米，拱顶高出水面CD ，长为2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并且高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座弧形拱桥吗？课堂练习1．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠AOB ＝122°，则∠AOC 的度数为( )A ．122°B ．120°C ．61°D ．58°2．下列结论中，正确的是( )A ．同一条弦所对的两条弧一定是等弧B ．等弧所对的圆心角相等C ．相等的圆心角所对的弧相等D ．长度相等的两条弧是等弧3．如图，在⊙O 中，若C 是AB ︵的中点，∠A ＝50°，则∠BOC 等于( )A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°4．如图，已知BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵，∠AOB ＝60°，则∠COD 的度数是________．5．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠BOC ＝40°，则∠AOE ＝________°.6．在⊙O 中，若弦AB 的长恰好等于半径，则弦AB 所对的圆心角的度数为________．7．如图，在⊙O 中，AB ，CD 是两条直径，弦CE ∥AB ，EC ︵的度数是40°，求∠BOD的度数．8．已知：如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离为3.(1)求⊙O 的半径；(2)若P 是AB 上的一动点，试求OP 的最大值和最小值．9．如图，已知在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C ，D.(1)求证：AC ＝BD ；(2)若大圆的半径R ＝10，小圆的半径r ＝8，且圆心O 到直线AB 的距离为6，求AC 的长．10．如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，半径OC ⊥AB ，垂足为D.要使四边形OACB 为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是( )A ．AD ＝BDB ．OD ＝CDC ．∠CAD ＝∠CBDD ．∠OCA ＝∠OCB11．如图，AB 是⊙O 的弦，AB 的长为8，P 是⊙O 上一个动点(不与点A，B重合)，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为________．12．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA＝45°，则弦CD的长为________．13．已知：如图，∠PAQ＝30°，在边AP上顺次截取AB＝3 cm，BC＝10 cm，以BC 为直径作⊙O交射线AQ于E，F两点，求：(1)圆心O到AQ的距离；(2)线段EF的长．14．如图，某地有一座圆弧形拱桥，圆心为O，桥下水面宽度AB为7.2 m，过点O作OC⊥AB于点D，交圆弧于点C，CD＝2.4 m．现有一艘宽3 m、船舱顶部为方形并高出水面2 m的货船要经过拱桥，则此货船能否顺利通过这座拱桥？15．如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，试求PA＋PC的最小值．课后练习1．圆是轴对称图形，____________都是它的对称轴，因此圆有________条对称轴．2．如图，已知⊙O 的直径AB ⊥CD 于点E ，则下列结论中不一定正确的是( )A ．CE ＝DEB ．AE ＝OEC.BC ︵＝BD ︵ D ．△OCE ≌△ODE3．在⊙O 中，非直径的弦AB ＝8 cm ，OC ⊥AB 于点C ，则AC 的长为( )A ．3 cmB ．4 cmC ．5 cmD ．6 cm4．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D .若⊙O 的半径为5，AB ＝8，则CD 的长是( )A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且CE ＝2，DE ＝8，则AB 的长为( )A ．2B ．4C ．6D ．86．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点．若BC ＝6，AB ＝10，OD ⊥BC 于点D ，则OD 的长为________．7．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，已知CD ＝6，EB ＝1，则⊙O 的半径为________．8．如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点A ，B ，外圆半径OC ⊥AB 于点D 交外圆于点C.测得CD ＝10 cm ，AB ＝60 cm ，则这个车轮的外圆半径是________cm .。
圆的对称性(1)
讨论：如何将 一个圆3等 分?n等分呢？
探究三：
如图，如果在圆形纸片上任意画 一条直径CD，过直径上一点P作弦 AB，弦AB与直径CD一定垂直吗？
1.请同学们将图1沿着直径CD对折， 你能发现什么结论？
·
图1
在⊙O中，如果直径CD 弦AB，垂足为P， 那么弦 AP BP、 AD BD、AC=BC
2
O
你会做吗？
如图，在⊙O中，AC=BD， 1 45 ,求∠2的度数。 解： ∵ AC=BD （已知）
∴ AC-BC=BD-BC （等式的性质） ∴ AB=CD
图 23.1.5
∴ ∠1=∠2=45° （在同圆中，相等的弧 所对的圆心角相等）
探究二： 动手操作：
如何将圆两等分？四等分？八等分？
2、请同学们将图2沿着直径CD对 折，你能发现什么结论？
图2
结论：(垂径定理)
垂直于弦的直径, 平分这条弦 并且平分弦所对的两条弧。
C
· O
P
B D
在⊙O中，如果CD是直径, CD ΑΒ于 P ,
那么：AP=BP， AD=BD，
A
AC=BC
1.如图，在⊙O中，AB＝AC，∠B＝70°. 求∠C度数.
如果 AOB =AOB 那么
AB=AB、
AB =AB
结论：
以上三句话如没 （或等圆） 2.在同一个圆 中，如果弧相等，那 有在同圆或等圆 相等 。 么所对的圆心角_____ ______ 相等、所对的弦 中，这个结论还 会成立吗？
（或等圆） 1.在同一个圆 中，如果圆心角相等， 那么它所对的弧相等、所对的弦相等。
23.1圆的认识
（一）
回顾：
1、圆是对称图形吗？它有哪些对称性？ 2、能否用手中的圆演示出它的各种对
《圆的对称性》圆心角优秀自己总结
在半径为5cm的圆O中，弦AB的长为6cm，则弦AB的弦心距是多少？
已知圆O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，P是弦AB上的一个动点，则点P到圆心O的最短距离是多少？
思考题
练习题
感谢观看
THANKS
01
02
利用圆的对称性解题技巧
04
CHAPTER
利用对称性简对称性可以简化计算过程。例如，计算圆心角所对的弧长或面积时，只需考虑圆心角的一半或特定部分，然后利用对称性得到完整的结果。
对称性简化计算
利用圆的镜像对称性，可以将问题转化为更容易处理的形式。例如，在处理与弦或切线相关的问题时，可以通过作垂线或构造相似三角形等方法，利用镜像对称简化计算。
镜像对称
利用对称性判断图形性质
判定等腰三角形
在圆内接三角形中，如果两个角所对的弧相等，则这两个角相等，从而可以判定该三角形为等腰三角形。
判定直角三角形
如果圆内接三角形的一个角所对的弧是另一个角所对弧的两倍，则该三角形为直角三角形。这一性质可以通过圆的对称性和相似三角形的性质来证明。
利用对称性解决实际问题
01
圆的对称性定义
圆是中心对称图形，任意一点关于圆心的对称点仍在圆上。
02
圆心角性质
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
拓展延伸相关知识点
一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。 圆周角定理 弦切角等于它所夹弧所对的圆周角。 弦切角定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 圆的幂定理
圆上任一点绕圆心旋转任意角度后，仍然位于圆上。
对于圆上任意两点，如果它们关于圆心对称，则它们的连线段通过圆心且被圆心平分。
中心对称性
3.2圆的轴对称性(2)
如图，矩形ABCD与圆O交于点A 如图，矩形ABCD与圆O交于点A、B、E、F， ABCD与圆 5 DE=1cm，EF=3cm， DE=1cm，EF=3cm，则AB=________cm
D A O E
G
F C B
想一想
垂径定理的逆命题是什么？ 垂径定理的逆命题是什么？ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所对的弧. 并且平分弦所对的弧
课本P67 第2题 课本 题
某一公路隧道的形状如图,半圆拱的圆心距离地面 某一公路隧道的形状如图 半圆拱的圆心距离地面2m,半径 半圆拱的圆心距离地面 半径 一辆高3m,宽2.3m的集装箱车能通过这个隧道吗 的集装箱车能通过这个隧道吗? 为1.5m,一辆高 一辆高 宽 的集装箱车能通过这个隧道吗
条件 结论1 结论 结论2 结论
逆定理(1) 逆定理(1)： (1)： 平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧. 平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦, 弦所对的弧. 弦所对的弧. 逆定理(2) 逆定理(2)： (2)： 平分弧的直径垂直于弦,并且平分弧所对的弦. 平分弧的直径垂直于弦,并且平分弧所对的弦.
交圆O于点 解:取CD=1.15m,作DE⊥CD交圆 于点 取 作 ⊥ 交圆 于点E 连接OE,过O作OF⊥ED于F, 过 作 ⊥ 于 连接 由题意可得OE=1.5,OF=CD=1.15 由题意可得 FD=OC=2由勾股定理得 由勾股定理得: 由勾股定理得
B 1.5
1.5 1.15
E
EF = OE 2 − OF2 = 1.52 − 1.152
垂径定理： 垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧. 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧. 条件：直径CD⊥AB 条件：直径CD⊥AB C O 结论： 结论： AE = BE A E D B
北师大版九年级下册数学[圆的对称性—知识点整理及重点题型梳理](提高)
北师大版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习圆的对称性—知识讲解（提高）【学习目标】1.理解圆的对称性；并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法；理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；2.通过探索、观察、归纳、类比，总结出垂径定理等概念，在类比中理解深刻认识圆中的圆心角、弧、弦三者之间的关系；3. 掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用.【要点梳理】要点一、圆的对称性圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴．圆是中心对称图形，对称中心为圆心．要点诠释：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．要点二、与圆有关的概念1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2.弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.要点三、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.要点四、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）要点五、弧、弦、圆心角的关系1.圆心角与弧的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．2. 圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.3. 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1.（2015春•安岳县月考）如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．【答案与解析】解：过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD，∴F为CD的中点，即CF=DF，∵AE=2，EB=6，∴AB=AE+EB=2+6=8，∴OA=4，∴OE=OA﹣AE=4﹣2=2，在Rt△OEF中，∠DEB=30°，∴OF=OE=1，在Rt△ODF中，OF=1，OD=4，根据勾股定理得：DF==，则CD=2DF=2．【总结升华】对于垂径定理的使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算(配合勾股定理)问题.举一反三：【变式1】如图所示，⊙O两弦AB、CD垂直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径．【答案】如图所示，过点O分别作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，则四边形MONH为矩形，连结OB，∴12MO HN CN CH CD CH==-=-11()(38)3 2.522CH DH CH=+-=+-=，111()(46)5222BM AB BH AH==+=+=，∴在Rt△BOM中，OB==【变式2】如图，AB为⊙O的弦，M是AB上一点，若AB＝20cm，MB＝8cm，OM＝10cm，求⊙O的半径.【答案】14cm.2.已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离.【思路点拨】⊙O中，两平行弦AB、CD间的距离就是它们的公垂线段的长度，若分别作弦AB、CD的弦心距，则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离.【答案与解析】(1)如图1，当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，作OM⊥AB于点M，并延长MO，交CD于N点.分别连结AO、CO.∵AB∥CD∴ON⊥CD，即ON为弦CD的弦心距.∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm，=8+6=14(cm)图1 图2(2)如图2所示，当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间(即弦AB、CD在圆心O的同侧)时，同理可得：MN=OM-ON=8-6=2(cm)∴⊙O中，平行弦AB、CD间的距离是14cm或2cm.【总结升华】解这类问题时，要按平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，千万别丢解.举一反三：【变式】在⊙O中，直径MN⊥AB，垂足为C，MN=10，AB=8，则MC=_________．【答案】2或8．类型二、垂径定理的综合应用3.（2015•普陀区一模）如图，某新建公园有一个圆形人工湖，湖中心O处有一座喷泉，小明为测量湖的半径，在湖边选择A、B两个点，在A处测得∠OAB=45°，在AB延长线上的C处测得∠OCA=30°，已知BC=50米，求人工湖的半径．（结果保留根号）【答案与解析】解：过点O作OD⊥AC于点D，则AD=BD，∵∠OAB=45°，∴AD=OD，∴设AD=x，则OD=x，OA=x，CD=x+BC=x+50）．∵∠OCA=30°，∴=tan30°，即=，解得x=25﹣25，∴OA=x=×（25﹣25）=（25﹣25）（米）．答：人工湖的半径为（25﹣25）米．【总结升华】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．4. 不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l于E，BF⊥l于F．(1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OA＝OB除外)(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．【答案与解析】(1)如图所示，在图①中AB、CD延长线交于⊙O外一点；在图②中AB、CD交于⊙O内一点；在图③中AB∥CD．(2)在三个图形中均有结论：线段EC＝DF．(3)证明：过O作OG⊥l于G．由垂径定理知CG＝GD．∵ AE⊥l于E，BF⊥l于F，∴ AE∥OG∥BF．∵ AB为直径，∴ AO＝OB，∴ EG＝GF，∴ EC＝EG－CG＝GF－GD＝DF．【总结升华】在运用垂径定理解题时，常用的辅助线是过圆心作弦的垂线，构造出垂径定理的基本图形. 类型三、圆心角、弧、弦之间的关系及应用5.已知：如图所示，⊙O 中弦AB ＝CD ．求证：AD ＝BC ．【思路点拨】本题主要是考查弧、弦、圆心角之间的关系，要证AD ＝BC ，只需证AD BC =或证∠AOD＝∠BOC 即可．【答案与解析】证法一：如图①，∵ AB ＝CD ，∴ A B C D =．∴ A B B DC D B D -=-，即AD BC =， ∴ AD ＝BC ．证法二：如图②，连OA 、OB 、OC 、OD ，∵ AB ＝CD ，∴ ∠AOB ＝∠COD ．∴ ∠AOB －∠DOB ＝∠COD －∠DOB ，即∠AOD ＝∠BOC ，∴ AD ＝BC ．【总结升华】在同圆或等圆中，证两弦相等时常用的方法是找这两弦所对的弧相等或所对的圆心角相等，而图中没有已知的等弧和等圆心角，必须借助已知的等弦进行推理．举一反三：【变式】如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ． 求证：AC BD =．【答案】证法一：如上图所示，连OC、OD，则OC＝OD，∵OA＝OB，且12OM OA=，12ON OB=，∴OM＝ON，而CM⊥AB，DN⊥AB，∴Rt△COM≌Rt△DON，∴∠COM＝∠DON，∴A C B D=．证法二：如下图，连AC、BD、OC、OD．∵M是AO的中点，且CM⊥AB，∴AC＝OC，同理BD＝OD，又OC＝OD．∴AC＝BD，∴A C B D=．。
圆的对称性应用例析3
圆的对称性应用例析3我们知道圆是轴对称图形,根据圆的对称性可以得到“垂直于弦(不是直径)的直径平分弦,并平分弦所对的两条弧”这一重要性质,根据这一性质可以解决一些与此有关的问题.请看举例.例1小明在黑板上画了一个圆,但被小亮擦去了圆心和圆的一部分,现在只剩下一条弧（如图1）,请你帮助小明重新画出这个圆.图1 图2分析：要画出这个圆,首先要确定这个圆的圆心位置和半径,根据圆是轴对称图形可知，圆心在圆中弦的垂直平分线上，为了确定圆心的位置，可以取弧上的两三点，作出过其中两点的弦，然后作这些弦的垂直平分线，得到交点即为圆心的位置.解：如图2，（1）在上取一点C，连接AC，BC.（2）分别作弦AC，BC的垂直平分线EF，MN，其交点为O，则点O为圆心的位置.只要以O 为圆心，OA为半径画圆，即作出和原来大小相同的圆.例2某地方有一座弧形的拱桥，桥下的水面宽度为7.2米,拱顶高出水面2.4米,现由一艘宽3米,船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱形桥吗图3分析:判断货船能否通过这座桥拱,关键是看船舱顶部两角是否会被拱桥顶部挡住.用表示拱桥画出如图3图形,实际问题就转化为FN的长度.解: 设圆心为0,连结OA、0B，作OD⊥AB于D，交圆于点C，交MN于点H ，根据圆的轴对称性可得D 为AB 的中点.设OA=r ，则OD=OC-DC=,AD=AB 21=, 在Rt △AOD 中,OA 2=AD 2+OD 2,即r 2=+2,解得r=,在Rt △OHN 中,OH=6.35.19.32222=-=-NH ON所以FN=DH=OH-OD=因为2.1米>2米.所以货船可以通过这座拱桥.例 3 如图4，今有一圆木砌入壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何分析：本题是一道古代数学问题，解决本题首先要理解题意：一个圆形木棒砌在墙中，不知道这个木棒的直径，用锯把木棒露在墙外的部分锯掉，锯道的长1尺(1尺=10寸)，且被锯掉部分的弓高为1寸，则这个木棒的直径是多少解决本题可从实际问题中抽象出数学模型______ 圆,然后根据圆的对称性,构造直角三角形解决.图4 图5解： 如图5,用BE 表示锯道，CD 表示锯深，OC 是BE 弦心距.设圆木的半径OB=x 寸，则OC=(x-1)寸，BC=21BE=21×10=5(寸)， 在Rt △OCB 中，由勾股定理得x 2=(x-1)2+52，解得x=13.所以圆木半径是13寸，直径为26寸.。
4.1 圆的对称性 第2课时
M
N
跟踪训练
1、已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF 已知：如图，AB、CD是 的两条弦，OE、 为AB、CD的弦心距，根据本节定理及推论填空： AB、CD的弦心距，根据本节定理及推论填空： 的弦心距 （1）如果AB=CD，那么 如果AB=CD， AB=CD ⌒ ⌒ ___________,________, _________. ∠AOB=∠COD OE=OF AB=CD （2）如果OE=OF，那么 如果OE=OF， OE=OF ⌒ ⌒ ___________,________,__________. ∠AOB=∠COD AB=CD AB=CD
= 75
本课小 结
圆的轴对称性（圆是轴对称图形） 圆的轴对称性（圆是轴对称图形） 圆的对称性 圆心角、 圆心角、弧、 圆的中心对称性（圆是中心对称图形） 圆的中心对称性（圆是中心对称图形） 弦、弦心距之 间的关系 证明圆弧相等：（1 证明圆弧相等：（1）定义 ：（ （2）垂径定理 （3）圆心角、弧、 圆心角、 证明线段相等：（1）直线形的方法 证明线段相等：（1 ：（ （2）垂径定理 （3）圆心角、弧、弦、之间的关系 圆心角、 弦、之间的关系 垂径定理 及其推论
例
题
【例1】如图，点O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心 如图， EPF的平分线上的一点， 的平分线上的一点 求证： 的圆和角的两边分别交于点 A、B和C、D，求证：AB=CD 证明： OM⊥AB，ON⊥CD， 证明：作OM⊥AB，ON⊥CD， 为垂足. M，N为垂足.
∠MPO = ∠NPO OM ⊥ AB ⇒OM = ON ON ⊥ CD ⇒ AB = CD.
（2）若旋转角度不是180°，而是旋转任意角度，则旋转 若旋转角度不是180° 而是旋转任意角度， 180 过后的图形能与原图形重合吗？ 过后的图形能与原图形重合吗？
圆的对称性的练习题
圆的对称性的练习题圆的对称性的练习题圆是我们日常生活中经常遇到的几何形状之一，它具有独特的对称性。
对称性是几何学中一个重要的概念，它表明一个图形或物体在某种变换下保持不变。
在圆的对称性中，我们可以探索一些有趣的练习题，以加深对圆的理解和应用。
练习一：圆的旋转对称首先，我们来看圆的旋转对称性。
旋转对称是指一个图形可以通过某个中心点旋转一定角度后，与原来的图形完全重合。
对于圆来说，它的旋转对称性非常明显，因为圆的每一个点都可以作为旋转的中心点。
现在，我们来做一个练习题。
画一个半径为5厘米的圆，然后选择一个点作为旋转中心，将圆旋转180度。
你会发现，旋转后的圆与原来的圆完全重合。
这就是圆的旋转对称性的体现。
练习二：圆的轴对称除了旋转对称，圆还具有轴对称性。
轴对称是指一个图形可以通过某条直线对折后，两边完全重合。
对于圆来说，它的轴对称性是通过直径来体现的，因为直径将圆分为两个完全相同的半圆。
现在，我们来做第二个练习题。
画一个半径为6厘米的圆，并且在圆上选择两个点A和B，连接这两个点得到一个直径。
然后，将这个圆沿着这个直径对折。
你会发现，对折后的两边完全重合，这就是圆的轴对称性的体现。
练习三：圆的镜像对称除了旋转对称和轴对称，圆还具有镜像对称性。
镜像对称是指一个图形可以通过某个镜面对折后，两边完全重合。
对于圆来说，它的镜像对称性可以通过与圆的边界垂直的直线来体现。
现在，我们来做第三个练习题。
画一个半径为8厘米的圆，并且在圆上选择一个点C。
然后，画一条与圆的边界垂直的直线，并选择一个点D在这条直线上。
接下来，将这个圆与直线对折。
你会发现，对折后的两边完全重合，这就是圆的镜像对称性的体现。
练习四：圆的应用除了对称性的练习，圆还有许多实际应用。
例如，我们可以利用圆的对称性来设计各种各样的艺术品和建筑物。
圆形的建筑物如圆形剧场和圆形体育馆，不仅具有美观的外观，还能够提供更好的声学效果和观赛体验。
此外，圆的对称性还在科学和技术领域有广泛的应用。
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应用圆的对称性解题
我们知道圆是轴对称图形,根据圆的对称性可以得到“垂直于弦(不是直径)的直径平分弦,并平分弦所对的两条弧”这一重要性质,根据这一性质可以解决一些与此有关的问题.请看举例.
例 1 小明在黑板上画了一个圆,但被小亮擦去了圆心和圆的一部分,现在只剩下一条弧（如图1）,请你帮助小明重新画出这个圆.
图1 图2
分析：要画出这个圆,首先要确定这个圆的圆心位置和半径,根据圆是轴对称图形可知，圆心在圆中弦的垂直平分线上，为了确定圆心的位置，可以取弧上的两三点，作出过其中两点的弦，然后作这些弦的垂直平分线，得到交点即为圆心的位置.
解：如图2，（1）在上取一点C，连接AC，BC.
(2)分别作弦AC，BC的垂直平分线EF，MN，其交点为O，
则点O为圆心的位置.只要以O 为圆心，OA为半径画圆，即作出和原来大小相同的圆.
例2某地方有一座弧形的拱桥，桥下的水面宽度为7.2米,拱顶高出水面2.4米,现由一艘宽3米,船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱形桥吗
图3
分析:判断货船能否通过这座桥拱,关键是看船舱顶部两角是否会被拱桥顶部挡住.用表示拱桥画出如图3图形,实际问题就转化为FN的长度.
解: 设圆心为0,连结OA、0B，作OD⊥AB于D，交圆于点C，交MN于
点H ，根据圆的轴对称性可得D 为AB 的中点.
设OA=r ，则OD=OC-DC=,AD=AB 21=, 在Rt △AOD 中,OA 2=AD 2+OD 2,即r 2=+2,解得r=,
在Rt △OHN 中,OH=6.35.19.32222=-=-NH ON
所以FN=DH=OH-OD=
因为2.1米>2米.所以货船可以通过这座拱桥.
例 3 如图4，今有一圆木砌入壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何
分析：本题是一道古代数学问题，解决本题首先要理解题意：一个圆形木棒砌在墙中，不知道这个木棒的直径，用锯把木棒露在墙外的部分锯掉，锯道的长1尺(1尺=10寸)，且被锯掉部分的弓高为1寸，则这个木棒的直径是多少解决本题可从实际问题中抽象出数学模型______ 圆,然后根据圆的对称性,构造直角三角形解决.
图4 图5
解： 如图5,用BE 表示锯道，CD 表示锯深，OC 是BE 弦心距，设圆木的半径OB=x 寸，
则OC=(x-1)寸，BC=21BE=2
1×10=5(寸)， 在Rt △OCB 中，由勾股定理得x 2=(x-1)2+52，解得x=13.
所以圆木半径是13寸，直径为26寸.。