数学中的函数与映射关系
高数高等数学1.1映射与函数
说明 (1) 分段函数对应不同的区间，函数有不同的表达式. (2) 分段函数表示一个函数，不是几个函数. (3) 分段函数的定义域是各分区间的定义域的并集.
1 例6 设 f ( x ) 2 1 解 f ( x) 2
0 x1
求 f ( x 2) .
解
2( x 2) 1, 0 x 2 1 f ( x 2) 4 ( x 2), 1 x 2 2
2 x 5, 2 x,
2 x 1 1 x 0
.
几个特殊的函数举例 (1)常函数
开区间
( a , b ) { x a x b}
o
闭区间
a
b
x
[a , b ] { x a x b }
o
a
b
x
半开区间
[a , b ) { x a x b}
( a , b] { x a x b }
无限区间
有限区间
称a, b为区间的端点， 称b－a为这些区间的长度.
1, 当 x > 0 0, 当x = 0
1 ,
1
当x<0
y4
3 2 1
o
-1
x
x sgn x x
(4)取整函数 y x
[x]表示不超过x 的最大整数
-4 -3 -2 -1 o -1 1 -2 -3 -4
2 3 4
x
(5)狄利克雷函数
y
1 1 当x是有理数时 • y D( x ) o• 0 当x是无理数时 无理数点
f (sin x ) (sin x )3 1
映射的定义
一、数学名词在数学里，映射是个术语，指两个元素的集之间元素相互“对应”的关系，为名词。
映射，或者射影，在数学及相关的领域经常等同于函数。
基于此，部分映射就相当于部分函数，而完全映射相当于完全函数。
定义两个非空集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素a，B 中总有唯一的一个元素b与它对应，就这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B。
其中，b称为元素a在映射f下的像，记作：b=f(a)。
a称为b关于映射f的原像 [1] 。
集合A中所有元素的像的集合称为映射f的值域，记作f(A)。
或者说，设A,B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素a，在集合B中都有唯一的元素b与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。
映射，或者射影，在数学及相关的领域还用于定义函数。
函数是从非空数集到非空数集的映射，而且只能是一对一映射或多对一映射。
映射在不同的领域有很多的名称，它们的本质是相同的。
如函数，算子等等。
这里要说明，函数是两个数集之间的映射，其他的映射并非函数。
一一映射(双射)是映射中特殊的一种，即两集合元素间的唯一对应，通俗来讲就是一个对一个（一对一）。
注意：(1)对于A中不同的元素，在B中不一定有不同的像；（2）B中每个元素都有原像（即满射），且集合A中不同的元素在集合B中都有不同的像（即单射），则称映射f建立了集合A和集合B之间的一个一一对应关系，也称f是A 到B上的一一映射。
二、汉语词语映射是一个汉语词汇，读音为yìng shè，意思是映照、照射，也可以指反射反映。
出自瞿秋白《饿乡纪程》二：“只是那垂死的家族制之苦痛，在几度回光返照的时候，映射在我心里，影响于我生活。
”基本解释[cast light on;shine upon] 照射;映照(阳光映射在江面上)引证解释1. 映照；照射。
清·程麟《此中人语·阎王》：“﹝阎王﹞两眼碧光，与灯光相映射。
函数的概念与分类
函数的概念与分类函数是数学中常见且重要的概念，它在数学及其他领域中起到了至关重要的作用。
本文将介绍函数的概念以及函数的分类，并通过实例来解释和说明。
一、函数的概念函数是一种映射关系，它将一个集合中的每个元素都映射到另一个集合中的唯一元素。
其中，第一个集合称为定义域，第二个集合称为值域。
函数的定义可以用数学的语言来表达为：如果存在一个集合A 和一个集合B，对于集合A中的每个元素a，都有一个在B中的唯一对应元素b与之对应，则称此对应关系为函数。
函数的符号表达通常形式为f(x)，其中f表示函数的名称，x表示定义域中的元素。
例如，如果我们有一个函数f，将实数集合R中的每个数x映射到它的平方即f(x)=x^2。
这样，我们可以通过给函数输入一个具体的数值来得到对应的输出。
二、函数的分类函数可以按照不同的特征和性质进行分类。
以下是几种常见的函数分类。
1. 数学函数数学函数是最基本的函数形式，它涵盖了多种函数类型，如线性函数、二次函数、多项式函数、指数函数、对数函数等等。
这些函数在数学中有广泛的应用，在实际问题中用来描述各种变化规律。
例如，线性函数是一种形如f(x) = ax + b的函数，其中a和b是常数。
它表示了一个呈现直线变化的函数关系。
多项式函数是指由若干个项组成的函数，每个项都是常数与自变量的幂的乘积，并通过相加得到。
指数函数和对数函数则是描述指数增长和对数关系的函数形式。
2. 三角函数三角函数是一类由角度变量产生的函数，如正弦函数、余弦函数、正切函数等。
这些函数在三角学和物理学等领域中具有重要的应用。
以正弦函数为例，它表示了一个角度变化的周期性波动，其表达式为f(x) = sin(x)，其中x是角度。
正弦函数在振动、波动等问题中起到了关键的作用。
3. 特殊函数特殊函数是一类具有特殊性质和特定定义的函数类型，如阶乘函数、伽马函数、贝塞尔函数等。
这些函数在数学中有广泛的应用，用于解决复杂的数学问题。
以阶乘函数为例，它表示一个正整数n的阶乘，即n!。
高一数学映射知识点
高一数学映射知识点数学是一门综合性科学，映射是其中的重要概念之一。
在高一数学学习中，映射是一个需要深入理解和掌握的知识点。
本文将从映射的定义、映射的性质以及映射的应用等方面进行详细介绍。
一、映射的定义映射是一种对应关系，它将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素上。
映射常常用符号“f”表示，表示一个元素或者一组元素通过某种规则对应到另一个集合中。
对于集合A和集合B，如果存在一个映射f，使得对于A中的任意元素a，都有唯一的对应元素b在集合B中，即f(a)=b，那么我们可以说A中的元素通过映射f对应到B中的元素。
二、映射的性质1. 单射：如果映射f中不同的元素在B中有不同的对应元素，即对于任意的a1和a2，如果f(a1)=f(a2)，则a1=a2。
这种映射被称为单射或一一映射。
单射保证了映射的唯一性。
2. 满射：如果映射f中的所有元素都有对应的元素存在于B中，即对于任意的b∈B，都存在a∈A，使得f(a)=b。
这种映射被称为满射。
满射保证了映射的完备性。
3. 双射：既是单射又是满射的映射被称为双射。
双射保证了映射的一一对应关系，即A中的每一个元素都有唯一对应的元素在B中，B中的每一个元素也都有唯一对应的元素在A中。
4. 逆映射：如果映射f是一个双射，那么它存在一个逆映射g，使得g(f(a))=a对于任意的a∈A成立，同时f(g(b))=b对于任意的b∈B也成立。
逆映射可以实现映射的互逆。
三、映射的应用映射在数学中的应用非常广泛，尤其在解决实际问题时起到了重要的作用。
以下是映射在几个常见领域的应用示例：1. 函数关系：函数是一种特殊的映射关系，它将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素上。
函数在数学中有着广泛的应用，例如描述物理规律、经济关系以及建立模型等。
2. 图论：映射在图论中有重要作用。
图是由一系列的顶点和边组成的数学模型，而映射则常常用于描述顶点之间的关系，例如在社交网络中描述用户之间的关注关系。
2015高考总复习数学(文)课件：2.1 函数与映射的概念
3
3.(2013 年江西)函数 y＝ xln(1－x)的定义域为( B )
A.(0,1) C.(0,1] B.[0,1) D.[0,1]
x≥0， 解析：由题意，得自变量满足 1－x>0
解得 0≤x<1，即函
数 y＝ xln(1－x)的定义域为[0,1).故选 B.
1 4.(2012 年四川)函数 f(x)＝ 1－2x
________，f(2x＋1)的定义域为________；
(3)若函数 f(x)的值域为[2,3]，则 f(x－1)的值域为________；
f(x)－1 的值域为________.
正解：(1)若函数 f(x)的定义域为[2,3]， 则 f(x－1)有 2≤x－1≤3，解得 3≤x≤4. 即 f(x－1)的定义域为[3,4]. (2)若函数 f(x－1)的定义域为[2,3]， 即 2≤x≤3，有 1≤x－1≤2，则 f(x)的定义域为[1,2]. 1 而 f(2x＋1)有 1≤2x＋1≤2，解得 0≤x≤2.
x＋1≠0， 要使函数有意义，应满足 1 ＋1≠0， x ＋ 1 即 x≠－1，且 x≠－2. 故函数的定义域是{x|x∈R，x≠－1，且 x≠－2}.
易错、易混、易漏 ⊙对复合函数的定义域理解不透彻 例题：(1)若函数 f(x)的定义域为[2,3]，则 f(x－1)的定义域 为________； (2) 若 函 数 f(x － 1) 的定义域为 [2,3] ，则 f(x) 的定义域为
－
C.f(x)＝2x＋3，T 将函数 f(x)的图象关于点(－1,1)对称
π D.f(x)＝sinx＋3，T
将函数 f(x)的图象关于点(－1,0)对称
考点 3 求函数的定义域
高一数学函数知识点归纳
高一数学函数知识点归纳（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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映射与函数
导数
分析 引论
微分
极限
函数
空间解析几何
常微分 方程
多元函数
多元函数 微分学 应用 偏导数 全微分 重积分 线面积分 曲面面积 体积、质心… 多元函数 积分学
切线、法平面 、梯度…
应用
切线、图形 、速度… 中值定理
面积、体积 、作功… 元素法 不定 积分 连续 定 积分 积分学 无穷 级数
微分学
导数
导数
分析 引论
微分
极限
空间解析几何
微积分 主体
函数 多元函数
专 常微分 题 方程
无穷 级数 多元函数 积分学
多元函数 微分学
偏导数 全微分
重积分 线面积分 曲面面积、体积、 质心…
切线、法平面、 应用 梯度…
应用
切线、图形 、速度…
应
面积、体积 、作功… 元素法 不定 积分 定 积分 积分学 无穷 级数
映射，这个映射称为映射g和f 构成的复合映射，记作
即：
Y1
注 （1） 映射g和f 构成复合映射的条件： （2） 映射g和f 的复合是有顺序的
例题 例1 写出下列映射的定义域和值域，并回答如下问题： （1）映射f 是否单射？是否满射？ （2）若存在逆映射，求出逆映射 1. 设
对每个
2. 设映射f 将平面上的一个圆心在原点单位圆周上的点
函 数
集合
定义
a A. ( 或 a A ) .
确定性、无序性、互异性 有限集、无限集 列举法、描述法
特性
分类 表示法 关系 运算 运算律
A B A B且 B A
A B A B
A\ B
AC
( A B)C AC B C
高数课件-映射与函数
义的一切实数组成的合集，这种定义域称为函数的自然定义域。在这种约定之下，一
般的用算是表达的函数可用“y=∱（x）”表达，而不必再出Df。
例如，函数y=
1- x 2 的定义域是封闭间 -1，1 ，函数y=
1 的定义域是开区间 1- x2
（-1，1）。
表示函数的主要方法有三种：表格法、图形法、解析法（公 式法）。其中，用图形法表下）的像，并记作∱（χ）,即
y=∱（χ）, 而元素χ称为元素y（在映射∱下）的一个原像；集合X称为映射∱的定义域，记作Df， 即Df=X；X中所有元素的像所组成的集合称为映射∱的值域，记作Rf或者∱（χ），即
Rf=∱(X)= f(x) I χ∈X
在上述映射的定义中，需要注意的是：
映 射
与
主讲人： 日期 :
函 数
第一节 映射与函数
映射是现代数学中的一个基本概念，而函数是微积分的研究对象，也是映射的一 种。本节主要介绍映射、函数及有关概念，函数的性质与运算等。
一.映射
1.映射概念 定义 设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则∱，使得对X中的每个元素χ，按法则∱， 在Y中有唯一确定的元素y与之对应，那么称∱为从X到Y的映射，记作
由复合映射的定义可知，映射ℊ和∱构成复合映射的条件是：ℊ的值域Rg必须包含 在∱的定义域内，即Rg⊂Df,否则，不能构成复合映射。由此可以知道，映射ℊ和∱的复 合是有顺序的，∱∘ℊ有意义并不表示ℊ∘∱也有意义。即使∱∘ℊ与ℊ∘∱都有意义，复合映 射∱∘ℊ与ℊ∘∱也未必相同。
例4
设有映射ℊ：R→ -1，1 ，对每个x∈R，ℊ（x)=sinx；映射∱： -1，1 → 0，1 ， 对每个 u∈ -1，1 ，∱（u)= 1- u2,则映射ℊ和∱构成的复合映射∱∘ℊ：R→ 0，1
函数的相等相似与映射关系
函数的相等相似与映射关系函数的相等、相似与映射关系函数是数学中一种重要的概念，它描述了两个集合之间的一种特殊关系。
在函数的定义中，我们会遇到函数的相等、相似以及与映射关系的概念。
本文将探讨这些概念，并分析它们在函数理论中的作用。
1. 函数的相等在数学中，函数的相等是指具有相同定义域和相同取值域的两个函数，它们在定义域内的每个元素上的函数值都相等。
简而言之，如果两个函数在定义域内的每个元素上的函数值都相同，那么它们被认为是相等的。
例如，考虑函数f(x) = x^2和g(x) = x^2，这两个函数的定义域都是实数集R，且在定义域内的每个实数x上，它们的函数值都相等，即f(x) = g(x)。
因此，可以说函数f(x)和g(x)是相等的。
函数的相等在函数的性质证明以及函数的运算中起着重要的作用。
当我们需要判断两个函数是否相等时，可以通过比较它们在定义域内的每个元素上的函数值来进行判断。
2. 函数的相似函数的相似是指具有相似形式或结构的两个函数。
在相似的函数中，函数值的变化规律或模式相同，但可能存在尺度上的差异。
例如，考虑函数f(x) = 2x和g(x) = 3x，这两个函数具有相似的形式，它们的函数值的变化规律都是x的倍数，但差异在于g(x)的函数值是f(x)的函数值的1.5倍。
因此，可以说函数f(x)和g(x)是相似的。
函数的相似性在数学建模以及函数图像的研究中具有重要意义。
通过研究和比较相似的函数，我们可以揭示函数的特性和规律，并应用于实际问题的解决。
3. 函数与映射关系函数与映射是等价的概念，它们都描述了一个集合到另一个集合的对应关系。
函数的定义域对应于映射的起始集合，函数的取值域对应于映射的终止集合。
函数可以看作是一种特殊的映射关系，它满足以下两个条件：- 对于定义域内的每个元素，函数必须给出唯一的函数值。
- 对于定义域之外的元素，函数可以不给出函数值。
映射关系作为函数理论的基础，广泛应用于数学、计算机科学和其他领域。
高考数学知识点解析映射与函数的关系
高考数学知识点解析映射与函数的关系高考数学知识点解析：映射与函数的关系在高考数学中，映射与函数是非常重要的概念，理解它们之间的关系对于解决相关问题至关重要。
首先，咱们来聊聊什么是映射。
映射就像是一个“对应规则”，它把一个集合中的元素与另一个集合中的元素对应起来。
比如说，有集合A 和集合 B，通过某种规则，集合 A 中的每一个元素都能在集合B 中找到唯一对应的元素，这就是映射。
那函数又是什么呢？函数其实是一种特殊的映射。
它特殊在哪里呢？函数要求集合 A（通常称为定义域）中的每一个元素，在集合 B（通常称为值域）中都有唯一确定的元素与之对应。
为了更清楚地理解，咱们来看几个例子。
假设集合A ＝｛1, 2, 3}，集合 B ＝｛4, 5, 6}。
如果我们规定映射规则是：1 对应 4，2 对应 5，3 对应 6，那么这就是一个映射。
但如果规定 1 对应4 和 5，那就不是函数了，因为 1 对应的元素不唯一。
再比如，我们有一个函数 f(x) ＝ 2x，当 x 取 1 时，f(1) ＝ 2；当 x取 2 时，f(2) ＝ 4。
对于定义域中的每一个 x，都有唯一确定的 f(x)与之对应，这就是函数的特点。
从定义上看，函数是映射的一种，但映射不一定是函数。
可以说函数是“规矩”的映射，必须满足每一个输入都有唯一的输出。
映射和函数在数学中的应用非常广泛。
在解决实际问题时，我们常常需要建立映射或函数关系来描述事物之间的联系。
比如在物理学中，路程和时间的关系可以用函数 s ＝ vt 来表示（其中 s 表示路程，v 表示速度，t 表示时间）。
通过这个函数，我们可以根据给定的速度和时间计算出路程，或者已知路程和时间求出速度。
在经济学中，成本和产量之间的关系、收益和销售量之间的关系等也常常可以用函数来描述。
对于高考来说，掌握映射与函数的关系，能够帮助我们更好地解决各种类型的题目。
比如在求函数的定义域和值域时，就需要清楚函数的定义和映射的规则。
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函数与映射是数学中重要的概念，也是数学中的基本工具。
函数是一种特殊的
映射关系，它描述了不同数值之间的对应关系。
函数在数学中的应用非常广泛，从基本的代数运算到高级的微积分都需要函数的概念和方法来描述和求解。
下
面我们将从函数的定义、性质和应用角度来探讨函数与映射关系。
首先，函数的定义是关键。
函数是一种将一个数集的元素（称为自变量）映射
到另一个数集的元素（称为因变量）的规则。
函数可以用各种不同方式表示，
比如用代数式、表格和图像等形式。
通常用f(x)表示函数，其中x是自变量，
f(x)是对应的因变量。
函数可以用不同的表达式表示，如线性函数、幂函数、
指数函数和三角函数等。
例如，线性函数y = ax + b表示的是一条直线，其斜率为a，截距为b。
指数函数y = a^x描述的是一种以底数a为基的指数增长或衰减关系。
函数具有多个重要的性质。
首先，每个自变量x只能映射到唯一的因变量f(x)，即函数是一对一映射关系。
其次，函数可以有多个自变量映射到同一个因变量，但不能反过来，即函数的反函数不一定存在。
再次，函数具有像函数、核函数
和空间函数等特性。
像函数是指通过函数，自变量的像可以确定因变量，核函
数是指通过函数，因变量的像可以确定自变量，而空间函数则是指通过函数，
自变量和因变量来确定特定的空间变化。
函数在数学中有广泛的应用。
在代数学中，函数被用来描述线性运算、方程求
解和数据拟合等问题。
在微积分中，函数被用来描述曲线的切线斜率、函数的
极值和定积分等问题。
在概率论和数理统计中，函数被用来描述随机变量的分
布和概率密度函数等问题。
在应用数学中，函数广泛应用于物理学、工程学和
经济学等领域，用来描述和解决实际问题。
例如，物理学中的牛顿第二定律可
以用函数来表示力对物体的加速度关系。
总结起来，函数与映射关系在数学中具有重要的地位和作用。
函数通过描述不
同数值之间的对应关系，帮助我们理解和分析数学问题。
函数不仅具有多样的
表达形式和性质，而且在各个学科和实际应用中都具有广泛的应用。
对函数的
深入理解和掌握，对于数学学科的学习和应用都具有重要意义。
因此，我们应
该注重函数与映射关系的学习和应用，提升数学素养和解决问题的能力。