2020年中考数学模拟试卷(七)

2020年中考数学模拟试卷（七）

一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．下列运算结果为a 6的是（ ）

A ．a 2+a 3

B ．a 2?a 3

C ．（﹣a 2）3

D ．a 8÷a 2 2．若代数式有意义，则x 的取值范围是（ ）

A ．x ＞﹣1且 x ≠1

B ．x ≥﹣1

C ．x ≠1

D ．x ≥﹣1且 x ≠1 3．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∠α与∠β互余的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

4．我县人口约为530060人，用科学记数法可表示为（ ）

A ．53006×10人

B ．5.3006×105人

C ．53×104人

D ．0.53×106人

5．化简y x y y x y xy x ---++22222的结果是（ ） A ． B ． C ． D ．

6．抛物线y ＝（x ﹣2）2+3的顶点坐标是（ ）

A ．（2，3）

B ．（﹣2，3）

C ．（2，﹣3）

D ．（﹣2，﹣3）

7．为调查某校2000名学生对语文、数学、英语、物理、化学五大科目的喜爱情况，随机抽取部分学生进行调查，并结合调查数据作出如图所示的扇形统计图，根据统计图提供的信息，可估算出该校喜爱语文的学生约有（ ）

A ．500名

B ．600名

C ．700名

D ．800名

8．如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则sin∠BED的值是（）

A．B．C．D．

9．若数a使得关于x的不等式组，有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程1有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．3B．2C．﹣2D．﹣3

10．如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个，AC⊥x轴于点M，交直线y＝﹣x于点N，若点P是线段ON上的一个动点，以AP为边向AP右侧作等边三角形APB，取线段AB的中点H，当点P从点O运动到点N时，点H运动的路径长是（）

A．2B．1C．D．

二．填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）

11．分解因式：2x2+4x+2＝．

12．已知一组数据是3，4，7，a，中位数为4，则a＝．

13．如图将一直角三角板的直角顶点放置在两边互相平行的纸条的边上，若∠1＝35°，则∠2的大小为度．

14．一个不透明的盒子中放着编号为1到10的10张卡片（编号均为正整数），这些卡片除了编号以外没有任何其他区别．盒中卡片已经搅匀．从中随机地抽出1张卡片，则“该

卡片上的数字大于”的概率是．

15．如图，正方形ABCD的边长为2，顶点A在y轴上，顶点B在x轴上，则OD的最大值是．

16．如图，在⊙O中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点P为上任意一点，连接P A，PB，PC，则线段P A，PB，PC之间的数量关系为．

第15题第16题第17题

17．如图，四边形OABC是平行四边形，点C在x轴上，反比例函数y（x＞0）的图象

经过点A（5，12），且与边BC交于点D．若AB＝BD，则点D的坐标为．18．如图，已知∠XOY＝60°，点A在边OX上，OA＝2．过点A

作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形

ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点

P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD

＝a，OE＝b，则a+2b的取值范围是．

三．解答题（共10小题，满分76分）

19．（6分）（1）计算：20180﹣tan30°+（）﹣1；（2）化简：（x﹣y）2﹣x（x﹣y）20．（6分）（1）解方程：3x2+x﹣4＝0；（2）解不等式组：

21．（6分）如图，AD是等腰△ABC底边BC上的高，点O是AC中点，延长DO到E，使AE∥BC，连接AE．

（1）求证：四边形ADCE是矩形；

（2）①若AB＝17，BC＝16，则四边形ADCE的面积＝．

②若AB＝10，则BC＝时，四边形ADCE是正方形．

22．（6分）不透明的袋中装有3个大小相同的小球，其中两个为白色，一个为红色，随机地从袋中摸取一个小球后放回，再随机地摸取一个小球，（用列表或树形图求下列事件的概率）

（1）两次取的小球都是红球的概率；

（2）两次取的小球是一红一白的概率．

23．（8分）如图为地铁调价后的计价表．调价后小明、小伟从家到学校乘地铁分别需要4元和3元．由于刷卡坐地铁有优惠，因此，他们平均每次实付3.6元和2.9元．已知小明从家到学校乘地铁的里程比小伟从家到学校的里程多5km，且小明每千米享受的优惠金额是小伟的2倍，求小明和小伟从家到学校乘地铁的里程分别是多少千米？

24．（8分）在一次数学综合实践活动中，小明计划测量城门大楼的高度，在点B处测得楼顶A的仰角为22°，他正对着城楼前进21米到达C处，再登上3米高的楼台D处，并测得此时楼顶A的仰角为45°．

（1）求城门大楼的高度；

（2）每逢重大节日，城门大楼管理处都要在A，B之间拉上绳子，并在绳子上挂一些彩旗，请你求出A，B之间所挂彩旗的长度（结果保留整数）．（参考数据：sin22°，cos22°

，tan22°）

25．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y x与反比例函数y在第一象限

内的图象相交于点A（m，3）．

（1）求该反比例函数的关系式；

（2）将直线y x沿y轴向上平移8个单位后与反比例函数在第一象限内的图象相交

于点B，连接AB，这时恰好AB⊥OA，求tan∠AOB的值；

（3）在（2）的条件下，在射线OA上存在一点P，使△P AB∽△BAO，求点P的坐标．

26．（8分）已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，作OF∥AB交BC于点F，连接EF．

（1）求证：OF⊥CE；

（2）求证：EF是⊙O的切线；

（3）若⊙O的半径为3，∠EAC＝60°，求CD的长．

27．（10分）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是边AD上一点，EM⊥EC交AB于点M，点N在射线MB上，且AE是AM和AN的比例中项．

（1）如图1，求证：∠ANE＝∠DCE；

（2）如图2，当点N在线段MB之间，联结AC，且AC与NE互相垂直，求MN的长；

（3）连接AC，如果△AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似，求DE的长．

28．（10分）已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．

（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；

（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；

（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．

参考答案

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D D C B C A B B A B

10．解：由右图可知，当P 在O 点时，△AOB 1为正三角形，

当P 在N 点时，△ANB 2为正三角形，H 1，H 2分别为AB 1与AB 2的中点，

∵P 在直线ON 上运动，∠AB 2N ＝60°为定值，∴B 1B 2的运动轨迹也为直线， ∵△OAB 1为正三角形，∴∠OAB 1＝∠1+∠2＝60°，同理∠NAB 2＝∠2+∠3＝60°， ∴∠1＝∠3，在△OAN 与△B 1AB 2中，

， ∴△OAN ≌△B 1AB 2，∴B 1B 2＝ON ，

∴点A 横坐标为，

∵AN ⊥x 轴，∴M （

，0）， ∵直线ON 的解析式为：y ＝﹣x ，∴∠MON ＝45°，

∴N （，），∴ON ＝2＝B 1B 2，

∵H 1，H 2分别为AB 1与AB 2的中点，∴H 1H 2

B 1B 2＝1，

故选：B ． 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）

11．2（x +1）2 12．4 13．55． 14．21 15．1．

16．PB +PC P A ． 17．（8，） 18．2≤a +2b ≤5

16、解：如图作AE ⊥PC 于E ，AF ⊥PB 交PB 的延长线于F ．

∵BC 是直径，∴∠BAC ＝∠EPF ＝90°，

∵AB ＝AC ，∴，∴∠APF ＝∠APC ，

∵AE ⊥PC ，AF ⊥PF ，∴AE ＝AF ，∵∠F ＝∠AEC ＝90°，

∴Rt △AEC ≌Rt △AFB （HL ），∴BF ＝CE ，

∵∠AFP＝∠AEP＝90°，AP＝AP，AF＝AE，∴Rt△APF≌Rt△APE（HL），

∴PF＝PE，∴PB+PC＝PF﹣BF+PE+EC＝2PE，∵∠APC＝∠ABC＝45°，

∴△APE是等腰直角三角形，∴P A PE，∴PE P A

∴PB+PC P A．故答案为PB+PC P A．

17．如图，连接AD并延长，交x轴于E，

由A（5，12），可得AO13，∴BC＝13，

∵AB∥CE，AB＝BD，∴∠CED＝∠BAD＝∠ADB＝∠CDE，

∴CD＝CE，∴AB+CE＝BD+CD＝13，即OC+CE＝13，

∴OE＝13，∴E（13，0），由A（5，12），E（13，0），可得AE的解析式为y x，∵反比例函数y（x＞0）的图象经过点A（5，12），∴k＝12×5＝60，

∴反比例函数的解析式为y，解方程组，可得，，

∴点D的坐标为（8，）．

解法2：∵反比例函数y（x＞0）的图象经过点A（5，12），∴k＝12×5＝60，

∴反比例函数的解析式为y，设D（m，），

由题可得OA的解析式为y x，AO∥BC，∴可设BC的解析式为y x+b，

把D（m，）代入，可得m+b，∴b m，

∴BC的解析式为y x m，

令y＝0，则x＝m，即OC＝m，∴平行四边形ABCO中，AB＝m，

如图所示，过D作DE⊥AB于E，过A作AF⊥OC于F，则△DEB∽△AFO，

∴，而AF＝12，DE＝12，OA13，∴DB＝13，

∵AB＝DB，∴m13，解得m1＝5，m2＝8，

又∵D在A的右侧，即m＞5，∴m＝8，∴D的坐标为（8，）．

故答案为：（8，）．

18．解：过P作PH⊥OY交于点H，

∵PD∥OY，PE∥OX，∴四边形EODP是平行四边形，∠HEP＝∠XOY＝60°，

∴EP＝OD＝a，Rt△HEP中，∠EPH＝30°，∴EH EP a，

∴a+2b＝2（a+b）＝2（EH+EO）＝2OH，

当P在AC边上时，H与C重合，此时OH的最小值＝OC OA＝1，

即a+2b的最小值是2；

当P在点B时，OH的最大值是：1，即（a+2b）的最大值是5，∴2≤a+2b≤5．三．解答题（共10小题，满分76分）

19．（6分）（1）﹣2；（2）y2﹣xy．

20．（6分）（1）x1，x2＝1；(2)不等式组的解集为1＜x≤3．

21．（6分）（1）证明：∵点O是AC中点，∴AO＝OC，

∵OE＝OD，∴四边形ADCE是平行四边形，

∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，∴∠ADC＝90°，

∴四边形ADCE是矩形；

（2）①∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，BC＝16，AB＝17，

∴BD＝CD＝8，AB＝AC＝17，∠ADC＝90°，

由勾股定理得：AD15，

∴四边形ADCE的面积是AD×DC＝15×8＝120．

②当AB＝10，BC＝10时，四边形ADCE是正方形，理由如下：

∵AB＝AC＝10，BC＝10，∴AD DC，∵AD⊥BC，∴四边形ADCE是正方形；

故答案为：120；10．

22．（6分）（1）；（2）．

23．（8分）小明和小伟从家到学校乘地铁的里程分别是10千米、5千米．24．（8分）解：（1）作AF⊥BC交BC于点F，交DE于点E，如右图所示，

由题意可得，CD＝EF＝3米，∠B＝22°，∠ADE＝45°，BC＝21米，DE＝CF，∵∠AED＝∠AFB＝90°，∴∠DAE＝45°，∴∠DAE＝∠ADE，∴AE＝DE，

设AF＝a米，则AE＝（a﹣3）米，

∵tan∠B，∴tan22°，即，

解得，a＝12，答：城门大楼的高度是12米；

（2）∵∠B＝22°，AF＝12米，sin∠B，

∴sin22°，∴AB32，

即A，B之间所挂彩旗的长度是32米．

25．（8分）解：（1）∵点A（m，3）在直线y x上∴3m，∴m＝3，

∴点A（3，3），∵点A（3，3）在反比例函数y上，∴k＝33＝9，∴y；

（2）直线向上平移8个单位后表达式为：y x+8

∵AB⊥OA，直线AB过点A（3，3）∴直线AB解析式：y x+12，

∴x+8x+12，∴x．∴B（，9），∴AB＝4

在Rt△AOB中，OA＝6，∴tan∠AOB

（3）如图，∵△APB∽△ABO，∴，

由（2）知，AB＝4，OA＝6即∴AP＝8，

∵OA＝6，∴OP＝14，过点A作AH⊥x轴于H

∵A（3，3），∴OH＝3，AH＝3，在Rt△AOH中，

∴tan∠AOH，∴∠AOH＝30°过点P作PG⊥x轴于G，

在Rt△APG中，∠POG＝30°，OP＝14，∴PG＝7，OG＝7∴P（7，7）．

26．（8分）解：（1）设OF与EC交于点H，

∵AC为圆的直径，∴∠AEC＝90°，即：AE⊥EC，而OF∥AB，

∴∠BEC＝∠FHC＝90°，∴OF⊥CE；

（2）∵OF⊥CE，∴OF是EC的垂直平分线，∴FE＝FC，∴∠FEH＝∠FCH，又∠OEH＝∠OCH，∴∠OEF＝∠FEH+∠OEH＝∠FCH+∠OCH＝90°，

∴EF是⊙O的切线；

（3）∵∠EAC＝60°，∴△OAE为等边三角形，∴∠AOE＝60°＝∠DOC，CD＝OC?tan60°＝3．

27．（10分）解：（1）∵AE是AM和AN的比例中项∴，

∵∠A＝∠A，∴△AME∽△AEN，∴∠AEM＝∠ANE，

∵∠D＝90°，∴∠DCE+∠DEC＝90°，

∵EM⊥BC，∴∠AEM+∠DEC＝90°，∴∠AEM＝∠DCE，∴∠ANE＝∠DCE；

（2）∵AC与NE互相垂直，∴∠EAC+∠AEN＝90°，

∵∠BAC＝90°，∴∠ANE+∠AEN＝90°，∴∠ANE＝∠EAC，

由（1）得∠ANE＝∠DCE，∴∠DCE＝∠EAC，∴tan∠DCE＝tan∠DAC，∴，∵DC＝AB＝6，AD＝8，∴DE，∴AE＝8，

由（1）得∠AEM＝∠DCE，∴tan∠AEM＝tan∠DCE，∴，∴AM，

∵，∴AN，∴MN；

（3）∵∠NME＝∠MAE+∠AEM，∠AEC＝∠D+∠DCE，

又∠MAE＝∠D＝90°，由（1）得∠AEM＝∠DCE，∴∠AEC＝∠NME，

当△AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似时

①∠ENM＝∠EAC，如图2，∴∠ANE＝∠EAC，由（2）得：DE；

②∠ENM＝∠ECA，如图3，过点E作EH⊥AC，垂足为点H，

由（1）得∠ANE＝∠DCE，∴∠ECA＝∠DCE，∴HE＝DE，

又tan∠HAE，设DE＝3x，则HE＝3x，AH＝4x，AE＝5x，

又AE+DE＝AD，∴5x+3x＝8，解得x＝1，∴DE＝3x＝3，

综上所述，DE的长分别为或3．

28.（10分）解：（1）∵抛物线y＝ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），∴a+a+b＝0，即b

＝﹣2a，∴y＝ax2+ax+b＝ax2+ax﹣2a＝a（x+）2﹣，

∴抛物线顶点D的坐标为（﹣，﹣）；

（2）∵直线y＝2x+m经过点M（1，0），∴0＝2×1+m，解得m＝﹣2，

∴y ＝2x ﹣2，则，得ax 2+（a ﹣2）x ﹣2a +2＝0，

∴（x ﹣1）（ax +2a ﹣2）＝0，解得x ＝1或x ＝﹣2，∴N 点坐标为（﹣2，﹣6）， ∵a ＜b ，即a ＜﹣2a ，∴a ＜0，

如图1，设抛物线对称轴交直线于点E ，

∵抛物线对称轴为x ＝﹣＝﹣，∴E （﹣，﹣3），

∵M （1，0），N （﹣2，﹣6），设△DMN 的面积为S ，

∴S ＝S △DEN +S △DEM ＝|（﹣2）﹣1|?|﹣﹣（﹣3）|＝， （3）当a ＝﹣1时，抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2﹣x +2＝﹣（x +）2+， 有

，﹣x 2﹣x +2＝﹣2x ，解得：x 1＝2，x 2＝﹣1，∴G （﹣1，2）， ∵点G 、H 关于原点对称，∴H （1，﹣2），

设直线GH 平移后的解析式为：y ＝﹣2x +t ，﹣x 2﹣x +2＝﹣2x +t ，

x 2﹣x ﹣2+t ＝0，△＝1﹣4（t ﹣2）＝0，t ＝，

当点H 平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0），把（1，0）代入y ＝﹣2x +t ，t ＝2， ∴当线段GH 与抛物线有两个不同的公共点，t 的取值范围是2≤t ＜．