举例说明函数的积的求导法则
求导基本法则和公式
求导基本法则和公式导数是微积分中的重要概念，用来描述函数在其中一点的变化率。
求导是求函数的导数的过程，求导的基本法则和公式有很多，下面详细介绍一些常用的基本法则和公式。
1. 常数法则：对于任意常数c，其导数为0。
即 d(c)/dx = 0。
2. 幂函数法则：对于任意实数n，以及常数a大于0，其导数公式为d(ax^n)/dx = nax^(n-1)。
3. 和差法则：对于任意两个可导函数f(x)和g(x)，其导数为两个函数的导数的和或差。
即d(f(x) ± g(x))/dx = f'(x) ± g'(x)。
4. 积法则：对于任意两个可导函数f(x)和g(x)，其导数为第一个函数在x点的值与第二个函数在x点的导数的乘积再加上第一个函数在x点的导数与第二个函数在x点的值的乘积。
即 d(f(x)g(x))/dx = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
5. 商法则：对于任意两个可导函数f(x)和g(x)，其导数为第一个函数在x点的值与第二个函数在x点的导数的乘积再减去第一个函数在x点的导数与第二个函数在x点的值的乘积，然后除以第二个函数在x点的平方。
即 d(f(x)/g(x))/dx = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)]^26.反函数法则：如果函数y=f(x)在其中一点x处可导，且其导数不为0，则其反函数x=g(y)在相应的点y处也可导，且其导数为1/f'(g(y))。
7. 求导乘积法：对于一组函数的乘积f(x) = f1(x)f2(x)...fn(x)，其导数可以表示为 f'(x) = f1'(x)f2(x)...fn(x) +f1(x)f2'(x)...fn(x) + ... + f1(x)f2(x)...fn'(x)。
8.反函数求导法则：如果函数y=f(x)在其中一点x处可导，且其导数不为0，则其反函数x=g(y)在相应的点y处也可导，且其导数为1/f'(g(y))。
函数的求导法则
复合函数的求导法则: dy = f ′(u)⋅ g′(x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx
求 dy . 例10 y = ln sin x, dx
解 dy =(ln sin x)′= 1 ⋅(sin x)′ = 1 ⋅cosx=cot x . dx sin x sin x dy 3 2 , 求 例11 y = 1−2x ． . dx 1 dy −4x 1 (1−2x2)− 2 ⋅(1−2x2)′ = 2)3 ]′ = 解 3 =[( −2x 1 . 3 ( −2x2)2 dx 3 3 1 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形. 例如, 设y=f(u), u=ϕ(v), v=ψ(x), 则
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复合函数的求导法则: dy = f ′(u)⋅ g′(x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx 例8 y=ex3 , 求 dy . 9 dx 解 函数 y=ex3可看作是由y=e u, u=x3复合而成的, 因此
dy dy du u 2 = ⋅ =e ⋅3x =3x2ex3 . dx du dx dy 例9 y =sin 2x2 , 求 . 10 1+ x dx 解 函数 y =sin 2x 是由 y=sin u , u = 2x 复合而成的, 1+ x2 1+ x2 dy dy du 2(1+ x2) −(2x)2 2(1− x2) = ⋅ =cosu⋅ = ⋅cos 2x2 . 因此 dx du dx (1+ x2)2 (1+ x2)2 1+ x
u(x) u′(x)v(x) −u(x)v′(x) >>> [ ]′ = . 2(x) v(x) v
22 函数的和、差、积、商的求导法则
三、函数商的求导法则
定理3 如果函数uu(x)及vv(x)在点x具有导数 则它们的商
u ( x) f ( x) 也在点x 处可导，其导数为 v( x) u' ( x )v( x ) u( x )v ' ( x ) ' f ( x) v 2 ( x)
证：
1 1 g ( x x) g ( x) v ( x x ) v ( x ) ' g ( x) lim lim x 0 x 0 x x ' v( x) v( x x) 1 v ( x) lim 2 x 0 x v( x x)v( x) v ( x)
二、函数的积的求导法则
定理2 如果函数uu(x)及vv(x)在点x具有导数 则它们的积
也在点x 处可导，其导数为
f ( x x) f ( x) x u ( x x)v( x x) u ( x)v( x) lim x 0 x
lim 证： x 0
u ( x x) u ( x) v( x x) v( x) lim v( x x) lim u ( x) x 0 x 0 x x
用类似方法 还可求得 (cot x)=-csc2x (csc x)csc x cot x
小结：基本求导法则与导数公式
•函数的和、差、积、商的求导法则 (1) (u v)u v (2) (Cu)Cu (C是常数) (3) (uv)uvu v •几个基本初等函数 •的导数公式 （136页） (tan x)sec2x (cot x)csc2x (sec x)sec xtan x (csc x)csc xcot x
§2.2 函数的和、积、商的求导法则
一、函数的线性组合的求导法则
导数乘法求导公式口诀
导数乘法求导公式口诀在微积分中，导数乘法是一个重要的概念。
我们知道，导数是用来描述函数在某一点的变化速率的。
而当我们需要求两个函数乘积的导数时，就需要用到导数乘法法则。
导数乘法求导公式口诀可以帮助我们更快地计算复杂函数的导数，接下来，我们将介绍导数乘法求导的口诀和应用。
在求导数乘法时，我们可以利用以下口诀来快速计算：“左导右加右导左，导数乘积不用愁。
”这句口诀简洁清晰地表达了导数乘法的计算规律。
具体来说，当我们需要求两个函数的乘积的导数时，先将其中一个函数的导数乘以另一个函数，然后再将另一个函数的导数乘以第一个函数，最后将这两个结果相加即可得到最终的导数。
下面我们通过一个简单的例子来演示导数乘法的计算过程。
假设我们要求函数 $y = x^2 \\cdot e^x$ 的导数。
首先，根据口诀，我们可以按照“左导右加右导左”的步骤来计算：1.我们先求x2的导数：2x。
2.然后求x x的导数：x x。
3.将第一步和第二步的结果相乘得到第一部分：$2x\\cdot e^x$。
4.接着求x x的导数：x x。
5.最后求x2的导数：2x。
6.将第四步和第五步的结果相乘得到第二部分：$x^2\\cdot e^x$。
最后，将第三步和第六步的结果相加，即：$2x \\cdot e^x + x^2 \\cdot e^x$，得到最终的导数：$(2x + x^2) \\cdot e^x$。
通过这个例子，我们可以看到导数乘法的计算过程并不复杂，而且口诀可以帮助我们更快地完成复杂函数的导数计算。
综上所述，导数乘法求导公式口诀是求解导数乘法问题的一个简便方法，通过灵活运用口诀，我们可以更加高效地计算函数的导数，为微积分的学习和应用提供便利。
愿这个口诀能够帮助你更好地理解和应用导数乘法求导公式。
和、差、积、商的求导法则
注 1.基本初等函数的导数公式和上述求导法则
是初等函数求导运算的基础，必须熟练掌握
2.复合函数求导的链式法则是一元函数微分 学的理论基础和精神支柱，要深刻理解 ，熟 练应用——注意不要漏层
3.对于分段函数求导问题：在定义域的各个部 分区间内部，仍按初等函数的求导法则处理， 在分界点处须用导数的定义仔细分析，即分别 求出在各分界点处的左、右导数，然后确定导 数是否存在。
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
例6 求函数 y arcsin x 的导数.
解
x
sin
y在
I
y
(
2
,
)内单调、可导 2
,
且 (sin y) cos y 0, 在 I x (1,1)内有
(arcsin x) 1 1 (sin y) cos y
2
2
a
1 a2 x2 1 x2
a2
2
2 a2 x2 2 a2 x2
a2 x2.
例11 求函数 y ln x 2 1 ( x 2)的导数. 3 x2
解 y 1 ln( x 2 1) 1 ln( x 2),
2
3
y
1 2
1 x2 12x
先看一个例子
例8 y (1 x2 )2，求y
y (1 x2 )2 1 2x2 x4 y 4x 4x3 4x(1 x2 ) 这里我们是先展开，再求导，若像 y (1 x2 )1000 求导数，展开就不是办法，再像 y 5 1 x2 求导数，根本无法展开，又该怎么办？
一、和、差、积、商的求导法则
求导数的方法法则与公式
例5
函数，
ln x , y ln x 号，为分段
x 0, x 0.
1 当 x 0时， y (ln x ) (ln x ) , x 1 ( x ) 当 x 0时， y (ln x ) [ln( x )] , x x 1 综上， (ln x ) . x
第二节 求导数的方法
一、求导法则
法则与公式
主要内容：
二、基本初等函数的求导公式
一、求导法则
1. 函数和、差、积、商的求导法则：
如果函数u( x )、v ( x )在点x处可导，则它们 的和、差、积、商（分母不为零）在点x处也 可导，并且
(1) [ u ( x ) v ( x )] u ( x ) v ( x ).
于是方程两边对x求导数有 y 2 x y 0, y 2 xy 从而 y . y 1
二、基本初等函数的求导公式
1. 幂函数 x ( R )的导数
取对数求导法
对等式 y x 的两边取自然对数，有
y 两端对 x求导得 , y x y x 1 ( x ) x . 于是 y , x x
当u( x ) 1时,
0
1 (1)v ( x ) 1 v ( x ) v ( x ) 2 . [ ] 2 v ( x) v( x ) v ( x)
u( x ) u ( x ) 不可以为 [ ] . v( x ) v ( x )
1 v ( x ) ] 2 特别的， [ v( x ) v ( x)
设隐函数y关于x可导，我们可以利用复合 函数求导法则，求出y关于x的导数.
下面我们用例题来说明这种解法：
函数四则运算的求导法则
第二节 函数四则运算的求导法则一． 数的和、差、积、商的求导法则
定理1：如果函数)(x u 、)(x v 都在x 处具有导数， 那么它们的和、差、积、商都在x 处具有导数，则有：
（1）/)]()([x v x u ±=)(/x u )(/x v ：
（2）/)]()([x v x u =)(/x u )(x v +)(x u )(/x v
（3）/])()([x v x u =)()()()()(2//x v x v x u x v x u - （)(x v ≠0）； 推论1：n 个可导函数之和（差）的导数等于这n 个函数的导数之和（差）。
推论2：求一个常数因子与一个可导函数的乘积的导数时，常数因子可以提到求导记号外面去。
即：/)]([x cu =c )
(/x u 注：（1）两个可导函数之和（差）的导数等于这n 个函数的导数之和（差）。
（2）两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数与第二个因子的乘积，加上第一个因子与第二个因子的导数的乘积。
（3）两个可导函数之商的导数等于分子的导数与分母的乘积减去分子与分母的导数的乘积，再除以分母的平方。
二． 求导举例
例1：求下列函数的导数
（1）x x x x y 3344
5+-+=， （2）x x y ln sin ⋅=，
（3）x x y x cos ln 2⋅⋅=， （4）x y cot =，
（5）x y sec =， （6）x x x y cos 1sin +=，。
《导数的乘法与除法法则》 知识清单
《导数的乘法与除法法则》知识清单一、导数的乘法法则1、乘积法则若两个函数＄u(x)＄和＄v(x)＄都可导，则它们的乘积＄u(x)v(x)＄的导数为：＼＼begin{align}（u(x)v(x)）＇＆＝u'（x)v(x) ＋ u(x)v'（x)＼end{align}＼这一法则可以通过对乘积进行求导的定义来推导得到。
为了更好地理解这一法则，我们通过几个具体的例子来进行说明。
例 1：设＄u(x) ＝ x^2$，＄v(x) ＝ 3x$，则＼＼begin{align}u'（x)＆＝ 2x\＼v'（x)＆＝ 3＼end{align}＼＼＼begin{align}（u(x)v(x)）＇＆＝（x^2 ＼cdot 3x)＇＼＼＆＝（3x^3)＇＼＼＆＝3\cdot 3x^2\＼＆＝9x^2＼end{align}＼而根据乘法法则：＼＼begin{align}u'（x)v(x) ＋ u(x)v'（x)＆＝ 2x ＼cdot 3x ＋ x^2 ＼cdot 3\＼＆＝ 6x^2 ＋ 3x^2\＼＆＝ 9x^2＼end{align}两者结果一致，验证了乘法法则的正确性。
例 2：设＄u(x) ＝＼sin x$，＄v(x) ＝＼cos x$，则＼＼begin{align}u'（x)＆＝＼cos x\＼v'（x)＆＝＼sin x＼end{align}＼＼＼begin{align}（u(x)v(x)）＇＆＝（＼sin x ＼cdot ＼cos x)＇＼＼＆＝＼cos x ＼cdot ＼cos x ＼sin x ＼cdot ＼sin x\＼＆＝＼cos^2 x ＼sin^2 x＼end{align}＼而根据乘法法则：＼begin{align}u'（x)v(x) ＋ u(x)v'（x)＆＝＼cos x ＼cdot ＼cos x ＋＼sin x ＼cdot （＼sin x)＼＼＆＝＼cos^2 x ＼sin^2 x＼end{align}＼再次验证了乘法法则的准确性。
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举例说明函数的积的求导法则
山东省临朐县第二中学 刘海涛 李本习
在导数这一章中，导数的运算是非常重要的内容，也是这一章中的重点，在这里我们讨论一下函数积的求导法则。
（一）、函数积的求导法则是：
设f(x)、g(x)是可导的，则
[()()]f x g x '=()()f x g x '+()()f x g x '
即：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数加上第一个函数乘上第二个函数的导数。
例：（1）求y=x 2cosx 的导数
分析：此题就是简单的积的求导，在此过程中要注意x 2与cosx 这两个基本函数的导数公式。
解：y '=2(cos )x x '
=2()cos x x '+2(cos )x x '
=22cos sin x x x x -
(2) 求y=(x 2
解：y '
=2[(x '+
=2(1)x +
2(x +
=2
21x +
=251x +
利用此法则需要注意：（1）必须是f(x)、g(x)可导的
（2）要正确掌握应用此公式，不要用错此法则，
如：
[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+
（3）此题的关键是要正确的掌握基本初等函数的导数公式。
如：y=c y=x n y=a x y=sinx 等
（二）、要灵活的应用法则以简便的方法求解 例：求2311()y x x x x
=++的导数 分析：直接应用积的求导法则时，中间有一个和的求导法则，若我们把此题的式子进行一下化简，那么此题将会是直接的和的求导法则。
解：法一：应用积的求导法则
22331111()()y x x x x x x x x
'''=+++++ =3x 2 - 32x 法二：应用和的求导法则
3211y x x
=++
所以2323y x x '=- 显然法二相对来说比较简单明了。
（三）、若f(x)g(x)中，f(x)g(x)有一个为常数，则此求导法则为： 常数与函数之积的导数等于常数乘以函数的导数
即： [()]()cf x cf x ''=
例：求y=3sinx 的导数
解：(3sin )y x ''=
=3sin x '
=3cosx
在此法则中因为常数的导数为零，根据积的求导法则有
[()]()()cf x c f x cf x '''=+
0()()f x cf x '=+()cf x '=
所以对此公式要注意与积的法则相联系，注意的问题与积的法则注意的问题相同。
总之，函数积的求导法则一是要正确的记忆应用此法则，解此类题的关键是要能够准确的掌握基本初等函数的导数公式；二是要灵活的应用函数的求导法则，使我们解题目的方法达到最优。