多个积、商函数的导数
处理导函数的方法
处理导函数的方法
处理导数的方法有很多种，以下是一些常见的方法：
1. 公式法：根据导数的定义和基本初等函数的导数公式，直接求出函数的导数。
2. 链式法则：如果一个复合函数由两个或多个函数组成，则可以使用链式法则求导。
3. 乘积法则：如果一个函数是两个或多个函数的乘积，则可以使用乘积法则求导。
4. 商式法则：如果一个函数是两个函数的商，则可以使用商式法则求导。
5. 幂函数求导法则：对于形如$x^n$的幂函数，其导数为$nx^{n-1}$。
6. 对数函数求导法则：对于形如$\ln(x)$的对数函数，其导数为
$\frac{1}{x}$。
7. 指数函数求导法则：对于形如$a^x$的指数函数，其导数为$a^x \ln a$。
8. 隐函数求导法则：对于形如$F(x, y) = 0$的隐函数，可以通过对两边求导来求解。
9. 高阶导数求导法则：对于高阶导数，可以使用莱布尼茨公式进行求解。
10. 导数几何意义：利用导数的几何意义，可以更好地理解函数的单调性、
极值和拐点等性质。
以上是处理导数的常见方法，可以根据具体情况选择合适的方法进行求解。
函数的求导法则.
例3 f ( x ) x 4cos x sin 2 , 求f ( 2 ).
3 '
f ( x ) ( x 4cos x sin ) ( x ) (4cos x ) (sin )' 2 2 3 x 2 4sin x
' 3 '
3 '
'
2 3 所以f ' ( ) 3 ( )2 4sin 4 2 2 2 4
f1 ( x ) f 2 ( x )
f i( x ) f k ( x );
例1 解
求 y 2x 5x 3x 7 的导数.
3 2
y' (2 x 3 5 x 2 3 x 7)' (2 x 3 )' (5 x 2 )' (3 x)' 7'
2( x 3 )' 5( x 2 )' (3 x)' 2 3 x 2 5 2 x 3 6 x 2 10 x 3
推论
(1) [ f i ( x )] f i( x );
i 1 i 1 n n
(2) [Cf ( x )] Cf ( x );
(3) [ f i ( x )] f1 ( x ) f 2 ( x )
i 1 n
fn ( x) f n( x )
n n i 1 k 1 k i
'
(1 tan x)' (1 tan x) (1 tan x)(1 tan x)' | (1 tan x)2
sec2 (1 tan x) (1 tan x)( sec 2 x) (1 tan x)2
函数的求导法则
复合函数的求导法则: dy = f ′(u)⋅ g′(x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx
求 dy . 例10 y = ln sin x, dx
解 dy =(ln sin x)′= 1 ⋅(sin x)′ = 1 ⋅cosx=cot x . dx sin x sin x dy 3 2 , 求 例11 y = 1−2x ． . dx 1 dy −4x 1 (1−2x2)− 2 ⋅(1−2x2)′ = 2)3 ]′ = 解 3 =[( −2x 1 . 3 ( −2x2)2 dx 3 3 1 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形. 例如, 设y=f(u), u=ϕ(v), v=ψ(x), 则
详细证明 首页 上页 返回 下页 结束 铃
复合函数的求导法则: dy = f ′(u)⋅ g′(x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx 例8 y=ex3 , 求 dy . 9 dx 解 函数 y=ex3可看作是由y=e u, u=x3复合而成的, 因此
dy dy du u 2 = ⋅ =e ⋅3x =3x2ex3 . dx du dx dy 例9 y =sin 2x2 , 求 . 10 1+ x dx 解 函数 y =sin 2x 是由 y=sin u , u = 2x 复合而成的, 1+ x2 1+ x2 dy dy du 2(1+ x2) −(2x)2 2(1− x2) = ⋅ =cosu⋅ = ⋅cos 2x2 . 因此 dx du dx (1+ x2)2 (1+ x2)2 1+ x
u(x) u′(x)v(x) −u(x)v′(x) >>> [ ]′ = . 2(x) v(x) v
导数的基本公式和四则运算法则
导数的基本公式和四则运算法则导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
导数的基本公式和四则运算法则是学习导数的基础，也是解决导数相关问题的重要工具。
首先，我们来看导数的基本公式。
对于函数f(x)，它在点x处的导数可以用以下公式表示：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) f(x)] / h.这个公式描述了函数在点x处的变化率，也就是函数曲线在该点的切线斜率。
通过这个公式，我们可以求得函数在任意点的导数值，从而描绘出函数的变化规律。
接下来，我们来看四则运算法则在导数中的应用。
四则运算法则包括加法、减法、乘法和除法。
在导数的计算中，我们可以利用这些法则简化复杂函数的导数计算。
对于两个函数f(x)和g(x)，它们的和、差、积和商的导数计算规则如下：1. 和的导数，(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)。
2. 差的导数，(f-g)'(x) = f'(x) g'(x)。
3. 积的导数，(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
4. 商的导数，(f/g)'(x) = (f'(x)g(x) f(x)g'(x)) / g(x)^2。
利用四则运算法则，我们可以将复杂函数的导数计算转化为简单函数的导数计算，从而更方便地求得函数的导数值。
在实际问题中，导数的基本公式和四则运算法则是非常有用的工具。
它们可以帮助我们分析函数的变化规律，解决最优化问题，以及研究曲线的性质。
因此，掌握导数的基本公式和四则运算法则对于理解微积分的重要性不言而喻。
希望通过本文的介绍，读者对导数的基本概念有了更清晰的认识，也能够更加灵活地运用导数的基本公式和四则运算法则解决实际问题。
函数的求导法则
反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 即: 反函数的导数等于直接函数导数的倒数
的导数. 例 3 求函数 y = arcsin x 的导数
解 Q x = sin y 在 I y = − π , π 内单调、可导 内单调、可导,
且
2 2 (sin y )′ = cos y > 0,
(a y )′ = a y ln a ≠ 0,
∴ 在对应区间 I x = (0,+∞ ) 内有
(log a x )′ =
1 = 1 = 1 . (a y )′ a y ln a x ln a
(ln x )′ = 1 . 特别地 x
复合函数的求导法则 可导, 定理 3 若函数 u = g ( x )在点 x 可导 而 y = f (u) 可导, 在点 u = g ( x )可导 则复合函数 y = f [ g ( x )]在点
y = f {ϕ [ψ ( x )]} 的导数为 dy dy du dv = ⋅ ⋅ . dx du dx dx
初等函数的求导法则 1. 基本求导公式
(C )′ = 0 (sin x )′ = cos x ′ = sec2 x (tan x ) (sec x )′ = sec x tan x
′ = a x ln a (a ) ′= 1 (log a x ) x ln a 1 ′= (arcsin x ) 1 − x2
y = ln 3 x + 1 ( x > 2) 的导数 的导数. 求函数 x−2
2
1 ln( x 2 + 1) − 1 ln( x − 2), Qy= 2 3
∴ y′ = 1 ⋅ 21 ⋅ ( x 2 + 1)′ − 1 ⋅ 1 ⋅ ( x − 2)′ 2 x +1 3 x−2 1 ⋅ 1 ⋅ 2x − 1 = 2 x2 + 1 3( x − 2) = x − 1 . 2 x + 1 3( x − 2)
和、差、积、商的求导法则
且 (ay) ayln a 0 , 在 Ix (0,) 内,有
(loga x) (a1y)
1 a y ln a
1. x ln a
特别地 (lnx) 1 .
x
首页
上页
下页
《高等数学》电子教案山东农业大学科技学院
三、复合函数的求导法则
定理 如果函 u数 (x)在点 x0可导 , 而yf(u)
同理可得 (cx o) tcs2x c.
首页
上页
下页
《高等数学》电子教案山东农业大学科技学院
例4 求ysexc的导. 数
解 y(sex)c( 1 )
coxs
(cosx) cos2 x
sin x cos 2 x
se x tc a x .n
同理可得 (c x )s c cx scc x o . t
2sinxcoxs1 x
2co2xsln x1si2n x. x
首页
上页
下页
《高等数学》电子教案山东农业大学科技学院
例3 求ytaxn的导. 数 解 y(tax)n (six n)
coxs (sx i)n cc o x o 2 ssxsixn (cx o ) s co2scxo2ssxin2 x co12sxse2cx 即(tx a ) n se 2x.c
n3xn1co xns fn1[ n(sx in)n] n1(sx in)n f[ n(sx in)n] (sx in)n.
首页
上页
下页
《高等数学》电子教案山东农业大学科技学院
五、双曲函数与反双曲函数的导数
(six n ) hcoxsh(cox)sh sin xh tanxhsinxh
函数的和、差、积、商的求导法则
f '(x) 1
'( y)
或者记为dy 1 dx dx
dy
注意：1、这里反函数的记法，并不把自变量按习惯记作x.
2、反函数关系是相互的。
即：x ( y)是 y f ( x)的反函数， y f ( x)也是 x ( y)的反函数。
6
例1 y a x的反函数x loga y在（0， ）内单调连续 且x R相应的y (0, )
1 x2
8
二、复合函数的导数
函数u ( x)在x处可导，y f (u)在与x相应的点u处可导，
则：复合函数y f ( x)在x处可导,且
y' f '(u) '( x)
或者 dy dy du dx du dx
由 于y f (u)在 点u处 可 导 ， 故lim y f '(u) u0 u
dx
x lna 2
4
例6：g( x)
( x 2 1)2 x2
求：g '( x)
解： 由于：g( x) x 2 2 x 2
先化简函数表达式， 大大方便了计算。
所以：g '( x)
2x 2x3
2 x3
(x4
1)
5
第三节 反函数的导数 复合函数的求导法则
一、反函数求导法则
设：x ( y)单调连续并在点y可导，且'( y) 0 x ( y)的反函数y f ( x)在对应点x处可导，则
x）'
1 x lna
.
（a
0, a
1）
解： log a
x' ln x '
lna
1 (ln x)' ln a
1 x lna
函数的求导法则
【例13】
谢谢聆听
定理3
如果函数u=ux与v=vx在点x处可导， 那么它们的商（除分母为零的点外）在点x 处也可导，且
一、和、差、积、商的求导法则
一、和、差、积、商的求导法则
【例1】
一、和、差、积、商的求导法则
【例2】
已知函数y=x2sin x，求y′|x=π 解 因为 y′=（x2）′sin x+x2sin x′=2xsin x+x2cos x， 所以y′|x=π=－π2.
P′(t)=10 000(0.86+2t).
五、应用举例
(2)t=5时该细菌种群的总数是 P(5)=10 000×(1+0.86×5+52)=303 000, t=5时该细菌种群的增长率为
P′(5)=10 000×(0.86+2×5)=108 600. 因此,在t=5时该细菌种群的总数是303 000， t=5时该细菌种群的增长率为108 600个/小时 .
四、复合函数的求导法则
定理5
（复合函数求导法则）若函数u=φ（x） 在点x处可导,函数y=f（u）在点u=φ（x）处 可导,则复合函数y=f[φ(x)]在点x处可导,且
四、复合函数的求导法则
证明设自变量x在点x处取得增量Δx时，中间变量u取得 相应的增量Δu，从而函数y也取得相应的增量Δy，当Δu≠0 时，有
二、反函数的求导法则
证明由于函数x=φ(y)在区间Iy内单调、可导,由第一章内容可 知，x=φ(y)的反函数y=f(x)存在，且在Ix内单调、连续. 任取x∈Ix，给x以增量Δx(Δx≠0,x+Δx∈Ix)，由y=f(x)的单调性知
Δy=f(x+Δx)－f(x)≠0, 于是有
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
6.2.3 通过乘积法则求积函数的导数
2010-08-19 16:30 杨爽赵晓婷高璞译人民邮电出版社我要评论(0)字号：T | T
综合评级：
想读(0)在读(0)已读(7)品书斋鉴(2)已有7人发表书评
《普林斯顿微积分读本》阐述了求解微积分的技巧, 详细讲解了微积分基础、极限、连续、微分、导数的应用、积分、无穷级数、泰勒级数与幂级数等内容，第6章讲述如何求解微分问题。
本节说的是通过乘积法则求积函数的导数。
AD：
6.2.3 通过乘积法则求积函数的导数
处理函数乘积的时候要更有技巧的, 你不能只是将两个导数乘在一起. 例如,不做展开 (那样将会太费时
间了),我们想要求
的导数. 我们设 f(x) = x5+2x?1及 g(x) = 3x8?2x7?x4?3x.函数 h 是 f和 g 的乘积. 我们可以很容易地写出 f 和 g 的导数, 它们是 f0(x) = 5x4+2及g0(x)=24x7?14x6?4x3?3.正如我说的,乘积h的导数是这两个导数的乘积,这是不正确的. 即h0(x)6=?5x4+2￠?24x7?14x6?4x3?3￠.说h0(x)不是什么是没有用的,我们需要说它是什么！
这表明你需要混合匹配. 这就是说,你取f 的导数并用它和g 相乘(不是g 的导数). 然后, 你也需要取 g 的导数并用它和 f 相乘. 最后, 将它们加在一起. 这就是法则：
因此, 对于我们例子中的 h(x) =?x5+2x?1￠?3x8?2x7?x4?3x￠,我们将h写成f 和g 的乘积并求它们的导数,就像我们上面做的一样. 将我们的发现总结一下,取每一列分别对应 f 和 g：
现在,我们可以使用乘积法则并做一些交叉相乘. 你看,我们需要用左下方的f0(x)和右上方的 g(x)相乘,然后用左上方的 f(x)和右下方的 g0(x)相乘,并将它们相加在一起. 这样我们得到
你可以将这个结果乘开,但这会比将原始的函数h乘开然后求导还要糟. 就让它这样吧.还有另外一种方式来写乘积法则.
事实上, 有时候, 你必须处理 y = 用 x 表示?￠p的项, 而不是 f(x) 的形式. 例如, 假设 y = x3+2x (3x+ x+1), dy=dx 是什?￠p么呢？在这种情况下, 令 u = x3+2x 及 v = (3x+ x+1) 会更容易一些. 然后, 我们可以使用以上形式的乘积法则并作一些替换：首先, u 替换 f(x), 这样就使 du=dx替换 f0(x); 对于 v 和 g(x) 我们做同样的操作, 会得到
因此,在我们的例子中,我们有
你想要求 dy=dx. 你可以将它乘开在求导, 或者你可以使用适用于三项的乘积法则：
在我们完成本例之前,来看一个记住以上公式的小窍门吧：就是把uvw 加三次,但对于每一项, 要将 d=dx 放在不同的变量之前. (同样的诀窍适用于四个或多个变量 ||每一个变量都要进行一次微分运算！)不管怎样,在我们的例子中,我们要令 u = x2+1, v = x2+3x及 w = x5+2x4+7,这样, y 就是乘积 uvw. 我们有du=dx=2x, dv=dx=2x+3及 dw=dx=5x4+8x3.根据以上公式,我们有
由于我们没有将以上y的原始表达式展开并化简,我当然不准备化简这个导数！然而, 我确实想说的是, 你不能总是将所有的一切都展开. 有时候你只需要使用乘积法则就行了. 例如, 当你在下一章学了如何对三角函数求导之后, 你就会想要能够使用乘积法则来求像 xsin(x) 这样的导数了. 你真的不能将这个表达式展开 ||它已经是展开的形式了. 因此, 如果你想要对它关于 x 求导, 没有什么简便的方法能够避免使用乘积法则.
6.2.4 通过商法则求商函数的导数
我们处理商的方式和处理乘积的方式类似, 只是法则稍有不同. 让我们说你想对
关于 x 求导. 你可以令 f(x)=2x3?3x+1及 g(x)=x5?8x3+2,然后, 将 h写成 f 和 g 的商,或
h(x)=f(x)=g(x). 以下就是商法则：
注意到, 除了正号变成了负号外, 等号右边分式的分子和乘积法则中的分子是一样的. 在我们的例子中,我们需要对 f 和 g 求导并将结果总结如下：
我们的总结表如下：
正如你看到的一样,商并不比乘积难多少 (就是有点乱).。