函数的求导法则
求导基本法则和公式
求导基本法则和公式导数是微积分中的重要概念，用来描述函数在其中一点的变化率。
求导是求函数的导数的过程，求导的基本法则和公式有很多，下面详细介绍一些常用的基本法则和公式。
1. 常数法则：对于任意常数c，其导数为0。
即 d(c)/dx = 0。
2. 幂函数法则：对于任意实数n，以及常数a大于0，其导数公式为d(ax^n)/dx = nax^(n-1)。
3. 和差法则：对于任意两个可导函数f(x)和g(x)，其导数为两个函数的导数的和或差。
即d(f(x) ± g(x))/dx = f'(x) ± g'(x)。
4. 积法则：对于任意两个可导函数f(x)和g(x)，其导数为第一个函数在x点的值与第二个函数在x点的导数的乘积再加上第一个函数在x点的导数与第二个函数在x点的值的乘积。
即 d(f(x)g(x))/dx = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
5. 商法则：对于任意两个可导函数f(x)和g(x)，其导数为第一个函数在x点的值与第二个函数在x点的导数的乘积再减去第一个函数在x点的导数与第二个函数在x点的值的乘积，然后除以第二个函数在x点的平方。
即 d(f(x)/g(x))/dx = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)]^26.反函数法则：如果函数y=f(x)在其中一点x处可导，且其导数不为0，则其反函数x=g(y)在相应的点y处也可导，且其导数为1/f'(g(y))。
7. 求导乘积法：对于一组函数的乘积f(x) = f1(x)f2(x)...fn(x)，其导数可以表示为 f'(x) = f1'(x)f2(x)...fn(x) +f1(x)f2'(x)...fn(x) + ... + f1(x)f2(x)...fn'(x)。
8.反函数求导法则：如果函数y=f(x)在其中一点x处可导，且其导数不为0，则其反函数x=g(y)在相应的点y处也可导，且其导数为1/f'(g(y))。
四则运算求导法则
四则运算求导法则四则运算求导法则是微积分中十分重要的一个概念，它是求导数的基础，也是后续复杂函数求导的基础之一。
在这篇文章中，我们将深入探讨四则运算的求导法则，帮助大家掌握这一重要概念。
首先，我们需要了解什么是导数。
导数是用来描述一个函数在某一点处的变化率的数值，它是函数在该点的切线斜率。
我们可以通过求导数的方法来求得某一点的导数。
四则运算包含了加、减、乘、除四个基本运算。
那么，如何求导呢？加法求导法则：两个函数的和的导数等于这两个函数的导数的和。
例如：f(x) = u(x) + v(x) ，则f'(x) = u'(x) + v'(x)。
减法求导法则：两个函数的差的导数等于这两个函数的导数的差。
例如：g(x) = u(x) - v(x)，则g'(x) = u'(x) - v'(x)。
乘法求导法则：两个函数的积的导数等于这两个函数分别求导后再相乘再加上另一个函数分别求导后再相乘的和。
例如：h(x) = u(x)v(x)，则h'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)。
除法求导法则：两个函数的商的导数等于被除函数的导数乘以除数减去除函数乘以被除数的导数后，再除以除数的平方。
例如：q(x) = u(x) / v(x)，则q'(x) = [u'(x)v(x) -u(x)v'(x)] / v(x)^2。
以上就是四则运算的求导法则，可以应用于各种函数的求导。
但需要注意的是：在进行四则运算时，要按照先乘除后加减的顺序进行，使得计算更加准确。
在实际应用中，我们可根据四则运算法则对函数进行逐层求导，以求出函数在某一点的导数和导函数。
导函数不仅可以帮助我们更好地理解函数的性质，还是后续求极值、凸凹性等问题的基础工具。
最后，再次强调：四则运算是微积分求导的基础，掌握好四则运算的求导法则，才能更好地掌握后续的高等数学知识，更好地理解微积分的精髓。
求导的法则
求导的法则求导是微积分中的一项重要内容，它可以用于研究曲线的变化率、极值、曲率等问题。
在求导的过程中，我们需要遵循一定的法则来求出函数的导数。
本文将详细介绍求导的法则，帮助读者掌握求导的方法和技巧。
一、导函数的定义在介绍求导的法则之前，我们首先会了解导函数的定义。
若函数y=f(x)在某一点x处可导，那么其导函数f'(x)定义为：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，h为极限的趋近值。
二、常数法则常数法则是求导的最基本法则之一。
根据常数法则，对于常数c，其导数为0。
即，若y=c，则dy/dx = 0。
假设有函数y=3。
根据常数法则，求导后得到dy/dx = 0。
幂法则是求导的重要法则之一。
根据幂法则，对于幂函数y=x^n，其中n为实数，其导数为：dy/dx = nx^(n-1)1. 假设有函数y=x^3。
根据幂法则，求导后得到dy/dx = 3x^2。
2. 假设有函数y=x^(-2)。
根据幂法则，求导后得到dy/dx = -2x^(-3)。
四、和差法则和差法则是求导的常用法则之一。
根据和差法则，对于函数y=u(x)±v(x)，其中u(x)和v(x)是可导函数，其导数为：d(u±v) / dx = du/dx ± dv/dx假设有函数y=x^2 + 3x。
根据和差法则，求导后得到dy/dx = 2x + 3。
五、乘积法则乘积法则是求导的常用法则之一。
根据乘积法则，对于函数y=u(x)·v(x)，其中u(x)和v(x)是可导函数，其导数为：d(uv) / dx = u·dv/dx + v·du/dx假设有函数y=x^2 · sin(x)。
根据乘积法则，求导后得到dy/dx = 2x·sin(x) + x^2 · cos(x)。
六、商积法则商积法则是求导的常用法则之一。
函数的求导法则
复合函数的求导法则: dy = f ′(u)⋅ g′(x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx
求 dy . 例10 y = ln sin x, dx
解 dy =(ln sin x)′= 1 ⋅(sin x)′ = 1 ⋅cosx=cot x . dx sin x sin x dy 3 2 , 求 例11 y = 1−2x ． . dx 1 dy −4x 1 (1−2x2)− 2 ⋅(1−2x2)′ = 2)3 ]′ = 解 3 =[( −2x 1 . 3 ( −2x2)2 dx 3 3 1 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形. 例如, 设y=f(u), u=ϕ(v), v=ψ(x), 则
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复合函数的求导法则: dy = f ′(u)⋅ g′(x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx 例8 y=ex3 , 求 dy . 9 dx 解 函数 y=ex3可看作是由y=e u, u=x3复合而成的, 因此
dy dy du u 2 = ⋅ =e ⋅3x =3x2ex3 . dx du dx dy 例9 y =sin 2x2 , 求 . 10 1+ x dx 解 函数 y =sin 2x 是由 y=sin u , u = 2x 复合而成的, 1+ x2 1+ x2 dy dy du 2(1+ x2) −(2x)2 2(1− x2) = ⋅ =cosu⋅ = ⋅cos 2x2 . 因此 dx du dx (1+ x2)2 (1+ x2)2 1+ x
u(x) u′(x)v(x) −u(x)v′(x) >>> [ ]′ = . 2(x) v(x) v
24个基本求导公式
24个基本求导公式在微积分中，求导是一个非常基础且重要的概念。
它的作用是用来寻找函数的导数，即函数在给定的点上的斜率。
而求导的基本公式通常用来简化这个过程，使我们能够快速地求得函数的导数。
下面是24个常用的求导公式：1.常数规则：f(x)=c,其中c是常数，则f'(x)=0。
简单来说，常数的导数等于0。
2.幂规则：f(x) = x^n, 其中n是常数，则f'(x) = nx^(n-1)。
换句话说，幂函数的导数是常数乘以幂次减13.指数规则：f(x)=e^x，则f'(x)=e^x。
e是自然对数的底数，它的指数函数的导数就是自身。
4.对数规则：f(x) = ln(x)，则f'(x) = 1/x。
这个公式适用于自然对数函数。
5.三角函数规则：f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)。
即正弦函数的导数是余弦函数。
6.余弦函数规则：f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)。
即余弦函数的导数是负的正弦函数。
7.正切函数规则：f(x) = tan(x)，则f'(x) = sec^2(x)。
即正切函数的导数是正割平方函数。
8.反三角函数规则：f(x) = arcsin(x)，则f'(x) = 1/√(1-x^2)。
即反正弦函数的导数是1除以1减去x的平方根。
9.反余弦函数规则：f(x) = arccos(x)，则f'(x) = -1/√(1-x^2)。
即反余弦函数的导数是负1除以1减去x的平方根。
10.反正切函数规则：f(x) = arctan(x)，则f'(x) = 1/(1+x^2)。
即反正切函数的导数是1除以1加x的平方。
11.双曲正弦函数规则：f(x) = sinh(x)，则f'(x) = cosh(x)。
即双曲正弦函数的导数是双曲余弦函数。
12.双曲余弦函数规则：f(x) = cosh(x)，则f'(x) = sinh(x)。
常用的基本求导法则与导数公式
常用的基本求导法则与导数公式在微积分中，求导是一项重要的基本操作。
通过求导，我们可以计算一个函数在给定点的斜率，求得函数的极值和拐点，以及解决各种实际问题。
本文将介绍一些常用的基本求导法则与导数公式，帮助大家更好地理解求导的过程与应用。
一、导数的定义导数描述的是一个函数在某点附近的变化率。
对于函数y = f(x)，其在点x处的导数表示为f'(x)或dy/dx。
导数的定义为：f'(x) = lim┬(h→0)〖(f(x+h)-f(x))/h〗二、常用的基本求导法则1. 常数法则若C为常数，则d(C)/dx = 0。
2. 幂函数法则对于函数y = x^n，其中n为任意实数，使用幂函数法则可以得到其导数：d(x^n)/dx = nx^(n-1)3. 四则运算法则对于两个可导函数f(x)和g(x)，使用四则运算法则可以得到它们的和、差、积和商的导数：若h(x) = f(x) ± g(x)，则h'(x) = f'(x) ± g'(x)若h(x) = f(x) * g(x)，则h'(x) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)若h(x) = f(x) / g(x)，则h'(x) = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / g^2(x)，其中g(x)≠04. 反函数法则若y = f(x)的反函数为x = g(y)，且g(y)在y点可导，则有：d(g(y))/dy = 1 / f'(x)5. 复合函数法则若y = f(u)和u = g(x)是可导函数，则复合函数y = f(g(x))的导数为：(d(f(u))/du) * (d(g(x))/dx)6. 指数函数法则对于函数y = a^x，其中a为常数且a>0，使用指数函数法则可以得到其导数：d(a^x)/dx = ln(a) * a^x三、导数公式1. 常见函数的导数公式- 常数函数导数为0- 幂函数导数为nx^(n-1)- 指数函数导数为a^x * ln(a)- 对数函数ln(x)的导数为1/x- 正弦函数sin(x)的导数为cos(x)- 余弦函数cos(x)的导数为-sin(x)- 正切函数tan(x)的导数为sec^2(x)2. 反函数的导数公式若y = f(x)的反函数为x = g(y)，且f'(x)和g'(y)均存在且不为0，则有以下关系：f'(x) = 1 / g'(y)3. 链式法则对于复合函数y = f(u)和u = g(x)，使用链式法则可以得到复合函数的导数：dy/dx = (df/du) * (du/dx)四、应用示例1. 求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1在x = 2处的导数。
求导法则
(uv)′ = u′v + uv′
推论: 1) ( C u )′ = C u′ ( C为常数 )
2) ( uvw )′ = u ′vw + uv′w + uvw′
′ ln x 1 3) ( log a x )′ = = ln a x ln a
推论:
(
C ′ − C v′ ) = 2 ( C为常数 ) v v
2 ′ 例2. 求证(tan x ) = sec x ,
证:
=
(sin x)′ cos x
=
sin x
2
=
sin x
2
类似可证:
二、反函数的求导法则
定理2.
y 的某邻域内单调可导, d y 1 1 或 = dx −1 dx [ f ( y )]′
3. 复合函数求导法则
(C u )′ = C u ′ ( C为常数 ) u ′ u ′v − u v′ (v ≠ 0 ) ( )= 2 v v
说明: 最基本的公式 (C )′ = 0
y = f (u ) , u = ϕ ( x)
dy d y d u = ⋅ = f ′(u ) ⋅ ϕ ′( x) dx d u dx
此法则可推广到任意有限项的情形. 例如,
例如 , (u + v − w)′ = u′ + v′ − w′
证（２）
[u( x + ∆x )v ( x + ∆x )] − u( x )v ( x ) [u( x )v ( x )]′ = lim ∆x → 0 ∆x u( x + ∆x ) − u( x ) v ( x + ∆x ) − v ( x ) = lim [ v ( x + ∆x ) + u( x ) ] ∆ x →0 ∆x ∆x u( x + ∆x ) − u( x ) = lim lim v ( x + ∆x ) ∆ x →0 ∆x → 0 ∆x v ( x + ∆x ) − v ( x ) + u( x ) lim ] ∆x → 0 ∆x = u′( x )v ( x ) + u( x )v ′( x )
高数求导法则公式
高数求导法则公式
《高数求导法则公式》
在微积分中，求导是一项重要的运算。
对于一些基本的函数，可以通过一些法则和公式来简化求导的过程。
下面列举了一些常见的求导法则和公式。
1. 常数法则
如果f(x) = c，其中c为常数，则f'(x) = 0。
这是因为常数的导数为0。
2. 幂函数法则
如果f(x) = x^n，其中n为常数，则f'(x) = nx^(n-1)。
这条法则表明x的幂函数求导后，指数减1，并乘上原始指数。
3. 指数函数法则
如果f(x) = e^x，则f'(x) = e^x。
这条法则表示指数函数的导数仍然是它自己。
4. 对数函数法则
如果f(x) = ln(x)，则f'(x) = 1/x。
对数函数ln(x)的导数是1/x。
5. 三角函数法则
sin'(x) = cos(x)，cos'(x) = -sin(x)，tan'(x) = 1 + tan^2(x)。
这些法则表示了三角函数的导数和原函数之间的关系。
这些是基本的求导法则和公式，通过它们可以对各种函数进行求导。
当然，还有更多的求导法则和公式，如乘积法则、商法则、链式法则等，它们可以帮助我们更快捷地求出复杂函数的导数。
通过熟练掌握这些法则和公式，可以更好地理解微积分的运算，也可以更轻松地解决相关的数学问题。
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导数与微分
14
证 任取x I x , 给x以增量x (x 0, x x I x )
由y f ( x)的单调性可知 y 0,
于是有
y x
1 x
,
y
y 0 (x 0),
f ( x)连续,
又知 ( y) 0
f ( x) lim y lim 1 1
x0 x y0 x ( y)
导数与微分
11
例5 求 y sec x 的导数 .
解
y (sec x) ( 1 ) cos x
(cos cos 2
x) x
sin x cos2 x
sec x tan x.
同理可得 (csc x) csc x cot x.
导数与微分
12
例 求 y sinh x 的导数 .
解 y (sinh x) [1 (e x e x )] 1 (e x e x ) cosh x.
导数与微分
6
例2 f (x) x3 4 cos x sin ,求f '(x)及f '
2
2
导数与微分
7
例3 y ex (sin x cos x), 求y'
导数与微分
8
例 求 y x3 2 x2 sin x 的导数 .
导数与微分
9
例 求 y sin 2x ln x 的导数 .
即 f ( x) 1 .
y
( y)
导数与微分
15
例6 求函数 y arcsin x 的导数.
解
x
sin
y在
I
y
(
2
,
)内单调、可导 2
,
且 (sin y) cos y 0, 在 I x (1,1)内有
(arcsin x)
1 (sin y)
1 cos
y
1 1 sin2 y
1 .
1 x2
h0
v( x h)v( x)h
u( x h) u( x) v( x) u( x) v( x h) v( x)
lim
h
h
h0
v( x h)v( x)
u(
x)v( x) u( [v( x)]2
x)v(
x)
f ( x)在x处可导.
导数与微分
4
推论
n
n
(1) [ fi ( x)] fi( x);
导数与微分
10
例4 求 y tan x 的导数 .
解 y (tan x) (sin x )
cos x
(sin x) cos x sin x(cos x)
cos2 x
cos2 x cos2
sin2 x
x
1 cos2
x
sec2
x
即 (tan x) sec2 x.
同理可得 (cot x) csc2 x.
导数与微分
24
例14
y
sin
e
1 x
, 求y'
导数与微分
25
例 求函数 y ( x2 1)10 的导数 .
f ( x) lim f ( x h) f ( x)
h0
h
u( x h) u( x)
lim v( x h) v( x)
h0
h
lim u( x h)v( x) u( x)v( x h)
h0
v( x h)v( x)h
导数与微分
3
lim [u( x h) u( x)]v( x) u( x)[v( x h) v( x)]第二章 导数与分第二节 函数的求导法则
内容要点： 1.可导函数 u(x),v(x) 的和、差、积、商的求导法则。 2.反函数的求导法则。 3.复合函数的求导法则。
导数与微分
1
一、和、差、积、商的求导法则
定理 如果函数u( x), v( x)在点 x处可导,则它 们的和、差、积、商(分母不为零)在点 x处也 可导, 并且
导数与微分
19
例9 y ex3 , 求 dy dx
导数与微分
20
例10
y
sin
2x 1 x2
,求
dy dx
导数与微分
21
例11 求函数 y ln sin x 的导数.
导数与微分
22
例12 y 3 1 2x2 ,求 dy dx
导数与微分
23
例13 y ln cos ex ,求 dy dx
dy dx
x x0
f (u0 ) ( x0 ).
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
导数与微分
17
证
由y
f (u)在点u0可导 ,
lim y u0 u
f (u0 )
故 y u
f (u0 )
( lim 0) u0
则 y f (u0 )u u
2
2
同理可得 (cosh x) sinh x
(tanh
x)
1 cosh 2
x
导数与微分
13
二、反函数的导数
定理2
如果函数
x
(
y)在某区间
I
内单调、可导
y
且 ( y) 0 , 那末它的反函数 y f ( x)在对应区间
I x内也可导 , 且有
f ( x) 1 .
( y)
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
lim x 0
y x
lim [
x0
f
(
u0
)
u x
u] x
f
(u0
)
lim
x 0
u x
lim
x 0
lim
x 0
u x
f (u0 )( x0 ).
导数与微分
18
推广 设 y f (u), u (v), v ( x), 则复合函数 y f {[ ( x)]}的导数为
dy dy du dv . dx du dv dx
同理可得 (arccos x) 1 .
1 x2
(arctan
x)
1
1 x
2
;
(
arccot
x)
1
1 x2
.
导数与微分
16
三、复合函数的求导法则
定理3 如果函数u ( x)在点 x0可导 , 而y f (u) 在点u0 ( x0 )可导 , 则复合函数 y f [( x)]在点 x0可导, 且其导数为
i 1
i 1
(2) [Cf ( x)] Cf ( x);
(3)
n
[ fi ( x)]
f1( x) f2( x)
fn(x)
i 1
f1( x) f2( x) fn( x)
nn
fi( x) fk ( x);
i1k 1 ki
导数与微分
5
例题分析
例1 y 2x3 5x2 3x 7, 求y'
(1) [u( x) v( x)] u( x) v( x);
(2) [u( x) v( x)] u( x)v( x) u( x)v( x);
(3)
[u( x)] v( x)
u(
x)v(
x) u( v2(x)
x)v(
x)
(v( x) 0).
导数与微分
2
证(1)、(2)略.
证(3)
设 f ( x) u( x) , (v( x) 0), v( x)