高考理科数学第一轮复习第七章直线和圆的方程 第3课时 对称问题
高三数学高考一轮复习系列教案第七章 直线和圆的方程
城东蜊市阳光实验学校第七章直线和圆的方程1．23．4．5．7．1直线的方程1．倾斜角:对于一条与x 轴相交的直线,把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角α叫做直线的倾斜角．当直线和x 轴平行或者者重合时，规定直线的倾斜角为0°．倾斜角的范围为_________．斜率:当直线的倾斜角α≠90°时，该直线的斜率即k ＝tanα；当直线的倾斜角等于90°时，直线的斜率不存在．2．过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式．假设x1＝x2，那么直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°．3．直线方程的五种形式【例1】直线(2m2＋m －3)x ＋(m2－m)y ＝4m －1．①当m ＝时，直线的倾斜角为45°．②当m ＝时，直线在x 轴上的截距为1．③当m ＝时，直线在y 轴上的截距为－23．④当m ＝时，直线与x 轴平行．⑤当m ＝时，直线过原点．【例2】假设直线l 过点M(a ，3)，N(1，2)，(1)求直线l 的斜率和倾斜角；(2)]13,133[++-∈a ，求直线l 的倾斜角α的范围．【例3】△ABC 的顶点分别为A(－3，0)，B(9，5)，C(3，9)，直线l 过点C 且把三角形的面积分成1︰2的两部分，求l 的方程．【例4】定点P(6,4)与直线l1:y ＝4x ，过点P 的直线l 与l1交于第一象限的Q 点，与x 轴正半轴交于点M ．求使△OQM 面积最小的直线l 的方程．1．直线方程是表述直线上任意一点M的坐标x与y之间的关系式，由斜率公式可导出直线方程的五种形式．这五种形式各有特点又互相联络，解题时详细选取哪一种形式，要根据直线的特点而定．2．待定系数法是解析几何中常用的思想方法之一，用此方法求直线方程，要注意所设方程的适用范围．如：点斜式、斜截式中首先要存在斜率，截距式中横纵截距存在且不为0，两点式的横纵坐标不能一样等〔变形后除处〕．3．在解析几何中,设点而不求,往往是简化计算量的一个重要方法.4．在运用待定数法设出直线的斜率时，就是一种默认斜率存在，假设有不存在的情况时，就会出现解题破绽，此时就要补救：较好的方法是看图，数形结合来找差距.一、选择题1．在同一坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的〔〕A BCD2．设直线ax＋by＋c＝0的倾斜角为α，且sinα＋cosα＝0，那么a、b满足〔〕A．a＋b＝1 B．a－b＝1C．a＋b＝0 D．a－b＝03．直线Ax＋By＋C＝0，通过第二、三、四象限，那么系数A、B、C需满足的条件〔〕A．A、B、C同号B．AC<0，BC<0C．C＝0，AB<0 D．A＝0，BC<04．设2π<α<π，那么直线y＝xcosα＋m的倾斜角的取值范围是〔〕A．(2π，π)B．(2π，43π)C．(4π，43π) D．(43π，π)5．A(－2，3)，B(3，0)，直线l过O(0，0)且与线段AB相交，那么直线l的斜率的取值范围是〔〕A．－23≤k＜0 B．k≤－23或者者k≥0C．k≤0或者者k≥23D．0≤k≤236．设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，假设直线PA的方程为x－y＋1＝0，那么直线PB的方程为〔〕A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0C．2y－x－4＝0 D．2x＋y－7＝0二、填空题7．直线y＝mx＋2m＋1恒过一定点，那么此点的坐标为．8．假设三点A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)，一一共x线那么ba 11+的值等于． 9．C 是以A(2，3)、B(－1，－2)为端点的线段AB 外一点，且AC ＝2BC ，那么过C 垂直于AB 的直线方程为．10．实数x 、y 满足3x －2y －5＝0(1≤x≤3)，那么xy的最大值、最小值分别是．三、解答题11．两点A(－1，－5)，B(3，－2)，直线l 的倾斜角是直线AB 的倾斜角的一半，求直线l 的斜率．12．如图，在△ABC 中，点B(－1，0)，C(1，0)，2=ACAB ，AB 边上的高1=CD ，求直线AC的斜率．13．直线l 过点M(2，1)，且分别交x 轴y 轴的正半轴于点A 、B ，O 为坐标原点．(1)当△AOB 的面积最小时，求直线l 的方程； (2)当MB MA ⋅取最小值时，求直线l 的方程．14．直线l ：(a ＋2)x ＋(1－2a)y ＋4－3a ＝0．(1)求证直线l 经过第三象限；(2)假设直线l 不经过第二象限，求a 的取值范围．15．过原点O 的一条直线与函数y ＝log8x 的图象交于A 、B 两点，分别过A 、B 作y 轴的平行线与函数y ＝log2x 的图象交于C 、D 两点． (1)证明：C 、D 和原点O 在同一直线上．(2)当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标．7．2直线与直线的位置关系〔一〕平面内两条直线的位置关系有三种________． 1．当直线不平行坐标轴时，直线与直线的位置关系可根据下表断定2．当直线平行于坐标轴时，可结合图形断定其位置关系．〔二〕点到直线的间隔、直线与直线的间隔 1．P(x0，y0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的间隔为______________．2．直线l1∥l2，且其方程分别为：l1：Ax ＋By ＋C1＝0 l2：Ax ＋By ＋C2＝0，那么l1与l2的间隔为．〔三〕两条直线的交角公式假设直线l1的斜率为k1，l2的斜率为k2，那么 1．直线l1到l2的角θ满足．2．直线l1与l2所成的角(简称夹角)θ满足． 〔四〕两条直线的交点：两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数．〔五〕五种常用的直线系方程.①过两直线l1和l2交点的直线系方程为A1x ＋B1y ＋C1＋λ(A2x ＋B2y ＋C2)＝0(不含l2).②与直线y ＝kx ＋b 平行的直线系方程为y ＝kx ＋m(m≠b).③过定点(x0,y0)的直线系方程为y －y0＝k(x －x0)及x ＝x0.④与Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程设为Ax ＋By ＋m ＝0(m≠C).⑤与Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程设为Bx －Ay ＋C1＝0(AB≠0).【例1】两直线l1：mx ＋8y ＋n ＝0和l2：2x ＋my －1＝0，试确定m 、n 的值，使：(1)l1与l2相交于点p(m ，－1)； (2)l1‖l2；(3)l1⊥l2且l1在y 轴上的截距为－1．【例2】直线l 经过两条直线l1：x ＋2y ＝0与l2：3x －4y －10＝0的交点，且与直线l3：5x －2y ＋3＝0的夹角为4π，求直线l 的方程．【例3】直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，假设A、B坐标分别为A(－4，2)、B(3，1)，求点C的坐标并判断△ABC的形状．【例4】设点A(－3，5)和B(2，15)，在直线l：3x －4y＋4＝0上找一点p，使PBPA+为最小，并求出这个最小值．1．处理两直线位置关系的有关问题时，要注意其满足的条件．如两直线垂直时，有两直线斜率都存在和斜率为O与斜率不存在的两种直线垂直．2．注意数形结合，根据条件画出图形，充分利用平面图形的性质和图形的直观性，有助于问题的解决．3．利用直线系方程可少走弯路，使一些问题得到简捷的解法．4．解决对称问题中，假设是成中心点对称的，关键是运用中点公式，而对于轴对称问题，一般是转化为求对称点，其关键抓住两点：一是对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中点在对称轴上，如例4．一、选择题1．点M(a、b)，假设点N与M关于x轴对称，点P与N关于y轴对称，点P与点Q关于直线x＋y＝0对称，那么点Q的坐标为〔〕A．(a、b) B．(b、a)C．(－a、－b) D．(－b、－a)2．过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，那么m的值是〔〕A．0 B．－8C．2 D．103．设a、b、c分别是△ABC中角A、B、C所对的边长，那么直线l1：与sin=++⋅cayxA yBbxl⋅-sin:2sin=+C的位置关系是〔〕A．平行B．垂直C．重合D．相交但不垂直4．假设0≤θ≤2π，当点(1，cosθ)到直线xsinθ＋ycosθ－1＝0的间隔是41时，这条直线的斜率为〔〕A．1 B．－1C ．23 D ．－33 5．直线l1的方向向量为a ＝〔1，3〕，直线l2的方向向量为b ＝〔－1，k 〕，假设直线l2经过点〔0，5〕，且l1⊥l2，那么直线l2的方程为〔〕A ．x ＋3y －5＝0B ．x ＋3y －15＝0C ．x －3y ＋5＝0D ．x －3y ＋15＝06．两直线l1：y ＝x ，l2：ax －y ＝0，其中a 为实数，当这两条直线的夹角在(0，12π)内变动时，a 的取值范围为〔〕A ．(0，1)B ．(33，3) C ．(33，1)∪(1，3) D ．(1，3)二、填空题7．点P 〔4cosθ，3sinθ〕到直线x ＋y －6＝0的间隔的最小值等于．8．曲线c:y ＝x2，那么它关于x －y －2＝0对称的曲线方程是．9．点O 为坐标原点，点A 的坐标为(4，2)，P 是线段OA 的垂直平分线上一点，假设∠OPA 为锐角，那么P 的横坐标的取值范围是．10．两条平行直线分别过点A(6，2)和点B(－3，－1)，各自绕A 、B 旋转至这两条平行线间隔取最大值时两直线的方程分别为和．三、解答题11．P 是直线l 上的一点，将直线l 绕点P 逆时针方向旋转角α(0<α<2π)，所得直线方程为l1：3x －y －4＝0，假设继续绕P 点逆时针方向转2π－α，那么得直线l2的方程为x ＋2y ＋1＝0，求直线l 的方程．12．一光线从点A(3，2)出发经直线x －y ＋1＝0反射后经过点B(－1，－1)．试求反射光线所在的直线方程．13．过点A 〔1，1〕且斜率为－m(m>0)的直线l 与x 、y轴分别交于P 、Q 两点，过P 、Q 作直线2x ＋y ＝0的垂线，垂足分别为R 、S ，求四边形PRSQ 的面积的最小值．14．过点P(6，8)作两互相垂直的直线PA 、PB 分别交x轴正半轴于A ，y 轴正半轴于B ． (1)求线段AB 中点轨迹的方程．(2)假设S △AOB ＝S △APB ，求PA 与PB 所在直线的方程．15．〔05年〕，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB 、AD 边分别在x 轴，y 轴的正半轴上，A使A 点落在线段DC 为k7．3线性规划1．二元一次不等式表示的平面区域．⑴一般地，二元一次不等式Ax ＋By ＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界限，不等式Ax ＋By ＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界限．⑵对于直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点(x 、y)使得Ax ＋By ＋C 的值符号一样．因此，假设直线Ax ＋By ＋C ＝0一侧的点使Ax ＋By ＋C>0，另一侧的点就使Ax ＋By ＋C<0，所以断定不等式Ax ＋By ＋C>0(或者者Ax ＋By ＋C<0)所表示的平面区域时，只要在直线Ax ＋By ＋C ＝0的一侧任意取一点(x0，y0)，将它的坐标代入不等式，假设该点的坐标满足不等式，不等式就表示该点所在一侧的平面区域；假设不满足不等式，就表示这个点所在区域的另一侧平面区域．⑶由几个不等式组成的不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公一一共部分．2．线性规划 ⑴根本概念⑵用图解法解决线性规划问题的一般步骤： ①设出所求的未知数；②列出约束条件(即不等式组)；③建立目的函数；④作出可行域和目的函数的等值线；⑤运用图解法即平行挪动目的函数等值线，求出最优解．〔有些实际问题应注意其整解性〕【例1】假设△ABC 的三个顶点为A(3，－1)，B(－1，1)，C(1，3)，写出△ABC 区域〔含边界〕表示的二元一次不等式组．【例2】x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≤--0104011702357y x y x y x 分别求： ⑴z ＝2x ＋y ⑵z ＝4x －3y⑶z ＝x2－y2的最大值、最小值？【例3】某木器厂消费圆桌子和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种72立方米，第二种有56立方米，假设消费每种产品都需要用两种木料，消费一张圆桌需用第一种木料0.18立方米，第二种木料0.08立方米，可获利润6元，消费一个衣柜需用第一种木料0.09立方米，第二种0.28立方米，可获利10元，木器厂在现有木料条件下，圆桌和衣柜应各消费多少才能使所获利润最多？【例4】预算用2000元购置单价为50元桌子和20元的椅子，希望桌子的总数尽可能的多，但椅子的总数不能少于桌子的总数，但不多于桌子数的倍，问桌椅各买多少才适宜？1．二元一次不等式或者者不等式组表示的平面区域：①直线确定边界；②特殊点确定区域．2．线性规划实际上是“数形结合〞的数学思想的表达，是一种求最值的方法．3．把实际问题抽象转化为数学问题是本节的重难点，求解关键是根据实际问题中的条件，找出约束条件和目的函数，利用图解法求得最优解．而在考虑约束条件时，除数学概念的条件约束外，还要深化其境、考虑实际意义的约束．4．解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的，所以作图尽可能准确，图上操作尽可能标准。
高考理科数学第一轮复习第七章直线和圆的方程 关于对称的更进一步结论
关于对称的更进一步结论：一、 关于轴对称：1、 若()()()()x a f x f x a f x a f -=⇔-=+2则函数)(x f y =的图象关于直线a x =对称2、 若()()x b f x a f -=+则函数)(x f y =的图象关于直线2b a x +=对称 3、 函数()x f y =与()x a f y -=2的图象关于直线a x =对称4、 函数()x a f y +=与()x a f y -=的图象关于直线0=x 对称5、 函数()x a f y +=与()x b f y -=的图象关于直线2a b x -=对称 二、 关于中心对称： 6、若()()0=-++x a f x a f 则函数)(x f y =的图象关于点()0,a 对称7、若()()b x a f x a f 2=-++则函数)(x f y =的图象关于点()b a ,对称8、函数()x f y =与()x a f y --=2的图象关于点()0,a 对称9、函数()x f y =与()x a f b y --=22的图象关于点()b a ,对称10、函数()x a f y +=与()x a f y --=的图象关于点()0,0对称3、常用的对称点：点(a,b)关于x 轴的对称点(a,-b)，关于y 轴的对称点为(-a,b)，关于原点的对称点(-a,-b)关于直线y=x 的对称点为(b,a)，关于直线y=-x 的对称点(-b,-a)，关于直线y=x+m 的对称点为(b-m,a+m),关于直线y=-x+m 的对称点(m-b,m-a).4、曲线关于点（中心），直线（轴）的对称问题的一般思想是用代入转移法。
（1）曲线f(x,y)=0关于点A(a,b)的对称曲线的方程是f(2a-x,2b-y)=0（2）曲线f(x,y)=0关于直线Ax+By+c=0的对称曲线的求法：设所求曲线上任一点P(x,y)关于直线Ax+By+c=0对称点P 0(x 0,y 0)，在已知曲线f(x,y)=0上，满足f(x 0,y 0)=0，利用方程组()()⎩⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---y x y y x x c y y B x x A B A x x y y ,,022*******ψϕ，代入f(x 0,y 0)=0，从而得对称曲线方程()()[]0,,,=y x y x f ψϕ。
2022_2023学年高考数学一轮复习解题技巧方法第七章第1节点关于直线的对称问题学生版
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点关于直线的对称问题
知识与方法
1.如右图所示，已知点()00,P x y 和直线:0l Ax By C ++=，求P 关于直线l 的对称点P '这类问题，通常可以设P '的坐标为(),a b ，利用PP '的中点在对称轴l 上，以及PP l '⊥来建立方程组，求解a 和b .
2.技巧：当对称轴直线的斜率是1±时，可直接由对称轴方程将x 、y 反解出来，再将点P 的坐标分别代入即可得出所求对称点的坐标.
典型例题
【例题】已知点()1,2A ，则A 关于直线:220l x y --=的对称的点A '的坐标为_______. 变式1已知点()1,2A ，则：
（1）点A 关于直线1:10l x y --=对称的点A '的坐标为_______；
（2）点A 关于直线2:10l x y +-=对称的点A ''的坐标为_______；
变式2已知直线:10l x y -+=和点()2,0A ，()3,3B --，点P 在直线l 上，则PA PB +的最小值为_______.
变式3一只虫子从原点出发，先爬到直线:10l x y -+=上的点P ，再爬到点()1,1A ，则虫子爬行的最短路程为_______.
强化训练
1.（★★）点()2,4A 关于直线:2330l x y +-=的对称点A '的坐标为_______.
2.（★★）点()3,2A -关于直线:10l x y --=的对称点A '的坐标为_______.
3.（★★★）已知P 是直线:20l x y +-=上的动点，点()3,0A -，()0,1B -，则PA PB +的最小值为
_______.。
直线与圆：对称问题
对称问题在解析几何中，对称问题主要分为两类：一是中心对称，二是轴对称．在本章中，对称主要有以下四种：点点对称、点线对称、线点对称、线线对称，其中后两种可以化归为前两种类型，所以“点关于直线对称”是最重要的类型．一、几类常见的对称问题例1 已知直线l ：y ＝3x ＋3，求：(1)点P (4,5)关于l 的对称点坐标；(2)直线y ＝x －2关于l 的对称直线的方程；(3)直线l 关于点A (3,2)的对称直线的方程．解 (1)设点P 关于直线l 的对称点为P ′(x ′，y ′)，则线段PP ′的中点在直线l 上，且直线PP ′垂直于直线l ，即⎩⎪⎨⎪⎧ y ′＋52＝3×x ′＋42＋3，y ′－5x ′－4×3＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝－2，y ′＝7. ∴P ′点坐标为(－2,7)．(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x ＋3，y ＝x －2，得⎩⎨⎧ x ＝－52，y ＝－92，则点⎝⎛⎭⎫－52，－92在所求直线上． 在直线y ＝x －2上任取一点M (2,0)，设点M 关于直线l 的对称点为M ′(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧ y02＝3×x 0＋22＋3，y 0x 0－2×3＝－1，解得⎩⎨⎧ x 0＝－175，y 0＝95.点M ′⎝⎛⎭⎫－175，95也在所求直线上．由两点式得直线方程为y ＋9295＋92＝x ＋52－175＋52， 化简得7x ＋y ＋22＝0，即为所求直线方程．(3)在直线l 上取两点E (0,3)，F (－1,0)，则E ，F 关于点A (3,2)的对称点分别为E ′(6,1)，F ′(7,4)．因为点E ′，F ′在所求直线上，所以由两点式得所求直线方程为y －14－1＝x －67－6， 即3x －y －17＝0.反思感悟 对称问题的解决方法(1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式．点P (x ，y )关于Q (a ，b )的对称点为P ′(2a －x ，2b －y )．(2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求．设l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)和点P (x 0，y 0)，则l 关于P 点的对称直线方程为A (2x 0－x )＋B (2y 0－y )＋C ＝0.(3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”．设P (x 0，y 0)，l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)，P 关于l 的对称点Q 可以通过条件①PQ ⊥l ；②PQ 的中点在l 上来求得．(4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题．二、对称问题的应用例2 已知A (4,1)，B (0,4)两点，在直线l ：3x －y －1＝0上找一点M ，使得||MA |－|MB ||的值最大，并求此时点M 的坐标及最大值．解 设B (0,4)关于直线l ：3x －y －1＝0的对称点为B ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0－4x 0－0＝－13，3·x 0＋02－y 0＋42－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝3， 所以B ′(3,3)．设M ′为l ：3x －y －1＝0上任意一点，则有||M ′A |－|M ′B ′||≤|AB ′|，当且仅当M ′，B ′，A 三点共线时，上式等号成立，此时||M ′A |－|M ′B ′||取得最大值|AB ′|，即||M ′A |－|M ′B ||取得最大值|AB ′|，且|AB ′|＝(4－3)2＋(1－3)2＝ 5.因为过点A (4,1)，B ′(3,3)的直线方程为y －13－1＝x －43－4，即2x ＋y －9＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －9＝0，3x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5. 所以直线AB ′与直线l 的交点为M (2,5)．所以当点M 的坐标为(2,5)时，||MA |－|MB ||取得最大值，且最大值为 5.例3 如图，一束光线从原点O (0,0)出发，经过直线l ：8x ＋6y ＝25反射后通过点P (－4,3)，求反射光线的方程及光线从O 点到达P 点所走过的路程．解 设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ，b )，由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上得⎩⎨⎧ b a ·⎝⎛⎭⎫－43＝－1，8×a 2＋6×b 2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3， ∴A 的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A (4,3)，又由反射光线过P (－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y ＝3.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3，8x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝78，y ＝3，由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x ≤78. 由光的性质可知，光线从O 到P 的路程即为AP 的长度|AP |，由A (4,3)，P (－4,3)知，|AP |＝4－(－4)＝8，∴光线从O 经直线l 反射后到达P 点所走过的路程为8.。
沪教版(上海)高中数学2019-2020学年度高三数学一轮复习直线与圆的方程系列之直线的综合应用：点对称问题
沪教版（上海）高中数学2019-2020学年度高三数学一轮复习直线与圆的方程系列之 直线的综合应用：点对称问题教学目标1.掌握两点的中点坐标公式；2.掌握一个点关于已知点的对称点坐标公式；3.会求解点对称的相关问题知识梳理 1.若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB 的中点坐标是1212(,)22x x y y ++ 2.(,)P x y 关于(,)M a b 的对称点坐标是(2,2)a x b y --典例精讲例1.（★）已知点(1,2)A ,(3,4)B ,点,M N 满足：M 为AB 中点，B 为AN 中点， （1）求M 的坐标。
（2）求N 的坐标。
【答案】：（1）M 为AB 中点，坐标为1324(,)22++，即(2,3)； （2）解法一：设(,)N x y ，则12(,)(3,4)22x y ++=，所以132242xy +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 解得56x y =⎧⎨=⎩，所以N 的坐标为(5,6)解法二：因为B 为AN 中点，所以N 的坐标为(231,242)⨯-⨯-,即为(5,6)【批注】：一般地，若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB 的中点坐标是1212(,)22x x y y ++ 一般地，(,)P x y 关于(,)M a b 的对称点坐标是(2,2)a x b y --例2.（★★）已知12:30,:30l x y l x y +-=-+=，点P 为直线1l 上的动点，定点(1,4)A -，当AP 的中点M 落在2l 上的时候，求P 的坐标【答案】：设(,3)P x x -，则17(,)22x xM --， 代入2l 的方程得，173022x x---+=，解得1x =(1,2)P ∴【批注】：一般地，若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB 的中点坐标是1212(,)22x x y y ++ 例3.（★★）已知P 为直线:230l x y +-=上的动点，P 关于(3,2)M 的对称点为P '，记(2,1)N -，当线段NP '的长度为5的时候，求P 的坐标【答案】：设(,32)P x x -，则(6,12)P x x '-+，||5NP '∴==,求得1x =±所以P 的坐标为(1,1)或(1,5)-【批注】：一般地，(,)P x y 关于(,)M a b 的对称点坐标是(2,2)a x b y --例4.（★★）直线l 被两条直线1:430l x y ++=和2:3550l x y --=截得的线段中点为(1,2)P -，求直线l 的方程【答案】：设点(,)a b 在1l 上，依题意，(2,4)a b ---在直线2l 上,∴⎩⎨⎧=-----=-+05)4(5)2(3034b a b a ,解之得：⎩⎨⎧=-=52b a由两点式得直线AB 的方程为:310x y ++=。
2024_2025学年高考数学一轮复习解题技巧方法第七章第2节直线关于直线的对称问题学生版
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直线关于直线的对称问题
学问与方法
1.对称问题是平面解析几何中的一类重要的问题，在许多问题中，我们也会运用对称的思想来解题，这一小节我们解决求直线a 关于直线l 的对称直线a '的问题，这类题求解的时候要抓住两点：
（l ）所求直线a '经过直线a 和直线l 的交点P ；
（2）对称轴l 上除P 外的另一点到a 和a '的距离相等.
2．技巧：当对称轴直线l 的斜率是1±时，可干脆由对称轴方程将x 、y 反解出来，代入直线a 的方程，整理即可得到a 关于直线l 的对称直线a '的方程.
典型例题
【例题】直线1:10l x y +-=关于直线2:330l x y --=的对称直线l 的方程为______.
变式1 直线1:220l x y -+=关于直线2:10l x y -+=的对称直线l 的方程为______.
变式2直线1:220l x y -+=关于直线2:10l x y ++=的对称直线的方程为______.
强化训练
1.（★★★）直线l 1:20l x y --=关于直线:330l x y -+=的对称直线2l 的方程为______.
2.（★★★）直线1:2310l x y --=关于直线:40l x y +-=的对称直线2l 的方程为______.
3.（★★★）一光线从点()0,2P 发出，入射到直线:10l x y --=上的点()1,0Q 后被反射，则反射光线所在的直线的方程为
______.。
高三数学一轮复习直线与圆的方程系列之直线的综合应用：线对称问题③
高三数学一轮复习 直线与圆的方程系列之直线的综合应用：线对称问题③教学目标1.掌握关于已知直线的对称题型的解题方法；2.掌握直线对称题型的应用，会把相关问题转化成直线对称题型知识梳理1.点关于线对称（1）(,)P x y 关于x a =的对称点为(2,)a x y -（2）(,)P x y 关于y b =的对称点为(,2)x b y -（3）(,)P x y 关于y x b =+的对称点为(,)y b x b -+（巧记：代入x 求y ，代入y 求x ）（4）(,)P x y 关于y x b =-的对称点为(,)y b x b +-（巧记：代入x 求y ，代入y 求x ）（5）求解(,)P x y 关于:0l Ax By C ++=的对称点一般步骤：①设对称点(,)P a b '②列方程0()22()()0()a xb y A B C PP l B a x A b y PP l ++⎧'⋅+⋅+=⎪⎨⎪'---=⎩中点在上与垂直③求解,a b2.其他的（线、圆、二次曲线、一般曲线）关于线对称（1）转化成点关于线对称（2）其他好方法（具体题目具体分析）典例精讲例 1.（★★★）一条光线从()5,3M 点射出后，被直线:1l x y +=反射，入射光线与l 的夹角为β，且tan 2β=，求反射光线所在的直线方程。
【答案】：设M 关于l 的对称点为M '，则(2,4)M '--，反射光线的反向延长线应过点M '由于入射光线与反射光线同l 的夹角应该相等，也为β设反射光线的斜率为k ，则121k k +=-，解得3k =或13所以反射光线：320x y -+=或3100x y --=例2.（★★★）光线从A (3,4)-点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点(1,6)D -，求BC 所在直线的方程。
高考数学一轮复习必备：第57课时：第七章直线与圆的方程简单的线性规划
高考数学一轮复习必备：第57课时：第七章直线与圆的方程简单的线性规划课题：简单的线性规划一．复习目标：1．了解用二元一次不等式表示平面区域，了解线性规划的意义，并会简单的应用；2．通过以线性规划为内容的研究课题与实习作业，提高解决实际咨询题的能力．二．知识要点：直线0Ax By C ++=，坐标平面内的点00(,)P x y ．1．①假设0B >，000Ax By C ++>，那么点00(,)P x y 在直线的 方；②假设0B >，000Ax By C ++<，那么点00(,)P x y 在直线的 方．2．①假设0B >，Ax By C ++②假设0B <，0Ax By C ++>三．课前预习：1．不等式240x y -->()A 左上方 ()B 右上方2()A 220102x y x y -+≤⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩()B 210x y x y -⎧⎪-≥⎨⎪≤≤⎩()C 2201002x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩()D 210x y x y -⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩3有无穷多个，那么a 的值为〔 〕 ()A 14 ()B 35 ()C 4 ()D 534．原点和点(1,1)在直线0x y a +-=的两侧，那么a 的取值范畴是 ．5.由|1|1y x ≥+-及||1y x ≤-+表示平面区域的面积是 .四．例题分析：例1．某人上午7时乘船动身，以匀速v 海里/时〔420v ≤≤〕从A 港到相距50海里的B 港去，然后乘汽车以ω千米/时〔30100ω≤≤〕自B 港到相距300千米的C 市去，打算在当天下午4至9时到达C 市.设乘船和汽车的时刻分不为x 和y 小时，假如所要的经费〔单位：元〕1003(5)(8)P x y =+⋅-+-，那么v ，ω分不是多少时所需费用最少？现在需要花费多少元？例2．某运输公司有10辆载重量为6吨的A 型卡车与载重量为8吨的B 型卡车，有11名驾驶员.在建筑某段高速公路中，该公司承包了每天至少搬运480吨沥青的任务.每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车8次，B 型卡车7次；每辆卡车每天的成本费A 型车350元，B 型车400元.咨询每天派出A 型车与B 型车各多少辆，公司所花的成本费最低，最低为多少？五．课后作业：1．三个点(1,1)P 、(2,2)Q 、(0,1)R -中，在由方程|1||1|1x y -+-=确定的曲线所围成区域中的个数有 〔 〕()A 3个 ()B 2个 ()C 1个 ()D 0个2．集合{(,)||||1}A x y x y =+≤，集合{(,)|()()}0B x y y x y x =-+≤，M A B =，那么M 的面积是 ．3．整点(,3)P a 在不等式组430352501x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域内，那么a 为 ．4．某人有楼房一幢，室内面积共1802m ，拟分隔成两类房间作为旅行客房.大房间每间面积为182m ，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为152m ，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元.装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元.假如他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？5．三种食物P 、Q 、R 的维生素含量与成本如下表所示.现在将xkg 的食物P 和ykg 的食物Q 及zkg 的食物R 混合，制成100kg 的混合物.假如这100kg 的混合物中至少含维生素A 44000单位与维生素B 48000单位，那么,,x y z 为何值时，混合物的成本最小？6．设函数2()(,,0)f x ax c a c R a =-∈≠，又4(1)1f -≤-≤，1(2)5f -≤≤，求(3)f 的最小值、最大值以及取得最小值、最大值时,a c 的值．。
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.对称问题一、基础知识1、 点关于点的对称点(x,y)关于点(a,b)的对称点的坐标为(2a -x,2b -y) 事实上，点关于点的对称的对称中心恰恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题。
2、点关于直线的对称点由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线“，利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点(x 0,y 0)关于直线Ax+By+c=0的对称点(x ’,y’)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++-=⎪⎭⎫⎝⎛---02210'0'0'0'c y y B x x A B A x x y y 3、曲线关于点（中心），直线（轴）的对称问题的一般思想是用代入转移法。
（1）曲线f(x,y)=0关于点A(a,b)的对称曲线的方程是f(2a -x,2b -y)=0 （2）曲线f(x,y)=0关于直线Ax+By+c=0的对称曲线的求法：设所求曲线上任一点P(x,y)关于直线Ax+By+c=0对称点P 0(x 0,y 0)，在已知曲线f(x,y)=0上，满足f(x 0,y 0)=0，利用方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++-=⎪⎭⎫⎝⎛---02210'0'0'0'c y y B x x A B A x x y y ，解得x 0,y 0，代入f(x 0,y 0)=0，从而得对称曲线方程。
4、常用的对称关系点(a,b)关于x 轴的对称点(a,-b)，关于y 轴的对称点为(-a,b)，关于原点的对称点(-a,-b)关于直线y=x 的对称点为(b,a)，关于直线y=-x 的对称点(-b,-a)，关于直线y=x+m 的对称点为(b -m,a+m),关于直线y=-x+m 的对称点(m -b,m -a). 二、题型剖析 [对称问题]例1．（1）直线032=+-y x 关于定点)2,1(-M 1对称的直线方程是（ ）A 。
012=+-y xB 。
052=+-y xC 。
012=--y x C 。
052=--y x解：设点),(y x ''关于)2,1(-的对称点为),(y x ，则x x --='2，y y -='4。
∴ 03)4()2(2=+----y x 即：052=+-y x ，故选B 。
【思维点拨】掌握点关于点对称的求法。
（2）(优化设计P107例1)若以直线 0143:=-+y x l 为对称轴，求直线042:1=-+y x l 的轴对称图形2l 的方程。
解法一：（利用对称关系）设),(y x P 是所求对称直线2l 上一点，关于直线l 的对称点为),(00y x Q ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⨯--=-+⨯++⨯1)43(0124230000x x y y y y x x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=25872425624700y x y y x x 又∵),(00y x Q 在1l 上， ∴042587242562472=-+--++-⨯y x y x ，即2l 的方程是016112=++y x 。
解法二：（利用到角公式）可把l 看作2l 到1l 的角平分线。
设2l 的斜率分别为2k ， 直线l 的斜率为43-=k ， 直线1l 的斜率为21-=k ，由k k k k kk k k 112211+-=+-得24314324314322⨯++-=---k k 得1122-=k 。
又1l 与l 的交点为)2,3(-E ，所以2l 的方程是：016112=++y x【思维点拨】由平面几何知识可知，若直线a 、b 关于直线l 对称，则应有下列几何性质：（1）若a 与b 相交，则l 是a 、b 交角的平分线；若a 与l 平行，则b ∥l ，且a 、b 与l 距离相等。
（2） 点A 直线a 上，则A 点关于l 的对称B 一定在直线b 上，并且,l AB ⊥AB 的中点在l上。
（3）设),(y x P 是所求直线上一点，则P 为关于l 的对称点P '的坐标适合a 的方程。
练习：变式1：直线l: ax+by+c=0关于原点对称的直线方程为ax+by -c=0变式2、已知直线l 1: x+my+5=0和直线l 2: x+ny+P=0，则l 1 、l 2关于y 轴对称的充要条件是( C ) A 、npm =5 B 、p=-5 C 、m=-n 且p= -5D 、nm 11-=且p=-5 例2：(优化设计P107例2)光线从点A （-3，4）发出，经过x 轴反射，再经过y 轴反射，光线经过点B （-2，6），求射入y 轴后的反射线的方程。
解： A （-3，4）关于x 轴的对称点1A （-3，-4）在经x 轴反射的光线上；A 1（-3，-4）关于y 轴的对称点2A （3，-4）在经过射入y 轴的反射的光线上，∴B A k 2=23246-=--+∴所求直线方程为 )2(26+-=-x y ，即022=-+y x练习：变式3：一条光线经过P(2,3)点，射在直线l ：x+y+1=0上，反射后穿过点Q(1,1) （1） 求入射光线所在的直线方程 （2） 求这条光线从P 到Q 的长度。
解：(1)设Q(1,1)关于：x+y+1=0的对称点),(1y x Q ，易证)2,2(1--Q入射光线所在直线方程222232:1++=++x y PQ ，即5x -4y+2=0 （2）l 是1QQ 的垂直平分线，因而411=PQ 即为所求【思维点拨】：由物理中光学知识，入射光线和反射光线关于法线对称转化为对称问题。
例3(优化设计P108例3)已知点M （3，5），在直线：022=+-y x 和y 轴上各找一点P 和Q ，使MPQ ∆的周长最小。
解：可求得点M 关于l 的对称点为1M （5，1）， 点M 关于y 轴的对称点为2M （-3，5），则MPQ ∆的周长就是12PM QP Q M ++，连12M M ，则直线12M M 与y 轴及直线022=+-y x 的交点P 、Q 即为所求。
直线1M 2M 的方程为072=-+y x ，直线1M 2M 与y 轴的交点坐标为Q )27,0(，由方程组⎩⎨⎧=-+=+-072022y x y x 得交点)49,25(P ，∴点)49,25(P 、Q )27,0(即为所求。
【评述】：注意平面几何的知识在解析几何中的灵活运用。
练习：变式4、直线0632=-+y x 交x 、y 轴于A 、B 两点，试在直线x y -=上求一点P 1，使B P A P 11+最小，在y=x 上求一点P 2，使B P A P 22-最大，求出两最值及21P P 值。
解：A(3,0),B(0,2),点B 关于x y -=的对称点)0,2(1-B直线1AB 即x 轴交x y -=于(0,0)即P 1点5111111==+=+A B B P A P B P A PPM 1QOMM 2又B 关于y=x 的对称点)0,2(2B1222222=≤-=-AB B P A P B P A P ,当且仅当2P 、2B 、A 共线（又在y=x 上）即P 2为直线B ’’A （即x 轴）与y=x 的交点(0,0)时，B P A P 22-最大为1，故P 1，P 2重合。
21P P ∴=0【思维点拨】：利用三角形两边之和大于第三边或两边之差小于第三边，解决在直线上求一点到两定点距离之和最小或到两定点距离之差为最大的问题。
备用题：例4．已知椭圆方程为13422=+y x ，试确定实数m 的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线m x y +=4对称。
解法一：设),(21y x A 、),(22y x B 是椭圆上关于直线m x y +=4对称的相异的两点，AB 中点为),(00y x M 。
则有⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=-=⋅--=+=+=+=+mx y x x yy y y y x x x y x y x 0012120210212222212141422134134由点差法得003x y =，所以m y m x 3,00-=-=，M 点坐标为)3,(m m --。
而M 是AB 中点，∴M 点在椭圆内部。
∴139422<+m m 。
解得1313213132<<-m 。
解法二：该 问题等价于存在直线n x y +-=41，使得这直线与椭圆有两个不同的交点P 、Q ，线段PQ 的中点落在直线m x y +=4上。
由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==+n x y y x 4113422消去n 得0481681322=-+-n nx x∵直线与椭圆有两个不同交点。
∴2132130)4816(1346422<<-⇔>-⨯-=∆n n n ① 由韦达定理得：13821n x x =+，13242)(412121nn x x y y =++-=+。
故PQ 中点为)1312,134(n n M 又M 在直线m x y +=4上 ∴m n n +⋅=13441312，∴n m 134-= ② 由①②知1313213132<<-m 三、小结1.对称问题分为点对称及轴对称，点对称仅用中点坐标公式即可，轴对称因对称点连线的中垂线就是对称轴，根据中点坐标公式及斜率的关系即可解决。
特别是关于原点对称、坐标轴对称，直线0=±y x 对称都要熟练掌握。
2.解决最值问题最常用的方法是目标函数法和几何法。
3.求对称曲线的常用思想方法：代入转移法 四、【布置作业】 优化设计P108。