第五章 刚体的定轴转动
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大学物理 第5章刚体定轴转动
赵 承 均
转动平面 某质点所在的圆周平面，称为转动平面。
参考线
转心 矢径
转动平面内任一过转轴的直线，如选 x 轴。
某质点所在的轨迹圆的圆心，称为转心。 某质点对其转心的位矢，称为该质点的矢径。
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
显然：转动刚体内所有点有相同的角量，故用角量描述刚体 的转动更方便，只需确定转动平面内任一点的角量即可。 1.角坐标— 描写刚体转动位臵的物理量。 角坐标 转动平面内刚体上任一点 P 到转轴 O 点的连线与 参考线间的夹角 。
赵 承 均
第二类问题：已知J和力矩M：求出运动情况和 b及 F 。
第三类问题：已知运动情况和力矩M，求刚体转动惯量 J 。
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
第一类问题：已知运动情况和 J ，确定运动学和动力学的联 系 例 ：长为 l,质量为 m 的细杆，初始时的角速 度为 ωo ，由于细杆与 桌面的摩擦，经过时间 t 后杆静止，求摩擦力 矩 Mf 。
Fi cos i Fi cos i mi ain mi ri 2 法向：
e i
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
由于法向力的作用线穿过转轴，其力矩为零。可在切向 方程两边乘以 ri ，得到：
Fi e ri sin i Fi i r i sin i mi ri 2
4.角加速度— 描写角速度变化快慢和方向的物理量。 ⑴ 平均角加速度 t
即：刚体的角速度变化与发生变化所用的时间之比。
赵 承 均
⑵ 角加速度 ①用平均角加速度代替变化的角加速度； ②令 t 0 取极限；
d d lim 2 t 0 t dt dt
5-刚体的定轴转动
L1 L2
刚体定轴转动的角动量 L=?
z
v
ri mi
O
刚体 定轴
L Li mirivi
m iri(ri) ( miri2)
J M=0的原因，可能
1）F＝0（不受外力） 2）外力作用于转轴上 3）外力作用线通过转轴
4）外力作用线与转轴平行
刚体定轴转动的角动量守恒
L1 L2
J11J22
位置，求它由此下摆角时的角速度。
解：如图建立坐标
x
杆受到的重力矩为：
O
M ＝ gxd g m xdm
X
dm
据质心x定 d＝ m 义 mCx MmgxC
xc
1l 2
cos
M1mgclos
2
dmg
MJJdJ d d J d M dJd
dt d dt d
0 1 2mc go lds 0 Jd
mglsin
端点 o 且与桌面垂直的固定光滑轴转动,另有 一水平运动的质量 m2为的小滑块,从侧面垂直 与杆的另一端 A 相碰撞,设碰撞时间极短,已知 小滑块在碰撞前后的速度分别为 v1 和 v2 ,方 向如图所示,求碰撞后从细杆开始转动到停止 转动过程所需时间,（已知杆绕点 o 的转动惯 量 J= ml2/ 3 )
dLR J2J0m0d2 其中 Jo 12moR2
J J1J2 1 3m LL 21 2m oR 2m o(LR )2
2.对薄平板刚体的正交轴定理
z
Jz miri2
yi
xi
ri
y
m i(x2y2) m ix 2 m iy 2
x
Δmi
Jz JxJy
z
应用
例：已知圆盘
第5章 刚体的定轴转动
（1） 式中n表示转动方向，ω表示角速度的大小。 2、角加速度矢量
角加速度矢量定义为
（2） 显然，若角加速度矢量的方向与角速度矢量的方向相同，见下图 （a），则角速度在增加；反之，若角加速度与角速度的方向相反，见 下图（b），则角速度在减小。从图（a）、（b）中不难验证，角加速 度矢量的方向与直观转动的加速方向也构成右手螺旋关系。既当四个手 指指向直观的加速方向时，大姆指所指向的方向即为角加速度矢量的方 向。
(4) 其中
为各分力的力矩，证毕。 由于作用力和反作用力是成对出现的，所以它们的力矩也成对出
现。由于作用力与反用力的大小相等，方向相反且在同一直线上因而有 相同的力臂，见下图，所以作用力矩和反作用力矩也是大小相等，方向 相反，其和为零。
(5)
作用力矩和反作用力矩 二、刚体对定轴的角动量
在刚体的定轴转动中，刚体对定轴的角动量是一个很重要的物理 量，在很多问题的分析中都要用到这个概念，下面我们来讨论这个问 题。 刚体绕定轴转动时，它的每一个质点都在与轴垂直的平面上运动。下面 我们先分析质点对定轴的角动量，而且只考虑质点在轴的垂面上运动的 情况。如下图所示，有一质点在z轴的垂面M内运动，质点的质量为m， 对z轴（即对质点转心）的矢径为r，速度为v，动量p=mv。如同在角动 量知识点中讨论的一样，我们定义质点对定轴的角动量为
第5章 刚体的定轴转动 ◆ 本章学习目标 理解：刚体、刚体转动、转动惯量的概念；刚体定轴转动定律及角动量守
恒定律。 掌握：转动惯量，转动中的功和能的计算；用刚体定轴转动定律及角动量
守恒定律求解定轴转动问题的基本方法。 ◆ 本章教学内容
1．刚体的运动 2．刚体定轴转动定律 3．转动惯量的计算 4．刚体定轴转动定律的应用 5．转动中的功和能 6．对定轴的角动量守恒 ◆ 本章重点 刚体转动惯量的物理意义以及常见刚体绕常见轴的转动惯量； 力矩计算、转动定律的应用； 刚体转动动能、转动时的角动量的计算。 ◆ 本章难点 力矩计算、刚体转动过程中守恒的判断及其准确计算。
角加速度矢量定义为
（2） 显然，若角加速度矢量的方向与角速度矢量的方向相同，见下图 （a），则角速度在增加；反之，若角加速度与角速度的方向相反，见 下图（b），则角速度在减小。从图（a）、（b）中不难验证，角加速 度矢量的方向与直观转动的加速方向也构成右手螺旋关系。既当四个手 指指向直观的加速方向时，大姆指所指向的方向即为角加速度矢量的方 向。
(4) 其中
为各分力的力矩，证毕。 由于作用力和反作用力是成对出现的，所以它们的力矩也成对出
现。由于作用力与反用力的大小相等，方向相反且在同一直线上因而有 相同的力臂，见下图，所以作用力矩和反作用力矩也是大小相等，方向 相反，其和为零。
(5)
作用力矩和反作用力矩 二、刚体对定轴的角动量
在刚体的定轴转动中，刚体对定轴的角动量是一个很重要的物理 量，在很多问题的分析中都要用到这个概念，下面我们来讨论这个问 题。 刚体绕定轴转动时，它的每一个质点都在与轴垂直的平面上运动。下面 我们先分析质点对定轴的角动量，而且只考虑质点在轴的垂面上运动的 情况。如下图所示，有一质点在z轴的垂面M内运动，质点的质量为m， 对z轴（即对质点转心）的矢径为r，速度为v，动量p=mv。如同在角动 量知识点中讨论的一样，我们定义质点对定轴的角动量为
第5章 刚体的定轴转动 ◆ 本章学习目标 理解：刚体、刚体转动、转动惯量的概念；刚体定轴转动定律及角动量守
恒定律。 掌握：转动惯量，转动中的功和能的计算；用刚体定轴转动定律及角动量
守恒定律求解定轴转动问题的基本方法。 ◆ 本章教学内容
1．刚体的运动 2．刚体定轴转动定律 3．转动惯量的计算 4．刚体定轴转动定律的应用 5．转动中的功和能 6．对定轴的角动量守恒 ◆ 本章重点 刚体转动惯量的物理意义以及常见刚体绕常见轴的转动惯量； 力矩计算、转动定律的应用； 刚体转动动能、转动时的角动量的计算。 ◆ 本章难点 力矩计算、刚体转动过程中守恒的判断及其准确计算。
第五章刚体定轴转动典型题型
• 例3一质量为ｍ，半径为Ｒ的均匀圆盘，求 通过中心ｏ并与盘面垂直的轴的转动惯量
• 例4一半径为Ｒ的光滑置于竖直平面内，一 质量为ｍ的小球穿在圆环上，并可在圆环 上滑动，小球开始 时静止于圆环上的电 Ａ（该点在通过环心ｏ的水平面上），然 后从Ａ点开始下滑，设小球与圆环间的摩 擦略去不计。求小球滑到点Ｂ时对环心ｏ 的角动量和角速度。
Ｏ
Ａ
质点运动与钢体定轴转动对照表
质点运动
速度
v dr / dt
加速度 a dv / dt
力
Ｆ
钢体定轴转动
角速度 d / dt
角加速度 d / dt
力矩
Ｍ
质量 ｍ
转动惯量 Ｊ
动量 p mv
角动量 L J
牛二律 F m a
F dp / dt
转动定律 M J
M dL / dt
第五章 刚体定轴转动
• 例1一飞轮半径为0.2m，转速为150r/min， 因受到制动二均匀减速，经30s停止转动， 试求：
1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数
2）制动开始后t=6s时飞轮的角速度
3） t=6s时飞轮边缘上一点的线速度，切线 加速度和法线加速度。
• 例2一质量为ｍ，长为的均匀细长棒，求 1）通过其中心并于棒垂直的转动惯量 2）通过棒端点并与棒垂直的轴的转动惯量
角加速度（ ）
• 例8 质量为Ｍ，半径为Ｒ的转台，可绕过 中心的竖直轴无摩擦的转动。质量为ｍ的 一个人，站在距离中心ｒ处（ｒ<R），开 始时，人和台处于静止状态。如果这个人 沿着半径为ｒ的圆周匀速走一圈，设它相 对于转台的运动速度为ｕ，求转台的旋转 角速度和相对地面的转过的角度。
ｒ
Ｒ
• 5）角动量守恒定律和机械能守恒定律的综 合应用
大学物理 和 习题答案
向走动时，则此平台相对地面旋转的角速度和旋转方向分别为
[A ]
（A） mR2 （ V ），顺时针。 JR
（B） mR2 （ V ），逆时针。 JR
——————3——————
大学物理习题集（上）
（C） mR 2 （ V ），顺时针。 （D） mR 2 （ V ），逆时针。
J mR 2 R
J mR 2 R
F
l 2
1 12
ml 2
A
Fl
1 3
ml 2
B
由上两式可解得 A
6F ml
,B
3F ml
,可见 A
B
所以应选（B）。
9．质量为 m 的小孩站在半径为 R 的水平平台边缘上，平台可以绕通过其中心的竖直光滑固定轴自由转动，
转动惯量为 J，平台和小孩开始时均静止，当小孩突然以相对于地面为 v 的速率在平台边缘沿逆时针转
。
2
解答 以圆盘和橡皮沁组成一系统，则系统所受重力对铅直轴 O 的力矩为零，所以系统的角动量守
——————6——————
大学物理习题集（上）
恒，圆盘的角动量为
J0
，橡皮泥（视为质点）对
O
轴的转动惯量为
m
R 2
2
，则有
1 2
MR20
1 2
MR2
m
R 2
2
解得
1 2
MR
20
2M 0
1 2
（D）只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关。
2. 均匀细棒 OA 可绕通过某一端 O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，今使棒从水平位置由静止开始自
由下降，在棒摆到竖直位置的过程中，下述说法哪一种是正确的？
大学物理第5章刚体的定轴转动
d ctdt
对上式两边积分得
d c td t
0 0
t
1 2 ct 2
2 2 600π π 3 rad s 由给定条件， c 2 t 300 2 75
d π 2 由角速度的定义，则任意 t 时刻的角速度可写为： d t 150
得到： 转子转数：
A M d E K
a b
动能定理
动量定理
A F ds E K
动能定理 角动量定理 角动量 守恒
t 0Fdt P
t
动量守恒
F 0, P 0
t 0 M z dt Lz
t
M 0, L 0
§5.1 刚体、刚体运动
一、一般运动 二、刚体的定轴转动 三、解决刚体动力学问题的一般方法
基本方法： 加
质点系运动定理 刚体特性 平动：动量定理
刚体定轴转动的 动能定理 角动量定理
F mac
可以解决刚体的一般运动（平动加转动）
一、一般运动
1. 刚体 特殊的质点系， 形状和体积不变化 —— 理想化模型 在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变 2. 自由度 确定物体的位置所需要的独立坐标数 —— 物体的自由度数 z
刚体平面运动可看做刚体的平动与定轴转动的合成。 例如：车轮的滚动可以看成车轮随轮 轴的平动与绕轮轴的转动的组合。 描述刚体平面运动的自由度：3个
定点转动 刚体运动时，刚体上的一点固定不动，刚体绕过定点的一 瞬时转轴的转动，称作定点转动。
描述定点转动的自由度：3个
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
z
描述刚体绕定轴转动的角量： 角坐标
05刚体的定轴转动习题解答.
第五章刚体的定轴转动一选择题1. 一绕定轴转动的刚体，某时刻的角速度为ω，角加速度为α，则其转动加快的依据是：（）A. α > 0B. ω > 0，α > 0C. ω < 0，α > 0D. ω > 0，α < 0解：答案是B。
2. 用铅和铁两种金属制成两个均质圆盘，质量相等且具有相同的厚度，则它们对过盘心且垂直盘面的轴的转动惯量。
（）A. 相等；B. 铅盘的大；C. 铁盘的大；D. 无法确定谁大谁小解：答案是C。
简要提示：铅的密度大，所以其半径小，圆盘的转动惯量为：2/2Mr J =。
3. 一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的光滑固定轴O 以角速度ω 按图示方向转动。
若将两个大小相等、方向相反但不在同一条直线的力F 1和F 2沿盘面同时作用到圆盘上，则圆盘的角速度ω的大小在刚作用后不久 （ ）A. 必然增大B. 必然减少C. 不会改变D. 如何变化，不能确定解：答案是B 。
简要提示：力F 1和F 2的对转轴力矩之和垂直于纸面向里，根据刚体定轴转动定律，角加速度的方向也是垂直于纸面向里，与角速度的方向（垂直于纸面向外）相反，故开始时一选择题3图定减速。
4. 一轻绳绕在半径为r 的重滑轮上，轮对轴的转动惯量为J ，一是以力F 向下拉绳使轮转动；二是以重量等于F 的重物挂在绳上使之转动，若两种情况使轮边缘获得的切向加速度分别为a 1和a 2，则有： （ ）A. a 1 = a 2B. a 1 > a 2C. a 1< a 2D. 无法确定解：答案是B 。
简要提示：(1) 由刚体定轴转动定律，1αJ Fr =和11αr a =，得：J Fr a /21= (2) 受力分析得：⎪⎩⎪⎨⎧===-2222ααr a J Tr ma T mg ，其中m 为重物的质量，T 为绳子的张力。
得：)/(222mr J Fr a +=，所以a 1 > a 2。
5. 一半径为R ，质量为m 的圆柱体，在切向力F 作用下由静止开始绕轴线作定轴转动，则在2秒内F 对柱体所作功为： （ ）A. 4 F 2/ mB. 2 F 2 / mC. F 2 / mD. F 2 / 2 m解：答案是A 。
第5章 刚体定轴转动.
J过一端垂直于杆 13m L2
圆环： J对称轴mR2
圆盘：
J对称轴
1 2
mR2
薄球壳：
J直径
2 3
mR2
球体：
J 直径
2 5
mR2
例: 如图所示，刚体对经过
棒端且与棒垂直的轴的转动
mL
惯量如何计算？(棒长为L ,
球半径为R）
mO
刚体的转动定律
力矩质点系的角动量改变 任意质点系的角动量定理：
M
轴向总力矩： M z M iz riF isin i
i
i
§5-4 转动定Biblioteka 的应用规范的解题思路：认物体
分析题意，确定哪些物体是刚体， 哪些是质点，及其与问题关系。
看运动
分析刚体的转动和质点运动情况，
找出相关的线量( v,a ) 和角量(,)，
确定它们之间的关系。
查受力
画隔离体受力分析图，确定对刚体 有力矩贡献的力和质点的受力及其关系。
列方程
选择坐标系和角量的参考方向，对 刚体列出转动定律方程，对质点列出牛 顿定律方程，并列出角量与线量的关系， 再求解。
[例]一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的光滑固定轴O以
角速度ω按图示方向转动.若如图所示的情况那样， F
将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力F沿
F
O
盘面同时作用到圆盘上，则圆盘的角速度 [
时刻=0 ，代入方程= 0+at 得
0
O
an r
v
a
at
a0 50rad/2s
t
50
3.14rad/2s
从开始制动到静止，飞轮的角位移及转数N分别为
00t1 2a2t505 01 2520 125ra0d
第5章 刚体的定轴转动 习题解答
对飞轮，由转动定律，有 式中负号表示摩擦力的力矩方向与角速度 方向相反。
联立解得
以 F 100 N 等代入上式，得
Fr R 2 (l1 l2 ) F J mRl1
5-1
第 5 章 刚体的定轴转动
2 0.40 (0.50 0.75) 40 100 rad s 2 60 0.25 0.50 3 t
由以上诸式求得角加速度
(2)
Rm1 rm2 g I m1 R 2 m2 r 2 0.2 2 0.1 2
1 1 10 0.202 4 0.102 2 0.202 2 0.102 2 2
9.8 6.13 rad s 2
T2 m2 r m2 g 2 0.10 6.13 2 9.8 20.8N T1 m1 g m1 R 2 9.8 2 0.2. 6.13 17.1N v 2a1h 2 Rh 2 6.13 0.2 2 2.21 m s 1
M M f J 1
t1
。移去力矩 M 后，根据转动定律，有
M f J 2
2
联立解得此转轮的转动惯量
0 t2
J
M 20 17.36 kg m 2 1 1 1 100 2 1 60 10 100 t1 t2
v0
6(2 3 3m M l J l 1M (1 2 ) (1 ) 2 ml 2 3m 12 m
(2) 由①式求得相碰时小球受到的冲量为：
I Fdt mv mv mv0
负号说明所受冲量的方向与初速度方向相反。
[理学]第5章 刚体的定轴转动_OK
J 2
x 2dm l x2dx 1 ml 2
0
3
o
dx
dm
17 x
图(2)
记住几个典型的转动惯量：
*圆环（通过中心轴）………………… J = mR2
*圆盘、圆柱（通过中心轴）………… J 1 mR2 2
*细棒（端点垂直轴）…………………J A
1 3
m L2
*细棒（质心垂直轴）…………………J c
滑轮的角速度．
解：两重物加速度大小a相同，滑轮角加速度为
隔离物体分析力方向如图
由牛顿第二定律： m1g－T1＝m1a T2－m2g＝m2a
转动定律： (T1－T2)r＝Jb 且有： a＝rb
T1 T1 a m1 m1g
r T2
m2 T2 a
m2g
解方程组得：
m1 m2 gr m1 m2 r 2 J
转动平面: 取垂直于转轴 的平面为参考系, 称转动平面。,
转轴
Z 转动方向
vi
Δmi
转动平面
P
o θ
x
op r
2.定轴转动的角量描述
1.角位置θ
6
2.角位移
3.角速度: d 角速度是矢量 。dt
单位：rad/s
Zω 转动方向
v
方向与转动方向成 右手螺旋法则。
P点线速度 v r
Ｐ
o θ 转动平面 op r
第五章 刚体的定轴转动
转轴
1
一、力矩
复习
M rF
1. 大小：M = rFsinθ
2.方向：由右手螺旋定则确定。
Z F// F
O r F⊥ p
注意：上式中F指的是与转轴垂直平面(转动平面)上的力，
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第5章 刚体的转动
5.1 刚体运动的描述
平动
平动：刚体中所 有点的运动轨迹都保 持完全相同．
特点：各点运动
状态一样，如：v、a
等都相同．
刚体平动 质点运动
2
转动 刚体的平面运动
刚体的一般运动可看作：
随质心的平动 + 绕质心的转动 的合成
z
O
y
x
刚体的定轴转动
z
P
z
0
z
0
绕定轴转动刚体内各点的速度和加速度
y
y
x
dA
dy
hy
x
O
Q
O
L
y
h dF O
dy
y
Q
5.3 转动惯量的计算
例2.等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动 惯量。
z
M
L
O
dx
x
例3. 圆环绕中心轴旋转的转动惯量。
dl m
R O
例4. 圆盘绕中心轴旋转的转动惯量。
Rm dr
r O
例5. 细棒绕通过中点的垂直于棒的轴的转动 惯量。
z
M
L
Jo 3mR 2 / 2 Jx J y mR2 / 4
Jc m R12 R22 / 2
常见刚体的转动惯量
刚体 球壳 球体 立方体
转轴 过中心轴 过切线 过中心轴 过切线 过中心轴 过棱边
转动惯量
Jc 2mR 2 / 3 Jo 5mR 2 / 3 Jc 2mR 2 / 5 Jo 7mR 2 / 5 J c ml 2 / 6 Jo 2ml 2 / 3
o'
圆
锥 摆
T
m oR
p v
圆锥摆系统 动量不守恒； 角动量守恒； 机械能守恒．
例1 长为 l ,质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴
O 在竖直平面内转动, 初始时它在水平位置。
求 它由此下摆 角时的 。
解 M 1 mglcos
O•
m
l
x
2
•C
由动能定理
A
Md
l
mg
mgcosd
0
02
例4 质量很小长度为l 的均匀细杆，可绕过其 中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动．当细杆 静止于水平位置时，有一只小虫以速率 垂直落在 距点O为 l/4 处，并背离点O 向细杆的端点A 爬行．
设角小速虫度与转细 动杆 ，的 小v质虫0 量应均以为多大m．速问率：向欲细使杆细端杆点以爬恒行定? 的
求: 子弹细棒共同的角速度 。
y
v0
m
例2 如图所示,一质量为m的子弹以水平速度射
入一静止悬于顶端长棒的下端, 穿出后速度损
失3/4, 已知棒长为 l, 质量为M 。
求: 子弹穿出后棒的角速度 。
M l
m v0
v
例3 质量为M、半径为R的转盘，可绕铅直轴无 摩擦地转动。转盘的初角速度为零。一质量为 m的人，在转盘上从静止开始沿半径为r的圆周 相对转盘匀速走动，如图所示。求当人在转盘 上奏一周回到盘上的原位置时，转盘相对于地 面转过了多少角度。
常见刚体的转动惯量
刚体 转轴
细棒
过中心与棒垂直 过端点与棒垂直
过中心与环面垂直
细圆环 过端点与环面垂直
过直径
过中心与盘面垂直
薄圆盘 过端点与盘面垂直
过直径
空心圆柱 对称轴
转动惯量
Jc ml 2 /12 J o ml 2 / 3
Jc mR 2 Jo 2mR 2 Jx J y mR2 / 2 Jc mR 2 / 2
lmg sin 0 1 J2 0
2
2
例2 一个质量为M , 半径为 R 的定 滑轮 (当作均匀圆盘 ) 上面绕有细 绳, 绳的一端固定在滑轮边上，另 一端挂一质量为m的物体而下垂。 M O R 忽略轴处摩擦。
圆盘对中心轴的转动惯量
J MR2 2
求 物体 m 由静止下落高度 h 时 的速度。
J 2
M
J
d A M d
M J
M d t L L0
M
d
1 J 2
2
1 2
J
2 0
作业
第五章
§5.1 §5.8 §5.11 §5.16 §5.19
v F
O●
θ C ●
mg
v
F
v F1 β
v F2
l
α、ω
O
●
avnavt
θ
C ●
mg
例5 一均质棒，长度为 l，现有一水平打
击力F 作用于距轴 l 处。
Nx
求 l =？时，轴对棒作用力的水平分量为 0。 l
C
acx
F
5.5 角动量守恒定律
当变形体所受合外力矩为零时，变形体的角动量也守恒
例1 一均质棒,长度为 L,质量为M,现有一子弹 在距轴为 y 处水平射入细棒,子弹的质量为 m , 速度为 v0 。
对否？
m2
T1
m2g
m1
a m1g
例2：棒长为l,质量为m,求剪断绳瞬间 f =1/2 mg？？？
f mg
例3：匀质圆盘，拉绳的 a=? 时圆盘相对地静止。 f
mg
例4: 均匀细直棒质量m，长l，一端固定在光滑的水平轴上， 可在竖直平面内转动，最初棒静止在水平位置，求1、下摆θ 角时的角加速度和角速度。2、此时棒受轴的力的大小、方向 如何。
竿
子
长
些ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
还
是
短
些
较
安
飞轮的质量为什么
全 ？
大都分布于外轮缘？
§5.4 转动定律的应用
例1： 已知：滑轮M（看成匀质圆盘）半径R，
物体 m1m2。求：a =?
解： m1 g T m1a
a m1 m2 g
M
T m2g m2a
m1 m2
T2
R T1
m1g m2g (m1 m2 )a
O dx
x
例6：均匀薄球壳(半径R、质量m)绕直径的转动惯量。
r
d
R
例7：均匀球体(半径R、质量m)绕直径的转动惯量。
r dz R
平行轴定理
Jz' J z ML2
z' z M
L C
J z' 刚体绕任意轴的转动惯量； J z 刚体绕通过质心的轴的转动惯量；
L 两轴间垂直距离。
例8. 求图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴 的转动惯量。(棒长为L、圆盘半径为R）
5.6 转动中的功和能
力矩的功
d
O
r' dr F
r .
P
定轴转动刚体的动能
z
O rk
vk
P
• Δmk
刚体的机械能
C • • mi
hc
hi
Ep 0
讨论
子细 弹绳 击质 入量 沙不 袋计
o
v
以子弹和沙袋为系统 动量守恒； 角动量守恒； 机械能不守恒 .
子o
弹 击 入 杆
v
以子弹和杆为系统 动量不守恒； 角动量守恒； 机械能不守恒．
求: 转子在这段时间内转过的圈数。
例2： 一飞轮在时间t内转过角度＝ at+bt3-ct4 ,式中a、b、c 都是常量。求它
的角加速度。
5.2 转动定律
例1 有一大型水坝高110 m、长1 000
m ,水深100m，水面与大坝表面垂直，如图
所示. 求作用在大坝上的力，以及这个力对
通过大坝基点 Q 且与 x 轴平行的力矩 .
m
h
例3 一长为 l , 质量为m 的竿可绕支点O自由转动．一
o 30
质量为m’、速率为v 的子弹 射入竿内距支点为a 处，使 竿的偏转角为30o . 问子弹的
a v m'
初速率为多少?
解 子弹、竿组成一系统，应用角动量守恒
mva
(1 ml 2 3
ma2 )，
3mva m'l 2 3ma2
例4 长为 l、质量为M的均质杆, 一端悬挂, 可绕 通过O 点垂直于纸面的轴转动。今杆自水平位 置无初速度地下落，在铅垂位置与质量为m,的 物体A做完全非弹性碰撞, 如图所示, 碰撞后物 体A沿摩擦系数为μ的水平面滑动。 求物体A沿
z ω,v
rM • M Oθ
刚体
匀变速转动公式
质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
v v0 at
0 t
x
x0
v0t
1 2
at 2
0
0t
1 2
t
2
v2
v02 2a(x x0 )
2
2 0
2 (
0)
例1 设圆柱型电机转子由静止经300s后达 18000r/min。已知转子的角加速度α与时间 成正比。
水平面滑动的距离及杆碰撞后质心上升的高度 。
直线运动与定轴转动规律对照
质点的直线运动
v dx dt
P mv F
a
dv dt
d2 x dt2
EK
1 mv2 2
m
dA F dx
F ma
F d t P P0
F
d
x
1 2
mv2
1 2
m v02
刚体的定轴转动
d
dt
d
dt
d2
dt2
L J
EK
1 2
5.1 刚体运动的描述
平动
平动：刚体中所 有点的运动轨迹都保 持完全相同．
特点：各点运动
状态一样，如：v、a
等都相同．
刚体平动 质点运动
2
转动 刚体的平面运动
刚体的一般运动可看作：
随质心的平动 + 绕质心的转动 的合成
z
O
y
x
刚体的定轴转动
z
P
z
0
z
0
绕定轴转动刚体内各点的速度和加速度
y
y
x
dA
dy
hy
x
O
Q
O
L
y
h dF O
dy
y
Q
5.3 转动惯量的计算
例2.等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动 惯量。
z
M
L
O
dx
x
例3. 圆环绕中心轴旋转的转动惯量。
dl m
R O
例4. 圆盘绕中心轴旋转的转动惯量。
Rm dr
r O
例5. 细棒绕通过中点的垂直于棒的轴的转动 惯量。
z
M
L
Jo 3mR 2 / 2 Jx J y mR2 / 4
Jc m R12 R22 / 2
常见刚体的转动惯量
刚体 球壳 球体 立方体
转轴 过中心轴 过切线 过中心轴 过切线 过中心轴 过棱边
转动惯量
Jc 2mR 2 / 3 Jo 5mR 2 / 3 Jc 2mR 2 / 5 Jo 7mR 2 / 5 J c ml 2 / 6 Jo 2ml 2 / 3
o'
圆
锥 摆
T
m oR
p v
圆锥摆系统 动量不守恒； 角动量守恒； 机械能守恒．
例1 长为 l ,质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴
O 在竖直平面内转动, 初始时它在水平位置。
求 它由此下摆 角时的 。
解 M 1 mglcos
O•
m
l
x
2
•C
由动能定理
A
Md
l
mg
mgcosd
0
02
例4 质量很小长度为l 的均匀细杆，可绕过其 中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动．当细杆 静止于水平位置时，有一只小虫以速率 垂直落在 距点O为 l/4 处，并背离点O 向细杆的端点A 爬行．
设角小速虫度与转细 动杆 ，的 小v质虫0 量应均以为多大m．速问率：向欲细使杆细端杆点以爬恒行定? 的
求: 子弹细棒共同的角速度 。
y
v0
m
例2 如图所示,一质量为m的子弹以水平速度射
入一静止悬于顶端长棒的下端, 穿出后速度损
失3/4, 已知棒长为 l, 质量为M 。
求: 子弹穿出后棒的角速度 。
M l
m v0
v
例3 质量为M、半径为R的转盘，可绕铅直轴无 摩擦地转动。转盘的初角速度为零。一质量为 m的人，在转盘上从静止开始沿半径为r的圆周 相对转盘匀速走动，如图所示。求当人在转盘 上奏一周回到盘上的原位置时，转盘相对于地 面转过了多少角度。
常见刚体的转动惯量
刚体 转轴
细棒
过中心与棒垂直 过端点与棒垂直
过中心与环面垂直
细圆环 过端点与环面垂直
过直径
过中心与盘面垂直
薄圆盘 过端点与盘面垂直
过直径
空心圆柱 对称轴
转动惯量
Jc ml 2 /12 J o ml 2 / 3
Jc mR 2 Jo 2mR 2 Jx J y mR2 / 2 Jc mR 2 / 2
lmg sin 0 1 J2 0
2
2
例2 一个质量为M , 半径为 R 的定 滑轮 (当作均匀圆盘 ) 上面绕有细 绳, 绳的一端固定在滑轮边上，另 一端挂一质量为m的物体而下垂。 M O R 忽略轴处摩擦。
圆盘对中心轴的转动惯量
J MR2 2
求 物体 m 由静止下落高度 h 时 的速度。
J 2
M
J
d A M d
M J
M d t L L0
M
d
1 J 2
2
1 2
J
2 0
作业
第五章
§5.1 §5.8 §5.11 §5.16 §5.19
v F
O●
θ C ●
mg
v
F
v F1 β
v F2
l
α、ω
O
●
avnavt
θ
C ●
mg
例5 一均质棒，长度为 l，现有一水平打
击力F 作用于距轴 l 处。
Nx
求 l =？时，轴对棒作用力的水平分量为 0。 l
C
acx
F
5.5 角动量守恒定律
当变形体所受合外力矩为零时，变形体的角动量也守恒
例1 一均质棒,长度为 L,质量为M,现有一子弹 在距轴为 y 处水平射入细棒,子弹的质量为 m , 速度为 v0 。
对否？
m2
T1
m2g
m1
a m1g
例2：棒长为l,质量为m,求剪断绳瞬间 f =1/2 mg？？？
f mg
例3：匀质圆盘，拉绳的 a=? 时圆盘相对地静止。 f
mg
例4: 均匀细直棒质量m，长l，一端固定在光滑的水平轴上， 可在竖直平面内转动，最初棒静止在水平位置，求1、下摆θ 角时的角加速度和角速度。2、此时棒受轴的力的大小、方向 如何。
竿
子
长
些ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
还
是
短
些
较
安
飞轮的质量为什么
全 ？
大都分布于外轮缘？
§5.4 转动定律的应用
例1： 已知：滑轮M（看成匀质圆盘）半径R，
物体 m1m2。求：a =?
解： m1 g T m1a
a m1 m2 g
M
T m2g m2a
m1 m2
T2
R T1
m1g m2g (m1 m2 )a
O dx
x
例6：均匀薄球壳(半径R、质量m)绕直径的转动惯量。
r
d
R
例7：均匀球体(半径R、质量m)绕直径的转动惯量。
r dz R
平行轴定理
Jz' J z ML2
z' z M
L C
J z' 刚体绕任意轴的转动惯量； J z 刚体绕通过质心的轴的转动惯量；
L 两轴间垂直距离。
例8. 求图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴 的转动惯量。(棒长为L、圆盘半径为R）
5.6 转动中的功和能
力矩的功
d
O
r' dr F
r .
P
定轴转动刚体的动能
z
O rk
vk
P
• Δmk
刚体的机械能
C • • mi
hc
hi
Ep 0
讨论
子细 弹绳 击质 入量 沙不 袋计
o
v
以子弹和沙袋为系统 动量守恒； 角动量守恒； 机械能不守恒 .
子o
弹 击 入 杆
v
以子弹和杆为系统 动量不守恒； 角动量守恒； 机械能不守恒．
求: 转子在这段时间内转过的圈数。
例2： 一飞轮在时间t内转过角度＝ at+bt3-ct4 ,式中a、b、c 都是常量。求它
的角加速度。
5.2 转动定律
例1 有一大型水坝高110 m、长1 000
m ,水深100m，水面与大坝表面垂直，如图
所示. 求作用在大坝上的力，以及这个力对
通过大坝基点 Q 且与 x 轴平行的力矩 .
m
h
例3 一长为 l , 质量为m 的竿可绕支点O自由转动．一
o 30
质量为m’、速率为v 的子弹 射入竿内距支点为a 处，使 竿的偏转角为30o . 问子弹的
a v m'
初速率为多少?
解 子弹、竿组成一系统，应用角动量守恒
mva
(1 ml 2 3
ma2 )，
3mva m'l 2 3ma2
例4 长为 l、质量为M的均质杆, 一端悬挂, 可绕 通过O 点垂直于纸面的轴转动。今杆自水平位 置无初速度地下落，在铅垂位置与质量为m,的 物体A做完全非弹性碰撞, 如图所示, 碰撞后物 体A沿摩擦系数为μ的水平面滑动。 求物体A沿
z ω,v
rM • M Oθ
刚体
匀变速转动公式
质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
v v0 at
0 t
x
x0
v0t
1 2
at 2
0
0t
1 2
t
2
v2
v02 2a(x x0 )
2
2 0
2 (
0)
例1 设圆柱型电机转子由静止经300s后达 18000r/min。已知转子的角加速度α与时间 成正比。
水平面滑动的距离及杆碰撞后质心上升的高度 。
直线运动与定轴转动规律对照
质点的直线运动
v dx dt
P mv F
a
dv dt
d2 x dt2
EK
1 mv2 2
m
dA F dx
F ma
F d t P P0
F
d
x
1 2
mv2
1 2
m v02
刚体的定轴转动
d
dt
d
dt
d2
dt2
L J
EK
1 2