5.3 刚体定轴转动定律
l
5.3 刚体定轴转动定律
第5章 刚体的定轴转动
例：如图一圆盘面密度为σ，半径为R，与桌面的 摩擦系数为μ，求：圆盘绕过圆心且和盘面垂直的 轴转动时，圆盘所受的摩擦力矩。 解：取一小环为面元， 则：dm 2πrσdr
df μ dm g μσ 2πgr dr
df R
r O
dM r df μσ 2πgr dr
圆环对轴的转动惯量：
dJ r dm 2 π r dr
2 3
m π R2
3
圆盘的转动惯量为： J
R
0
1 所以: J mR 2 2
4 2 π r dr π R 2
14
转动惯量与质量对轴的分布有关。
5.3 刚体定轴转动定律
第5章 刚体的定轴转动
例：一质量为 m 、长为 l 的均匀细长棒， 求：通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量。
2
dM 2πμσgr dr
2
2 M 2πμσgr dr πμσgR3 3 问题： 0
2
R
dr
若圆盘以ω0 的初角速度转动， 圆盘转多少圈静止？ 6
5.3 刚体定轴转动定律
一、刚体定轴转动的角动量 刚体上任一质元 m i 在垂直 于 z 轴的平面内作圆周运动。 对 z 轴的角动量沿 z 轴 正向，大小为：
5.3 刚体定轴转动定律
第5章 刚体的定轴转动
5.3 刚体定轴转动定律
1
5.3 刚体定轴转动定律
补充的内容：对转轴的力矩
第5章 刚体的定轴转动
F 对转轴 Z 的力矩 M r F
M = Fr sinθ = Fd = Fτ r
作用在刚体上点 P，且在转动 为由点O 到力的 平面内， r 作用点 P 的径矢。
19
5.3 刚体定轴转动定律
第5章 刚体的定轴转动
例：半经为 R ，质量为 m 的均匀圆环， 求：对于沿直径转轴的转动惯量
m 解：圆环的质量密度为： 2 R
在环上取质量元 dm，dm 距转轴为 r
r R cos
d
r dm
dm dl Rd
J r dm
2 m
第5章 刚体的定轴转动
ω
ri v i O m i
z
Li m i v i ri m i ri
2
刚体对固定轴的角动量为：
Lz mi ri ( m i ri ) （所有质元的动量矩之和）
2
2
J z m i ri ——刚体对 z 轴的转动惯量。
2
解：分割质量元 dm，各质 量元到轴的距离相等，
J R dm
2 0
M
M
o
dm
R
2
M
0
dm MR
2
R
绕圆环质心轴的转动惯量:
J MR
2
相当于质量为 m 的质点对轴的转 动惯量。与质量在环上的分布无关。
13
5.3 刚体定轴转动定律
第5章 刚体的定轴转动
例： 一质量为 m 、半径为 R 的均匀圆盘， 求：通过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量。 解：设圆盘面密度为 ，在盘上 取半径为 r ，宽为 dr 的圆环。 圆环质量：dm 2 π rdr
dm
面分布
：质量元
线分布
体分布
dm dl
dm dS
dm dV
: 质量线密度
: 质量面密度
: 质量体密度
10
5.3 刚体定轴转动定律
可视为分立质点结构的刚体 转轴
第5章 刚体的定轴转动
若连接两小球（视为质点）的 轻细硬杆的质量可以忽略，则：
J mi ri
2 1 1
5.3 刚体定轴转动定律
定义式： J
第5章 刚体的定轴转动
二、刚体定轴转动的转动惯量（Moment of Inertia）
m r
2
i i
,
J r dm
2
（质量不连续分布） （质量连续分布） 刚体对固定轴的转动惯量，等于各质元质量与其到 转轴的垂直距离的平方的乘积之和。
对确定的刚体、给定的转轴，转动惯量是一常数。 物理意义：是刚体转动惯性的量度。 刚体的转动惯量的大小：
O
l 2
r
O
r
dr
dr l 2 O´
O´
l
解：设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 r 处 的质量元：dm dr , 如转轴过端点垂直于棒： dJ r 2dm r 2dr
l 1 2 1 3 2 J r dr ml J 2 r dr l 0 0 3 12 1 2 ml 转动惯量与轴的位置有关。 15 12
24
5.3 刚体定轴转动定律
转动定律的推导： 取刚体内任一质元Δmi ，它 所受合外力为 Fi ，内力为 f i 。 （只考虑合外力与内力均 在转动平面内的情形。） 对Δmi 用牛顿第二定律： 切线方向： F
it
第5章 刚体的定轴转动
z
O
ri
Fi
m i
Fi f i mi ai
1）与刚体的总质量、形状、大小有关。 2）与质量对轴的分布有关。 3）与轴的位置有关。
9
5.3 刚体定轴转动定律
转动惯性的计算方法
第5章 刚体的定轴转动
质量离散ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ布刚体的转动惯量：
2 2 1 1 2 2 2 i
J mi ri m r m r
J r dm
2
质量连续分布刚体的转动惯量：
解： 杆上各质元均受摩擦力作用，但各质元受的摩擦阻力矩不
同，靠近轴的质元受阻力矩小，远离轴的质元受阻力矩大，
m 细杆的质量密度： l 质元质量： dm dx
质元受阻力矩：
m l
o
m dx
x dm
x
dM阻 dmgx
细杆受的阻力矩：
1 1 2 M阻 dM阻 gxdx gl mgl 0 5 2 2
刚体绕质心轴的转动惯量最小。
18
5.3 刚体定轴转动定律
第5章 刚体的定轴转动
例：如图所示，求：刚体对经过棒端且与棒垂直的 轴的转动惯量？( 棒长为L、圆半径为R ）
1 J L1 m L L2， 3 1 J O mO R 2 2
mO
O’
mL
J L 2 J O mO d 2
1 1 2 J m L L mO R 2 mO ( L R ) 2 3 2
刚体绕 O z 轴旋转，力 F
M
M
O
z
r
F
*
d
P
d F
: 力臂
F
Fi 0 , M i 0
Fi 0 , M i 20
F
F
5.3 刚体定轴转动定律
第5章 刚体的定轴转动
讨论： 1）若力 F 不在转动平面内，把力分解为平行和垂 直于转轴方向的两个分量：
j
计算变力对某一转轴的力矩则应当采取分小段 的办法，将每一小段的力视为恒力，再按照恒力矩 的计算方法进行计算，最后求和。
在计算力对轴的矩时，可用正负号来表示力矩的方向。 4
5.3 刚体定轴转动定律
第5章 刚体的定轴转动
例：一匀质细杆，长为 l 质量为 m ，在摩擦系数为 的水平桌面上转动，求：摩擦力的力矩 M阻。
矩为零，故 F 对转轴的 力矩： M k r F
z
其中 Fz 对转轴的力
F Fz F
z
k
O
Fz
r
F F
M z rF sinθ
2）合力矩等于各分力矩的矢量和。 M M1 M 2 M 3
J x J y 2J x
21
1 1 2 J x J z mR 2 2
5.3 刚体定轴转动定律
第5章 刚体的定轴转动
例：一长为 a、宽为 b 的匀质矩形薄平板，质量为 m， 求：1）对通过平板中心并与长边平行的轴的转动惯量； 2）对与平板一条长边重合的轴的转动惯量。
解：垂直向上为 y 轴，板的质量面密度为： 在板上取长为a、宽为dy的小面元
注意：合力矩与合力的矩是不同的概念，不要混淆。 3
5.3 刚体定轴转动定律
3） 刚体内，作用 力和反作用力的力 矩互相抵消。
第5章 刚体的定轴转动
M ij
O
M = rF sinθ = Fd
M ij M ji
力矩的计算：
M ji
d
F ji i F r ij
i
rj
l/2 2
5.3 刚体定轴转动定律
注意
第5章 刚体的定轴转动
转动惯量的大小取决于刚体的质量、形状、 大小、质量分布及转轴的位置。
转动惯量的计算方法：
1）直接由定义求：
J m i ri 或 J r 2 dm
2
2）复杂形状的刚体，可以先求出简单形体的， 再相加。 3）平行轴定理： J J C md 2
5.3 刚体定轴转动定律
第5章 刚体的定轴转动
例：长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕细杆一端 轴转动，利用平行轴定理，求：转动惯量 。 解：绕细杆质心的转动惯量为：
1 J C ml 2 12
绕杆的一端转动惯量为：
2
O O´
l
1 2 1 l 2 J ml m ml 3 12 2
合集下载
定轴转动刚体的转动定律度力矩角动量转动惯量
Iz Ix Iy
z
定理证明：
对于质量平面分布的刚体， 绕 x 轴的转动惯量为：
o
yy
Ix y2dm
x
dm
绕 y 轴的转动惯量为：
I y x2dm
x
绕 z 轴的转动惯量为：
19
z
Iz z2dm (x 2 y2 )dm
y2dm x 2dm I x I y 证毕
o
yy
x z dm
0
M
绕圆环质心轴的转动惯量为
dm
oR
I MR2
例2：在无质轻杆的 b 处 3b 处各系质量为 2m 和 m 的 质点，可绕 o 轴转动，求：质点系的转动惯量I。
解：由转动惯量的定义
I
2
mi ri 2
2mb 2
m
(3b)2
11mb 2
i 1
9
例3： 如图所示，一质量为m、长为l的均质空心圆柱
体（即圆筒圆筒）其内、外半径分别为R1和R2。试求
的质元受阻力矩大，
细杆的质量密度 m
l
质元质量 dm dx
o
xl dm m dx
x
质元受阻力矩：
dM 阻 dmgx
细杆受的阻力矩
m l
M阻
dM
阻
0l
gxdx
1 2
gl 2
1 2
mgl
4
二、定轴转动刚体的角动量
1 .质点对点的角动量
L
r
P
r
mv
作圆周运动的质点的角动量L＝rmv;
l
x2dm
L
x2dx
1 L3
0
1 mL2
0
3
A
刚体的定轴转动
2
平行
J 2 J 0 m0d
2
其中 J o
mo R
2
d LR
2 2
J J1 J 2
1 3
mLL
2
1 2
mo R mo (L R)
2.对薄平板刚体的正交轴定理 z
yi xi x z m 圆盘 R y ri Δ mi y
J z mi ri
2
mi ( x y )
所有点运动轨迹都相同。
转动： 刚体各质点都绕同一直线（轴）做圆周运动。
o
o
Δ
平动和转动——可以描述所 有质元（质点）的运动。 定轴转动：各质元均作圆周 运动，其圆心都在一条固定 不动的直线（转轴）上
Δ
二、定轴转动
z
各点的角量相同
转动平面
d
v
O
刚体 r θ 定轴 P
dt d
例2、求质量为m、半径为R、厚为l 的均匀圆盘 的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。 解：取半径为r、宽为dr的薄圆环,
dm 2 rdr l
R
dJ r dm 2 lr dr
2
3
l
r
O
dr
J
dJ
m
R
2 lr dr
3
1 2
R 4 l
M dL
mi
M
dL
O
刚体 定轴
( mi ri )
2
M J
2
M ( mi ri )
2
d dt
F=ma
M J ——刚体的定轴转动定律
大学物理 刚体的定轴转动
⑶ t =6 ·0 s 时转过的角度为
6s
0
6s
d t 0
0(1et)dt
0 [te t]6 0 s 9 [6 ( 2 0 0) 5 (0 2 )]369rad
则 t =6 ·0 s
时电动机转过的圈数
N 587圈 2
5.2 5.4 刚体的转动定律及应用
5.2.1力对转轴的力矩
转轴
§5.1 刚体的运动的描述 §5.2 刚体定轴转动 §5.3 转动惯量的计算 §5.4 转动定律应用 §5.5 角动量守恒 §5.6 定轴转动中的功和能
5.1 刚体的运动的描述
•刚体（rigid body）
任何情况下形状和体积都不改变的物体(理想化模型)。 刚体是特殊的质点系。 刚体可以看作是由许多质点组成,每一个质点叫做 刚体的一个质元,刚体这个质点系的特点是,在外 力作用下各质元之间的相对位置保持不变。
2、刚体定轴转动的转动定律
M d(J )dL J
dt dt
刚体绕定轴转动时，它的角加速度与作用于刚体上的 合外力矩成正比，与刚体对转轴的转动惯量成反比。
刚体定轴转动的转动定律
M＝J 与 F ma地位相当 m反映质点的平动惯性，J 反映刚体的转动惯性
力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。力
ri
即 F itfitΔ m iri
则刚体转动定律为
变形有 F ir tifir tiΔm iri2
M J
对所有质元求和:
F ir ti fir ti (m ir i2 ) 上式表明:
这里 FitriM i M外
刚体绕定轴转动时,刚
fitri 0 定义 JΔmiri2 叫转动惯量
体的角加速度与它所 受的合外力矩成正比.
大学物理教程-刚体的定轴转动
刚体最简单的运动形式是: 平动和定轴转动。
大学物理教程
哈尔滨工业大学(威海)
5.1 刚体的运动 Harbin Institute of Technology at Weihai
1.平动:
刚体在平动时，在任意一段时间内，刚体
中所有质点的位移都是相同的。而且在任何
时刻，各个质点的速度和加速度也都是相同
5.2.1 对轴的力矩
M ro F (r rz ) F
M z (r F ) z r (F Fz )z r F
M z rF sin r F rF
➢ 说明： ① 只有垂直于轴的分量（或在转动平面内的分量）
才能产生沿轴方向的力矩！ ② 作用点到轴的垂直距离决定对轴的力矩
大学物理教程
例3. 圆环绕中心轴旋转的转动惯量。
解： 选圆环上dl长度质量微元dm，
设线密度为 m 2 R
dl
m R
Jz R2 d m R2 d l
O
R22 R
mR2
大学物理教程
延伸：
薄壁圆筒： J mR2
哈尔滨工业大学(威海)
5.2 刚体定轴转动定律 Harbin Institute of Technology at Weihai
（A）
（B）
解： （A）
M J
FR 1 mR2
2F mR
2
2F
mR
a R 2F / m
R
R
m
m
（B） m1g T m1a
TR J 1 mR2
2
a R
m1
g
m1
1 2
m
R
a
m1
g
m1
1 2
m
恒力 F
大学物理教程
哈尔滨工业大学(威海)
5.1 刚体的运动 Harbin Institute of Technology at Weihai
1.平动:
刚体在平动时，在任意一段时间内，刚体
中所有质点的位移都是相同的。而且在任何
时刻，各个质点的速度和加速度也都是相同
5.2.1 对轴的力矩
M ro F (r rz ) F
M z (r F ) z r (F Fz )z r F
M z rF sin r F rF
➢ 说明： ① 只有垂直于轴的分量（或在转动平面内的分量）
才能产生沿轴方向的力矩！ ② 作用点到轴的垂直距离决定对轴的力矩
大学物理教程
例3. 圆环绕中心轴旋转的转动惯量。
解： 选圆环上dl长度质量微元dm，
设线密度为 m 2 R
dl
m R
Jz R2 d m R2 d l
O
R22 R
mR2
大学物理教程
延伸：
薄壁圆筒： J mR2
哈尔滨工业大学(威海)
5.2 刚体定轴转动定律 Harbin Institute of Technology at Weihai
（A）
（B）
解： （A）
M J
FR 1 mR2
2F mR
2
2F
mR
a R 2F / m
R
R
m
m
（B） m1g T m1a
TR J 1 mR2
2
a R
m1
g
m1
1 2
m
R
a
m1
g
m1
1 2
m
恒力 F
刚体定轴转动
刚体定轴转动
1.刚体的转动 刚体的转动 在圆盘上任意取一个质元 切向速度： 切向速度：
ω
c
vi = ωri = θri
mi , ri
r i
mi
r ai = ωri = θi = αri 切向加速度： 切向加速度：
角加速度rad
s2
由于质元是任取的，所以刚体上各质元的v 由于质元是任取的，所以刚体上各质元的v、a一般 角加速度α 不同，但角量（角位移θ、角速度ω 、角加速度α）都 不同， 角位移θ 角速度ω 相同，所以描述刚体定轴转动用角量最方便 用角量最方便。 相同，所以描述刚体定轴转动用角量最方便。
刚体定轴 转动定律 对 比 牛顿第二定律
dLc = d (I cω ) = I dω = I α Mc = c c dt dt dt
dp d(mv) dv F= = =m =ma dt dt dt
刚体定轴转动定律在转动问题中的地位相当于质 刚体定轴转动定律在转动问题中的地位相当于质 点运动中牛顿第二定律 牛顿第二定律的 点运动中牛顿第二定律的，各物理量间存在明显的 对应关系。 对应关系。
刚体定轴转动
1
安徽工业大学 数理学院 刘畅
2. 刚体的转动动能和转动惯量 刚体的转动动能 转动动能和 1 2 1 2 2 质元 mi的动能 Eki = mivi = miω ri m i 2 2 r c i 总动能 Ek = ∑Eki 2 1 ω 2 2 2 = ∑ miω ri = ∑miri 2 2 1 I—转动惯量 = Ic ω2 2 单个质点绕定轴转动的转动惯量 单个质点绕定轴转动的转动惯量 I = mr 2 质量连续分布的刚体的转动惯量 I = r dm
dt 若 M =0LΒιβλιοθήκη M =dL∫
1.刚体的转动 刚体的转动 在圆盘上任意取一个质元 切向速度： 切向速度：
ω
c
vi = ωri = θri
mi , ri
r i
mi
r ai = ωri = θi = αri 切向加速度： 切向加速度：
角加速度rad
s2
由于质元是任取的，所以刚体上各质元的v 由于质元是任取的，所以刚体上各质元的v、a一般 角加速度α 不同，但角量（角位移θ、角速度ω 、角加速度α）都 不同， 角位移θ 角速度ω 相同，所以描述刚体定轴转动用角量最方便 用角量最方便。 相同，所以描述刚体定轴转动用角量最方便。
刚体定轴 转动定律 对 比 牛顿第二定律
dLc = d (I cω ) = I dω = I α Mc = c c dt dt dt
dp d(mv) dv F= = =m =ma dt dt dt
刚体定轴转动定律在转动问题中的地位相当于质 刚体定轴转动定律在转动问题中的地位相当于质 点运动中牛顿第二定律 牛顿第二定律的 点运动中牛顿第二定律的，各物理量间存在明显的 对应关系。 对应关系。
刚体定轴转动
1
安徽工业大学 数理学院 刘畅
2. 刚体的转动动能和转动惯量 刚体的转动动能 转动动能和 1 2 1 2 2 质元 mi的动能 Eki = mivi = miω ri m i 2 2 r c i 总动能 Ek = ∑Eki 2 1 ω 2 2 2 = ∑ miω ri = ∑miri 2 2 1 I—转动惯量 = Ic ω2 2 单个质点绕定轴转动的转动惯量 单个质点绕定轴转动的转动惯量 I = mr 2 质量连续分布的刚体的转动惯量 I = r dm
dt 若 M =0LΒιβλιοθήκη M =dL∫
刚体的定轴转动定律
物体2这边的张力为
T2、 T2’(T2’= T2)
T1
T2
T1
T2
am
a
1
a
m
m1
m1g 2
m2
m2g
因m2>m1，物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以
顺时针方向旋转，Mr的指向如图所示。可列出下列方
程
T1 G1 m1a
G2 T2 m2a
T2r T1r M J
式中是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮
t 0
方向:
t dt
右手螺旋方向
z (t)
x
参考平面
参考轴
刚体定轴转动（一
维转动）的转动方向可
以用角速度的正负来表
示.
角加速度
d
dt
定轴转动的特点
z
>0
z
<0
1） 2）
每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；
任一质点运动
,
,
均相同，但
v,
a不同；
3） 运动描述仅需一个坐标 .
三、 匀变速转动公式
轴的力矩 Mzk
r
F
z
F
k
O rFz
F
M z rF sin
z
Байду номын сангаас
F
M
O
r P
d
五. 定轴转动刚体的转动定律：
Fit
Fi
fit
•
ri
fi
mi• fin
Fin
O
•
j
d
fij
fji
i
Fit ri (miri2 )
I miri2
i
T2、 T2’(T2’= T2)
T1
T2
T1
T2
am
a
1
a
m
m1
m1g 2
m2
m2g
因m2>m1，物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以
顺时针方向旋转，Mr的指向如图所示。可列出下列方
程
T1 G1 m1a
G2 T2 m2a
T2r T1r M J
式中是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮
t 0
方向:
t dt
右手螺旋方向
z (t)
x
参考平面
参考轴
刚体定轴转动（一
维转动）的转动方向可
以用角速度的正负来表
示.
角加速度
d
dt
定轴转动的特点
z
>0
z
<0
1） 2）
每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；
任一质点运动
,
,
均相同，但
v,
a不同；
3） 运动描述仅需一个坐标 .
三、 匀变速转动公式
轴的力矩 Mzk
r
F
z
F
k
O rFz
F
M z rF sin
z
Байду номын сангаас
F
M
O
r P
d
五. 定轴转动刚体的转动定律：
Fit
Fi
fit
•
ri
fi
mi• fin
Fin
O
•
j
d
fij
fji
i
Fit ri (miri2 )
I miri2
i
第五章 刚体的定轴转动
单位: 单位:rad / s 角速度
刚体定轴转动
ω
v 的方向按右手螺旋法则确定. 的方向按右手螺旋法则确定.
在定轴转动中, 在定轴转动中,角速度的方向 沿转轴方向. 沿转轴方向.
角加速度α 角加速度
v ω
2
ω dω d θ = = 2 α = lim t →0 t dt dt
单位: 单位:rad /s 2 角加速度也是矢量, 角加速度也是矢量,方向与角速度增量 的极限方向相同,在定轴转动中, 与 同向 的极限方向相同,在定轴转动中,α与ω同向 或反向. 或反向. 刚体的转动其转轴是可以改变的, 刚体的转动其转轴是可以改变的,为反映瞬时轴的方 向及其变化情况,引入角速度矢量和角加速度矢量. 向及其变化情况,引入角速度矢量和角加速度矢量. 注意 退化为代数量. :定轴转动时, ω,α退化为代数量. 定轴转动时, 退化为代数量
刚体的一般运动都可认为是平动和转动的结合. 刚体的一般运动都可认为是平动和转动的结合.
1. 用角量描述转动 (1) 角位移 θ : ) 时间内刚体转动角度. 在 t 时间内刚体转动角度. 单位: 单位:rad (2)角速度 ω : )
z θ
B A
θ dθ ω = lim = t →0 t dt
●
r2
转动惯量的定义: 转动惯量的定义:
J = ∑mi ri
2
对质量连续分布的刚体, 对质量连续分布的刚体,上式可写成积分形式
J = ∫ r dm
2
dm—质元的质量 质元的质量 r—质元到转轴的距离 质元到转轴的距离
线分布 dm = λdx 面分布 dm = σds 体分布 dm = ρdV
λ 是质量的线密度
F iz
ri = roi sinθ
刚体定轴转动
ω
v 的方向按右手螺旋法则确定. 的方向按右手螺旋法则确定.
在定轴转动中, 在定轴转动中,角速度的方向 沿转轴方向. 沿转轴方向.
角加速度α 角加速度
v ω
2
ω dω d θ = = 2 α = lim t →0 t dt dt
单位: 单位:rad /s 2 角加速度也是矢量, 角加速度也是矢量,方向与角速度增量 的极限方向相同,在定轴转动中, 与 同向 的极限方向相同,在定轴转动中,α与ω同向 或反向. 或反向. 刚体的转动其转轴是可以改变的, 刚体的转动其转轴是可以改变的,为反映瞬时轴的方 向及其变化情况,引入角速度矢量和角加速度矢量. 向及其变化情况,引入角速度矢量和角加速度矢量. 注意 退化为代数量. :定轴转动时, ω,α退化为代数量. 定轴转动时, 退化为代数量
刚体的一般运动都可认为是平动和转动的结合. 刚体的一般运动都可认为是平动和转动的结合.
1. 用角量描述转动 (1) 角位移 θ : ) 时间内刚体转动角度. 在 t 时间内刚体转动角度. 单位: 单位:rad (2)角速度 ω : )
z θ
B A
θ dθ ω = lim = t →0 t dt
●
r2
转动惯量的定义: 转动惯量的定义:
J = ∑mi ri
2
对质量连续分布的刚体, 对质量连续分布的刚体,上式可写成积分形式
J = ∫ r dm
2
dm—质元的质量 质元的质量 r—质元到转轴的距离 质元到转轴的距离
线分布 dm = λdx 面分布 dm = σds 体分布 dm = ρdV
λ 是质量的线密度
F iz
ri = roi sinθ
刚体的定轴转动和转动定律
受力： F Ft Fn
力矩：M r (Ft Fn )
r Ft rFt k
M F r ma r
z
M
Ft F
O r m
Fn
mr2
at r
即: M mr 2
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
2、刚体转动定律
质元 m j 受力为：
右手螺旋定则
第三章 刚体的转动
3– 1 刚体的定轴转动
4、角加速度（矢量）
第三章 刚体的转动
大小： d
dt
方向： 若 2 > 1 则 与角速度同向， 若 2 < 1 则 与角速度反向。
3– 1 刚体的定轴转动
第三章 刚体的转动
二、匀变速转动公式
匀变速转动：转动的角加速度为恒量的运动。
J R 2π r3dr π R4 所以 J 1 mR2
0
2
2
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第三章 刚体的转动
例3 ：质量为m、高为h、半径为r的均匀圆柱体，求其对 圆柱中心的转动轴的转动惯量？
解：dm dV 2 r h dr
其中：
m V
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第三章 刚体的转动
三 转动惯量 J mjrj2 , J r 2dm
1、物理意义：
j
描述刚体转动过程中转动惯性大小的物理量.（ 转动
惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转轴的位置 .）
2、转动惯量的计算方法：
1）质量离散分布刚体的转动惯量：
J mjrj2 m1r12 m2r22
对质量面分布的刚体： dm dS
刚体定轴转动的转动定律
R
M
h
Hale Waihona Puke 解法一 用牛顿第二运动 定律及转动定律求解.分 析受力如图所示. 对物体m用牛顿第二 运动定律得 mg T ma 对匀质圆盘形滑轮用 转动定律有 TR J 物体下降的加速度的 大小就是转动时滑轮边缘 上切向加速度，所以
o R M
T
h
a
G
a R 物体m 落下h 高度时的速率为
2
3.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆环 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. 解 作示意图如右,由于质 量连续分布，所以由转动 惯量的定义得
J R 2dm
m
dm
o
R
2R 0
m R dl 2R
2
mR 2
4.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆盘 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. dr 解 如图所示, 由于质 量连续分布，设圆盘的 R l o r 厚度为l，则圆盘的质量 密度为 m 2 R l
r近日 r远日
v近日
解 彗星受太阳引力的作用，而引力通过了 太阳，所以对太阳的力矩为零，故彗星在运 行的过程中角动量守恒. 于是有 r近日 v近日 r远日 v远日 因为 r近日 v近日 ，r远日 v远日
r近日v近日 所以 r远日 v远日
代入数据可, 得
J r 2dm
m
R 0
1 1 4 r 2r ldr R l mR 2 2 2
2
5. 如图所示，一质 量为M 、半径为R 的匀 质圆盘形滑轮，可绕一 无摩擦的水平轴转动. 圆盘上绕有质量可不计 绳子，绳子一端固定在 滑轮上，另一端悬挂一 质量为m 的物体，问物 体由静止落下h 高度时, 物体的速率为多少？
大学物理课件：刚体定轴转动
M f k 2
(1)
由刚体定轴转动定律得：
k2 J J d
(2)
dt
对上式分离变量并积分得：
0
k
J
t
dt
0
2 0
d 2
(3)
得到所需时间为： t J
(4)
k0
（2）由刚体定轴转动定律得：
k2 J J d d J d
(5)
dt d d
0
对上式分离变量并积分得： k
d
2
设 为两飞轮啮合后共同角速度：
J AA 33.3rad s1
JA JB
例题4.3.2 质量 M 、半径 R 的圆盘，绕过圆心 O
且垂直于盘面的水平光滑固定轴转动，已知其角速
惯量，故该量有关于刚体，还有关于转轴！ 2.由上述结果看出：
JO
1 3
ml 2
1 12
ml2 +m（ l ）2 2
JO
+m（ l ）2 2
4.2.3 平行轴定理
平行轴定理：质量为 m的刚体，如果
对其质心轴的转动惯量为 JC ，则对任
一与该轴平行，相距为 d 的转轴的转
动惯量为：
J O J C md 2
2.合力矩等于各分力矩的矢量和 ：
M M1 M2 M3
(2)
3.刚体内力矩互相抵消：
M ij M ji
注意：内力矩对刚体 动力学效应无贡献；
M ij
o
rj
d ri
i
j
Fji Fij
M ji
例题4.2.1 研磨专用动力卡盘是专门为精密研磨 机所设计，如图所示用于固定被加工工件，卡盘在 绕垂直通过盘心的轴转动时会与接触工件产生滑动 摩擦。试求卡盘转动时受到的摩擦力矩。设其质