大学物理教学课件：力5第五章 刚体的定轴转动
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大学物理 第5章刚体定轴转动
赵 承 均
转动平面 某质点所在的圆周平面，称为转动平面。
参考线
转心 矢径
转动平面内任一过转轴的直线，如选 x 轴。
某质点所在的轨迹圆的圆心，称为转心。 某质点对其转心的位矢，称为该质点的矢径。
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
显然：转动刚体内所有点有相同的角量，故用角量描述刚体 的转动更方便，只需确定转动平面内任一点的角量即可。 1.角坐标— 描写刚体转动位臵的物理量。 角坐标 转动平面内刚体上任一点 P 到转轴 O 点的连线与 参考线间的夹角 。
赵 承 均
第二类问题：已知J和力矩M：求出运动情况和 b及 F 。
第三类问题：已知运动情况和力矩M，求刚体转动惯量 J 。
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
第一类问题：已知运动情况和 J ，确定运动学和动力学的联 系 例 ：长为 l,质量为 m 的细杆，初始时的角速 度为 ωo ，由于细杆与 桌面的摩擦，经过时间 t 后杆静止，求摩擦力 矩 Mf 。
Fi cos i Fi cos i mi ain mi ri 2 法向：
e i
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
由于法向力的作用线穿过转轴，其力矩为零。可在切向 方程两边乘以 ri ，得到：
Fi e ri sin i Fi i r i sin i mi ri 2
4.角加速度— 描写角速度变化快慢和方向的物理量。 ⑴ 平均角加速度 t
即：刚体的角速度变化与发生变化所用的时间之比。
赵 承 均
⑵ 角加速度 ①用平均角加速度代替变化的角加速度； ②令 t 0 取极限；
d d lim 2 t 0 t dt dt
大学物理 刚体的定轴转动
⑶ t =6 ·0 s 时转过的角度为
6s
0
6s
d t 0
0(1et)dt
0 [te t]6 0 s 9 [6 ( 2 0 0) 5 (0 2 )]369rad
则 t =6 ·0 s
时电动机转过的圈数
N 587圈 2
5.2 5.4 刚体的转动定律及应用
5.2.1力对转轴的力矩
转轴
§5.1 刚体的运动的描述 §5.2 刚体定轴转动 §5.3 转动惯量的计算 §5.4 转动定律应用 §5.5 角动量守恒 §5.6 定轴转动中的功和能
5.1 刚体的运动的描述
•刚体（rigid body）
任何情况下形状和体积都不改变的物体(理想化模型)。 刚体是特殊的质点系。 刚体可以看作是由许多质点组成,每一个质点叫做 刚体的一个质元,刚体这个质点系的特点是,在外 力作用下各质元之间的相对位置保持不变。
2、刚体定轴转动的转动定律
M d(J )dL J
dt dt
刚体绕定轴转动时，它的角加速度与作用于刚体上的 合外力矩成正比，与刚体对转轴的转动惯量成反比。
刚体定轴转动的转动定律
M＝J 与 F ma地位相当 m反映质点的平动惯性，J 反映刚体的转动惯性
力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。力
ri
即 F itfitΔ m iri
则刚体转动定律为
变形有 F ir tifir tiΔm iri2
M J
对所有质元求和:
F ir ti fir ti (m ir i2 ) 上式表明:
这里 FitriM i M外
刚体绕定轴转动时,刚
fitri 0 定义 JΔmiri2 叫转动惯量
体的角加速度与它所 受的合外力矩成正比.
大学物理 第五章.
时，
刚体定轴转动的 角动量守恒定律
35
§5.4 刚体的角动量定理及守恒定律
例5.6：如图，质量为M，半径为R的转台，可绕通过中心竖直轴
转动，阻力忽略不计，质量为m的人站在台的边缘，人和台原来都 静止，如果人沿转台的边缘绕行了一周，问相对地面转台转过了多 少角度？
解：把人和转台看做一个系统
系统的角动量守恒 规定：逆时针转动为正方向，以 地面为参考系。 设人的角速度为ω，转台的角速度为Ω。
或
A = ∫ Mdθ = Mθ
42
例5.9：一质量为m，长为 l的匀质杆，两端用绳悬挂杆处于水平 状态，现突然将杆右端的悬线剪断，求(1)此瞬间另一根绳受到 的张力 ;(2)剪断绳子之后任一时刻杆的角速度 ω与转过角度 θ之 间的关系。 解： （1）首先考虑杆绕O点的的转动 根据转动定律： T O
匀变速运动
6
§5.1 刚体及其定轴转动描述
例5.1：一汽车发动机的转速在5s内由200r（转）/min均匀地增加 到3000r（转）/min。（1）求在这段时间内的初角速度、末角速 度和角加速度；（2）求这段时间内转过的角度；（3）发动机轴 上装有一半径为R=0.15m的飞轮，求轮边缘上一点在这第5s末的 切向加速度、法向加速度和总加速度。
24
§5.3 刚体转动的功和能
回顾： 质点 质量 牛顿运动定律
M = Jβ
刚体 转动惯量 转动定律
力做功
力矩做功
25
§5.3 刚体转动的功和能
一、力矩的功
轴
dθ dr α r
α
F 在转动平面内
ω
元功： dA = F • dr = F dr cos α = F ( rdθ ) cos α F ( r cos α )dθ = Mdθ
[理学]第5章-刚体的定轴转动
![[理学]第5章-刚体的定轴转动](https://img.taocdn.com/s3/m/9cd5eb80c0c708a1284ac850ad02de80d5d8065b.png)
(2)刚体可以看作是由许多质点组成,每一个 质点叫做刚体的一个质元,刚体这个质点系 的特点是,在外力作用下各质元之间的相对 位置保持不变。
质元
Δmi
Δmｊ ｒiｊ
2. 刚体的运动形式:
⑴平动： 在描述刚体的平动时,可以用一点的运动
来代表，通常就用刚体的质心的运动来代 表整个刚体的平动。
转轴
⑵转动: 转动是刚体的基本运动形式之一。 刚体转动时各质元均做圆周运动,而且各
列方程
mg－T2 = ma2 T1－mg = ma1
T2 (2r)－T1r = 9mr2 / 2 2r = a2 r = a1
2r T2 T2 a2 m mg
r m 2m T1
T1 m a1
mg
解联立方程，得： 2g
19r
练习1：如图所示,有两个质量分别为 M1 、M2 ，对转轴的转动惯
量分别为
Z’ Z
C d
J = Jc+ m d 2
例: 如图一质量为M 长为l的匀质细杆，中间和右端各有一 质量皆为m的刚性小球，该系统可绕其左端且与杆垂直 的水平轴转动，若将该杆置于水平位置后由静止释放， 求:杆转到与水平方向成θ角时,杆的角加速度是多少?
解:设转轴垂直向里为正,系统对该转轴的转动惯量为
J
第五章 刚体的定轴转动
转轴
复习
一、力矩
M rF
1. 大小：M = rFsinθ
Z F// F
O r F⊥ p
2.方向：由右手螺旋定则确定。
注意：上式中F指的是与转轴垂直平面(转动平面)上的力，
若F不再该平面上，可将F分解为垂直于转轴和平行于转
轴的两个分力，力矩是指的是在转动平面内力F⊥（平行
大学物理第5章刚体的定轴转动
Jz Jx Jy
Jc J mC
质心
d
yi
xi
ri
y
x
Δmi
1 2
mR
2
R
1 4
mR
2
6
第六页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
常用的转动惯量
细杆：
J过中点垂直于杆
1 12
mL2
J过一端垂直于杆
1 3
mL2
圆柱体：
J对称轴
1 2
mR 2
薄球壳：
J 直径
2 3
mR
2
球体：
J 直径
2 5
mR
2
7
第七页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
d L Lsin dΘ M d t
旋进角速度： Ω dΘ
dt
Ω d
dL
Lsin L
Ω M M
Lsin J sin
O
当 90 时 ，Ω M J
Ω
1
，
Ω
演示 车轮旋进（KL023) TV 旋进防止炮弹翻转（注2）
M外z 0 ，则 J z const .
大小不变 正、负不变
对刚体系， M外z = 0 时， Jizi const.，
此时角动量可在系统内部各刚体间传递，
而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。
演示 角动量守恒：茹科夫斯基转椅(KL016)
转台车轮 (KL017)
陀螺仪（KL029）
30
第三十页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
5、车轮进动
2
第二页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
§5.1 刚体的定轴转动定律
z
Mz
dLz dt
大学物理Ⅰ刚体定轴转动的转动定律
第五章 刚体的定轴转动
5.1刚体运动的描述
一.刚体
刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变 化的物体 . （任意两质点间距离保持不变的特殊质点 组）
（1）刚体的运动
刚体的运动形式：平动、转动 .
平动：若刚体中所有点 的运动轨迹都保持完全相同， 或者说刚体内任意两点间的 连线总是平行于它们的初始 位置间的连线 .
F F11 F
其中F11对转轴的力 矩为零，故 F 对转轴的力矩
M zk r F
z
k F11
F
O r
F
M z rF sin
2）合力矩等于各分 力矩的 矢量和 M M1 M2 M3
第五章 刚体的定轴转动
3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
M ij
O
rj
d ri
i
j
Fji Fij
M
rdf
l
grdr
0
1 gl 2
2
1 mgl
2
dm dl
dm ds
dm dV
其中、、分别
为质量的线密度、 面密度和体密度。
线分布
面分布
体分布
第五章 刚体的定轴转动
m 例1 一质量为 、长为 l 的均匀细长棒，求通过棒中
心并与棒垂直的轴的转动惯量 .
O
Or
l 2 O´ dr l 2
O´ dr l
r 解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 处的质
fi
第五章 刚体的定轴转动
M i外 M i内 miri2
i
i
i
Mi内 0
i
M i外 ( miri2 )
i
i
z
O rj
5.1刚体运动的描述
一.刚体
刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变 化的物体 . （任意两质点间距离保持不变的特殊质点 组）
（1）刚体的运动
刚体的运动形式：平动、转动 .
平动：若刚体中所有点 的运动轨迹都保持完全相同， 或者说刚体内任意两点间的 连线总是平行于它们的初始 位置间的连线 .
F F11 F
其中F11对转轴的力 矩为零，故 F 对转轴的力矩
M zk r F
z
k F11
F
O r
F
M z rF sin
2）合力矩等于各分 力矩的 矢量和 M M1 M2 M3
第五章 刚体的定轴转动
3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
M ij
O
rj
d ri
i
j
Fji Fij
M
rdf
l
grdr
0
1 gl 2
2
1 mgl
2
dm dl
dm ds
dm dV
其中、、分别
为质量的线密度、 面密度和体密度。
线分布
面分布
体分布
第五章 刚体的定轴转动
m 例1 一质量为 、长为 l 的均匀细长棒，求通过棒中
心并与棒垂直的轴的转动惯量 .
O
Or
l 2 O´ dr l 2
O´ dr l
r 解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 处的质
fi
第五章 刚体的定轴转动
M i外 M i内 miri2
i
i
i
Mi内 0
i
M i外 ( miri2 )
i
i
z
O rj
大学物理上册《刚体定轴转动》PPT课件
刚体性质
刚体是一个理想化的物理模型，实际物体在受到力的作用时， 都或多或少地会变形，但如果变形很小，对研究问题的影响可 以忽略不计时，就可以把这个物体看成刚体。
定轴转动描述
定轴转动
刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动，这种运 动叫做刚体的定轴转动。这条直线叫做刚体的转轴。
转动的快慢
用角速度ω来描述刚体转动的快慢，单位时间内转 过的角度θ越大，角速度ω就越大。
转动能定理
刚体定轴转动时，合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增 量。
转动动能的计算
转动动能Ek等于刚体的转动惯量I与角速度ω平方的一半的乘积，即 Ek=1/2Iω²。
应用举例
通过计算合外力矩对刚体所做的功，可以求解刚体在某个过程中的角 速度、角加速度等物理量。
动力学普遍定理在转动中应用
动力学普遍定理
VS
误差分析
分析实验过程中可能产生的误差来源，如 测量误差、仪器误差等，并提出减小误差 的方法。
实验结果讨论和改进建议
实验结果讨论
根据实验数据和分析结果，讨论刚体定轴转动的基本规律以及实验过程中存在的问题和不足之处。
改进建议
提出改进实验方法和提高实验精度的建议，如优化实验器材、改进测量方法等。
05
动能定理揭示了力对刚体所做 的功与刚体动能变化之间的关 系；机械能守恒定律则指出在 只有重力或弹力做功的情况下， 刚体的机械能保持不变。
常见题型解题技巧分享
选择题答题技巧
注意审清题意，明确题目要求；对于概念性选择题，要准确理解相关概念；对于计算性选择题，要善于运用 物理规律和公式进行推理和计算。
填空题答题技巧
未来发展趋势预测
高效能源利用
随着能源问题的日益突出，未来旋转机构将更加注重高效能 源利用，如采用新型材料、优化结构等降低能耗。
刚体是一个理想化的物理模型，实际物体在受到力的作用时， 都或多或少地会变形，但如果变形很小，对研究问题的影响可 以忽略不计时，就可以把这个物体看成刚体。
定轴转动描述
定轴转动
刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动，这种运 动叫做刚体的定轴转动。这条直线叫做刚体的转轴。
转动的快慢
用角速度ω来描述刚体转动的快慢，单位时间内转 过的角度θ越大，角速度ω就越大。
转动能定理
刚体定轴转动时，合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增 量。
转动动能的计算
转动动能Ek等于刚体的转动惯量I与角速度ω平方的一半的乘积，即 Ek=1/2Iω²。
应用举例
通过计算合外力矩对刚体所做的功，可以求解刚体在某个过程中的角 速度、角加速度等物理量。
动力学普遍定理在转动中应用
动力学普遍定理
VS
误差分析
分析实验过程中可能产生的误差来源，如 测量误差、仪器误差等，并提出减小误差 的方法。
实验结果讨论和改进建议
实验结果讨论
根据实验数据和分析结果，讨论刚体定轴转动的基本规律以及实验过程中存在的问题和不足之处。
改进建议
提出改进实验方法和提高实验精度的建议，如优化实验器材、改进测量方法等。
05
动能定理揭示了力对刚体所做 的功与刚体动能变化之间的关 系；机械能守恒定律则指出在 只有重力或弹力做功的情况下， 刚体的机械能保持不变。
常见题型解题技巧分享
选择题答题技巧
注意审清题意，明确题目要求；对于概念性选择题，要准确理解相关概念；对于计算性选择题，要善于运用 物理规律和公式进行推理和计算。
填空题答题技巧
未来发展趋势预测
高效能源利用
随着能源问题的日益突出，未来旋转机构将更加注重高效能 源利用，如采用新型材料、优化结构等降低能耗。
第五章 刚体的定轴转动
第五章刚体的定轴转动到现在为止，我们主要用力学的基本概念和原理，如牛顿定理，冲量和动量，功和能等概念以及动量、角动量和能量守恒定理来研究质点及质点系的运动。
本章将要介绍一种特殊的质点系—刚体，以及它所遵从的力学规律。
其本质是前几章所讲的基本概念和原理在刚体上的应用。
对于刚体，本章主要讨论定轴转动这种简单的情况以及它所涉及的一些重要物理概念和定理，如转动惯量、力矩、刚体的动能和角动量，转动定理，及包括刚体的系统守恒定理等。
§5-1 刚体运动的描述一、刚体所谓刚体就是其中各部分的相对位置保持不变的物体。
实际上，任何物体都不是绝对坚硬的。
但是，很多物体，诸如分子，钢梁，和行星等等是足够坚硬的，以致在很多问题中，可以忽略它们形状和体积变化，把它们当作刚体来处理。
这就是说，刚体是受力时形状和体积变化可以忽略的理想物体。
二、刚体的运动刚体是一种由大量质点组成，并且受力时不发生相对移动的特殊质点系。
既然是质点系，所以以前讨论的关于质点系的基本定理都可以应用。
刚体的运动可分为平动和转动两种。
而转动又可分为定轴转动和非定轴转动。
若刚体中所有质点的运动轨迹都保持完全相同，或则说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线，如下图中的参考线，则刚体的这种运动叫做平动。
因此，对刚体平动的研究，可归结为对质点的研究，通常都是用刚体质心的运动来代表平动刚体的运动。
B当刚体中所有的点都绕着同一直线作圆周运动时，这种运动叫转动，（如下图所示）这条直线叫转轴。
如果转轴的位置或方向是随时间改变的，这个转轴为瞬时转轴。
如果转轴的位置或方向是固定不动，这种转轴为固定转轴，此时刚体运动叫做刚体的定轴转动。
刚体的一般运动比较复杂，但可以证明，其运动可看作是平动和转动的叠加。
转动是刚体的基本运动形式之一，作为基础，本章只讨论刚体的定轴转动。
三、 刚体定轴转动的描述刚体在作定轴转动时，刚体内的各个质点均绕给定轴作圆周运动。
大学物理第五章刚体力学
v0
3
4J
4Ml
mv
例3 、如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在 同一点，杆的质量m与单摆的摆锤相等。开始时直杆
自然下垂，将单摆的摆锤拉到高度h0，令它自静止状
态下垂,于铅垂位置和直杆作弹性碰撞。求碰撞后直杆
下端达到的高度h。
l l
m
ho
h’
a
解:碰撞前单摆摆锤的速度为
c hc
h=3h0/2
b
L
mv
v o m o• L
（A） 2v 3L
（B） 4v 5L
（C） 6v 7L
8v （D） 9L
以顺时针为转动正方向
两小球与细杆组成的系统 对竖直固定轴角动量守恒
L
mv
v o m o• L
由 Lmv+Lmv=2mL2+J
及 J= mL2/3
可知正确答案为 [ C ]
6.如图所示,一均匀 细杆长为 l ,质量为 m,平放在摩擦系数
速度。
用功能定理重解该题
取起始位置为零势能参考点 O
0 mgl sin / 2 1 J2
2
Ａ mg
3g sin
l
？棒端A的速度 vA 3gl sin
例2.已知：均匀直杆m，长为l，初始水平静止，
轴光滑，AO4l 。 求:杆下摆角后，角速度 ?
解：杆+地球系统， ∵只有重力作功，∴ E守恒。
1 (1 ml 2 ) 2 1 mgl(1 cos )
23
2
3
arccos23
例4、一飞轮以角速度0绕轴旋转，飞轮对轴的
转动惯量为J1，另一静止飞轮突然被啮合到同一 个轴上，该飞轮对轴的转动惯量为前者的两倍。 啮合后整个系统的角速度 (1/3)0 .
刚体的定轴转动
[思考] ①结果合理否？ (量纲OK；又： , 合理.) ②其它解法？ (转动动能定理 or 转动定律)
(3)求摆到竖直位置时端点的速度。
§5.4 定轴转动的角动量守恒定律 (The Law of Conservation of Angular Momentum About a Fixed Axis) 1.对固定轴的角动量 ⑴质点对轴的角动量
⒌ 如图，质量为m、半径为R的圆盘可绕通 过其直径的光滑固定轴转动，转动惯量 J=mR2/4，设圆盘从静止开始在恒力矩M 作用下转动，则t秒后圆盘边缘上的B点的 at = ，an= .
R B
解： M恒定 恒定 匀变速率转动 ⑴ =M/J=4M/mR2 于是 at=R=4M/mR ⑵因恒定，故有 = t=4Mt/mR2 于是 an=R2=16M2t2/m2R3
本章： 定轴转动运动学
定轴转动定律
转动中的功和能 定轴转动的角动量守恒定律
§5.1 定轴转动运动学 (Kinematics of Rotation About a Fixed Axis)
一.定轴转动: 刚体内各质点都绕同一固定不动的轴作圆 周运动. 刚体定轴转动的特点：
1）刚体上各质点都作圆运动， 但半径不一定相等。 2)与轴线垂直的园平面为转动平面. 3）刚体上各点做圆运动的半径在 相等的时间间隔内转过相同的角度， ω 、α 相等。
e.g.
细杆质量m, 长L o 则对于 oo轴，J=mL2/3 对于 cc轴，J=mL2/12
o
c c
④转动定律与牛Ⅱ比较： M～ F J ～m ～a
ii)J量度了刚体转动惯性的大小
o 讨论：
o
o
o a
a A
a
a
B C
(3)求摆到竖直位置时端点的速度。
§5.4 定轴转动的角动量守恒定律 (The Law of Conservation of Angular Momentum About a Fixed Axis) 1.对固定轴的角动量 ⑴质点对轴的角动量
⒌ 如图，质量为m、半径为R的圆盘可绕通 过其直径的光滑固定轴转动，转动惯量 J=mR2/4，设圆盘从静止开始在恒力矩M 作用下转动，则t秒后圆盘边缘上的B点的 at = ，an= .
R B
解： M恒定 恒定 匀变速率转动 ⑴ =M/J=4M/mR2 于是 at=R=4M/mR ⑵因恒定，故有 = t=4Mt/mR2 于是 an=R2=16M2t2/m2R3
本章： 定轴转动运动学
定轴转动定律
转动中的功和能 定轴转动的角动量守恒定律
§5.1 定轴转动运动学 (Kinematics of Rotation About a Fixed Axis)
一.定轴转动: 刚体内各质点都绕同一固定不动的轴作圆 周运动. 刚体定轴转动的特点：
1）刚体上各质点都作圆运动， 但半径不一定相等。 2)与轴线垂直的园平面为转动平面. 3）刚体上各点做圆运动的半径在 相等的时间间隔内转过相同的角度， ω 、α 相等。
e.g.
细杆质量m, 长L o 则对于 oo轴，J=mL2/3 对于 cc轴，J=mL2/12
o
c c
④转动定律与牛Ⅱ比较： M～ F J ～m ～a
ii)J量度了刚体转动惯性的大小
o 讨论：
o
o
o a
a A
a
a
B C
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M外z
dLz dt
Jz
d
dt
W 12
1 2
J
2 2
1 J 2
2
1
类比一维情形： F mdv dt
J --> m d --> v ds
dt
dt
令
Ek
1 2
J
2 —转动动能
（可证：
1 2J 2ຫໍສະໝຸດ 1 2mivi2 ）
则
W
Ek
2
Ek1
应用：▲飞轮储能， ▲惯性电车。
Ek 2 Ek
……
三. 定轴转动的功原理 质点系功能原理对刚体仍成立：
分析： 1. 单位对；
2. h、 m一定， J t ，合理；
3. 若 J 0 ，得 h 1 gt 2，正确。 2
§5.5 定轴转动中的功能关系
一. 力矩的功
F
r d ω z·轴 x
二. 定轴转动动能定理
W F sin ( r ) F r sin M
W Fs
W
i
Mii
—力矩的空间积累效应
r 2
at
dv dt
r
定轴
const.
(
0 t 0) t
1 2
t2
2
2 0
2 (
0)
§5.2 刚体的定轴转动定律
z ω,α
vi Fi
θi
ri •Δmi
刚体
ri
O×
类似于多质点系
则
M外
dL dt
(对o点)
M 外z
dLz dt
(对z轴)
Lz Liz mi vi ri
i
i
( mi ri2 )
由(1)、(2)得： 2 6g sin
7l
应用质心运动定理：
N
mg
mac
l$方向： mgsin Nl macl
(3)
t$方向： mgcos Nt mact
(4)
a cl
l
4
2
6 7
g
sin
(5)
a ct
l
4
l 4
l 4
mg
cos
Jo
由 (3)(4)(5)(6) 可解得：
3 g cos
W外 + W内非 =（ Ek2 +Ep2 ）—（E k1+ E p1 ）
刚体重力势能： Δmi
C×
hc hi
Ep mi ghi
mg mihi
m mghc
Ep=0
若dW外+ dW内非=0， 则Ek +Ep =常量。
[例]已知：均匀直杆 m，长为 l，初始水平静止，轴光滑，
AO l 。 求 : 杆下摆 角后，角速度 ?
求：轮对 O 轴 J=？
解：动力学关系：
对轮：TR J (1), R
N
α
·
T ′= - T am
对 m： mgT ma (2)
GT
mg
运动学关系： a
(3)
R
h 1 at 2
(4)
2
(1)~(4)联立解得：J ( gt 2 1)mR2 2h
(9.8 32 1) 1 0.22 1.14kg m2 2 1.5
~ a
\ J反映刚体转动的惯性
§5.3 转动惯量的计算
dm
m
r
J mi ri2
J r2 dm
m
(分立) (连续)
J由质量对轴的分布决定。
CR m
CR m
C A
l 2
m
l 2
一. 常用的几个J
均匀圆环： Jc=mR 2；
均匀圆盘：
Jc miri2 2ririri2 2 ri3ri
第五章 刚体的定轴转动
§5.1 刚体的运动 §5.2 刚体定轴转动定律 §5.3 转动惯量的计算 §5.4 刚体定轴转动定律的应用 §5.5 转动中的功和能 §5.6 刚体的角动量和角动量守恒定律 §5.7 进动
§5.1 刚体的运动
刚体（rigid body）：特殊的质点系，形状和体积不变化， 理想化的模型。
i
定轴
J z mi ri2 rotational
i
inertia
Jz称为刚体对 z 轴的转动惯量
M 外z
dLz dt
Jz
d
dt
M 外z J z
转动定律
其中 M外z Firi sin i i
是对 z 轴的外力矩和。
定轴下，可不写角标 Z，记作： M J
与牛II比较：
M ~ F J ~ m
3. 对薄平板刚体的正交轴定理
J
z
m
i
r
i
2
m x2 m y2
ii
ii
即 J Jx Jy
例：已知圆盘
Jz
1 mR 2 2
求对圆盘的一条直径的Jx（或 J y）。
由
J
z
Jx
Jy Jy
Jx
\
Jx
Jy
1 mR 2 4
§5.4 转动定律应用举例
定轴O
·R 绳 v0=0
m
th
已知： R =0.2 m， m =1 kg ， vo=0 ， h =1.5 m，绳轮无相对滑动，绳 不可伸长，下落时间 t =3 s。
d
dt
P点线速度
P点线加速度
a
dv
d
r
dr
v r
旋转加速度
r
v
r
向轴加速度
dt dt
dt
z ω,α
v
定轴转动（rotation
a退b,化ou为t a代ffi数xe量d a，xis）：
刚体上任意点都绕同
r •P θ
一轴作圆周运动，且
， 都相同。
刚体
r
O×
v r
参
考 方 向
an
4
轴对杆作用力 N ?
解：杆 地球系统， ∵只有重力作功，∴E 守恒。
则：
初始： E k1 0， 令 E P1 0
末态：
E k2
1 2
Jo
2,
1 2
Jo
2
l mg4sin
EP2
mg
l 4
sin
0
(1)
由平行轴定理
Jo Jc md
2
1 ml 12
2 m(l )2 4
7 ml 2 48
(2)
i
i
i mi xi2 i mi ( xi ' xc )2 =0
=m
x2 y2 d 2
c
c
mi ( x'i2 y'i2 ) Jc
i
mi x'i2 2xc mi xi ' xc2 mi
i
i
i
J Jc md 2 \ Jc Jmin
z
yi
xi
ri
y
x
Δmi
z
m 圆盘 C
y R x
(6)
7
Nl
13 7
mg
sin
,
Nt
4 mg 7
cos
N
13
mgsin
l$ 4 mgcos
t$
7
7
N mg 153 sin 2 16
7
tg 1| Nt | tg 1( 4 ctg )
o′
·
o
o′
·
ΔΔ
o·
平动（translation） 时，刚体上所有点 运动都相同。
刚体质点间的相对运 动只能是绕某一轴转 动（rotation）的结果。
平动和转动，可以描 述所有质元（质点） 的运动。
ω
v
P
•
r
r 刚体
基点O ×
瞬时轴
刚体绕O的转动其转轴是
可以改变的，反映顺时轴
的角度方速矢向度量及矢转量动快和慢角，加引速入
i
i
i
i
ri3ri
R
r 3dr
0
1R4 4
Jc
2
R4 4
1 mR2 2
均匀杆：
Jc
1 12
ml
2
，J
A
1 ml2 3
二. 计算 J 的几条规律
JC
J
1. 对同一轴 J 具有可叠加性
m Cd
J = Ji
Jz miri2
i
2. 平行轴定理
平行
Jz miri2 mi ( xi2 yi2 )