模糊推理的全蕴涵三I算法的研究现状及进展
基于蕴涵算子族L-λ-R0的模糊推理α-三I约束算法
ｌ 引言
众所 周知 ，模糊逻 辑与模糊推理 中最重要的推理形式是 模 糊 假 言推理 （ ｕｚ ｏ ｕ ｏｅ ｓ Ｆ ） 模 糊 反驳 推 理 Ｆ ｚｙ Ｍ ｄ ｓ Ｐ ｎｎ ，ＭＰ 和 （ ｕｚ ｄ ｓＴｌ ｎ ，ＭＴ （ Ｆ ｚｙＭｏ ｕ ｏｌ ｓＦ ）又叫模糊取式 和模糊拒取式 ） ｅ ：
聊城大学 数学科学学院 ， 山东 聊城 ２２ ５ ５０９
Ｓｃ ｏ ｌ ｆ Ｍ ａｈ ｍ ａｉｓ ｈ ｏ ｏ ｔｅ ｔｃ Ｓｃｅ ｅ， ａ ｃ ｎｇ ｉｎｃ Ｌｉｏ ｈｅ Ｕｎｉｅ ｓｔ Ｌｉｏ ｈ ｎｇ， ａ ｄｏ ｇ ５２ ９， ｉ ａ ｖ ｒｉｙ， ａ ｃ ｅ Ｓｈ ｎ ｎ ２ ０５ Ｃｈ ｎ Ｅ：ｍａｌ ｗａｎ ｑｉｇ ｎ ＠ ｌ ｕｅ ｃ ｉ： ｇ ｎ ｐｉｇ ｃ ．ｄｕ．ｎ
一
输入 输 出
是４ Ｙ是
输入 输出 是４
Ｙ是 曰
这 里 ４、 论域 上 的模 糊集 ， 曰 是 论域 ｌ上的模糊集 。 ４是 曰、 ， 在模 糊逻 辑控制理论 中，我们经常 需要处理更复杂 的推 理形 式， 但其中大部分可以通过适 当的数学处理简化为以上两种情 形 之一 ， 因此 Ｆ ＭＰ和 Ｆ Ｔ是 模糊推理 中最基本 的 ， Ｍ 也是 最重 要 的推理模 型。 对于上述两类模型 ， 美国控制论专家及模糊集理论创始人 Ｚ ｄｈ于 １７ ａｅ ９３年提 出了模 糊 推理 中著名 的求解 Ｆ ＭＰ模 型和 Ｆ ＭＴ模 型的 Ｃ Ｉ Ｒ 算法ｌ 】 ｌ 。从此起 ， 以模糊控制为核心 的模 糊技 术被广泛地应用于许 多工业和科研领 域 ， 并且取得了显著的经 济效益１ｌ ２ 。但是 Ｃ Ｉ ， ３ Ｒ 算法缺乏严格 的逻 辑基础 ， 因此 ， 我国学 者王国俊教授于 １９ 年提 出了著 名的模糊推理 全蕴涵三 Ｉ ９９ 算 法， 有效地改进了经典 的 Ｃ Ｉ Ｒ 算法 ， 并将之纳入到模 糊逻 辑的
模糊推理的全蕴涵三I算法的研究现状及进展
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模糊推理的全蕴涵三 Ｉ 算法的研究现状及进展
姜妍 丽 （ 东北 电力 大 学 理 学 院 ， 吉 林 吉林 １ ３ ２ ０ １ ２ ）
【 摘 要】 随着模糊 集的产 生与发展 ， 模糊推理 已经成 为 涵三 Ｉ 算法， 对其研
究现状及进展进行综述 ， 旨在 为模糊推理 算法的研 究提供 引导作 用。
【 关键词 】 模糊推理 ； 三Ｉ 算法 ； 研究现状 ； 进展
推理是人类智能的主要特征之一 ． 是实现人工智能 的一种重要技 术 随着模糊集的产生与发展 ． 模糊推理技术 已经 广泛 应用于智能系 统的许多领域 ， 如模糊控制系统 、 模糊专家系统 、 模糊神 经网络系统 以 及模 糊决策支持系统等等 １ ９ ７ ３年 ． Ｚ ａ ｄ ｅ ｈ首先给 出模糊 推理理论 中最基本 的规 则即模糊分 离 规则， 随后 Ｍ ａ ｍ ｄ ａ ｎ ｉ 等人 又将 其算法 化 ． 形 成如今广泛使用 的 Ｃ Ｒ Ｉ ｆ Ｃ ｏ ｍ ｐ ｏ ｓ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ Ｒ ｕ ｌ ｅ ０ ｆ Ｉ ｎ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｃ ｅ １ 方法 Ｃ Ｒ Ｉ 方法侧重于直接应用 ． 算法 简便 易行 。 成为工业 生产领域使 用最为广 泛的模糊 推理方法 。然 而 ， 模糊 推理远较经典 逻辑学中的二值推 理复杂得多 李洪兴［ １ ＿ 指出基于 Ｃ ＲＩ 方法 的模糊系 统本质上是一种插值 器 ． 因此在研究模糊 系统的函 数逼 近问题 时， 不 可避 免地出现“ 规则爆 炸” 的现象 王国俊目 指出Ｃ Ｒ Ｉ 方法采用 了复合运算 。 带有 一定的随意 陛， 偏离了 语 义蕴涵的框架。 为了解 决 Ｃ Ｒ Ｉ 方法的不足 ． 王国俊［ ２ １ 从 逻辑语 义蕴 涵的角度 提出 了模糊 推理的全蕴涵三 Ｉ 算法 （ 简称 “ 三Ｉ 算法 ” ） 。 自三 Ｉ 算法 提出以 来． 许多学者 针对三 Ｉ 算法 进行 了广泛 的研究 ． 总的来说 主要从这 样 几个 方面 ： （ １ ） 采用不 同蕴涵 算子 的三 Ｉ 算法 ； （ ２ ） 三Ｉ 算法 的相关 理 论； （ ３ ） 三Ｉ 算法的改进算法 。本文将从这三个方面对三 Ｉ 算法 的研究 情况 加以总结 ． 分析三 Ｉ 算法 的研究现状 及进展 ． 旨在为模糊 推理 的 研究提供引导作用 法 的计算公式 。张森等【 一 日 研究 了基于正则蕴 涵算子 一 Ａ — 。 模 糊推理 的三 Ｉ 算法 的支持 度理论 ． 给出了 一 三Ｉ 算法 的计算公 式 王绍海旧 讨论 了基 于正则蕴涵算子的三 Ｉ 方法 的支持度理论 ２ ＿ ３ 还原性 、 连续性及响应能力 裴道 武口 ８ １ 研究 了全蕴涵三 Ｉ 算 法的计 算公 式及其还原性问题 李 骏 等㈣ 对模 糊推理 三 Ｉ 算法具备还 原性 的条 件进行 了研 究 罗 清君 等倒基于模糊推理 的全蕴涵三 Ｉ 算法 ． 给出 了三 Ｉ 算法的表达式。 曾水玲等口 】 对全蕴涵反向三 Ｉ 算法是否满足连续性 问题进行 了首 次研究 潘海玉等阎 系统地研究 了三 １ 支持度算 法和反 向三 １ 支 持度 算法 的连续性问题。徐蔚 鸿等【 全蕴涵三 Ｉ 算法 是否满 足连续性 和 逼近性问题进行了细致的研究 李龙等［ 论 了基 于三 Ｉ 算法 构成 的模糊系统 的响应 能力 ． 给出 泛三 Ｉ 算法公式和单输入单输 出模糊控 制器。 胡凯等闭以 Ｒ ， Ｒ 。 Ｒ 。 三 个蕴涵算子为 基础构造单输入 单输出模糊控制器 ． 并 分析其响应能 力
模糊逻辑在统计学中的应用及研究现状
模糊逻辑在统计学中的应用及研究现状统计学是研究数据收集、分析、解释和展示的科学方法。
传统的统计学方法基于精确和确定性的逻辑，假设所有数据都是准确且具体的，然而，在现实生活中，很多情况下数据都会受到不确定性的影响。
为了解决这个问题，模糊逻辑被引入到统计学中，以便更好地处理不确定性数据。
一、模糊逻辑的基本概念模糊逻辑是Lotfi A. Zadeh于1965年提出的一种数学理论，用于处理那些既非真也非假、介于其中的事物或命题。
在模糊逻辑中，每个变量不再是二值的，而是可以取值于[0,1]的一个区间范围。
这种区间范围可以表示某个变量在不同程度上的隶属度或可信度。
二、模糊逻辑在统计学中的应用1. 数据挖掘数据挖掘是发现隐藏在大量数据中的模式和关联的过程。
而模糊逻辑可以用于处理那些不确定或模糊的数据，帮助统计学家发现数据之间的模糊关联。
通过模糊逻辑，可以更好地解决由于数据不确定性而导致的问题，提高数据挖掘的准确性和可靠性。
2. 预测模型在统计学中，预测模型是非常重要的。
然而，传统的预测模型通常基于精确的逻辑和确定性的数据，无法应对真实世界中的不确定性。
模糊逻辑可以用来构建模糊预测模型，考虑到数据的不确定性，并给出某种隶属度的预测结果。
3. 专家系统专家系统是一种基于专家知识，利用计算机模拟专家决策过程的系统。
在构建专家系统时，模糊逻辑可以用来处理专家知识中的模糊性和不确定性。
通过引入模糊逻辑，可以更好地模拟和应对真实世界中专家的决策过程。
三、模糊逻辑在统计学中的研究现状模糊逻辑在统计学中的应用和研究逐渐引起了学术界的关注。
目前，已经有很多学者研究了模糊逻辑在统计学中的应用，并提出了一些新的方法。
例如，有学者研究了模糊聚类算法在统计学中的应用，通过将模糊逻辑引入到传统的聚类算法中，提高了聚类结果的准确性和稳定性。
还有学者将模糊逻辑与模糊数学相结合，提出了模糊回归分析方法，用于解决回归问题中的不确定性。
然而，尽管模糊逻辑在统计学中的应用前景广阔，但仍存在一些挑战和问题。
基于蕴涵算子L-λ-0-λ-G的模糊推理的三I算法
（ ｘ）使得 Ａ 曰全力支持 Ａ Ｂ ， ： ） 一 即
（ ） 曰 ｙ ） （ ） 曰 （ ） Ａ（ 一 （ ）一 Ａ （ 一 ） ） （） １
Ｗ ＡＮＧ Ｚｕｏ－ｚ ｎ， ｈｅ ＺＨＡ ＮＧ Ｘｉ ｎｇ－ ａ Ｔｒ ｐ ｅ ｍ ｅｈｏｄ ｏｒ ｕｚ ｙ ｒ ａｓ ｎｉ ｇ ｂａ ｅ ｆ ｎｇ． ｉ ｉ Ｉ ｔ ｆ ｆ ｚ ｅ ｏ ｎ ｓ ｄ ｏｎ ｍ ｐ ａ ｏ ｉ Ｈｅ ｆ ｎ ｏｐ ｒ ｔ Ｌ－Ａ －Ｏ－Ａ－Ｇ ． ｉ ｅ ａ ｏｒ
模糊推 理是模糊控制的核心 ， 其推理过程是基于模糊逻辑
Ｌ ｋ ｓ ｗｃ 算子 ， ｕ ａｉ ｉ ｅ ｚ 因此称它为含 Ａ参量的蕴涵算子 体称为蕴涵算子族 Ｌ Ｏ Ｇ ＡＡ 。 该算子在三维空问 中的几 何图像如图 １ 所示。
。其全 ，
中的蕴 涵关系及推理法则来进行的 。Ｚｄｈ １７ 年首先提 ａｅ 于 ３ ９ 出了模糊分离规 则（ 简称 Ｆ ＭＰ规则 ） Ｃ Ｉ 的 Ｒ 算法 （ ｏ ｐｓ ｉ ａ Ｃ ｍ ｏｉｏ ｌ ｔｎ Ｒ ｌ ｏ ｎｅｅｃ ） ｕｅ ｆＩ ｒｎｅ 。此后 ， ｆ 针对 Ｃ Ｉ 法人们进行了大量的研 Ｒ方 究并提 出了许多新的派生推理方法 。王国俊 先指 出了 Ｃ Ｉ 首 Ｒ 方法的若干缺陷 与不足 ， 并基于逻辑语义蕴涵理 论提 出了模糊 推 理的全蕴 涵三 Ｉ 算法 。其基本思 想为 ： 已知 Ａ（ ∈， Ｘ） Ｂ） （ ・
对一切 ∈ Ｙ∈ ， Ｙ具有最大的可能值 ， 其中 Ｆ Ｘ） Ｆ ｙ） （ 和 （ 分别表示 和 ｙ上的模 糊集全体 。
运 用不 同的蕴涵算子进行推理 ， 结果一般不相等 ， 甚至误 差很大 ， 这在模糊推理的实际应用 中， 有一定的 冒险性 ， 为此设 想运用带参数的蕴涵算子进行模糊推理似乎可以预防 冒险性 。
人工智能领域中的模糊逻辑推理算法
人工智能领域中的模糊逻辑推理算法人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）是一门研究如何使计算机能够智能地表现出类似人类的思维和行为的科学。
在人工智能领域中，模糊逻辑推理算法是一种重要的方法，其可以有效地处理现实世界中存在的不确定性和模糊性问题。
本文将介绍人工智能领域中的模糊逻辑推理算法及其应用。
一、模糊逻辑推理算法概述模糊逻辑推理算法是基于模糊逻辑的推理方法，模糊逻辑是对传统的布尔逻辑的扩展，允许命题的真值在完全为真和完全为假之间存在连续的可能性。
模糊逻辑推理算法通过模糊化输入和输出，使用模糊规则进行推理，最终得到模糊结果。
模糊逻辑推理算法主要包括以下几个步骤：1. 模糊化：将输入的精确值转化为模糊化的值，反映出其模糊性和不确定性。
2. 模糊规则匹配：根据模糊规则库，匹配输入的模糊值和规则库中的规则。
3. 推理：根据匹配到的规则进行推理，得到模糊输出。
4. 解模糊化：将模糊输出转化为精确值，以便进行后续的处理和决策。
二、模糊逻辑推理算法的应用领域1. 专家系统专家系统是一种能够模拟人类专家的思维和行为的计算机程序。
在专家系统中，模糊逻辑推理算法可以用于处理专家知识中存在的模糊性和不确定性，帮助系统作出正确的决策和推理。
2. 模式识别模式识别是通过对事物特征进行抽象和分类，从而识别和理解事物的过程。
在模式识别中，模糊逻辑推理算法可以用于处理存在模糊性和不确定性的模式，提高模式识别的准确性和鲁棒性。
3. 数据挖掘数据挖掘是从大量的数据中发现潜在的、有效的信息，并进行模式的分析和提取的过程。
在数据挖掘中，模糊逻辑推理算法可以用于处理数据中存在的模糊性和不确定性，挖掘出更多有意义的信息。
4. 控制系统控制系统是指对某个对象或过程进行控制的系统。
在控制系统中，模糊逻辑推理算法可以用于处理控制对象的模糊输入和输出，实现对控制系统的智能化控制。
三、模糊逻辑推理算法的发展趋势随着人工智能领域的不断发展，模糊逻辑推理算法也在不断演化和完善。
模糊逻辑发展现状
模糊逻辑发展现状
模糊逻辑是一种处理模糊信息的数学工具，旨在处理现实生活中存在的不确定和模糊性问题。
它的发展可以追溯到1965年，当时美国的研究者洛特菲尔德首次提出了模糊逻辑的概念。
模糊逻辑与传统的布尔逻辑相比，更能够处理模糊和不确定的信息。
布尔逻辑中，命题只有真和假两种取值，而模糊逻辑允许命题在真和假之间的连续取值，以表示事物的模糊性质。
模糊逻辑的发展经历了几个重要的阶段。
在20世纪70年代，模糊逻辑理论开始得到广泛的应用，并在控制系统、人工智能、模式识别等领域展示了巨大的潜力。
然而，在模糊逻辑的发展过程中也存在一些争议。
一些学者认为，模糊逻辑的表达能力有限，难以处理复杂的问题。
另一些学者则持相反观点，认为模糊逻辑可以更好地解释人类的思维方式，并在实际问题中有广泛的应用前景。
近年来，随着技术的发展和应用领域的扩大，模糊逻辑在各个领域取得了更多的突破。
例如，在控制领域，模糊控制方法已被广泛应用于工业控制和机器人技术中，取得了良好的效果。
在人工智能领域，模糊推理和模糊决策也被应用于专家系统和决策支持系统中。
总的来说，模糊逻辑在科学研究和实际应用中都发挥着重要作用。
尽管仍然存在一些问题和挑战，但其在处理模糊和不确定信息方面的优势使其具有广阔的应用前景。
未来的发展将进一
步加强模糊逻辑的理论基础，提高其处理能力，并拓展其在更多领域的应用。
基于蕴涵算子族的模糊推理的FMP三I约束算法
１ Ｆ ＭＰ模 型 的 全蕴涵 三 Ｉ 束算法 约
蕴 涵算子族 Ｌ Ａ Ｒ 的模糊蕴 涵算 子 Ｒ（ ， ） －—。 ｘ ｙ ＝ 一 定义
如下 ：
美 国控制 论专家 及模 糊集理 论 的创始 人 Ｚ ｄ ｈ］ １７ ａｅ［ ９３ 于 年 首先 提 出 了模 糊 分 离 规 则 （ 称 Ｆ Ｐ规 则 ） Ｃ Ｉ 法 简 Ｍ 的 Ｒ算
模糊 推理 因其在模糊控 制中的重要应用 一直是学术 界的
一
是在作 者上 一篇文章 讨论了基 于蕴涵算子族 Ｌ Ａ Ｒ 由文献 － — 。（ 【２ 出 ） Ｆ １】 提 上 ＭＰ模型的三 １ 支持算 法与 一 １ 三 支持 算法的理 论的基础上 ， 继续研 究基 于蕴 涵算 子族 Ｌ Ａ Ｒ 上 Ｆ Ｐ模 型的 —— 。 Ｍ 三Ｉ 约束算法与 一 Ｉ 三 约束算法的理论 ， 并说 明其实 际意义与
（ ｏ ｐ ｓｉ ａ Ｒ ｌ ｏ Ｉｆ ｅ ｃ ） 此后 ， Ｃ ｍ ｏｉｏ ｌ ｕｅ ｆ ｎ ｒｎ ｅ 。 ｔｎ ｅ 针对 Ｃ Ｉ Ｒ 方法人们进
『
—
１ ，
≤ｙ
一
｛ １ （＾ １ ， ＋＜ 且 ｘｙ （，） 【，］ Ｏ１ ＋＋ ２一 ） ｙｘ ｌ ＞ ， Ｙ ∈ ０ １ ［，】 Ｙ ｘ
维普资讯
Ｃ ｍ ｕｅ ｎｉｅｒ ｇａ ｄ Ａ ｐ ｉ ｔ ｎ 计算机工程与应用 ｏ ｐ ｔ Ｅ ｇｎｅｉ ｎ ｐ ｌ ａｏ ｓ ｒ ｎ ｃｉ
２ ０ ，４ １ ） ０ ８４ （３
４ ７
基于蕴涵算子族 的模 糊推理 的 Ｆ ＭＰ三 Ｉ 束算法 约
王作 真 ， 刘利英 ， 阚 婷
这将 有助 于提 高推理结果的可靠性。针对蕴涵算子族 Ｌ Ａ Ｒ 给 出了 ——。
基于蕴涵算子L_p的模糊三I方法的支持度分析
3 3 3 3 知 A (B ) ∈ F ( X) ( F ( Y) ) 和 A (B ) ∈ F ( X) ( F ( Y) ) , 寻求最优的 B (A ) ∈→ B 3 , 即
( A ( x ) → B ( y ) ) → ( A3 ( x ) → B 3 ( y ) )
p
, x + y
p
p
> 1,
( 3)
0, xp + yp ≤ 1,
p p 1
p
其中 ( x, y ) ∈ [ 0, 1 ] ×[ 0, 1 ] , p ∈ ( 0, ∞) . 其相应的伴随蕴含算子为
x →L p y =
1 - x +y 1 , x ≤ y,
, x > y,
( 4)
其中 ( x, y ) ∈ [ 0, 1 ] ×[ 0, 1 ] , p ∈ ( 0, ∞) .
( 1)
对一切 x ∈ X, y ∈ Y具有最大的可能值 , 其中 F ( X) 和 F ( Y) 分别表示 X和 Y上的模糊集全体 . 文 [ 2 ] 研 究了基于参数的 T2 范数 — — —F rank T2范数的模糊逻辑系统 , 文 [ 3 ] 研究了 Schwe ize r2Skla r T2 范数导出 3 的剩余蕴涵族 , 文 [ 4 ] 讨论了基于 Schwe ize r2Skla r T2 范数的模糊逻辑系统 UL . 在这些研究的基础上产 生了具有良好性质的蕴涵算子族 Lp . 因此有必要对这一蕴涵算子族关于三 I方法进行深入的讨论 . 本文 建立了基于剩余蕴涵 Lp 的三 I方法的支持度理论 , 分析了支持度的若干性质 , 从而得到 α2三 I算法的 FM P下确界的计算公式 . 为此 , 研究下述形式的三 I 方法优化问题 : 对于剩余蕴涵 Lp , α∈ [ 0, 1 ], 已知 A,
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模糊推理的全蕴涵三I算法的研究现状及进展
【关键词】模糊推理；三i算法；研究现状；进展
推理是人类智能的主要特征之一，是实现人工智能的一种重要技术。
随着模糊集的产生与发展，模糊推理技术已经广泛应用于智能系统的许多领域，如模糊控制系统、模糊专家系统、模糊神经网络系统以及模糊决策支持系统等等。
1973年，zadeh首先给出模糊推理理论中最基本的规则即模糊分离规则，随后mamdani等人又将其算法化，形成如今广泛使用的cri（compositional rule of inference）方法。
cri方法侧重于直接应用，算法简便易行，成为工业生产领域使用最为广泛的模糊推理方法。
然而，模糊推理远较经典逻辑学中的二值推理复杂得多。
李洪兴[1]指出基于cri方法的模糊系统本质上是一种插值器，因此在研究模糊系统的函数逼近问题时，不可避免地出现“规则爆炸”的现象。
王国俊[2]指出cri方法采用了复合运算，带有一定的随意性，偏离了语义蕴涵的框架。
为了解决cri方法的不足，王国俊[2]从逻辑语义蕴涵的角度提出了模糊推理的全蕴涵三i算法（简称“三i算法”）。
自三i算法提出以来，许多学者针对三i算法进行了广泛的研究，总的来说主要从这样几个方面：（1）采用不同蕴涵算子的三i算法；（2）三i 算法的相关理论；（3）三i算法的改进算法。
本文将从这三个方面对三i算法的研究情况加以总结，分析三i算法的研究现状及进展，旨在为模糊推理的研究提供引导作用。
1 采用不同蕴涵算子的三i算法
三i算法最初提出时，采用的是r0蕴涵算子，然而三i原则中给出的是一般的蕴涵算子，自然而然，很多学者考虑采用不同蕴涵算子时的三i算法。
1.1 基于不同蕴涵算子的三i算法
王作真等[3]研究了基于蕴含算子lp的模糊推理的三i支持算法，给出了相应的三i算法计算公式。
张霄力等[4]研究了基于蕴含算子rl的模糊推理反向三i方法的约束度理论，得到了一般化的α-反向三i模糊计算公式与α-反向三i模糊计算公式。
岳宗超等[5]基于h（p，λ）蕴涵算子给出了三i支持算法公式、α-三i 支持算法公式以及α-三i约束算法公式。
1.2 基于蕴涵算子族的三i算法
王大全等[6]提出了基于蕴涵算子族l-λ-g的三i约束算法以及α-三i约束算法。
谷焕春等[7]提出了基于蕴涵算子族l-λ-0-λ-g的模糊推理的思想，给出了模糊推理的三i约束算法。
罗敏霞等[8]给出了基于schweizei-sklar三角范数族诱导的剩余蕴涵族的反向三i算法和α-反向三i算法。
王庆平等[9]基于连续三角模族t（p-ⅱ）及其伴随蕴涵算子族r（p-ⅱ）的逻辑系统，给出了三i算法与α-三i算法。
罗庆君等[10]给出了当蕴涵算子为蕴涵格中的蕴涵算子（称为“il型蕴涵”）时的三i算法和α-三i算法的表达式。
2 三i算法的相关理论
三i算法的相关理论的研究主要包括约束度理论、支持度理论、还原性、连续性、逼近性、响应能力等等。
2.1 约束度理论
宋士吉等[11]提出了三i算法的约束度理论，得到了一般的α-三i算法的计算公式。
张兴芳等[12]研究基于蕴含算子θp的模糊推理的三i算法与反向三i算法的约束度理论，得到α-三i算法计算公式与α-反向三i算法的计算公式。
孙长银等[13]研究了基于蕴涵算子rl的模糊推理的三i方法的约束度理论，得到了一般化的α-三i计算公式。
张霄力等[14]研究了基于蕴涵算子rl的模糊推理反向三i方法的约束度理论。
2.2 支持度理论
宋颖等[15]研究了基于蕴含算子θp模糊推理的三i算法与反向三i算法的支持度理论，得到了α-三i算法的计算公式与α-反向三i算法的计算公式。
张森等[16]研究了基于正则蕴涵算子l-λ-r0模糊推理的三i算法的支持度理论，给出了α-三i算法的计算公式。
王绍海[17]讨论了基于正则蕴涵算子的三i方法的支持度理论。
2.3 还原性、连续性及响应能力
裴道武[18]研究了全蕴涵三i算法的计算公式及其还原性问题。
李骏等[19]对模糊推理三i算法具备还原性的条件进行了研究。
罗清君等[20]基于模糊推理的全蕴涵三i算法，给出了三i算法的表达式。
曾水玲等[21]对全蕴涵反向三i算法是否满足连续性问题进行了
首次研究。
潘海玉等[22]系统地研究了三i支持度算法和反向三i 支持度算法的连续性问题。
徐蔚鸿等[23]对全蕴涵三i算法是否满足连续性和逼近性问题进行了细致的研究。
李龙等[24]讨论了基于三i算法构成的模糊系统的响应能力，给出泛三i算法公式和单输入单输出模糊控制器。
胡凯等[25]以rm，rz，r0三个蕴涵算子为基础构造单输入单输出模糊控制器，并分析其响应能力。
3 三i算法的改进算法
针对三i原则及α-反向三i原则中取最小或最大模糊集缺乏理论依据的问题，郭方芳等[26]、侯建等[27]先后提出基于极大模糊熵的三i算法及反向三i算法；王国俊等[28]在模糊推理中提出“过半可信”原则，并在此基础上构造了一种新型的三i算法。
韩莹等[29]在以d2上的三角模及其伴随为基础，给出了扰动值模糊推理的三i算法。
彭家寅[30]讨论fmp问题的模糊熵三i算法解的存在条件，给出了模糊熵三i算法的一般计算公式。
【参考文献】
[1]李洪兴.模糊控制的插值机理[j].中国科学（e辑），1998，28（3）：259-267.
[2]王国俊.模糊推理的全蕴涵三i算法[j].中国科学，1999，29（1）：43-54.。