山东大学数学系2018年PDE期末试题
山东大学2018-2019学年第二学期拓扑学期末考试(按回忆整理)
1.Let X be a topological space.A collection B of open sets of X is a basis for the topology T of X if and only if for each open set U of X and each x in U ,there exists an element B of B such that x ∈B ⊂U .Proof.⇒)Each open set U of X can be expressed as the union of a indexed family of basis elements {B α}.Then x ∈U follows that there exists some α0such that x ∈B α0⊂U .⇐)If U belongs to T and if x ∈U ,then there exists an element B x of B such that x ∈B x ⊂U by hypothesis. x ∈U B x is exactly the union of elements of B equal to U .2.Let Y be a subspace of X and A be a subset of Y ;let Cl X (A )and Cl Y (A )denote the closure of A in X and Y respectively.Then Cl Y (A )=Cl X (A )∩Y .Proof.The set Cl X (A )is closed in X ,so Cl X (A )∩Y is closed in Y .Since Cl X (A )∩Y contains A ,and since Cl Y (A )is the smallest closed set containing A ,we must have Cl Y (A )⊂Cl X (A )∩Y .On the other hand,we know that Cl Y (A )is closed in Y .Hence Cl Y (A )=C ∩Y for some C closed in X .Then C is a closed set of X containing A ;because Cl X (A )is the smallest of all such closed sets,we conclude that Cl X (A )⊂C .Then ClX (A )∩Y ⊂C ∩Y =Cl Y (A ).3.Every separable metric space is second-countable.Proof.Suppose X is a metric space induced by d and A is a countable dense subset of X .Then B ={B (a,1/n ):a ∈A,n ∈Z +}is a countable basis for the metric topology on X .Let us check the latter.Given a point x in X and an open set U containing x ,there exists a basis element B (x,ε)containing x such that B (x,ε)⊂U .Setting the positive integer n >2/ε,B (x,1/n )must intersects A in some point a since A is dense in X and B (x,1/n )is a neighborhood of x .For each point y ∈B (a,1/n ),d (y,x )≤d (y,a )+d (a,x )<1n +1n =2n<ε,so that y ∈B (x,ε).Therefore,one has that x ∈B (a,1/n )⊂B (x,ε)⊂U .4.Let X be a topological space.X satisfies the T 3axiom if and only if given a point x of X and a neighborhood U of x ,there is a neighborhood V of x such that ¯V⊂U .1Proof.⇒)Suppose that X satisfies the T 3axiom,and suppose that the point x and the neighborhood U of x are given.Let B =X \U ;then B is a closed set.By hypothesis,there exist disjoint sets V and W containing x and B ,respectively.The set ¯V is disjoint from B ,since if y ∈B ,the set W is a neighborhood of y disjoint from V .Therefore,¯V⊂U ,as desired.⇐)Suppose that the point x and the closed set B not containing x are given.Let U =X \B .By hypothesis,there is a neighborhood V of x such that ¯V⊂U .The open sets V and X \¯V are disjoint open sets containing x and B ,respectively.Thus X satisfies the T3axiom.5.Every compact subspace of a Hausdorffspace is closed.Proof.Let Y be a compact subspace of the Hausdorffspace X .We shall prove that X \Y is open,so that Y is closed.Let x 0be a point of X \Y .We show there is a neighborhood of x 0that is disjoint from Y .For each point y of Y ,let us choose disjoint nrighborhood U y and V y of the points x 0and y ,respectively.The collection {V y }y ∈Y is a covering of Y by sets open in X ;therefore,finitely many of them {V y i }n i =1cover Y .The open set V = n i =1V y i contains Y ,and it is disjoint from the open set U = n i =1U y i formed by taking the intersection of the corresponding neighborhoods of x 0.For if z is a point of V ,then z ∈V y i for some i ,hence z /∈U y i and so z /∈U .Then U is a neighborhood of x0disjoint from Y ,as desired.6.The finite product of connected spaces X and Y is connected.Proof.Choose a ‘base point’(a,b )in the product X ×Y .Note that the ‘horizontal slice’X ×{b }is connected,being homeomorphic with X ,and each ‘vertical slice’{x }×Y is connected,being homeomorphic with Y .As a result,each ‘T-shaped’space T x :=(X ×{b })∪({x }×T )is connected,being the union of two connected spaces that have the point (x,b )in common.Now form the union x ∈X T x of all these T-shaped spaces.This union is connected because it is the union of a collection of connected spaces that have the point (a,b )in common.Since this union equals X ×Y ,the space X ×Y is connected.2。
2018最新高等数学期末考试试题及答案详解
2018最新⾼等数学期末考试试题及答案详解⾼等数学期末考试试题及答案详解⼀、填空题：（本题共5⼩题，每⼩题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量a 、b 满⾜0a b += ，2a =，2b = ，则a b ?= ．2、设ln()z x xy =，则32zx y= ． 3、曲⾯229x y z ++=在点(1,2,4)处的切平⾯⽅程为．4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅⾥叶级数在3x =处收敛于，在x π=处收敛于．5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则()Lx y ds +=? ．※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．⼆、解下列各题：（本题共5⼩题，每⼩题7分，满分35分）1、求曲线2222222393x y z z x y++==+在点0M (1,1,2)-处的切线及法平⾯⽅程． 2、求由曲⾯2222z x y =+及226z x y =--所围成的⽴体体积． 3、判定级数11(1)ln nn n n∞=+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有⼆阶连续偏导数，求2,z zx x y． 5、计算曲⾯积分,dS z ∑其中∑是球⾯2222x y z a ++=被平⾯(0)z h h a =<<截出的顶部．三、（本题满分9分）抛物⾯22z x y =+被平⾯1x y z ++=截成⼀椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最⼤值与最⼩值．计算曲线积分(sin )(cos )x x Le y m dx e y mx dy -+-?，其中m 为常数，L 为由点(,0)A a ⾄原点(0,0)O 的上半圆周22(0)x y ax a +=>．四、（本题满分10分）求幂级数13nn n x n ∞=?∑的收敛域及和函数．五、（本题满分10分）计算曲⾯积分332223(1)I x dydz y dzdx zdxdy ∑=++-??，其中∑为曲⾯221(0)z x y z =--≥的上侧．六、（本题满分6分）设()f x 为连续函数，(0)f a =，222()[()]tF t z f x y z dv Ω=+++，其中t Ω是由曲⾯z =与z =所围成的闭区域，求 30()lim t F t t+→．备注：①考试时间为2⼩时；②考试结束时，请每位考⽣按卷⾯→答题纸→草稿纸由表及⾥依序对折上交；不得带⾛试卷。
山东省潍坊市2018届高三期末考试试题(数学理)
2018届潍坊高三期末考试数学（理）2018. 1本试卷分第I 卷和第H 卷两部分，共 6页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1. 答卷前，考生务必用 0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、学校、准考证号填写在答题卡 和试卷规定的位置上.2 •第I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案写在试卷上无效.3. 第H 卷必须用 0. 5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂 改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.1.若集合 A —X -1 ：： x ：： 1 ?, B —xlog z x ：： 1,则 A B 二2.下列函数中，图象是轴对称图形且在区间 0, * 上单调递减的是1A . yB.y = -x 2 1C . y = 2xD . y = log 2 xxx - y 2 乞 03 .若x, y 满足约束条件 x • y - 4亠0,则z = 2x - y 的最大值为 [y 兰45 .已知双曲线笃 =1 a T.b 0的焦点到渐近线的距离为 a b6 .某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A . 42 3-.3，且离心率为2，则该双曲线的实轴长为A . 1 B. 、3 C. 2A .-1,1B. (0, 1)C. (-1, 2) D . (0, 2)A . -4B. -1C. 0D . 44 .若角〉终边过点A 2,1 ,sin 3 二22罷A.5C VD .2 2B . 4 4.2C. D . 7 .如图，六边形 分的概率是1 A.— 42 C.—3 ABCDEF 是一个正六边形，若在正六边形内任取一点，则恰好取在图中阴影部 1 B.— 3 3 D.-4 &函数y、、3 sin 2x -cos2x 的图象向右平移 10 个单位后，得到函数y = g x 的2丿图象，若 y = g x 为偶函数，则 JT B.— 6 ji C.— 4 A . 12 9.某篮球队对队员进行考核， 规则是：①每人进行 若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过•已知队员甲投篮 JT D.- 3 3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮 2次, 2 1次投中的概率为 ，如果甲各 3次投篮投中与否互不影响，那么甲8 B.- 3 A . 3 3个轮次通过的次数 X 的期望是 5 D.- 3 C . 2 10.已知抛物线y 2 =4x 与直线2x -y -3=0相交A 、B 两点，0为坐标原点，设 OA , OB 的 斜率为k 1,k 2,则k 1 k 2 —的值为A .B . 11. 壬、 干”4 “干支纪年法” 癸被称为“十天干 以“甲”字开始， 1 C.—4 1 D.- 2 1 2 是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、 ”,子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、 “地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配, 相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅…癸酉， 共得到60个组成，周而复始，循环记录. 是“干支纪年法”中的 A .己亥年 B .戊戌年 C.庚子年 12.已知函数数为n ,则nA . 3 丁、戊、己、庚、辛、 戌、亥叫做“十二地支”.“天 组成了干支纪年法，其 甲戌、乙亥、丙子…癸未，甲申、乙酉、丙戌…癸巳，…， 2014年是“干支纪年法”中的甲午年，那么 2020年 D .辛丑年 12 f x = x 2 -3 e x ,若关于x 的方程f 2x - mf x -一2 0的不同实数根的个 e的所有可能值为 B . 1 或 3C . 3 或 5D . 1或3或5第U 卷（共90分）二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分.25414. _______________________________________________ （1 +X +X ）（1 + X ）展开式中X 的系数为 _______________________________________________ （用数字作答）. 15.已知正四棱柱的顶点在同一个球面 0上，且球0的表面积为12二，当正四棱柱的体积最大 时，正四棱柱的高为 ___________ .16.在如图所示的平面四边形 ABCD 中，AB =1,BC =）3, CACD 为等腰直角三角形，且.ACD =90；，则BD 长的最大值为三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 17. （本小题满分12分）若数列的前几项和S n 满足：S n =2a n i ；F ；，0,N” .在L PABC 中，PA=4,PC =2 2^ P = 45：, D 是PA 中点（如图1）.将△ PCD 沿CD 折起到图2 中URCD 的位置，得到四棱锥 P 1— ABCD.⑴将厶PCD 沿CD 折起的过程中，CD 丄平面RDA 是否成立？并证明你的结论；（H ）若RD 与平面ABCD 所成的角为60°,且厶RDA 为锐角三角形，求平面RAD 和平面RBC 所成角的余弦值.19. （本小题满分12分）为研究某种图书每册的成本费 y （元）与印刷数x （千册）的关系，收集了一些数据并作了初步处理， 得13.已知单位向量e \,e2,右向量a = © - 2q ,贝U a =（I ）证明：数列「aj 为等比数列，并求an ；「a nn 为奇数（n ）若，=4, b n[log 2 a n n 为偶数18. （本小题满分12分）N ”，求数 的前2n 项和T 2n ・（图2 i1 R|图1 F到了下面的散点图及一些统计量的值._ 25 iois~5o~25~5D ~~So~33~57T*印刷数册y1■二— ■y)« -]"-uHy, -r) 15. 25 3.63 0. 26920U5.5-230. 3(X 7877.049d(l)根据散点图判断：y 二a • bx 与y=c •-哪一个更适宜作为每册成本费y(元)与印刷数x(千册)x的回归方程类型？(只要求给出判断，不必说明理由 )(n )根据(I)的判断结果及表中数据，建立 y 关于X 的回归方程(回归系数的结果精确到0.01)；(Ill)若每册书定价为10元，则至少应该印刷多少千册才能使销售利润不低于78840元？(假设能够全部售出。
山东大学数学系2018实变函数期末试题
16级实变函数
出题人:张晓燕编辑:胡不归
1.证明:非空点集A⊂R N是闭集当且仅当对任意x∈R N恒有y∈A使得ρ(x,A)=ρ(x,y).
2.证明:若[0,1]上的实值函数f不是常数,f在无理点上取有理值,则f不是[0,1]上的连续函数.
3.E∈R N,证明:
(a)若E是可测集,则任意ε>0,存在开集G⊃E,m(G−E)<ε.
(b)若任意ε>0,存在可测集A⊃E,m∗(A−E)<ε,则E可测.
4.证明:f是[a,b]上的绝对连续函数,则f是[a,b]上的有界变差函数.
5.叙述并证明m(E)<∞条件下的Lebasgue控制收敛定理.
6.证明:设E⊂R N是可测集,f是E上几乎处处有限的函数,则f是E上可测函数的充要条件是:存在一列
R N上的连续函数{f n},使得lim
n→∞
f n(x)=f(x),a.e.x∈E.
7.f是E上可积函数,证明:
lim
n→∞
n·m(E[|f| n])=0
8.证明:m(E)<∞,f n是E上几乎处处有限可测函数,且lim
n→∞f n(x)=0,a.e.x∈E.则存在E的递增可测子集
列{E k},lim
k→∞
m(E k)=m(E),且任意k∈N+,f在E k上一致收敛于0.。
山东大学高等数学上试题及答案
山东大学(南新区、软件学院)2009～2010年度第一学期高等数学(本科) 课程试卷一、填空题(每小题4分，共20分)二、选择题(每小题4分，共20分)2018sin cos (1)lim_____.3ln(1)x x x x x →+=+sin 1(2)e sin ,'______x y y x=⋅=设则2120e e sin (3)lim[]_____.||e 1x xx xk xk x →+-=+设存在，则常数22()22(4)()()3()d 2,()_____.()e e ln 2009d 1,_____.d f y y f x f x x f x x f x y y x x f yf x=--==='≠=⎰设是连续函数，且满足则(5)设函数由方程确定，其中具有二阶导数，且则(6)(,)()tan (A)0(B)1(C)2(D)3xy xππ-=在内函数的可去间断点的个数为2(7)ln(1)()(A)(1)(B)(1,0)(C)(0,1)(D)(1,)y x =+-∞--+∞函数单调增加且其图形为凹的区间是，00000000000000000000000(8)(,)(,),'(,)()(2,)(,)(,)(,)(A)lim(B)lim(,)(,)(,)(,)(C)lim(D)limx x x x x x z f x y x y x y f x y f x x y f x y f x y f x x y xxf x x y y f x y f x y f x y x x x ∆→∆→∆→→==-∆---∆∆∆+∆+∆--∆-设函数在点处存在对的偏导数，则sin 2(9)(0,1)()cos (A)210(B)210(C)210(D)220ttx ty ty x y x y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩+-=--=++=+-=e 曲线在点处的法线方程为e三、计算、证明题(每小题10分，共60分)1(10)ln(1)()(A)0(B)1(C)2(D)3x y x =++曲线e 渐近线的条数为120...(11)lim(),.x x nx x x n n→+++e e e 求极限其中是给定的正整数32ln(1)0arcsin ()60e 1sin 4()00().ax ax x x x f x x x ax x x x a f x x a x f x ⎧⎪+<⎪-⎪⎪==⎨⎪+--⎪>⎪⎪⎩==，(12)设函数，，问为何值时，在连续；为何值时，是的可去间断点？333(0).z axy x y a =-->(13)求函数的极值[]32261871,4y x x x =---(14)求函数在上的最大值和最小值.12121221()(0,)()1'(1)4,0,0()()().()(0,)'().f x f x x f x x f x x x f x x f x f x f x +∞==>>=++∞(15)设在上有定义，在处可导且若对所有的有试证：在上可导，并求[]22(16),().(),()()0.(),,() 2.y x Bx C x x a x b a b f x a b f a f b y f x y x Bx C a b a b f ξξ=-++==<====-++''=-设抛物线与轴有两个交点又在上有二阶导数，且若曲线与在（）内有一个交点，求证：在（）内存在一点，使答案（请各位老师在阅卷前先演算一遍，发现错误及时反馈。
山东大学《高等数学》期末复习参考题 (11)
2
k
1− r 2
(7 分)
= 4πabc ∫ r 1 − r 2 d r
0
k
4πabc 2 = 1 − 1 − k 3
(
)
3 2
(10 分)
2、解： n = ±{5,−1,−1} ,cos α = ±
5 1 1 ,cos β = ∓ ,cos γ = ∓ 27 27 27
x2 y2 5、函数 f ( x , y ) = x 4 + y 4 0
(A)连续但不可微； (C)可导但不可微； 1、 设Ω是由 分 I=
( x , y ) ≠ (0,0) ( x , y ) = (0,0)
在点(0,0)处(
)
(B)可微； (D)既不连续又不可导。 ≤1 及 所确定的闭区域，(a,b,c>0;0<k≤1),试求积
《数学分析 III》期末试卷 11 答案与评分标准
一、填空题（共 10 小题，40 分）
1、π 2、 3、 − ( x + y ) ≤ z ≤ x + y ，且 x + y ≠ 0
2 2 2 2 2 2
4、
μ(x,y)dσ(或
μ(x,y)dxdy).
5、I=24 6、 2 2 π 2 7、 3x + 2 y − z = 11 8、 x + 2 y + z + 2 = 0 9、
三、计算题（共 3 小题，30 分）
.
2
2、求函数 u = x ln( y + 3z ) 在点（1，2，2）处沿平面 5x − y − z = 1 法线方向的方向 导数。 3、求函数 u = z ⋅ y 在点（1,2,1）处沿 a = {3,3,−2} 方向的方向导数。
2017-2018第二学期高等数学A2试题
武汉大学2017-2018学年第二学期期末考试高等数学A2试题（A）1、（9分）设(,)z z x y 是由方程222(2)x z f y z 所确定的隐函数，其中f 可微，求证z z y x xy x y.2、（9分）设{(,)||||1}D x y x y ，计算二重积分2(1)Dx y dxdy .3、（9分）设C 为圆周曲线221x y ，计算曲线积分4224(21)Cx x y y ds .4、（9分）已知)1,2,0(),0,0,1(B A ，试在z 轴上求一点C ，使ABC 的面积最小。
5、（8分）3、设22222222, 0(,)0, 0x y xy x y x y f x y x y，求(0,0)xyf 和(0,0)yx f . 6、（9分）求过直线2210420x y z x y z 并在y 轴和z 轴上有相同的非零截距的平面方程。
7、（8分）设f 是任意二阶可导函数，并设)(x ay f z 满足方程0622222 y zy x z xz ，试确定a 的值.8、（8分）在椭球面22221x y z 上求一点，使函数222(,,)tan f x y z x y z 在该点沿曲线23,12,3x t y t z t t 在点(1,1,2) 处的切线方向的方向导数最大。
9、（9分）计算曲线积分)d d Lx y y x, 其中有向曲线弧L：y点 5,0B 到点 1,0A .10、（8分）已知10=sin (1,2,3,)n b x n xdx n ，，证明级数11(1)1n nn b n收敛，并求其和。
11、（8分）求22I xz dydz x dxdy，其中 是曲面2221x y z 夹在两平面1z 与2z 之间的部分，其法向量与z 轴正向的夹角为锐角。
12、（6分）设a ，b 为任意常数，()f x 在0x 的邻域内具有二阶连续导数，且0()lim0,x f x x''()0f x m试讨论级数:af bf af bf af bf 的敛散性。
山东省潍坊市2018届高三期末考试试题(数学理)
山东省潍坊市2018届高三期末考试试题(数学理)2018届潍坊高三期末考试数学（理）本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共6页，满分150分，考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、学校、准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案写在试卷上无效。
3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。
不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第I卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合A={x|-1<x<1}，B={x|xlog2<x<1}，则A∩B=A。
答案：A2.下列函数中，图象是轴对称图形且在区间(0.+∞)上单调递减的是y=2x。
答案：C3.若x,y满足约束条件{x+y-4≥0.y≤4}，则z=2x-y的最大值为4.答案：D4.XXXα终边过点A(2,1)，则sin(π-α)=1/5.答案：B5.已知双曲线2(x^2/9-y^2/4)=1(a>0.b>0)的焦点到渐近线的距离为ab/3，且离心率为2，则该双曲线的实轴长为3.答案：B6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为6+4√2.答案：D7.如图，六边形ABCDEF是一个正六边形，若在正六边形内任取一点，则恰好取在图中阴影部分的概率是1/3.答案：C8.函数y=3sin^2x-cos^2x的图象向右平移φ个单位后，图象，若y=g(x)为偶函数，则φ的值为π/12.答案：AD。