二次函数综合问题之抛物线与直线交点个数问题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
二次函数综合问题之抛物线与直线交点个数
1.(2014•北京)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=2x2+mx+n经过点A(0,﹣2),B(3,4).
(1)求抛物线得表达式及对称轴;
(2)设点B关于原点得对称点为C,点D就是抛物线对称轴上一动点,记抛物线在A,B之间得部分为图象G(包含A,B两点).若直线CD 与图象G有公共点,结合函数图象,求点D纵坐标t得取值范围.
考点: 待定系数法求二次函数解析式;待定系数法求一次函数解析式;二次函数得最值.
专题: 计算题.
分析:(1)将A与B坐标代入抛物线解析式求出m与n得值,确定出抛物线解析式,求出对称轴即可;
(2)由题意确定出C坐标,以及二次函数得最小值,确定出D纵坐标得最小值,求出直线BC解析式,令x=1求出y得值,即可确定出t得范围.
解答:解:(1)∵抛物线y=2x2+mx+n经过点A(0,﹣2),B(3,4),
代入得:,
解得:,
∴抛物线解析式为y=2x2﹣4x﹣2,对称轴为直线x=1;
(2)由题意得:C(﹣3,﹣4),二次函数y=2x2﹣4x﹣2得最小值为﹣4,
由函数图象得出D纵坐标最小值为﹣4,
设直线BC解析式为y=kx+b,
将B与C坐标代入得:,
解得:k=,b=0,
∴直线BC解析式为y=x,
当x=1时,y=,
则t得范围为﹣4≤t≤.
点评:此题考查了待定系数法求二次函数解析式,待定系数法求一次函数解析式,以及函数得最值,熟练掌握待定系数法就是解本题得关键.
2.(2011•石景山区二模)已知:抛物线与x轴交于A(﹣2,0)、B(4,0),与y轴交于C(0,4).
(1)求抛物线顶点D得坐标;
(2)设直线CD交x轴于点E,过点B作x轴得垂线,交直线CD于点F,将抛物线沿其对称轴上下平移,使抛物线与线段EF总有公共点.试探究:抛物线向上最多可以平移多少个单位长度,向下最多可以平移多少个单位长度?
考点:二次函数图象与几何变换;二次函数得性质;待定系数法求二次函数解析式.
专题: 探究型.
分析:(1)先设出过A(﹣2,0)、B(4,0)两点得抛物线得解析式为y=a(x+2)(x﹣4),再根据抛物线与y轴得交点坐标即可求出a得值,进而得出此抛物线得解析式;
(2)先用待定系数法求出直线CD解析式,再根据抛物线平移得法则得到(1)中抛物线向下平移m各单位所得抛物线得解析式,再将此解析式与直线CD得解析式联立,根据两函数图象有交点即可求出m得取值范围,进而可得到抛物线向下最多可平移多少个单位;同理可求出抛物线向上最多可平移多少个单位.
解答:解:(1)设抛物线解析式为y=a(x+2)(x﹣4),
∵C点坐标为(0,4),
∴a=﹣,(1分)
∴解析式为y=﹣x2+x+4,
顶点D坐标为(1,);(2分)
(2)直线CD解析式为y=kx+b.
则,,
∴,
∴直线CD解析式为y=x+4,(3分)
∴E(﹣8,0),F(4,6),
若抛物线向下移m个单位,其解析式y=﹣x2+x+4﹣m(m>0),
由消去y,得﹣x2+x﹣m=0,
∵△=﹣2m≥0,
∴0 ∴向下最多可平移个单位.(5分) 若抛物线向上移m个单位,其解析式y=﹣x2+x+4+m(m>0), 方法一:当x=﹣8时,y=﹣36+m, 当x=4时,y=m, 要使抛物线与EF有公共点,则﹣36+m≤0或m≤6, ∴0 方法二:当平移后得抛物线过点E(﹣8,0)时,解得m=36, 当平移后得抛物线过点F(4,6)时,m=6, 由题意知:抛物线向上最多可以平移36个单位长度,(7分) 综上,要使抛物线与EF有公共点,向上最多可平移36个单位,向下最多可平移个单位. 点评:本题考查得就是二次函数得图象与几何变换,涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数得解析式、二次函数与一次函数得交点问题,有一定得难度. 3.(2013•丰台区一模)二次函数y=x2+bx+c得图象如图所示,其顶点坐标为M(1,﹣4). (1)求二次函数得解析式; (2)将二次函数得图象在x轴下方得部分沿x轴翻折,图象得其余部分保持不变,得到一个新得图象,请您结合新图象回答:当直线y=x+n与这个新图象有两个公共点时,求n得取值范围. 考点:待定系数法求二次函数解析式;二次函数图象与几何变换. 分析:(1)确定二次函数得顶点式,即可得出二次函数得解析式. (2)求出两个边界点,继而可得出n得取值范围. 解答:解:(1)因为M(1,﹣4)就是二次函数y=(x+m)2+k得顶点坐标, 所以y=(x﹣1)2﹣4=x2﹣2x﹣3, (2)令x2﹣2x﹣3=0, 解之得:x1=﹣1,x2=3, 故A,B两点得坐标分别为A(﹣1,0),B(3,0). 如图,当直线y=x+n(n<1), 经过A点时,可得n=1, 当直线y=x+n经过B点时, 可得n=﹣3, ∴n得取值范围为﹣3 翻折后得二次函数解析式为二次函数y=﹣x2+2x+3 当直线y=x+n与二次函数y=﹣x2+2x+3得图象只有一个交点时, x+n=﹣x2+2x+3, 整理得:x2﹣x+n﹣3=0, △=b2﹣4ac=1﹣4(n﹣3)=13﹣4n=0, 解得:n=, ∴n得取值范围为:n>, 由图可知,符合题意得n得取值范围为:n>或﹣3<n<1. 点评:本题考查了待定系数法求二次函数解析式得知识,难点在第二问,关键就是求出边界点时n得值. 4.(2009•北京)已知关于x得一元二次方程2x2+4x+k﹣1=0有实数根,k为正整数. (1)求k得值; (2)当此方程有两个非零得整数根时,将关于x得二次函数y=2x2+4x+k﹣1得图象向下平移8个单位,求平移后得图象得解析式; (3)在(2)得条件下,将平移后得二次函数得图象在x轴下方得部分沿x轴翻折,图象得其余部分保持不变,得到一个新得图象.请您结合这个新得图象回答:当直线y=x+b(b