广西南宁市第三中学2018届高三第二次模拟考试数学(理)试题+Word版含答案
2018届高三第二次适应性考试数学理试卷 含答案
2018年南宁市高中毕业班第二次适应性测试数学试卷（理科）一、选择题1．已知集合{}|310A x x =+<，{}2|610B x x x =--≤,则=B AA. 11[,]32-B. ΦC. 1(,)3-∞D.1{}32．复数11ia +(R)a ∈在复平面内对应的点在第一象限，则a 的取值范围是A. 0<aB. 10<<aC. 1>aD. 1-<a3．若椭圆C ：12222=+by a x (0)a b >>的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为A.21 B. 33 C. 22 D. 424．在ABC ∆中，53cos =B ，65==AB AC ，，则角C 的正弦值为 A. 2524 B. 2516 C. 259 D. 2575．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是A.31 B. 32C. 1D. 436．已知向量），（01=a ，），（21=b ，向量c 在a方向上的投影为2.若c //b，则c 的大小为A.. 2B. 5C. 4D. 527．执行如图的程序框图，输出的S 的值是 A. 28 B. 36 C. 45 D. 558．若以函数()0sin >=ωωx A y 的图像中相邻三个最值点为顶点的 三角形是面积为1的直角三角形，则ω的值为A.1B. 2C. πD. π29．已知底面是边长为2的正方形的四棱锥ABCD P -中，四棱锥的侧棱长都为4,E 是PB 的中点，则异面直线AD 与CE 所成角的余弦值为A.4B. 3C.12D. 210.定义,,min{,},>,a ab a b b a b ≤⎧=⎨⎩设21()=min{,}f x x x ，则由函数()f x 的图像与x 轴、直线=2x 所围成的封闭图形的面积为A.712 B. 512 C. 1+ln 23 D. 1+ln 2611．函数11()33x f x -=-是A. 奇函数B. 偶函数C. 既是奇函数也是偶函数D. 既不是奇函数也不是偶函数12．设实数e d c b a ,,,,同时满足关系:,8=++++e d c b a 1622222=++++e d c b a ，则实数e 的最大值为 A.2 B.516C. 3D. 25【二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 把答案填答题卷相应题中横线上.13．设变量y x ,满足约束条件22344x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩,则目标函数2z y x =-的最大值是14若锐角βα,满足54sin =α，32)tan(=-βα，则=βtan ▲ ． 15. 过动点M 作圆:22221x y -+-=（）（）的切线MN ,其中N 为切点，若||||MO MN =(O 为坐标原点)，则||MN 的最小值是 ▲ .16．定义在R 上的函数()f x ，如果存在函数()g x ax b =+，(,a b 为常数），使得()()f x g x ≥对一切实数x 都成立，则称()g x 为函数()f x 的一个承托函数.给出如下命题:①函数()2g x =-是函数ln ,0,()1,0x x f x x >⎧=⎨≤⎩的一个承托函数;②函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数;③若函数()g x ax =是函数()f x =e x的一个承托函数,则a 的取值范围是[0,e];④值域是R 的函数()f x 不存在承托函数. 其中正确的命题的个数为 ▲ .三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足:*2,2N n n n S n ∈+=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：16n T <.18． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份中5天的日销售量y （单位：千克）与该地当日最低气温x （单位：C ）的数据，如下表：（1）求出y 与x 的回归方程y b x a ∧∧∧=+；（2）判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6C，请用所求回归方程预测该店当日的销售量；（3）设该地1月份的日最低气温X ~2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ，求(3.813.4)P X <<.附:①回归方程y b x a ∧∧∧=+中, 1221()()ni ii nii x y nx yb xn x ∧==-=-∑∑,a y b x ∧∧=-.X ~2(,)N μσ,则()0.6826P X μσμσ-<<+=,(22)0.9544P X μσμσ-<<+=.19． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 如图，已知侧棱垂直于底面的四棱柱1111-D C B A ABCD 中，==1A B A D ，,3==CD CB 60BCD ∠= ，31=CC .（1）若E 是线段A A 1上的点且满足AE E A 31=,求证: 平面EBD ⊥平面BD C 1；（2）求二面角1C C D B --的平面角的余弦值.20. (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知椭圆1C 和抛物线2C 有公共焦点(1,0)F ,1C 的中心和2C 的顶点都在坐标原点,过点(4,0)M 的直线l 与抛物线2C 分别相交于,A B 两点（其中点A 在第四象限内）.(1)若||4||MB AM =,求直线l 的方程;(2)若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线2C 上,直线l 与椭圆1C 有公共点,求椭圆1C 的长轴长的最小值.21. (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知函数ax x x f -=ln )(，a xx g +=1)(. （1）讨论函数)()()(x g x f x F -=的单调性；（2）若0)()(≤⋅x g x f 在定义域内恒成立，求实数a 的取值范围.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知圆E 的极坐标方程为θρsin 4=，以极点为原点、极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，取相同单位长度（其中ρ≥0，[0,2))θπ∈.若倾斜角为34π且经过坐标原点的直线l 与圆E 相交于点A(A 点不是原点).(1)求点A 的极坐标;(2)设直线m 过线段OA 的中点M ,且直线m 交圆E 于B ,C 两点,求||||||MB MC -的最大值.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 （1）解不等式4|3||1|<+++x x ；（2）若b a ,满足（1）中不等式，求证：2|||22|a b ab a b -<++.2018年南宁市高中毕业班第二次适应性测试数学试卷（理科）答案与评分标准一、选择题1．B 2．A 3．C 4．A 5．D 6．D 7．C 8．C 9．A 10.C 11．D 12．B解： 将题设条件变形为2222216,8e d c b a e d c b a -=+++-=+++， 代入由柯西不等式得如下不等式222222222(1111)(1111)()a b c d a b c d ⋅+⋅+⋅+⋅≤++++++有)16(4)8(22e e -≤-，解这个一元二次不等式，得.5160≤≤e 所以，当56====d c b a 时，实数e 取得最大值.516 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 把答案填答题卷相应题中横线上. 13．14 1417615.827 16．2三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 解：（1）第一类解法： 当n=1时，13a =....................................................................................................1分 当2n ≥时1--=n n n S S a .....................................................................................2分222(1)2(1)n n n n =+----................................................................................3分21n =+....................................................................................................................4分 而13a =也满足21n a n =+...................................................................................5分 ∴数列{}n a 的通项公式为12+=n a n .................................................................................6分 第二类解法：1--=n n n S S a ........................................................................................1分222(1)2(1)n n n n =+----.....................................................................2分21n =+......................................................................................................3分 ∴数列{}n a 的通项公式为12+=n a n .................................................................................4分 第三类解法：113a S ==..........1分; 221a S S =-.......1分;12+=n a n ...........1分,共3分第四类解法： 由S n22n n=+可知{}n a 等差数列.........................................................................2分 且13a =，212132d a a S S =-=--=...............................................................................4分 ∴数列{}n a 的通项公式为12+=n a n .................................................................................5分 （2）∵12+=n a n ,∴111(21)(23)n n a a n n +=++....................................................7分111()22123n n =-++..........................................................................8分 则1111111[()().......()]235572123n T n n =-+-++-++................................................9分111()2323n =-+.........................................................................10分11646n =-+...........................................................................11分1.6<...........................................................................................................................................12分 18． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 附: ①回归方程y b x a ∧∧∧=+中, 1221()()ni ii nii x y nx yb xn x ∧==-=-∑∑,a y b x ∧∧=-.X ~2(,)N μσ,则()0.6826P X μσμσ-<<+=,(22)0.9544P X μσμσ-<<+=.解：【提示：本题第（1）、（2）问与第（3）问没有太多关系，考生第（1）、（2）问做不对，第（3）问也可能做对，请老师们留意】 (1)∵令5n =,11357,5n i i x x n ====∑114595n i i y y n ====∑,.........................................1分【说明：如果考生往下算不对结果，只要上面的两个平均数算对其中一个即可给1分】 ∴1()28757928.ni ii x y nx y =-=-⨯⨯=-∑ .......................................................................2分2221()2955750.nii xn x =-=-⨯=∑ ...............................................................................................3分 ∴280.5650b ∧-==- ....................................................................................................4分【说明：2分至4分段，如果考生不是分步计算，而是整个公式一起代入计算，正确的直接给完这部分的分；如果结果不对，只能给1分】 ∴9(0.56)712.92.a yb x ∧∧=-=--⨯= （或者：32325） ...............................................5分 ∴所求的回归方程是0.5612.92y x ∧=-+ ....................................................................6分 (2)由0.560b ∧=-<知y 与x之间是负相关， ....................................................................7分 【说明：此处只要考生能回答负相关即可给这1分】将6x =代入回归方程可预测该店当日的销售量0.56612.929.56y ∧=-⨯+=(千克) （或者：23925） ....................................................................8分【说明：此处只要考生能算得正确的答案即可给这1分】 (3)由(1)知7x μ==，又由2221[(27)5sσ==-22(57)(87)+-+-+22(97)(117)]-+- 10,=得3.2σ= ......................................................................................................................9分 【说明：此处要求考生算对方差才能给这1分】 从而(P X <<=(P X μσμσ-<<+ ..........................................................10分()P X μσμ=-<<(2)P X μμσ+<<+1()2P X μσμσ=-<<+1(22)2P X μσμσ+-<<+ ...............................................11分【说明：此处不管考生用什么方法进行变换，只要有变换过程都给这1分】0.8185= ........................................................................12分【说明：此处是结论分1分，必须正确才给】19． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 解:(1) 解法(一): 60BCD ∠=,,3,1====CD CB AD AB∴90CDA ∠= ,2=C A .. ...............1分（没有这一步扣一分） ∴以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系. ...............2分 设M 是BD 的中点,连接1MC .........................................................................................................2分C C 1⊥平面ABCD , ,3==CD CB ∴11C D C B =.M 是BD 的中点,∴1MC ⊥BD ................................................................................................3分），（430,1E ,3(4M ,)33,0(1，C ,∴13(4MC =- ,DE =. ................................................ ..........4分131004MC DE =-⨯+=,∴1MC ⊥DE ..............................................5分（证得1MC ⊥ME 或BE也行）DE与BD 相交于D, ∴1MC ⊥平面EBD .1MC 在平面BDC 1内, ∴平面EBD ⊥平面BD C 1..............................................................6分解法(二):设M 是BD 的中点,连接EM 和11,MC EC ..............................................................1分,,CD CB AD AB ==∴BD ⊥CA 且,,C A M 共线. ∴BD ⊥ME ,BD ⊥1MC .EA ⊥平面ABCD , C C 1⊥平面ABCD ,∴∠1EMC 是二面角1C BDE --的平面角...........................................................2分60BCD ∠= ,,3,1====CD CB AD AB∴90CDA ∠= ,13,22MA MC ==................................................3分(正确计算出才给这1分)AE E A 31=,31=CC ,∴1EM C M ==………………4分(至少算出一个)14C E =.............................................................................................5分∴22211C E C M EM =+,即1C E ⊥EM .∴二面角1C BD E --的平面角为直角. ∴平面EBD ⊥平面BD C 1......................................................................................................6分解法(三): 60BCD ∠= ,,3,1====CD CB AD AB ∴90CDA ∠=,2=C A . 以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系. ...............1分设M 是BD 的中点,连接EM 和11,MC EC ..,,CD CB AD AB ==∴BD ⊥CA且,,C A M 共线. ........................................................2分EA ⊥平面ABCD , C C 1⊥平面ABCD ,∴BD ⊥ME ,BD ⊥1MC .∴∠1EMC 是二面角1C BDE --的平面角.............................................................................3分则），（430,1E ，)33,0(1，C ,3(4M ......................4分(至少正确写出一个点的坐标)∴1(,)444ME =-,13(,44MC =- .∴113()(044444ME MC ∙=⨯-+-⨯+= ................................5分∴ME ⊥1MC,∠190EMC = ,二面角1C BD E --的平面角为直角,平面EBD ⊥平面BD C 1................................................6分解法四: 连结AC ,11AC ,11B D ,交点为O 和N ，如图. 60BCD ∠= ,,3,1====CD CB AD AB∴90CDA ∠= ,2=C A .以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，ON 为z 轴，建立空间直角坐标系. ...............1分 则O 是BD 的中点.C C 1⊥平面ABCD , ,3==CD CB O 是BD 的中点,∴11C D C B =. O 是BD 的中点,∴1OC ⊥BD ............3分1,2E -（0，,0)B ，,13(0,2C∴13(0,2OC =,1(,224BE =-- .1310()022OC BE =+⨯-= ,∴1OC ⊥BE .........................................5分BE与BD 相交于O , ∴1OC ⊥平面EBD .1OC 在平面BDC 1内, ∴平面EBD ⊥平面BD C 1..............................................................6分(2) 解法一: (若第1问已经建系)(1,0,0)A ，DA ⊥平面1C DC ，∴(1,0,0)DA =是平面1C DC 的一个法向量 (8)分3,22B（,1C ，3(,22DB =，1DC = 设平面BD C 1的法向量是(,,)m x y z = ,则10,0m DB m DC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，30220x y ⎧+=⎪=， 取1,x =得y z ==.平面BDC 1的法量(3,3)m =...................................10分 【另解：由（1）知当13A E AE =时，ME ⊥平面BD C 1，则平面BD C 1的法向量是 ME=1(,)444-】cos ,||||DA mDA m DA m ∙<>=⨯.............................................................................................11分7=∴由图可知二面角1C C D B --的平面角的余弦值为....................................12分 解法二: (第1问未建系)60BCD ∠= ,,3,1====CD CB AD AB ∴90CDA ∠= ,2=C A 以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系. ..................7分(1,0,0)A ,DA⊥平面1C DC ，∴(1,0,0)DA=是平面1C D C的法向量.....................................................................................8分3,22B（,1C ，3(,22DB =，1DC = , 设平面BD C 1的法向量是(,,)m x y z = ,则10,0m DB m DC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，30220x y ⎧+=⎪=， 取1,x =得y z ==.平面BDC 1的法量(3,3)m =.......................................10分 cos ,||||DA mDA m DA m ∙<>=⨯.................................................................................................11分=.∴由图可知二面角1C C D B --的平面角的余弦值为7.......................................12分 解法三: (几何法) 设N 是CD 的中点,过N 作NF ⊥D C 1于F ,连接FB ,如图.......................................................7分60BCD ∠= ,,3==CD CB ∴ NB ⊥CD .侧面D C 1⊥底面ABCD , ∴ NB ⊥侧面D C 1..........8分 NF ⊥D C 1,∴BF ⊥D C 1∴∠BFN 是二面角1C C D B --的平面角...................9分 依题意可得NB =32, NFBF=4..................11分 ∴cos ∠BFN =NFBF=∴二面角1C CD B --的平面角的余弦值为....................12分 20. (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 解：（1）解法一:由题意得抛物线方程为24y x =.......................................................................1分 设直线l的方程为4x my =+........................................................................................................2分 令211(,),4y A y 222(,),4y B y 其中10y <.由||4||MB AM =,得214y y =-................................3分联立24,4,y x x my ⎧=⎨=+⎩可得24160y m y --=,12211216,4,4y y y y y y m=-⎧⎪=-⎨⎪+=⎩解得12y =-,28y =,..................4分∴32m =.........................................................................................................................................5分∴直线l的方程为2380x y --=................................................................................................6分 解法二:由题意得抛物线方程为24y x =.....................................................................................1分 设直线l的方程为(4)y k x =-...................................................................................................2分 令211(,),4y A y 222(,),4y B y 其中10y <.由||4||MB AM =,得214y y =-................................3分联立24,(4)y x y k x ⎧=⎨=-⎩可得24160ky y k--=,1221124,4,16y y k y y y y ⎧+=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩解得12y =-,28y =,................4分∴23k =.........................................................................................................................................5分∴直线l的方程为2380x y --=...............................................................................................6分 解法三:由题意得抛物线方程为24y x =.................................................................................1分 设直线l的方程为(4)y k x =-...................................................................................................2分令11(,),A x y 22(,),B x y 其中2140,x x >>>由||4||MB AM =, 得21204,0x x k =->..............3分联立24,(4)y x y k x ⎧=⎨=-⎩可得2222(84)160k x k x k -++=,2122211284,204,16k x x k x x x x ⎧++=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩解得11x =,216x =,...............................................................................................................4分∴2.3k =..................................................................................................................................5分∴直线l的方程为2380x y --=.........................................................................................6分第一问得分点分析：（1）求出抛物线方程，得1分。
2018届广西南宁市高三第二次适应性测试考试理科数学试题及答案 精品
2018年南宁市高中毕业班第二次适应性测试理科数学一．选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分。
1．已知全集为R，集合A＝{x|x2＋5x－6≥0}，B＝{x|x≤12或x＞8}，则A∩(∁R B)等于(A)[6，8) (B)[3，8] (C)[3，8) (D)[1，8]2．设i是虚数单位，¯z是复数z的共轭复数，若(1－i)¯z＝2，则z为(A)1＋i(B)1－i(C)2＋i(C)2－i3．(x－2x)5的展开式中，x的系数为(A)40 (B)－40 (C)80 (D)－80 4．如图所示的程序框图，其输出结果是(A)341 (B)1364 (C)1365 (D)13665．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线4x－3y＋1＝0垂直，则双曲线的两条渐近线方程为(A)y＝±34x(B)y＝±43x(C)y＝±35x(D)y＝±54x6．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y －1≥02x －y －1≥0x ＋y －m ≤0，若x －y 的最小值为－2，则实数m 的值为(A )0 (B )2 (C )4 (D )8 7．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是(A )3 (B )932 (C )332(D )3 38．设抛物线C :y ＝x 2与直线l ：y ＝1围成的封闭图形记为P ，则图形P 的面积S 等于(A )1 (B )13 (C )23 (D )439．函数f (x )＝12(1＋cos2x )sin 2x ，x ∈R 是(A )最小正周期为π的奇函数 (B )最小正周期为π2的奇函数(C )最小正周期为π的偶函数 (D )最小正周期为π2的偶函数10．某高校要从6名短跑运动员中选出4人参加全省大学生运动会4×100m 接力赛，其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则甲跑第二棒的概率为(A )415 (B )215 (C )421 (D )1511．已知右图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为(A )24π (B )6π (C )4π (D )2π 12．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且sin2A ＋sin2B ＋sin2C ＝12，面积S ∈[1，2]，则下列不等式一定成立的是(A )(a ＋b )＞16 2 (B )bc (b ＋c )＞8 (C )6≤abc ≤12 (D )12≤abc ≤24二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上）13．已知向量→a 、→b 满足|→a |＝|→b |＝2且(→a ＋2→b )•(→a －→b )＝－2，则向量→a 与→b 的夹角为_____ 14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2， x ＞0－x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (0)＝－2，f (－1)＝1，则函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为_____________15．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1、S 2，体积分别为V 1，V 2，若它们的侧面积等且V 1V 2＝32，则S 1S 2的值是_______16．设椭圆中心在坐标原点，A (2，0)，B (0，1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点，若−→ED ＝6−→DF ，则所k 的值为_______三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤。
广西南宁市第三中学2018届高三第二次模拟考试数学理试
南宁三中2018届高三第二次模拟考试数学试题（理科）全卷满分150分 考试用时120分钟一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{|11}M x x =-≤≤，{|124}x N x =<<，则M N ⋂=（ ）A. {|10}x x -≤<B. {|01}x x <≤C. {|12}x x ≤<D. {|12}x x -≤< 2．已知复数1iz i=+（i 是虚数单位），则z =（ ）A. 1B.12C.D.3．甲、乙两人答竞赛题，甲答对的概率为15，乙答对的概率为14，则两人中恰有一人答对的概率为（ ）A.720B.35C.120D.1104．设等差数列的前项和为，若，则（ ）A.B.C.D.5．如图所示的流程图，最后输出的n 的值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 66．()712x x-的展开式中2x 的系数为（ ）A. 84-B. 84C. 280-D. 2807．若抛物线在处的切线的倾斜角为，则（ ）A.45B.12C.45-D. 12-8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的体积为（ ）A.6πC.43πD.9．已知函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，63f f ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，则的值为（ ）A.23B.113C.73D.14310．已知双曲线2222:1(0,0)x y T a b a b-=>>，若正方形ABCD 四个顶点在双曲线T 上，且,AB CD 的中点为双曲线T 的两个焦点，则双曲线T 的离心率为（ ）A.B. 1C.D. 111．如图，在正方形ABCD 中，,M N 分别是,BC CD 的中点，若AC AM BN λμ=+，则λμ+的值为（ ） A. 85B.58C.1D. -112．已知命题若命题是假命题，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量a 与b 的夹角为，且||1,|2|5a a b =-=，则||b _______. 14．若实数，满足约束条件，则的最小值为__________． 15．已知长轴长为2a ，短轴长为2b 的椭圆的面积为ab π，则dx x ⎰--33291=___________。
2018年广西南宁市高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2018年广西南宁市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x∈Z|x＞﹣1}，B＝{x|x2≤4}，则A∩B＝（）A．（﹣1，2]B．（﹣1，2）C．{0，1，2}D．{1，2}2．（5分）复数z在复平面内表示的点Z如图所示，则使得z2•z1是纯虚数的一个z1是（）A．4+3i B．3+4i C．4﹣3i D．3﹣4i3．（5分）已知，则tan2α＝（）A．B．2C．D．4．（5分）如图为某市2017年3月21﹣27日空气质量指数（AQI）柱形图，已知空气质量指数为0﹣50空气质量属于优，51﹣100空气质量属于良好，大于100均属不同程度的污染．在这一周内，下列结论中正确的是（）A．空气质量优良的概率为B．空气质量不是良好的天数为6C．这周的平均空气质量为良好D．前三天AQI的方差大于后四天AQI的方差5．（5分）设实数x，y满足不等式组，则z＝x+2y的最小值为（）A．4B．5C．6D．106．（5分）“a＝0”是“（1+x+x2）（1+）4的常数项为1”的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的n值为（）A．2B．3C．4D．58．（5分）函数f（x）＝sin（πx+φ）（）的图象向左平移个单位后为偶函数，则f（x）的单调递增区间是（）A．，k∈ZB．，k∈ZC．，k∈ZD．，k∈Z9．（5分）函数y＝ln|x|﹣x2的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）若l，m，n是不相同的空间直线，α，β是不重合的两个平面，则下列命题正确的是（）A．l⊥α，m⊥β，l⊥m⇒α⊥βB．l∥m，m⊆α⇒l∥αC．l⊆α，m⊆α，l∥β，m∥β⇒α∥βD．l⊥n，m⊥n⇒l∥m11．（5分）已知抛物线W：y2＝4x的焦点为F，点P是圆O：x2+y2＝r2（r＞0）与抛物线W的一个交点，点A（﹣1，0），则当最小时，圆心O到直线PF的距离是（）A．B．1C．D．12．（5分）函数，若方程f（x）＝k有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是（）A．B．[5，6）C．（5，6）D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量＝（2，4），＝（﹣1，m），且与﹣2平行，则m等于．14．（5分）△ABC中．角A，B，C的对边分别是a，b，c．若sin B＝2sin C．且a＝，A＝，则c＝．15．（5分）已知双曲线C：的左、右焦点分别是F1，F2，点P（5，1）满足|PF1|﹣|PF2|＝6，则双曲线C的离心率是．16．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+1＝S n+n+1（n＝1，2，3…），a1＝1．（1）求证：{a n+1}为等比数列；（2）数列{a n}中是否存在不同的三项，适当排列顺序后构成一个等差数列？并说明理由．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，，AD＝CD＝2，P A＝PC，，AB⊥AD，平面P AD⊥平面ABCD．（1）求证：PD⊥平面ABCD；（2）若PD＝3，求直线CD与平面P AB所成角的正弦值．19．（12分）随着人们对交通安全的重视，安全驾驶已成为了社会广泛关注的问题．交通管理部门调取了大量数据，得到以下散点分布图其中y表示“反应距离”，指的是驾驶员从作出反应（刹车）到车辆停止滑行的距离（单位：米），x表示驾驶员作出反应的瞬间车辆速度的平方（单位：米2/秒2）．其中，i＝1，2，…，7，．（1）由散点图判断：y＝ax+b和哪个更适合于模型？（直接写出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果和表中的数据，建立y关于x的回归方程；（3）当驾驶者看到前方30米处出现行人并刹车，根据（2）中你得到的方程，请说明此时驾驶者的速度满足什么条件才能避免这次车祸？附：对于一组数据（x1，x1），（x2，x2），…，（x n，x n），其中回归方程y＝α+βx的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．20．（12分）已知左焦点为F（﹣1，0）的椭圆C：（a＞b＞0）经过点A（2，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l与椭圆C分别交于M、N（M、N在x轴异侧），M关于长轴对称的点为B （不与N重合），直线x＝﹣4分别与x轴，AB，AN交于T、P、Q．若∠TQF＝∠TFP，求证：直线l经过定点．21．（12分）已知函数．（1）若函数在处有最大值，求a的值；（2）当a≤e时，求函数f（x）的零点的个数．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（12分）在极坐标系中设极点O到直线l的距离为2，由O点向直线l作垂线OA，垂足为A，射线OA的极坐标方程为（ρ≥0）．（1）求直线l的极坐标方程；（2）以极点O为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系．若点P 在直线l上，将向量按逆时针旋转，再伸缩为原来的λ（λ＞0）倍得到向量，使得．求动点M的轨迹C的直角坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣2|﹣1，不等式f（x）≤k的解集为[﹣5，1]．（1）求实数k的值；（2）若正数a，b满足，求2a+4b的最小值．2018年广西南宁市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x∈Z|x＞﹣1}，B＝{x|x2≤4}，则A∩B＝（）A．（﹣1，2]B．（﹣1，2）C．{0，1，2}D．{1，2}【解答】解：B＝{x|﹣2≤x≤2}，且A＝{x∈Z|x＞﹣1}；∴A∩B＝{0，1，2}．故选：C．2．（5分）复数z在复平面内表示的点Z如图所示，则使得z2•z1是纯虚数的一个z1是（）A．4+3i B．3+4i C．4﹣3i D．3﹣4i【解答】解：由图可得：z＝﹣2+i，设z1＝a+bi（a，b∈R）．z2•z1＝（﹣2+i）2（a+bi）＝（3﹣4i）（a+bi）＝3a+4b+（3b﹣4a）i为纯虚数，则3a+4b＝0，3b﹣4a≠0．则z1＝4﹣3i．故选：C．3．（5分）已知，则tan2α＝（）A．B．2C．D．【解答】解：∵，可得：cos2α﹣sin2α＝，又∵cos2α+sin2α＝1，∴可得cos2α＝，sin2α＝，∴tan2α＝＝．故选：D．4．（5分）如图为某市2017年3月21﹣27日空气质量指数（AQI）柱形图，已知空气质量指数为0﹣50空气质量属于优，51﹣100空气质量属于良好，大于100均属不同程度的污染．在这一周内，下列结论中正确的是（）A．空气质量优良的概率为B．空气质量不是良好的天数为6C．这周的平均空气质量为良好D．前三天AQI的方差大于后四天AQI的方差【解答】解：由空气质量指数（AQI）柱形图得：在A中，空气质量优良的概率为p＝，故A错误；在B中，空气质量不是良好的天数为6天，故B正确；在C中，这周的平均空气质量指数大于100，属不同程度的污染，故C错误；在D中，前三天AQI的方差小于后四天AQI的方差，故D错误．故选：B．5．（5分）设实数x，y满足不等式组，则z＝x+2y的最小值为（）A．4B．5C．6D．10【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如图所示；由图形知，当目标函数z＝x+2y过点A时，z取得最小值；由，求得A（2，1），∴z的最小值为2+2×1＝4．故选：A．6．（5分）“a＝0”是“（1+x+x2）（1+）4的常数项为1”的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由题意的常数项是1+4a+6a2＝1，解得：a＝0或a＝﹣，故a＝0是a＝0或a＝﹣的充分不必要条件，故选：B．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的n值为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：当m＝16时，不满足cos m＞0，执行循环体后，m＝8，n＝2；当m＝8时，不满足cos m＞0，执行循环体后，m＝4，n＝3；当m＝4时，不满足cos m＞0，执行循环体后，m＝2，n＝4；当m＝2时，不满足cos m＞0，执行循环体后，m＝1，n＝5；当m＝1时，满足cos m＞0，故输出的n＝5，故选：D．8．（5分）函数f（x）＝sin（πx+φ）（）的图象向左平移个单位后为偶函数，则f（x）的单调递增区间是（）A．，k∈ZB．，k∈ZC．，k∈ZD．，k∈Z【解答】解：函数f（x）＝sin（πx+φ）的图象向左平移个单位，得y＝f（x+）＝sin[π（x+）+φ]＝sin（πx+φ+）的图象；又y为偶函数，∴φ+＝+kπ，k∈Z；∴φ＝+kπ，k∈Z；|φ|＜，∴φ＝；∴f（x）＝sin（πx+），﹣+2kπ≤πx+≤+2kπ，k∈Z；解得﹣+2k≤x≤+2k，k∈Z；∴f（x）的单调递增区间是[﹣+2k，+2k]，k∈Z．故选：B．9．（5分）函数y＝ln|x|﹣x2的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：令y＝f（x）＝ln|x|﹣x2，其定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），因为f（﹣x）＝ln|x|﹣x2＝f（x），所以函数y＝ln|x|﹣x2为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除B，D，当x＞0时，f（x）＝lnx﹣x2，所以f′（x）＝﹣2x＝，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，函数f（x）递增，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）递减，故排除C，方法二：当x→+∞时，函数y＜0，故排除C，故选：A．10．（5分）若l，m，n是不相同的空间直线，α，β是不重合的两个平面，则下列命题正确的是（）A．l⊥α，m⊥β，l⊥m⇒α⊥βB．l∥m，m⊆α⇒l∥αC．l⊆α，m⊆α，l∥β，m∥β⇒α∥βD．l⊥n，m⊥n⇒l∥m【解答】解：由l，m，n是不相同的空间直线，α，β是不重合的两个平面，知：在A中：l⊥α，m⊥β，l⊥m，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故A正确；在B中：l∥m，m⊆α⇒l∥α或l⊂α，故B错误；在C中：l⊆α，m⊆α，l∥β，m∥β⇒α与β相交或平行，故C错误；在D中：l⊥n，m⊥n⇒l与m相交、平行或异面，故D错误．故选：A．11．（5分）已知抛物线W：y2＝4x的焦点为F，点P是圆O：x2+y2＝r2（r＞0）与抛物线W的一个交点，点A（﹣1，0），则当最小时，圆心O到直线PF的距离是（）A．B．1C．D．【解答】解：过P作抛物线的准线的垂线PM，M为垂足，则|PF|＝|PM|，则＝＝sin∠P AM，∴当P A与抛物线相切时，∠P AM取得最小值，故而取得最小值．设直线P A的方程为y＝k（x+1），代入抛物线方程得：k2x2+（2k2﹣4）x+k2＝0，令△＝（2k2﹣4）2﹣4k4＝0得k2＝1．此时方程为x2﹣2x+1＝0，解得x＝1，不妨设P在第一象限，则P（1，2），直线PF的方程为x＝1．∴O到PF的距离为1．故选：B．12．（5分）函数，若方程f（x）＝k有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是（）A．B．[5，6）C．（5，6）D．【解答】解：根据函数，画出函数图象：∵f（x1）＝f（x2）＝f（x3），且x1＜x2＜x3，∴﹣log5x1＝log5x2＝﹣2x3+12，∴log5（x1x2）＝0，0＜﹣2x3+12≤1，解得x1x2＝1，≤x3＜6，∴x1x2x3的取值范围是[，6），故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量＝（2，4），＝（﹣1，m），且与﹣2平行，则m等于﹣2．【解答】解：∵向量＝（2，4），＝（﹣1，m），∴＝（2，4）﹣（﹣2，2m）＝（4，4﹣2m），∵与﹣2平行，∴，解得m＝﹣2．故答案为：﹣2．14．（5分）△ABC中．角A，B，C的对边分别是a，b，c．若sin B＝2sin C．且a＝，A＝，则c＝．【解答】解：在△ABC中，sin B＝2sin C．利用正弦定理得：b＝2c．由于：a＝，A＝，则：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，整理得：14＝b2+c2+bc，所以：，整理得：14＝4c2+c2+2c2＝7c2，解得：c＝，故答案为：15．（5分）已知双曲线C：的左、右焦点分别是F1，F2，点P（5，1）满足|PF1|﹣|PF2|＝6，则双曲线C的离心率是．【解答】解：双曲线C：的左、右焦点分别是F1，F2，点P（5，1）满足|PF1|﹣|PF2|＝6，可知P在双曲线上，可得，解得b＝，∵a＝3，可得：c＝，所以：e＝＝＝．故答案为：．16．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是．【解答】解：根据三视图知，该几何体是侧面P AB⊥底面ABC的三棱锥，如图所示；结合图中数据知，该三棱锥外接球的球心O在PD上，设DO＝a，则＝a2+52，解a＝；∴外接球的半径为R＝PO＝5﹣＝，∴外接球的体积为V＝•＝．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+1＝S n+n+1（n＝1，2，3…），a1＝1．（1）求证：{a n+1}为等比数列；（2）数列{a n}中是否存在不同的三项，适当排列顺序后构成一个等差数列？并说明理由．【解答】（1）证明：a n+1＝S n+n+1，n≥2时，可得：a n+1﹣a n＝S n+n+1﹣（S n﹣1+n），化为：a n+1＝2a n+1，a n+1+1＝2（a n+1），n＝1时，a2＝a1+2＝3，∴a2+1＝2（a1+1），∴{a n+1}为等比数列，首项为2，公比为2．（2）解：由（1）可得：a n+1＝2n，可得a n＝2n﹣1．可知：数列{a n}单调递增．假设数列{a n}中存在不同的三项，a m，a k，a n，m，k，n∈N*，m＜k＜n．适当排列顺序后构成一个等差数列，必然是a m，a k，a n是等差数列．∴2a k＝a m+a n，∴2（2k﹣1）＝2m﹣1+2n﹣1，化为：2k+1﹣m＝1+2n﹣m．而左边为偶数，右边为奇数．因此不成立，故假设不成立．因此数列{a n}中不存在不同的三项，适当排列顺序后构成一个等差数列．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，，AD＝CD＝2，P A＝PC，，AB⊥AD，平面P AD⊥平面ABCD．（1）求证：PD⊥平面ABCD；（2）若PD＝3，求直线CD与平面P AB所成角的正弦值．【解答】证明：（1）∵AB⊥AD，平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD∴AB⊥平面P AD，∵P A⊂平面P AD，∴AB⊥PD，∵，AD＝CD＝2，P A＝PC，∴BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD，∵PC⊂平面PCD，∴BC⊥PD，∵AB∩BC＝B，∴PD⊥平面ABCD．解：（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，过A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，∵PD＝3，∴C（，3，0），D（0，2，0），A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，2，3），＝（，1，0），＝（0，2，3），＝（2，0，0），设平面P AB的法向量＝（x，y，z），则，取y＝3，得＝（0，3，﹣2），设直线CD与平面P AB所成角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线CD与平面P AB所成角的正弦值为．19．（12分）随着人们对交通安全的重视，安全驾驶已成为了社会广泛关注的问题．交通管理部门调取了大量数据，得到以下散点分布图其中y表示“反应距离”，指的是驾驶员从作出反应（刹车）到车辆停止滑行的距离（单位：米），x表示驾驶员作出反应的瞬间车辆速度的平方（单位：米2/秒2）．其中，i＝1，2，…，7，．（1）由散点图判断：y＝ax+b和哪个更适合于模型？（直接写出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果和表中的数据，建立y关于x的回归方程；（3）当驾驶者看到前方30米处出现行人并刹车，根据（2）中你得到的方程，请说明此时驾驶者的速度满足什么条件才能避免这次车祸？附：对于一组数据（x1，x1），（x2，x2），…，（x n，x n），其中回归方程y＝α+βx的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．【解答】解：（1）由散点图判断：y＝ax+b更适合于模型；（2）根据（1）的判断结果，利用表中的数据，＝519.7143，＝43.1727，（﹣x i）（﹣y i）＝28486，＝332350，∴＝＝≈0.026；＝﹣＝43.1727﹣0.026×519.7143≈29.66，∴y关于x的回归方程＝0.026x+29.66；（3）令，＝0.026x+29.66≤30，解得x≤13.08；即当驾驶者看到前方30米处出现行人并刹车，此时驾驶者的速度小于或等于13.08米2/秒2才能避免这次车祸．20．（12分）已知左焦点为F（﹣1，0）的椭圆C：（a＞b＞0）经过点A（2，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l与椭圆C分别交于M、N（M、N在x轴异侧），M关于长轴对称的点为B （不与N重合），直线x＝﹣4分别与x轴，AB，AN交于T、P、Q．若∠TQF＝∠TFP，求证：直线l经过定点．【解答】解：（1）由题意可知：c＝1，a＝2，则b2＝a2﹣c2＝3，∴椭圆方程为：，（2）设直线l：y＝kx+b，点M（x1，y1），N（x2，y2），B（x1，﹣y1），P（﹣4，y P），Q（﹣4，y Q），，整理得：（3+4k2）x2+8kbx+4b2﹣12＝0，x1+x2＝﹣，x1x2＝，在Rt△PTF与Rt△FTQ，∠TQF＝∠TFP，则Rt△PTF∽Rt△FTQ，∴＝，则|QT|•|TP|＝|TF|2，即y P y Q＝9，过点N作ND⊥x轴，交x轴于点D，则△ADN∽△ATQ，有＝，即＝，同理可得：＝，两式相乘，则＝4，整理得：4﹣2（x1+x2）+x1x2+4y1y2＝0，∴4﹣2（x1+x2）+x1x2+4[k2x1x2+kb（x1+x2）+b2]＝0，整理得：b2+kb﹣2k2＝0，即（b+2k）（b﹣k）＝0，解得：b＝﹣2k（舍去），b＝k，则直线l方程：y＝k（x+1），∴直线l恒过点（﹣1，0）．21．（12分）已知函数．（1）若函数在处有最大值，求a的值；（2）当a≤e时，求函数f（x）的零点的个数．【解答】解：（1）f′（x）＝﹣（x＞0），若f（x）在处有最大值，则f（x）在x＝处取极大值，故f′（）＝﹣e＝0，解得：a＝e；（2）f′（x）＝﹣（x＞0）．（i）当a＝0时，f（x）＝﹣，因为f（x）＜0，所以函数f（x）的零点的个数为0；…………………………（6分）（ii）当a＜0时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在（0，+∞）内是减函数．所以函数f（x）至多有一个零点．取0＜x0＜min{e，}，则f（x0）＝aln2x0﹣＞aln2x0﹣e2＞0．因为f（）＝aln1﹣＝﹣＜0，所以函数f（x）的零点个数为1．…………………………（8分）（iii）当0＜a≤e时，令t＝2x，g（t）＝alnt﹣，显然，g（t）与f（x）的零点个数相等．令h（t）＝g′（t）＝﹣，则h′（t）＝﹣﹣＜0．所以h（t）在（0，+∞）内是减函数．取0＜t0＜min{e，a}，则h（t0）＝﹣＞﹣1＞0；取t1＞e a，则h（t1）＝﹣e＜﹣e a＝（1﹣e a）＜0．所以h（t）在（0，+∞）内有且只有一个实根，设为t a，且t∈（0，t a），h（t）＞0；t∈（t a，+∞），h（t）＜0．所以g（t）在（0，t a）内是增函数，在（t a，+∞）内是减函数，在t＝t a时，取得最大值g （t a）．①当a＝e时，由，可知：t a＝e，g（t a）＝0．所以g（t）的有且只有一个零点．所以当a＝e时，函数f（x）的零点个数为1．②由﹣e＝0可得：a＝e，因为（xe x）'＝e x+xe x，所以当x＞0时，（xe x）'＞0，即xe x是一个增函数．所以当0＜a＜e时，t a＜e．因为（lnx﹣1）′＝lnx+＝lnex，所以当x＞时，（lnx﹣1）′＞0，即lnx﹣1是增函数．所以当1＜t a＜e时，lnta﹣1＜lne﹣1＝0．又因为当0＜t a≤1时，lnta﹣1＜0，所以g（t a）＝lnt a﹣＝（lnta﹣1）＜0．所以函数g（t）的只有一个零点，即函数f（x）的零点个数为0．综上所述：当0≤a＜e时，函数f（x）的零点个数为0；当a＜0或a＝e时，函数f（x）的零点个数为1．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（12分）在极坐标系中设极点O到直线l的距离为2，由O点向直线l作垂线OA，垂足为A，射线OA的极坐标方程为（ρ≥0）．（1）求直线l的极坐标方程；（2）以极点O为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系．若点P 在直线l上，将向量按逆时针旋转，再伸缩为原来的λ（λ＞0）倍得到向量，使得．求动点M的轨迹C的直角坐标方程．【解答】解：（1）如图所示：极点O到直线l的距离为2，即：OA＝2，由极轴到OA的角为，∴∠BOA＝，则∠OBA＝，∠ABx＝，则直线l的斜率为：k＝﹣．在△OBC中，进一步求得：OC＝4，直线l的方程为：y＝﹣x+4，转化成极坐标方程为：ρsinθ+ρcosθ﹣4＝0，化简为：ρsin（θ+）＝2；（2）设M（ρ，θ），P（ρ′，θ′），由题意可得：，即，．而ρ′ρ＝8，即，∴，即，∵（ρ′，θ′）在ρsin（θ+）＝2上，∴ρ′sin（θ′+）＝2，则，即，∴，即．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣2|﹣1，不等式f（x）≤k的解集为[﹣5，1]．（1）求实数k的值；（2）若正数a，b满足，求2a+4b的最小值．【解答】解：（1）不等式f（x）≤k，即|2x+1|﹣|x﹣2|≤k+1，x≥2时，2x+1﹣x+2≤k+1，解得：x≤k﹣2，﹣＜x＜2时，2x+1+x﹣2≤k+1，解得：x≤，x≤﹣时，﹣2x﹣1+x﹣2≤k+1，解得：x≥﹣（k+4），而不等式的解集是[﹣5，1]，对应[﹣（k+4），]，故，解得：k＝1；（2）由（1）ab＝2，故2a+4b≥2＝8，当且仅当a＝2，b＝1时成立．。
【高考模拟】广西南宁市2018届高三第二次(4月)适应性测试_数学理(word版有答案)
2018届广西南宁市高三第二次（4月）适应性测试数学理第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|1}A x Z x =∈>-，2{|4}B x x =≤，则A B =I （ ） A ．(1,2]- B ．(1,2)- C ．{0,1,2} D ．{1,2}2.复数z 在复平面内表示的点Z 如图所示，则使得21z z g 是纯虚数的一个1z 是（ ）A ．43i +B ．34i +C ．43i -D ．34i -3.已知1cos 23α=，则2tan α=（ ） A ．23 B ．2 C ．34 D ． 124.右图为某市2017年3月21-27日空气质量指数（AQI ）柱形图，已知空气质量指数为0-50空气质量属于优，51-100空气质量属于良好，大于100均属不同程度的污染.在这一周内，下列结论中正确的是（ ）A ．空气质量优良的概率为57B ．空气质量不是良好的天数为6 C.这周的平均空气质量为良好 D ．前三天AQI 的方差大于后四天AQI 的方差5.设实数x ，y 满足不等式组20302x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A ．4B ．5 C.6 D ．106.“0a =”是“24(1)(1)a x x x+++的常数项为1”的（ ） A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C.充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 7.执行如图所示的程序框图，则输出的n 值为（ ）A ．2B ．3 C.4 D ．5 8.函数()sin()f x x πϕ=+（||2πϕ<）的图像向左平移13个单位后为偶函数，则()f x 的单调递增区间是（ ）A ．21(2,2)33k k ππππ-+，k Z ∈ B ．21(2,2)33k k -+,k Z ∈ C.57(,)2424k k ππππ-+，k Z ∈ D ．14(2,2)33k k ++,k Z ∈9.函数2ln ||y x x =-的图象大致为（ ）A ．B ． C. D ．10.若l ，m ，n 是不相同的空间直线，α，β是不重合的两个平面，则下列命题正确的是（ ） A ．l a ⊥，m β⊥，l m αβ⊥⇒⊥ B ．l m P ，m l αα⊆⇒P C.l α⊆，m α⊆，l βP ，m βαβ⇒P P D ．l n ⊥，m n l m ⊥⇒P11.已知抛物线:W 24y x =的焦点为F ，点P 是圆:O 222x y r +=（0r >）与抛物线W 的一个交点，点(1,0)A -，则当||||PF PA 最小时，圆心O 到直线PF 的距离是（ ） A 2 B ．2．1212.函数5|log |,05()212,5x x f x x x <≤⎧=⎨-+>⎩，若方程()f x k =有三个不同的零点1x ，2x ，3x ，则123x x x 的取值范围是（ ） A ．11[,6)2 B ．[5,6) C.(5,6) D ．11(5,]2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量(2,4)a =，(1,)b m =-，且a 与2a b -平行，则m 等于 ． 14.ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sin 2sin B C =，且14a =，23A π=，则c = ．15.已知双曲线:C 22219x y b -=的左、右焦点分别是1F ，2F ，点(5,1)P 满足12||||6PF PF -=，则双曲线C 的离心率是 ．16.某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11n n a S n +=++（1,2,3n =L ），11a =. （1）求证：{1}n a +为等比数列；（2）数列{}n a 中是否存在不同的三项，适当排列顺序后构成一个等差数列？并说明理由. 18. 如图，四棱锥P ABCD -中，23AB BC ==，2AD CD ==，PA PC =，3ABC π∠=，AB AD ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD .（1）求证：PD ⊥平面ABCD ；（2）若3PD =，求直线CD 与平面PAB 所成角的正弦值.19. 随着人们对交通安全的重视，安全驾驶已成为了社会广泛关注的问题.交通管理部门调取了大量数据，得到以下散点分布图其中y 表示“反应距离”，指的是驾驶员从作出反应(刹车)到车辆停止滑行的距离(单位: 米)，x 表示驾驶员作出反应的瞬间车辆速度的平方(单位: 米2/秒2).xyw519.714343.172722.2857721()ii x x =-∑721()ii w w =-∑71()()iii x x y y =--∑71()()iii w w y y =--∑332350 161.4286 28486 618.5575其中i i w x =1,2,,7i =L ，7117i w w =∑.(1) 由散点图判断: y ax b =+和y x b = 哪个更适合于模型? (直接写出判断即可，不必说明理由)(2) 根据(1)的判断结果和表中的数据，建立y 关于x 的回归方程;(3) 当驾驶者看到前方30米处出现行人并刹车，根据(2)中你得到的方程，请说明此时驾驶者的速度满足什么条件才能避免这次车祸?附：对于一组数据11(,)x x ，22(,)x x ，…，(,)n n x x ，其中回归方程y x αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()()()niii nii x x y y x x β==--=-∑∑，y x αβ=-.20. 已知左焦点为(1,0)F -的椭圆:C 22221x y a b+=（0a b >>）经过点(2,0)A .（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l 与椭圆C 分别交于M 、N （M 、N 在x 轴异侧），M 关于长轴对称的点为B （不与N 重合），直线4x =-分别与x 轴，AB ，AN 交于T 、P 、O .TQF TFP ∠=∠，求证：直线l 经过定点.21. 已知函数2()ln 2xef x a x e =-.（1）若函数2()ln 2x ef x a x e=-在2ex =处有最大值，求a 的值； （2）当a e ≤时，求函数()f x 的零点的个数.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中设极点O 到直线l 的距离为2，由O 点向直线l 作垂线OA ，垂足为A ，射线OA 的极坐标方程为6πθ=（0ρ≥）.(1) 求直线l 的极坐标方程；(2) 以极点O 为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系.若点P 在直线l 上，将向量OP uuu r 按逆时针旋转2π，再伸缩为原来的λ（0λ>）倍得到向量OM u u u u r ，使得8OP OM ⨯=u u u r u u u u r .求动点M 的轨迹C 的直角坐标方程. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|21||2|1f x x x =+---，不等式()f x k ≤的解集为[5,1]-. （1）求实数k 的值；（2）若正数a ，b k =，求24a b +的最小值.。
广西2018届高三第二次模拟数学(理)试题含答案
广西2018届高三第二次模拟数学（理）试题含答案广西区2018年3月高三年级第二次高考模拟联合考试数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合2{|20}A x x =->，{|0}B x x =>，则AB =（ ）A ．(0B ．(2)(0)-∞-+∞，， C ．(2)+∞ D ．(2)(0)-∞+∞，，2.复数13ii -=+ （ ） A ．931010i - B ．131010i + C ．931010i + D ．131010i - 3. 以下关于双曲线M ：228x y -=的判断正确的是（ ） A ．M 的离心率为2 B ．M 的实轴长为2C.M 的焦距为16 D ．M 的渐近线方程为y x =± 4.若角α 的终边经过点(123)-， ，则tan()3πα+= （ ）A ．7-B ．37-335．35 5.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的圆的半径为2，则该几何体的体积为（ ）A ．51296π-B ．296 C.51224π- D ．5126.设x ，y 满足约束条件330280440x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪+-⎩≥≤≥，则3z x y =+的最大值是（ ）A ．9B ．8 C.3 D ．47.执行如图所示的程序框图，若输入的11k =，则输出的S =（ ）A ．12B ．13 C.15 D ．188.我国南宋著名数学家秦九韶发现了三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”，设ABC △三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积公式”为2222221[()]42a cb S ac +-=-.若2sin 24sin a C A =，2(sin sin )()(27)sin a C B c b a A -+=-，则用“三斜求积公式”求得的S =（ ）AB 155156 D 1579.某种产品的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于100 的产品为优质产品.现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100 件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值（都在区间[90110]， 内），将这些数据分成4 组：[9095)， ，[95100)， ，[100105)， ，[105110]， ，得到如下两个频率分布直方图：已知这2 种配方生产的产品利润y （单位：百元）与其质量指标值t 的关系式均为19509510011001052105t t y t t -<⎧⎪<⎪=⎨<⎪⎪⎩，，≤，≤，≥.若以上面数据的频率作为概率，分别从用A 配方和B 配方生产的产品中随机抽取一件，且抽取的这2 件产品相互独立，则抽得的这两件产品利润之和为0 的概率为（ ）A ．0.125B ．0.195 C.0.215 D ．0.235 10. 设38a =，0.5log 0.2b =，4log 24c =，则（ ）A ．a c b <<B ．a b c << C.b a c << D ．b c a << 11. 将函数sin 2cos2y x x =+的图象向左平移ϕ（02πϕ<<）个单位长度后得到()f x 的图象，若()f x 在5()4ππ，上单调递减，则ϕ的取值范围为（ ） A ．3()88ππ，B ．()42ππ， C.3[]88ππ， D ．[)42ππ， 12.过圆P ：221(1)4x y ++=的圆心P 的直线与抛物线C ：23y x = 相交于A ，B 两点，且3PB PA =，则点A 到圆P 上任意一点的距离的最大值为（ ） A ．116 B ．2 C.136 D ．73第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量()AB m n =， ，(21)BD =， ，(38)AD =， ，则mn = ． 14.71(4)2x - 的展开式中3x 的系数为 ． 15. 若函数32()3f x x x a =--（0a ≠）只有2个零点，则a = ． 16.在等腰三角形ABC 中，23A π∠=，23AB =，将它沿BC 边上的高AD 翻折，使BCD △ 为正三角形，则四面体ABCD 的外接球的表面积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和n S ，11S +，3S ，4S 成等差数列，且1a ，2a ，5a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若4S ，6S ，10S 成等比数列，求n 及此等比数列的公比.18. 4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解高三学生课外阅读情况，（1）从参加问卷调查的 名学生中随机抽取两名，求这两名学生来自同一个小组的概率；（2）在参加问卷调查的10 名学生中，从来自甲、丙两个小组的学生中随机抽取两名，用X 表示抽得甲组学生的人数，求X 的分布列及数学期望. 19. 如图，在正方体1111ABCD A B C D - 中，F ，G 分别是棱1CC ，1AA 的中点，E 为棱AB 上一点，113B M MA = 且GM ∥ 平面1B EF .（1）证明：E 为AB 的中点；（2）求平面1B EF 与平面11ABC D 所成锐二面角的余弦值.20. 已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >> ）的离心率3e =，直线310x y -= 被以椭圆C 的短轴3（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(40)M ， 的直线l 交椭圆于A ，B 两个不同的点，且MA MB λ=⋅ ，求λ 的取值范围.21. 已知函数3()ln(1)ln(1)(3)f x x x k x x =+---- （k ∈R ）（1）当3k = 时，求曲线()y f x = 在原点O 处的切线方程； （2）若()0f x > 对(01)x ∈， 恒成立，求k 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin 23cos 0ρθθ-=. （1）写出直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点(01)P ，，点(30)Q ，直线l 过点Q 且曲线C 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，求PM的值.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()23f x x x =-++. （1）求不等式()15f x ≤的解集；（2）若2()x a f x -+≤对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.广西区2018年3月高三年级第二次高考模拟联合考试数学参考答案（理科）一、选择题1-5:DADBC 6-10:ACDBA 11、12：CC 二、填空题13.7 14.140- 15.4- 16.15π 三、解答题 17. 1）设数列{}n a 的公差为d由题意可知3142215210S S S a a a d =++⎧⎪=⎨⎪≠⎩，整理得1112a d a =⎧⎨=⎩ ，即112a d =⎧⎨=⎩所以21na n =-（2）由（1）知21n a n =- ，∴2n S n = ，∴416S = ，836S = ，又248nS S S= ，∴22368116n == ，∴9n = ，公比8494S q S ==18.由已知得，问卷调查中，从四个小组中抽取的人数分别为3 ，4 ，2 ，1 ， 从参加问卷调查的10 名学生中随机抽取两名的取法共有21045C = 种，这两名学生来自同一小组的取法共有22234210C C C ++= 种.所以所求概率102459P == （2）由（1）知，在参加问卷调查的10 名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为3 ，2 .X 的可能取值为0 ，1 ，2 ，22251(0)10C P X C === ，1132253(1)5C C P X C === ，23253(2)10C P X C === .所以X 的分布列为()012105105E X =⨯+⨯+⨯=19.（1）证明：取11A B 的中点N ，连接AN ， 因为1=3B M MA ，所以M 为1A N 的中点，又G 为1AA 的中点，所以GM AN ∥ ， 因为GM ∥ 平面1B EF ，GM ⊂ 平面11ABB A ，平面11ABB A 平面11B EFB E =所以1GM B E ∥ ，即1AN B E ∥ ，又1B N AE ∥ ，所以四边形1AEB N 为平行四边形，则1AEB N = ，所以E 为AB 的中点.（2）解：以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz - ，不妨令正方体的棱长为2 ， 则1(222B ，，） ，(210)E ，， ，(021)F ，， ，1(202)A ，， ，可得1(012)B E =--，， ，(211)EF =-，， ，设()m x y z =，， 是平面1B EF 的法向量，则12020m B E y z m EF x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，令2z = ，得(142)m =--，， 易得平面11ABC D 的一个法向量为1(202)n DA ==，，所以42cos422221m n m n m n⋅===⨯， 故所求锐二面角的余弦值为424220.解：（1）因为原点到直线310x -=的距离为12， 所以22213()(2b += （0b > ），解得1b = . 又22222314c b e a a ==-= ，得2a =所以椭圆C 的方程为2214x y += . （2） 当直线l 的斜率为0 时，12MA MB λ=⋅=当直线l 的斜率不为0 时，设直线l ：4x my =+ ，11()A x y ， ，22()B x y ， ，联立方程组22414x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，得22(4)8120m y my +++=由22=6448(4)0mm ∆-+> ，得212m >，所以122124y y m =+2221122212(1)31112(1)44m MA MB m m y m m λ+=⋅=++==-++由212m > ，得2330416m <<+ ，所以39124λ<< . 综上可得：39124λ<≤ ，即39(12]4λ∈， 21.解：（1）当3k = 时，211()9(1)11f x x x x'=+--+- ，∴(0)11f '= 故曲线()y f x = 在原点O 处的切线方程为11y x =（2）22223(1)()1k x f x x+-'=- 当(01)x ∈， 时，22(1)(01)x-∈， ，若23k -≥ ，2223(1)0k x +-> ，则()0f x '> ，∴()f x 在(01)， 上递增，从而()(0)0f x f >= .若23k <-，令2()01(01)3f x x k '=⇒=--， ，当2(01)3x k∈--，时，()0f x '< ，当1)x ∈ 时，()0f x '> ，∴min 2()(1)(0)03f x f f k=--<= 则23k <-不合题意. 故k 的取值范围为2[)3-+∞， 22.解：（1）由直线l 的参数方程消去t ，得l 的普通方程为sin cos cos 0x y ααα-+= ， 由2sin23cos 0ρθθ-= 得22sin 23cos 0ρθρθ-=所以曲线C 的直角坐标方程为223y x =（2）易得点P 在l ，所以3tan 30PQ k α===-，所以56πα= 所以l 的参数方程为32112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ ， 代入223y x = 中，得21640t t ++= .设A ，B ，M 所对应的参数分别为1t ，2t ，0t . 则12082t t t +==- ，所以08PM t == 23.解：（1）因为213()532212x x f x x x x --<-⎧⎪=-⎨⎪+>⎩，，≤≤， ，13x <-≤所以当3x <- 时，由()15f x ≤ 得83x -<-≤ ； 当32x -≤≤ 时，由()15f x ≤ 得32x -≤≤ ； 当2x > 时，由()15f x ≤ 得27x <≤ 综上，()15f x ≤ 的解集为[87]-， （2）（方法一）由2()x a f x -+≤ 得2()a x f x +≤ ，因为()(2)(3)5f x x x --+=≥ ，当且仅当32x -≤≤ 取等号，所以当32x -≤≤ 时，()f x 取得最小值5 .所以，当0x = 时，2()x f x +取得最小值5 ，故5a ≤ ，即a 的取值范围为(5]-∞， （方法二）设2()g x xa =-+ ，则max ()(0)g x g a == ，当32x -≤≤ 时，()f x 的取得最小值5 ，所以当0x = 时，2()x f x +取得最小值5 ，故5a ≤ ，即a 的取值范围为(5]-∞，。
2018年广西高三-高考模拟二理科数学
2018年高考真题模拟卷（含答案）理科数学 2018年高三广西第二次模拟考试理科数学单选题（本大题共12小题，每小题____分，共____分。
）的值是（）A.B.C.D.设为虚数单位，复数，则的共轭复数在复平面中对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限已知向量，，则＝（）A.B.C.D.已知命题；命题；则下列命题为真命题的是（）A.B.C.D.已知，且为第二象限角，则＝（）A.B.C.D.已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，过的直线交椭圆于、两点，若的周长为，则椭圆的方程为（）A.B.C.D.若，，则（）A.B.C.D.《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为步和步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）A.B.C.D.已知的三个内角、、所对的边长分别是、、，且，若将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则的解析式为（）A.B.C.D.已知函数在处有极值，则＝（）A.B.C.D.一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（）A.B.C.D.设函数,若关于的方程恰好有六个不同的实数解,则实数的取值范围为（）A.B.C.D.填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。
）已知，若在上投影为，则函数为奇函数，则已知，则已知为常数，对任意,均有恒成立.下列说法：①的周期为6；②若为常数）的图像关于直线对称，则；③若且，则必有④已知定义在上的函数对任意均有成立，且当时，又函数为常数），若存在,使得成立，则的取值范围是其中说法正确的是（填写所有正确结论的编号）简答题（综合题）（本大题共7小题，每小题____分，共____分。
）(本小题满分12分)已知Sn＝na1＋(n－1) a2＋…＋2an－1＋an.(1)若是等差数列，且S1＝5，S2＝18，求an；(2)若是等比数列，且S1＝3，S2＝15，求Sn.(本小题满分12分)某互联网理财平台为增加平台活跃度决定举行邀请好友拿奖励活动，规则是每邀请一位好友在该平台注册，并购买至少1万元的12月定期，邀请人可获得现金及红包奖励，现金奖励为被邀请人理财金额的1%，且每邀请一位最高现金奖励为300元，红包奖励为每邀请一位奖励50元．假设甲邀请到乙、丙两人，且乙、丙两人同意在该平台注册，并进行理财，乙、丙两人分别购买1万元、2万元、3万元的12月定期的概率如下表：(1)求乙、丙理财金额之和不少于5万元的概率；(2)若甲获得奖励为X元，求X的分布列与数学期望．(本小题满分12分)如图15所示，PA与四边形ABCD所在平面垂直，且PA＝BC＝CD＝BD，AB＝AD，PD⊥DC.(1)求证：AB⊥BC；(2)若PA＝，E为PC的中点，设直线PD与平面BDE所成角为θ，求sinθ.(本小题满分12)已知椭圆右顶点与右焦点的距离为，短轴长为（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若三角形OAB的面积为求直线AB的方程。
2018年广西南宁市高考数学二模试卷及参考答案（理科）
2018年广西南宁市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x∈Z|x＞﹣1}，B＝{x|x22≤4}，则A∩B＝（）A．（﹣1，2]B．（﹣1，2）C．{0，1，2}D．{1，2}2．（5分）复数z在复平面内表示的点Z如图所示，则使得z2•z1是纯虚数的一个z1是（）A．4+3i B．3+4i C．4﹣3i D．3﹣4i3．（5分）已知，则tan2α＝（）A．B．2C．D．4．（5分）如图为某市2017年3月21﹣27日空气质量指数（AQI）柱形图，已知空气质量指数为0﹣50空气质量属于优，51﹣100空气质量属于良好，大于100均属不同程度的污染．在这一周内，下列结论中正确的是（）A．空气质量优良的概率为B．空气质量不是良好的天数为6C．这周的平均空气质量为良好D．前三天AQI的方差大于后四天AQI的方差第1页（共26页）5．（5分）设实数x，y满足不等式组，则z＝x+2y的最小值为（）A．4B．5C．6D．106．（5分）“a＝0”是“（1+x+x2）（1+）4的常数项为1”的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的n值为（）A．2B．3C．4D．58．（5分）函数f（x）＝sin（πx+φ）（）的图象向左平移个单位后为偶函数，则f（x）的单调递增区间是（）A．，k∈ZB．，k∈Z C．，k∈ZD．，k∈Z9．（5分）函数y＝ln|x|﹣x2的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）若l，m，n是不相同的空间直线，α，β是不重合的两个平面，则下列命题正确的是（）A．l⊥α，m⊥β，l⊥m⇒α⊥βB．l∥m，m⊆α⇒l∥αC．l⊆α，m⊆α，l∥β，m∥β⇒α∥βD．l⊥n，m⊥n⇒l∥m11．（5分）已知抛物线W：y2＝4x的焦点为F，点P是圆O：x2+y2＝r2（r＞0）与抛物线W的一个交点，点A（﹣1，0），则当最小时，圆心O到直线PF的距离是（）A．B．1C．D．12．（5分）函数，若方程f（x）＝k有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是（）A．B．[5，6）C．（5，6）D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量＝（2，4），＝（﹣1，m），且与﹣2平行，则m等于．14．（5分）△ABC中．角A，B，C的对边分别是a，b，c．若sin B＝2sin C．且a＝，A＝，则c＝．15．（5分）已知双曲线C：的左、右焦点分别是F1，F2，点P（5，1）满足|PF1|﹣|PF2|＝6，则双曲线C的离心率是．16．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+1＝S n+n+1（n＝1，2，3…），a1＝1．（1）求证：{a n+1}为等比数列；（2）数列{a n}中是否存在不同的三项，适当排列顺序后构成一个等差数列？并说明理由．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，，AD＝CD＝2，P A＝PC，，AB⊥AD，平面P AD⊥平面ABCD．（1）求证：PD⊥平面ABCD；（2）若PD＝3，求直线CD与平面P AB所成角的正弦值．19．（12分）随着人们对交通安全的重视，安全驾驶已成为了社会广泛关注的问题．交通管理部门调取了大量数据，得到以下散点分布图其中y表示“反应距离”，指的是驾驶员从作出反应（刹车）到车辆停止滑行的距离（单位：米），x表示驾驶员作出反应的瞬间车辆速度的平方（单位：米2/秒2）．519.714343.172722.2857332350161.428628486618.5575其中，i＝1，2，…，7，．（1）由散点图判断：y＝ax+b和哪个更适合于模型？（直接写出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果和表中的数据，建立y关于x的回归方程；（3）当驾驶者看到前方30米处出现行人并刹车，根据（2）中你得到的方程，请说明此时驾驶者的速度满足什么条件才能避免这次车祸？附：对于一组数据（x1，x1），（x2，x2），…，（x n，x n），其中回归方程y＝α+βx的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．20．（12分）已知左焦点为F（﹣1，0）的椭圆C：（a＞b＞0）经过点A（2，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l与椭圆C分别交于M、N（M、N在x轴异侧），M关于长轴对称的点为B（不与N重合），直线x＝﹣4分别与x轴，AB，AN交于T、P、Q．若∠TQF＝∠TFP，求证：直线l经过定点．21．（12分）已知函数．（1）若函数在处有最大值，求a的值；（2）当a≤e时，求函数f（x）的零点的个数．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（12分）在极坐标系中设极点O到直线l的距离为2，由O点向直线l作垂线OA，垂足为A，射线OA的极坐标方程为（ρ≥0）．（1）求直线l的极坐标方程；（2）以极点O为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系．若点P 在直线l上，将向量按逆时针旋转，再伸缩为原来的λ（λ＞0）倍得到向量，使得．求动点M的轨迹C的直角坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣2|﹣1，不等式f（x）≤k的解集为[﹣5，1]．（1）求实数k的值；（2）若正数a，b满足，求2a+4b的最小值．2018年广西南宁市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A ＝{x ∈Z |x ＞﹣1}，B ＝{x |x 2≤4}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，2]B ．（﹣1，2）C ．{0，1，2}D ．{1，2}【解答】解：B ＝{x |﹣2≤x ≤2}，且A ＝{x ∈Z |x ＞﹣1}； ∴A ∩B ＝{0，1，2}． 故选：C ．2．（5分）复数z 在复平面内表示的点Z 如图所示，则使得z 2•z 1是纯虚数的一个z 1是（ ）A ．4+3iB ．3+4iC ．4﹣3iD ．3﹣4i【解答】解：由图可得：z ＝﹣2+i ，设z 1＝a +bi （a ，b ∈R ）．z 2•z 1＝（﹣2+i ）2（a +bi ）＝（3﹣4i ）（a +bi ）＝3a +4b +（3b ﹣4a ）i 为纯虚数， 则3a +4b ＝0，3b ﹣4a ≠0． 则z 1＝4﹣3i ． 故选：C ． 3．（5分）已知，则tan 2α＝（ ） A ． B ．2C ．D ．【解答】解：∵，可得：cos 2α﹣sin 2α＝，又∵cos 2α+sin 2α＝1，∴可得cos 2α＝，sin 2α＝， ∴tan 2α＝＝．故选：D ．4．（5分）如图为某市2017年3月21﹣27日空气质量指数（AQI）柱形图，已知空气质量指数为0﹣50空气质量属于优，51﹣100空气质量属于良好，大于100均属不同程度的污染．在这一周内，下列结论中正确的是（）A．空气质量优良的概率为B．空气质量不是良好的天数为6 C．这周的平均空气质量为良好D．前三天AQI的方差大于后四天AQI的方差【解答】解：由空气质量指数（AQI）柱形图得：在A中，空气质量优良的概率为p＝，故A错误；在B中，空气质量不是良好的天数为6天，故B正确；在C中，这周的平均空气质量指数大于100，属不同程度的污染，故C错误；在D中，前三天AQI的方差小于后四天AQI的方差，故D错误．故选：B．5．（5分）设实数x，y满足不等式组，则z＝x+2y的最小值为（）A．4B．5C．6D．10【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如图所示；由图形知，当目标函数z＝x+2y过点A时，z取得最小值；由，求得A（2，1），∴z的最小值为2+2×1＝4．故选：A ．6．（5分）“a ＝0”是“（1+x +x 2）（1+）4的常数项为1”的（ ） A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【解答】解：由题意的常数项是1+4a +6a 2＝1，解得：a ＝0或a ＝﹣，故a ＝0是a ＝0或a ＝﹣的充分不必要条件， 故选：B ．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的n 值为（ ）A．2B．3C．4D．5【解答】解：当m＝16时，不满足cos m＞0，执行循环体后，m＝8，n＝2；当m＝8时，不满足cos m＞0，执行循环体后，m＝4，n＝3；当m＝4时，不满足cos m＞0，执行循环体后，m＝2，n＝4；当m＝2时，不满足cos m＞0，执行循环体后，m＝1，n＝5；当m＝1时，满足cos m＞0，故输出的n＝5，故选：D．8．（5分）函数f（x）＝sin（πx+φ）（）的图象向左平移个单位后为偶函数，则f（x）的单调递增区间是（）A．，k∈ZB．，k∈Z C．，k∈ZD ．，k ∈Z【解答】解：函数f （x ）＝sin （πx +φ）的图象向左平移个单位， 得y ＝f （x +）＝sin[π（x +）+φ]＝sin （πx +φ+）的图象；又y 为偶函数，∴φ+＝+k π，k ∈Z ；∴φ＝+k π，k ∈Z ； |φ|＜，∴φ＝； ∴f （x ）＝sin （πx +）， ﹣+2k π≤πx +≤+2k π，k ∈Z ； 解得﹣+2k ≤x ≤+2k ，k ∈Z ；∴f （x ）的单调递增区间是[﹣+2k ，+2k ]，k ∈Z ． 故选：B ．9．（5分）函数y ＝ln |x |﹣x 2的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：令y ＝f （x ）＝ln |x |﹣x 2，其定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）， 因为f （﹣x ）＝ln |x |﹣x 2＝f （x ），所以函数y ＝ln |x |﹣x 2为偶函数，其图象关于y 轴对称，故排除B ，D ， 当x ＞0时，f （x ）＝lnx ﹣x 2， 所以f ′（x ）＝﹣2x ＝，当x ∈（0，）时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）递增， 当x ∈（，+∞）时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）递减，故排除C ，方法二：当x →+∞时，函数y ＜0，故排除C ， 故选：A ．10．（5分）若l ，m ，n 是不相同的空间直线，α，β是不重合的两个平面，则下列命题正确的是（ ）A ．l ⊥α，m ⊥β，l ⊥m ⇒α⊥βB ．l ∥m ，m ⊆α⇒l ∥αC ．l ⊆α，m ⊆α，l ∥β，m ∥β⇒α∥βD ．l ⊥n ，m ⊥n ⇒l ∥m【解答】解：由l ，m ，n 是不相同的空间直线，α，β是不重合的两个平面，知： 在A 中：l ⊥α，m ⊥β，l ⊥m ，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故A 正确； 在B 中：l ∥m ，m ⊆α⇒l ∥α或l ⊂α，故B 错误；在C 中：l ⊆α，m ⊆α，l ∥β，m ∥β⇒α与β相交或平行，故C 错误； 在D 中：l ⊥n ，m ⊥n ⇒l 与m 相交、平行或异面，故D 错误． 故选：A ．11．（5分）已知抛物线W ：y 2＝4x 的焦点为F ，点P 是圆O ：x 2+y 2＝r 2（r ＞0）与抛物线W 的一个交点，点A （﹣1，0），则当最小时，圆心O 到直线PF 的距离是（ ）A ．B ．1C ．D ．【解答】解：过P 作抛物线的准线的垂线PM ，M 为垂足，则|PF |＝|PM |， 则＝＝sin ∠P AM ，∴当P A 与抛物线相切时，∠P AM 取得最小值，故而取得最小值．设直线P A 的方程为y ＝k （x +1），代入抛物线方程得：k 2x 2+（2k 2﹣4）x +k 2＝0， 令△＝（2k 2﹣4）2﹣4k 4＝0得k 2＝1． 此时方程为x 2﹣2x +1＝0，解得x ＝1，不妨设P 在第一象限，则P （1，2），直线PF 的方程为x ＝1． ∴O 到PF 的距离为1． 故选：B ．12．（5分）函数，若方程f（x）＝k有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是（）A．B．[5，6）C．（5，6）D．【解答】解：根据函数，画出函数图象：∵f（x1）＝f（x2）＝f（x3），且x1＜x2＜x3，∴﹣log5x1＝log5x2＝﹣2x3+12，∴log5（x1x2）＝0，0＜﹣2x3+12≤1，解得x1x2＝1，≤x3＜6，∴x1x2x3的取值范围是[，6），故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量＝（2，4），＝（﹣1，m ），且与﹣2平行，则m 等于 ﹣2 ． 【解答】解：∵向量＝（2，4），＝（﹣1，m ）， ∴＝（2，4）﹣（﹣2，2m ）＝（4，4﹣2m ），∵与﹣2平行， ∴，解得m ＝﹣2．故答案为：﹣2．14．（5分）△ABC 中．角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．若sin B ＝2sin C ．且a ＝，A ＝，则c ＝．【解答】解：在△ABC 中，sin B ＝2sin C ． 利用正弦定理得：b ＝2c ． 由于：a ＝，A ＝，则：a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ， 整理得：14＝b 2+c 2+bc ，所以：，整理得：14＝4c 2+c 2+2c 2＝7c 2， 解得：c ＝， 故答案为：15．（5分）已知双曲线C ：的左、右焦点分别是F 1，F 2，点P （5，1）满足|PF 1|﹣|PF 2|＝6，则双曲线C 的离心率是 ．【解答】解：双曲线C ：的左、右焦点分别是F 1，F 2，点P （5，1）满足|PF 1|﹣|PF 2|＝6， 可知P 在双曲线上，可得，解得b ＝，∵a ＝3，可得：c ＝，所以：e＝＝＝．故答案为：．16．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是．【解答】解：根据三视图知，该几何体是侧面P AB⊥底面ABC的三棱锥，如图所示；结合图中数据知，该三棱锥外接球的球心O在PD上，设DO＝a，则＝a 2+52，解a＝；∴外接球的半径为R＝PO＝5﹣＝，∴外接球的体积为V＝•＝．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +1＝S n +n +1（n ＝1，2，3…），a 1＝1．（1）求证：{a n +1}为等比数列；（2）数列{a n }中是否存在不同的三项，适当排列顺序后构成一个等差数列？并说明理由． 【解答】（1）证明：a n +1＝S n +n +1，n ≥2时，可得：a n +1﹣a n ＝S n +n +1﹣（S n ﹣1+n ）， 化为：a n +1＝2a n +1，a n +1+1＝2（a n +1）， n ＝1时，a 2＝a 1+2＝3，∴a 2+1＝2（a 1+1）， ∴{a n +1}为等比数列，首项为2，公比为2． （2）解：由（1）可得：a n +1＝2n，可得a n ＝2n﹣1． 可知：数列{a n }单调递增．假设数列{a n }中存在不同的三项，a m ，a k ，a n ，m ，k ，n ∈N *，m ＜k ＜n ． 适当排列顺序后构成一个等差数列，必然是a m ，a k ，a n 是等差数列． ∴2a k ＝a m +a n ，∴2（2k ﹣1）＝2m ﹣1+2n﹣1， 化为：2k +1﹣m＝1+2n ﹣m．而左边为偶数，右边为奇数． 因此不成立，故假设不成立．因此数列{a n }中不存在不同的三项，适当排列顺序后构成一个等差数列． 18．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，，AD ＝CD ＝2，P A ＝PC ，，AB ⊥AD ，平面P AD ⊥平面ABCD ． （1）求证：PD ⊥平面ABCD ；（2）若PD ＝3，求直线CD 与平面P AB 所成角的正弦值．【解答】证明：（1）∵AB⊥AD，平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD∴AB⊥平面P AD，∵P A⊂平面P AD，∴AB⊥PD，∵，AD＝CD＝2，P A＝PC，∴BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD，∵PC⊂平面PCD，∴BC⊥PD，∵AB∩BC＝B，∴PD⊥平面ABCD．解：（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，过A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，∵PD＝3，∴C（，3，0），D（0，2，0），A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，2，3），＝（，1，0），＝（0，2，3），＝（2，0，0），设平面P AB的法向量＝（x，y，z），则，取y＝3，得＝（0，3，﹣2），设直线CD与平面P AB所成角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线CD与平面P AB所成角的正弦值为．19．（12分）随着人们对交通安全的重视，安全驾驶已成为了社会广泛关注的问题．交通管理部门调取了大量数据，得到以下散点分布图其中y表示“反应距离”，指的是驾驶员从作出反应（刹车）到车辆停止滑行的距离（单位：米），x表示驾驶员作出反应的瞬间车辆速度的平方（单位：米2/秒2）．519.714343.172722.2857332350161.428628486618.5575其中，i＝1，2，…，7，．（1）由散点图判断：y＝ax+b和哪个更适合于模型？（直接写出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果和表中的数据，建立y关于x的回归方程；（3）当驾驶者看到前方30米处出现行人并刹车，根据（2）中你得到的方程，请说明此时驾驶者的速度满足什么条件才能避免这次车祸？附：对于一组数据（x1，x1），（x2，x2），…，（x n，x n），其中回归方程y＝α+βx的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．【解答】解：（1）由散点图判断：y＝ax+b更适合于模型；（2）根据（1）的判断结果，利用表中的数据，＝519.7143，＝43.1727，（﹣x i）（﹣y i）＝28486，＝332350，∴＝＝≈0.026；＝﹣＝43.1727﹣0.026×519.7143≈29.66，∴y关于x的回归方程＝0.026x+29.66；（3）令，＝0.026x+29.66≤30，解得x≤13.08；即当驾驶者看到前方30米处出现行人并刹车，此时驾驶者的速度小于或等于13.08米2/秒2才能避免这次车祸．20．（12分）已知左焦点为F （﹣1，0）的椭圆C ：（a ＞b ＞0）经过点A （2，0）．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l 与椭圆C 分别交于M 、N （M 、N 在x 轴异侧），M 关于长轴对称的点为B （不与N 重合），直线x ＝﹣4分别与x 轴，AB ，AN 交于T 、P 、Q ．若∠TQF ＝∠TFP ，求证：直线l 经过定点．【解答】解：（1）由题意可知：c ＝1，a ＝2，则b 2＝a 2﹣c 2＝3， ∴椭圆方程为：，（2）设直线l ：y ＝kx +b ，点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），B （x 1，﹣y 1），P （﹣4，y P ），Q （﹣4，y Q ）， ，整理得：（3+4k 2）x 2+8kbx +4b 2﹣12＝0，x 1+x 2＝﹣，x 1x 2＝，在Rt △PTF 与Rt △FTQ ，∠TQF ＝∠TFP ，则Rt △PTF ∽Rt △FTQ ，∴＝，则|QT |•|TP |＝|TF |2，即y P y Q ＝9，过点N 作ND ⊥x 轴，交x 轴于点D ，则△ADN ∽△ATQ ， 有＝，即＝，同理可得：＝，两式相乘，则＝4，整理得：4﹣2（x 1+x 2）+x 1x 2+4y 1y 2＝0，∴4﹣2（x 1+x 2）+x 1x 2+4[k 2x 1x 2+kb （x 1+x 2）+b 2]＝0，整理得：b 2+kb ﹣2k 2＝0，即（b +2k ）（b ﹣k ）＝0，解得：b ＝﹣2k （舍去），b ＝k ， 则直线l 方程：y ＝k （x +1）， ∴直线l 恒过点（﹣1，0）．21．（12分）已知函数． （1）若函数在处有最大值，求a 的值；（2）当a ≤e 时，求函数f （x ）的零点的个数．【解答】解：（1）f ′（x ）＝﹣（x ＞0），若f （x ）在处有最大值， 则f （x ）在x ＝处取极大值，故f ′（）＝﹣e ＝0，解得：a ＝e ；（2）f ′（x ）＝﹣（x ＞0）．（i ）当a ＝0时，f （x ）＝﹣，因为f （x ）＜0，所以函数f （x ）的零点的个数为0；…………………………（6分）（ii ）当a ＜0时，f ′（x ）＜0，所以函数f （x ）在（0，+∞）内是减函数．所以函数f （x ）至多有一个零点．取0＜x 0＜min {e ，}，则f （x 0）＝aln 2x 0﹣＞aln 2x 0﹣e 2＞0．因为f （）＝aln 1﹣＝﹣＜0，所以函数f （x ）的零点个数为1．…………………………（8分）（iii ）当0＜a ≤e 时，令t ＝2x ，g （t ）＝alnt ﹣，显然，g （t ）与f （x ）的零点个数相等．令h （t ）＝g ′（t ）＝﹣，则h ′（t ）＝﹣﹣＜0． 所以h （t ）在（0，+∞）内是减函数．取0＜t 0＜min {e ，a }，则h （t 0）＝﹣＞﹣1＞0；取t 1＞e a ，则h （t 1）＝﹣e ＜﹣e a ＝（1﹣e a）＜0． 所以h （t ）在（0，+∞）内有且只有一个实根，设为t a ，且t ∈（0，t a ），h （t ）＞0；t ∈（t a ，+∞），h （t ）＜0．所以g （t ）在（0，t a ）内是增函数，在（t a ，+∞）内是减函数，在t ＝t a 时，取得最大值g（t a ）．①当a ＝e 时，由，可知：t a ＝e ，g （t a ）＝0．所以g （t ）的有且只有一个零点．所以当a ＝e 时，函数f （x ）的零点个数为1．②由﹣e ＝0可得：a ＝e ， 因为（xe x ）'＝e x +xe x ，所以当x ＞0时，（xe x ）'＞0，即xe x 是一个增函数．所以当0＜a ＜e 时，t a ＜e ．因为（lnx ﹣1）′＝lnx +＝lnex ，所以当x ＞时，（lnx ﹣1）′＞0，即lnx ﹣1是增函数．所以当1＜t a ＜e 时，lnta ﹣1＜lne ﹣1＝0．又因为当0＜t a≤1时，lnta﹣1＜0，所以g（t a）＝lnt a﹣＝（lnta﹣1）＜0．所以函数g（t）的只有一个零点，即函数f（x）的零点个数为0．综上所述：当0≤a＜e时，函数f（x）的零点个数为0；当a＜0或a＝e时，函数f（x）的零点个数为1．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（12分）在极坐标系中设极点O到直线l的距离为2，由O点向直线l作垂线OA，垂足为A，射线OA的极坐标方程为（ρ≥0）．（1）求直线l的极坐标方程；（2）以极点O为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系．若点P 在直线l上，将向量按逆时针旋转，再伸缩为原来的λ（λ＞0）倍得到向量，使得．求动点M的轨迹C的直角坐标方程．【解答】解：（1）如图所示：极点O到直线l的距离为2，即：OA＝2，由极轴到OA的角为，∴∠BOA＝，则∠OBA＝，∠ABx＝，则直线l的斜率为：k＝﹣．在△OBC中，进一步求得：OC＝4，直线l的方程为：y＝﹣x+4，转化成极坐标方程为：ρsinθ+ρcosθ﹣4＝0，化简为：ρsin（θ+）＝2；（2）设M（ρ，θ），P（ρ′，θ′），由题意可得：，即，．而ρ′ρ＝8，即，∴，即，∵（ρ′，θ′）在ρsin（θ+）＝2上，∴ρ′sin（θ′+）＝2，则，即，∴，即．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣2|﹣1，不等式f（x）≤k的解集为[﹣5，1]．（1）求实数k的值；（2）若正数a，b满足，求2a+4b的最小值．【解答】解：（1）不等式f（x）≤k，即|2x+1|﹣|x﹣2|≤k+1，x≥2时，2x+1﹣x+2≤k+1，解得：x≤k﹣2，﹣＜x＜2时，2x+1+x﹣2≤k+1，解得：x≤，x≤﹣时，﹣2x﹣1+x﹣2≤k+1，解得：x≥﹣（k+4），而不等式的解集是[﹣5，1]，对应[﹣（k+4），]，故，解得：k＝1；（2）由（1）ab＝2，故2a+4b≥2＝8，当且仅当a＝2，b＝1时成立．百度文库——让每个人平等地提升自我附赠：数学考试技巧一、心理准备细心+认真=成功！1、知己知彼，百战百胜。
南宁市达标名校2018年高考二月数学模拟试卷含解析
南宁市达标名校2018年高考二月数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设复数z 满足z i i z i -=+，则z =（ ） A ．1 B ．-1 C ．1i - D ．1i +2．将一张边长为12cm 的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是( )A ．33263cmB ．36463cmC ．33223cmD ．36423cm 3．已知等差数列{}n a 的前13项和为52，则68(2)a a +-=（ ）A ．256B ．-256C ．32D ．-324．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 的直线与椭圆交于P 、Q 两点.若2PF Q ∆的内切圆与线段2PF 在其中点处相切，与PQ 相切于点1F ，则椭圆的离心率为（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．3 5．为得到的图象，只需要将的图象（ ）A ．向左平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向右平移个单位6． “完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．457．若函数()ln f x x =满足()()f a f b =，且0a b <<，则2244 42a b a b+-+的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．32D ．22 8．若复数z 满足()112i z i -=-+,则||Z =( )A ．2B ．32C ．10D ．129．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0n a >，1q >，3520a a +=，2664a a =，则5S =（ ） A ．48 B ．36 C ．42 D ．3110．关于函数()cos cos 2f x x x =+，有下列三个结论:①π是()f x 的一个周期；②()f x 在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③()f x 的值域为[]22-,.则上述结论中，正确的个数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．311．若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]12．正项等差数列{}n a 的前n 和为n S ，已知2375150a a a +-+=，则9S =（ ）A ．35B ．36C ．45D ．54二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广西南宁市高考数学二模试卷(理科)
广西南宁市高考数学二模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二下·石家庄期末) 为虚数单位，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高一上·平遥月考) 若函数是定义在上的减函数，则的取值范围为（）A .B .C .D .3. （2分）(2017·来宾模拟) 执行如图所示的程序框图，若输出s的值为11，那么输入的n值等于（）A . 5B . 6C . 7D . 84. （2分）给出下列四个结论：①若命题，则；② “(x-3)(x-4)=0”是“x-3=0”的充分而不必要条件；③命题“若m>0，则方程有实数根”的逆否命题为：“若方程没有实数根，则”；④若a>0,b>0,a+b=4，则的最小值为1．其中正确结论的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 45. （2分）一个直三棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A . 9B . 10C . 11D .6. （2分）函数（其中A>0,）的图象如图所示，为了得到g(x)=sin2x的图像，则只需将f(x)的图像（）A . 向右平移个长度单位B . 向右平移个长度单位C . 向左平移个长度单位D . 向左平移个长度单位7. （2分）(2017·深圳模拟) 直线l：kx+y+4=0（k∈R）是圆C：x2+y2+4x﹣4y+6=0的一条对称轴，过点A （0，k）作斜率为1的直线m，则直线m被圆C所截得的弦长为（）A .B .C .D . 28. （2分） (2016高一下·邵东期末) 如图是某同学在本学期的几次练习中数学成绩茎叶图，则中位数是（）A . 83，85 ．84B . 83或85C . 869. （2分） (2019高二上·南湖期中) 如图，扇形的圆心角为，半径为1，则该扇形绕所在直线旋转一周得到的几何体的表面积为（）A .B .C .D .10. （2分） (2015高三上·和平期末) 若变量x，y满足约束条件，则z=3x﹣4y的取值范围是（）A . [﹣11，3]B . [﹣11，﹣3]C . [﹣3，11]D . [3，11]11. （2分）(2017·河南模拟) 已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的交点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于M，N两点，若MR⊥l，垂足为R，且∠NRM=∠NMR，则直线MN的斜率为（）A . ±8B . ±4C . ±2D . ±212. （2分） (2017高二下·成都期中) 函数f（x）= 的单调递减区间是（）A . （0，e）B . （0，1），（1，e）C . （e，+∞）D . （﹣∞，e）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一上·邢台期末) 如图，面积为10的矩形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在矩形中随机撒一粒种子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为________．14. （1分） (2015·三门峡模拟) 设a= （2x+1）dx，则二项式（x﹣）6展开式中x2项的系数为________（用数字作答）．15. （1分） (2016高一下·珠海期末) 设 =（sinx，sinx）， =（﹣sinx，m+1），若• =m在区间（，）上有三个根，则m的范围为________．16. （1分）已知与的夹角为120°，若（+）⊥（﹣），且||=2，则在方向上的正射影的数量为________三、解答题 (共7题；共70分)17. （5分） (2019高三上·嘉兴期末) 在数列、中，设是数列的前项和，已知，，， .（Ⅰ）求和；（Ⅱ）若时，恒成立，求整数的最小值.18. （10分）(2017·黄冈模拟) 已知6只小白鼠有1只被病毒感染，需要通过对其化验病毒DNA来确定是否感染．下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染为止．方案乙：将6只分为两组，每组三个，并将它们混合在一起化验，若存在病毒DNA，则表明感染在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染为止；若结果不含病毒DNA，则在另外一组中逐个进行化验．（1）求依据方案乙所需化验恰好为2次的概率．（2）首次化验化验费为10元，第二次化验化验费为8元，第三次及其以后每次化验费都是6元，列出方案甲所需化验费用的分布列，并估计用方案甲平均需要化验费多少元？19. （15分） (2015高一上·秦安期末) 如图，PD⊥平面ABCD，DC⊥AD，BC∥AD，PD：DC：BC=1：1：．（1）若AD=DC，求异面直线PA，BC所成的角；（2）求PB与平面PDC所成角大小；（3）求二面角D﹣PB﹣C的正切值．20. （10分）(2017·邯郸模拟) 已知F1（﹣c，0）、F2（c、0）分别是椭圆G： + =1（0＜b＜a＜3）的左、右焦点，点P（2，）是椭圆G上一点，且|PF1|﹣|PF2|=a．（1）求椭圆G的方程；（2）设直线l与椭圆G相交于A、B两点，若⊥ ，其中O为坐标原点，判断O到直线l的距离是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．21. （10分）(2017·鞍山模拟) 已知函数f（x）=ln（ax+b）+ex﹣1（a≠0）．（1）当a=﹣1，b=1时，判断函数f（x）的零点个数；（2）若f（x）≤ex﹣1+x+1，求ab的最大值．22. （10分） (2016高二下·漯河期末) 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）求C的普通方程和l的倾斜角；（2）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．23. （10分） (2016高一下·和平期末) 已知x＞0，y＞0，且2x+8y﹣xy=0，求：（1） xy的最小值；（2） x+y的最小值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
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南宁三中2018届高三第二次模拟考试数学试题（理科）全卷满分150分 考试用时120分钟一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{|11}M x x =-≤≤，{|124}x N x =<<，则M N ⋂=（ ）A. {|10}x x -≤<B. {|01}x x <≤C. {|12}x x ≤<D. {|12}x x -≤< 2．已知复数1iz i=+（i 是虚数单位），则z =（ ）A. 1B.12C.D.3．甲、乙两人答竞赛题，甲答对的概率为15，乙答对的概率为14，则两人中恰有一人答对的概率为（ ）A.720B.35C.120D.1104．设等差数列的前项和为，若，则（ ）A.B.C.D.5．如图所示的流程图，最后输出的n 的值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 66．()712x x-的展开式中2x 的系数为（ ）A. 84-B. 84C. 280-D. 2807．若抛物线在处的切线的倾斜角为，则（ ）A.45B.12C.45-D. 12-8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的体积为（ ）A.6πC.43πD.9．已知函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，63f f ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，则的值为（ ）A.23B.113C.73D.14310．已知双曲线2222:1(0,0)x y T a b a b-=>>，若正方形ABCD 四个顶点在双曲线T 上，且,AB CD 的中点为双曲线T 的两个焦点，则双曲线T 的离心率为（ ）A.B. 1C.D. 111．如图，在正方形ABCD 中，,M N 分别是,BC CD 的中点，若AC AM BN λμ=+，则λμ+的值为（ ） A. 85B.58C.1D. -112．已知命题若命题是假命题，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量a 与b 的夹角为，且||1,|2|5a a b =-=，则||b _______. 14．若实数，满足约束条件，则的最小值为__________． 15．已知长轴长为2a ，短轴长为2b 的椭圆的面积为ab π，则dx x ⎰--33291=___________。
16．如图，045的二面角的棱上有两点,A B ，直线,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，已知2AB =，AC 4BD =，则CD =_______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．（本题满分12分）已知数列的前项和1122n n S k -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且34a =. （1）求数列的通项公式；（2）若(1)n n b n a =+，求数列的前项和.18．（本题满分12分）某校高一200名学生的期中考试物理成绩服从正态分布，化学成绩的频率分布直方图如下：（I ）如果成绩大于85分的学生为优秀，这200名学生中本次考试物理、化学优秀的人数大约各多少人？（II ）如果物理和化学两科都优秀的共有4人，从（I ）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都优秀的有人，求的分布列和数学期望．附：若，则，19．（本题满分12分）如图，三棱锥的三条侧棱两两垂直，，，分别是棱的中点.（1）证明：平面平面；（2）求锐二面角的余弦值.1009080706050400.0020.0060.0120.0200.0250.035化学成绩频率组距20.（本题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为，且过点2T .（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆交于，两点，求（为坐标原点）的面积取最大值时直线的方程.21．（本题满分12分）已知[]21()sin 012f x x mx x x =+-∈，, （1）若在[0,1]上单调递增，求实数的取值范围；（2）若，试分析[]()0,0,1f x x =∈的根的个数.请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分． 22．（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为4cos 24sin x y αα=+=⎧⎨⎩（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为()6R πθρ=∈.（1）求曲线的极坐标方程；（2）设直线与曲线相交于两点，求的值．23．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()222f x x a x b =++-+(0,0)a b >>的最小值为3. （1）求a b +的值；（2）求证：3413log a b a b ⎛⎫+≥-+⎪⎝⎭.南宁三中2018届高三第二次模拟考试数学试题（理科）参考答案1．B 【解析】因为{|11}M x x =-≤≤，{}|124{|02}x N x x x =<<=<<,所以{|01}M N x x ⋂=<≤，故选B.2．C 【解析】由题意i i i i i i i z 2121)1)(1()1(1+=-+-=+=，所以2z ==，故选C.3．A 【解析】第一种：甲答对，乙答错，此时概率为；第二种：甲答错，乙答对，此时的概率为.综上，两人中恰有一人答对的概率为.故选A. 4．A 【解析】由题意＝15，，∴． 故选A ．5．C 【解析】执行程序有：n=1，n=n+1=2，此时，2n =4，n 2=4，故有n=n+1=3， 此时2n =8，n 2=9，故有n=n+1=4， 此时2n =16，n 2=16，故有n=n+1=5，此时2n =32，n 2=25，即满足2n ＞n 2故输出n 的值5． 故选：C ．6．C 【解析】由题意，根据二项式定理展开式的通项公式1k n k kk n T C a b -+=，得()712x -展开式的通项为()172kk k k T C x +=-，则()712x x-展开式的通项为()1172kk k k T C x -+=-，由12k -=，得3k =，所以所求2x 的系数为()3372280C -=-.故选C.7．A 【解析】因为，所以， 则该切线的斜率， 则.故选A ．8．B 【解析】根据几何体的三视图，可知该几何体是底面是正方形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，即这五个点都是棱长为的正方体的顶点，所以该几何体的外接球就是对应正方体的外接球，所以外接球的直径是正方体的对角线为，所以半径，从而求的球的体积为，故选B. 9．D 【解析】∵,且，在区间上有最小值，无最大值， ∴直线为的一条对称轴， ∴，∴，又ω>0， ∴当时,ω=.易知当时，此时在区间内已存在最大值.故选D.10．C 【解析】由题可得：点2(,)b A c a-，所以正方形的边长为22b a ，又焦距为2c 也是正方形的边长，所以222b c a =，212c b ac a ⇒=⇒= 11．A 【解析】设正方形的边长为2，以点A 为原点，,AB AD 分别为,x y 轴，建立平面直角坐标系，()()()()()0,0,2,0,2,2,2,1,1,2A B C M N ，所以()2,2AC =，()()2,1,1,2AM BN ==-，所以2222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得62,55λμ==，所以85λμ+=，故选A. 12．A 13．1【解析】， 向量与的夹角为，0 ，解得，故答案为.14．2【解析】作出可行域如图所示，设，则表示可行域内的点与原点的距离的平方．由图知，所以． 故答案为：2.15．π23【解析】设()0y y =≥，则()22109x y y +=≥对应的曲线为椭圆的上半部分，对应的面积11331222S ab πππ==⨯⨯⨯=，根据积分的运算法则可得，π2391332=-⎰-dx x ，故答案为π23.16AB ⊥AC ，BD ⊥AB ，即AB •BD =0，AB •AC =0， ＜AC ，BD ＞=45°，∵CD CA AB BD =++，∴222222135CD CA AB BD CA AB BD CA BD cos =++=+++︒24162414=++-=，∴。
17．【解析】（1）当时，，解得，所以， 当时，， 当时，， 所以，（2）由（1）得， 所以， ，两式相减得， 即，整理得.18．【解析】（I ）物理成绩优秀的概率为，化学成绩优秀的概率为，物理成绩优秀人数为人，化学成绩优秀人数为人（II ）物理化学两科都优秀的4人，单科优秀的有6人，所有可能的取值为0，1，2，3， ， ， 的分布列为数学期望．19．【解析】(1)证明：因为，是棱的中点，所以．又三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，所以平面，又平面，则．因为，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）由于三棱锥的三条侧棱两两垂直，故可以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，故，设平面的法向量为，则，即，令，得，由（1）知平面的一个法向量为，所以.所以锐二面角的余弦值为.20.（1）依题意得解得∴椭圆的方程为.（2）由消去整理得，其中设，则，，∴，又原点到直线的距离.∴，令，则，∴当时，取得最大值，且，此时，即.∴直线的方程为∴的面积取最大值时直线的方程为. 21．【解析】（1）由于在上递增得在上恒成立即在上恒成立令，则故在上递减，于是，故有（2）上递增，又，故唯一，使得上递减，在上递增...令则上递减.当时，由递减知故即从而有上恒成立.故时，无实根.22．【解析】（1）将方程消去参数得，∴曲线的普通方程为，将代入上式可得，∴曲线的极坐标方程为：．（2）设两点的极坐标方程分别为,由消去得，根据题意可得是方程的两根，∴，∴．23．【解析】(1)()222f x x a x b =++-+()()222x a x b ≥+--+2a b =++ 所以23a b ++=,即1a b +=(2)由1a b +=，则原式等价为：341log 2a b ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，即419a b +≥, 而()41414559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭,当且仅当41b a a b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即21,33a b ==时，“=”成立，故原不等式成立。