第3章 第6节 二次函数的应用
二次函数的应用教学反思
二次函数的应用教学反思二次函数的应用是学习二次函数的图像与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查，它是本章的难点。
新的课程标准要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能依照图像的性质解决简单的实际问题，而最大值问题是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题，它生活背景丰富，学生比较感爱好。
本节课通过学习求水流的最高点问题，引导学生将实际问题转化为数学模型，利用数学建模的思想去解决和函数有关的应用问题。
此部分内容是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的基础。
由于本节课是二次函数的应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以启发探究式为主线开展教学活动，以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到不但使学生学会，而且使学生会学的目的。
不足之处：《数学课程标准》提出：教师不仅是学生的引导者，也是学生的合作者。
教学中，要让学生通过自主讨论、交流，来探究学习中碰到的问题、难题，教师从中点拨、引导，并和学生一起学习探讨。
在本节课的教学中，教师引导学生较多，没有完全放开让学生自主探究学习，获得新知；学生在数学学习中依旧有较强的依靠性，教师要有意培养学生自主学习的能力。
教师要想在开放的课堂上具有灵活驾驭的能力，就需要在备课时尽量考虑周到，既要备教材，又要备学生，更需要教师具有丰富的科学文化知识，如此才能使我们的学生在轻松活跃的课堂上找到学习的乐趣与爱好。
反思二：二次函数的应用教学反思本节课的教学目标是：连续经历利用二次函数解决实际最值问题；会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离、利润等的函数最值问题；进展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的紧密联系和数学的应用价值。
本节课只有两个例题，第一个例题是有关距离问题，第二个例题是有关利润的问题。
二次函数的实际应用(知识点串讲)(原卷版)
专题04 二次函数的实际应用知识网络重难突破知识点一根据实际问题列二次函数表达式根据实际问题确定二次函数表达式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题.【典例1】某畅销书的售价为每本30元，每星期可卖出200本，书城准备开展“读书节活动”，决定降价促销．经调研，如果调整书籍的售价，毎降价2元，每星期可多卖出40本．设每件商品降价x元后，毎星期售出此畅销书的总销售额为y元，则y与x之间的函数关系为（）A．y＝（30﹣x）（200+40x）B．y＝（30﹣x）（200+20x）C．y＝（30﹣x）（200﹣40x）D．y＝（30﹣x）（200﹣20x）【变式训练】1．长方形的长为10cm、宽为6cm，它的各边都减少xcm，得到的新长方形的周长为ycm，则y与x之间的关系式是（）A．y＝32﹣4x（0＜x＜6）B．y＝32﹣4x（0≤x≤6）C．y＝（10﹣x）（6﹣x）（0＜x＜6）D．y＝（10﹣x）（6﹣x）（0≤x≤6）2．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），并在如图所示位置留2m宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长度为50m．设饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式是（）A．y＝﹣x2+50x B．y＝﹣x2+24xC．y＝﹣x2+25x D．y＝﹣x2+26x3．某工厂今年一月份生产防疫护目镜的产量是20万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为x，那么第一季度防疫护目镜的产量y（万件）与x之间的关系应表示为．知识点二二次函数的实际应用在实际生活中存在很多抛物线型问题，还有很多“利润最大”“用量最少”“面积最大”“路程最短”等问题，它们都会用到二次函数的图象和性质来描述问题，解决这类问题的步骤：（1）设出两个变量；（2）写出函数表达式或画出图象；（3）确定自变量的取值范围；（4）利用二次函数的性质求解；（5）用求得的解来解释实际问题.【典例2】2020年4月，我市某药店销售一种疫情防控物品，进价为50元/瓶．售价为60元/瓶时，当天的销售量为100瓶．在销售过程中发现：售价每上涨5元，当天的销售量就减少5瓶．设当天销售单价统一为x元/瓶（x≥60，且x是按5元的倍数上涨），当天销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）要使当天销售利润不低于2400元，求当天销售单价所在的范围；（3）若每瓶物品的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每瓶物品售价应定为多少元？当天的最大利润为多少元？【典例3】如图1，皮皮小朋友燃放一种手持烟花，这种烟花每隔2 秒发射一发花弹，每一发花弹的飞行路径、爆炸时的高度均相同．皮皮发射出的第一发花弹的飞行高度h（米）与飞行时间t（秒）之间的函数图象如图2所示．（1）求皮皮发射出的第一发花弹的飞行高度h（米）随飞行时间t（秒）的函数表达式．（2）第一发花弹发射3秒后，第二发花弹达到的高度为多少米？（3）为了安全，要求花弹爆炸时的高度不低于16米．皮皮发现在第一发花弹爆炸的同时，第二发花弹与它处于同一高度，请通过计算说明花弹的爆炸高度是否符合安全要求？【典例4】某农场要建一个饲养场（长方形ABCD），饲养场的一面靠墙（墙最大可用长度为27米），另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长60米，设饲养场（长方形ABCD）的宽为x米．（1）求饲养场的长BC（用含x的代数式表示）．（2）若饲养场的面积为270m2，求x的值．（3）当x为何值时，饲养场的面积最大，此时饲养场达到的最大面积为多少m2？【变式训练】1．在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝﹣x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为米．2.如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC构成，长方形的长OA是12m，宽OC是4m．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y＝﹣x2+bx+c表示．在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m．那么两排灯的水平距离最小是（）A．2m B．4m C．4m D．4m3.某服装厂生产A品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x件时，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x为10的正整数倍．（1）当100≤x≤300时，y与x的函数关系式为．（2）某零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装200件，需要支付多少元？（3）零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x（100≤x≤400）件，服装厂的利润为w元，问：x为何值时，w最大？最大值是多少？4.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用26m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设BC＝xm．（1）若矩形花园ABCD的面积为165m2，求x的值；（2）若在P处有一棵树，树中心P与墙CD，AD的距离分别是13m和6m，要将这棵树围在花园内（考虑到树以后的生长，篱笆围矩形ABCD时，需将以P为圆心，1为半径的圆形区域围在内），求矩形花园ABCD面积S的最大值．5.把一个足球垂直地面向上踢，t（秒）后该足球的高度h（米）适用公式h＝20t﹣5t2．（1）经过多少秒后足球回到地面？（2）圆圆说足球的高度能达到21米，方方说足球的高度能达到20米．你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？巩固训练1．汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶的时间t（单位：秒）的函数解析式为s＝﹣6t2+bt（b为常数）．已知t＝时，s＝6，则汽车刹车后行驶的最大距离为（）A．米B．8米C．米D．10米2．如图，跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）A．10m B．20m C．15m D．22.5m3．把一个足球垂直于地面向上踢，t（秒）后该足球的高度h（米）适用于公式h＝20t﹣5t2．下列结论：①球踢出4秒后回到地面；②足球上升的高度可以为30米；③足球踢出3秒后高度第一次达到15米；④足球踢出2秒后高度到达最大．其中正确的结论是．4．如图，一位篮球运动员在离篮圈水平距离4m处跳起投篮，球运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足解析式y＝ax2+x+c，当球运行的水平距离为1.5m时，球离地面高度为3.3m，球在空中达到最大高度后，准确落入篮圈内．已知篮圈中心离地面距离为3.05m．（1）当球运行的水平距离为多少时，达到最大高度？最大高度为多少？（2）若该运动员身高1.8m，这次跳投时，球在他头顶上方0.25m处出手，问球出手时，他跳离地面多高？5．如图，某农场准备围建一个中间隔有一道篱笆的矩形花圃，现有长为18米的篱笆，一边靠墙，若墙长a ＝6米，设花圃的一边AB为x米，面积为S米2．（1）求S与x的函数关系式及x值的取值范围；（2）若边BC不小于3米这个花圃的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由．6.小钉从某超市获得关于销售甲，乙两种品牌洗手液的信息如下：➢甲洗手液的进价为12元/瓶，每瓶利润不得高于进价的40%．➢乙洗手液每瓶的利润保持不变．➢当甲、乙两种洗手液每瓶的利润相同时，销售甲可获利150元．➢甲洗手液的日均销售量y瓶与每瓶售价x元的关系如表：x（元）…1313.51415.5…y（瓶）…70656045…请根据以上信息，解决以下问题：（1）利用学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识，选择一种模型来确定y与x的函数关系式．（2）求乙洗手液每瓶的利润为多少元？（3）据了解，该超市销售甲、乙两种洗手液获得的最大日均利润和不少于380元，请问该超市每日至少销售甲、乙两种洗手液共多少瓶？。
初中数学《二次函数的应用》教案
初中数学《二次函数的应用》教案2.3二次函数的应用教学目标设计1.知识与技能：通过本节学习，巩固二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会用顶点的性质求解最值问题。
能力训练要求1、能够分析实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值发展学生解决问题的能力，学会用建模的思想去解决其它和函数有关应用问题。
2、通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，培养数形结合思想，函数思想。
情感与价值观要求1、在进行探索的活动过程中发展学生的探究意识，逐步养成合作交流的习惯。
2、培养学生学以致用的习惯，体会体会数学在生活中广泛的应用价值，激发学生学习数学的兴趣、增强自信心。
教学方法设计由于本节课是应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的。
为了提高课堂效率，展示学生的学习效果，适当地辅以电脑多媒体技术。
教学过程导学提纲设计思路：最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，而面积问题学生易于理解和接受，故而在这儿作此调整，为求解最大利润等问题奠定基础。
从而进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。
目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关应用问题，此部分内容既是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。
九年级下册数学同步课程讲义第06讲-二次函数的应用(提高)-学案
九年级下册数学同步课程讲义第06讲-二次函数的应用（提高）-学案学科教师辅导讲义学员编号_________年级九年级（下）课时数3学员姓名辅导科目数学学科教师授课主题第06讲-----二次函数的应用授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标掌握二次函数最值的计算；掌握几何图形面积的最值计算；熟练运用二次函数解决最大利润问题；理解二次函数与一元二次方程。
授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建一.知识梳理二.知识概念1.用二次函数的性质解决最值计算问题（1）将函数表达式配方成顶点式，进行求解开口向上时顶点处取得最小值；开口向下时取最大值。
（2）当自变量X的取值范围遇到限制时，则需要先判断对称轴是否被包含在取值范围中，再根据二次函数的增减性计算出函数的最大值.最小值。
2.用二次函数的性质解决实际问题利用二次函数的最值确定最大利润.最节省方案等问题是二次函数应用最常见的问题，解决此类问题的关键是认真审题，理解题意，建立二次函数的数学模型，再用二次函数的相关知识解决一般方法步骤（1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围（2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法或对称轴判定法，求出二次函数的最大值或最小值3.二次函数与一元二次方程的关系（1）二次函数yax2bxca0，当y0时，就变成了ax2bxc0a0（2）ax2bxc0a0的解是抛物线与x轴交点的横坐标（3）当b24ac0时，抛物线与x轴有两个不同的交点；当b24ac0时，抛物线与x轴有一个交点；当b24ac0时，抛物线与x轴没有交点考点一根据实际问题求二次函数表达式例1.为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称，AEx轴，AB4cm，最低点C在x轴上，高CH1cm，BD2cm，则右轮廓DFE所在抛物线的解析式为（）Ay（x3）2By（x3）2Cy（x3）2Dy（x3）2例2.某种品牌的服装进价为每件150元，当售价为每件210元时，每天可卖出20件，现需降价处理，且经市场调查每件服装每降价2元，每天可多卖出1件在确保盈利的前提下，若设每件服装降价x元，每天售出服装的利润为y元，则y与x的函数关系式为（）Ayx210x1200（0x60）Byx210x1250（0x60）Cyx210x1250（0x60）Dyx210x1250（x60）考点二最值计算问题例1.已知二次函数yx26x8（1）将yx26x8化成ya（xh）2k的形式；（2）当0x4时，y的最小值是，最大值是；（3）当y0时，写出x的取值范围考点三几何图形面积的最值问题例1.某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x；（2）若平行与墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；（3）当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围例2.如图，已知抛物线yax2xc经过A（4，0），B（1，0）两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得DCA的面积最大若存在，求出点D的坐标及DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由考点四求最大利润问题例1.某宾馆拥有客房100间，经营中发现每天入住的客房数y （间）与其价格x（元）（180x300）满足一次函数关系，部分对应值如表x（元）180260280300y（间）100605040（1）求y与x 之间的函数表达式；（2）已知每间入住的客房，宾馆每日需支出各种费用100元；每日空置的客房需支出各种费用60元，当房价为多少元时，宾馆当日利润最大求出最大值（宾馆当日利润当日房费收入当日支出）例2.草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图是y 与x的函数关系图象（1）求y与x的函数解析式（也称关系式）；（2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元，求W的最大值考点五二次函数与一元二次方程例1.已知关于x的一元二次方程x2mxn0的两个实数根分别为x1a，x2b（ab），则二次函数yx2mxn中，当y0时，x的取值范围是（）AxaBxbCaxbDxa或xb例2.若二次函数yax2bxc（a0）的图象如图所示，且关于x的方程ax2bxck有两个不相等的实根，则常数k的取值范围是（）A0k4B3k1Ck3或k1Dk4PPractice-Oriented实战演练实战演练课堂狙击1.下列图形中，阴影部分面积为1的是（）ABCD2.已知抛物线yx2x1，与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2mxx的值为（）AxxBxxCxxDxx3.二次函数ymx2x2m（m是非0常数）的图象与x轴的交点个数为（）A0个B1个C2个D1个或2个4.若关于x的一元二次方程（x2）（x3）m有实数根x1.x2，且x1x2，则下列结论中错误的是（）A当m0时，x12，x23BmC当m0时，2x1x23D二次函数y（xx1）（xx2）m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）5.如图，从某建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直）如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是（）A2mB3mC4mD5m6.如图已知A1，A2，A3，An是x轴上的点，且OA1A1A2A2A3A3A4An1An1，分别过点A1，A2，A3，An作x轴的垂线交二次函数yx2（x0）的图象于点P1，P2，P3，Pn，若记OA1P1的面积为S1，过点P1作P1B1A2P2于点B1，记P1B1P2的面积为S2，过点P2作P2B2A3P3于点B2，记P2B2P3的面积为S3，依次进行下去，最后记Pn1Bn1Pn（n1）的面积为Sn，则Sn（）ABCD7.为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）x为何值时，y有最大值最大值是多少8.某宾馆有客房50间，当每间客房每天的定价为220元时，客房会全部住满；当每间客房每天的定价增加10元时，就会有一间客房空闲，设每间客房每天的定价增加x元时，客房入住数为y 间（1）求y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（2）如果每间客房入住后每天的各种支出为40元，不考虑其他因素，则该宾馆每间客房每天的定价为多少时利润最大课后反击1.如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于O，其直径CD，EF 均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C，E和点D，F，则图中阴影部分面积（）ABCD条件不足，无法求2.如图，点E.F.G.H分别是正方形ABCD边AB.BC.CD.DA上的点，且AEBFCGDH设A.E两点间的距离为x，四边形EFGH的面积为y，则y与x的函数图象可能为（）ABCD3.若函数ymx2（m3）x4的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（）A0B1或9C1或9D0或1或94.如图，点A1.A2.A3..An在抛物线yx2图象上，点B0.B1.B2.B3..Bn在y轴上（点B0与坐标原点O重合），若A1B0B1.A2B1B2..AnBn1Bn都为等腰直角三角形，则AxxBxx的长为（）AxxBxxCD5.为备战xx年里约奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光，如图，已知排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最高点G建立如图所示的平面直角坐标系（1）当球上升的最大高度为3.2米时，求排球飞行的高度y（单位米）与水平距离x（单位米）的函数关系式（不要求写自变量x的取值范围）（2）在（1）的条件下，对方距球网0.5米的点F处有一队员，他起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功请通过计算说明（3）若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少（排球压线属于没出界）6.某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x （元）之间满足一次函数关系当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本（1）请直接写出y与x的函数关系式；（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大最大利润是多少直击中考1.【xx鄂州】如图，二次函数yax2bxc0（a0）的图象与x轴正半轴相交于A.B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x2，且OAOC，则下列结论abc0；9a3bc0；c1；关于x的方程ax2bxc0（a0）有一个根为其中正确的结论个数有（）A1个B2个C3个D4个2.【xx深圳】儿童商场购进一批M型服装，销售时标价为75元/件，按8折销售仍可获利50商场现决定对M型服装开展促销活动，每件在8折的基础上再降价x元销售，已知每天销售数量y（件）与降价x（元）之间的函数关系式为y204x（x0）（1）求M型服装的进价；（2）求促销期间每天销售M型服装所获得的利润W的最大值3.【xx安徽】如图，二次函数yax2bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）（1）求a，b的值；（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2x6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值SSummary-Embedded归纳总结重点回顾1.二次函数最值的计算2.几何类二次函数最值的计算3.应用二次函数解决最大利润问题名师点拨根据实际问题，建立二次函数模型，准确列出函数表达式，并计算出对应的最值是解决本节问题的关键。
二次函数的实际应用(典型例题分类)
二次函数与实际问题1、理论应用（基本性质的考查：解析式、图象、性质等）2、实际应用（求最值、最大利润、最大面积等）解决此类问题的基本思路是：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；(3)用数学的方式表示它们之间的关系；(4)做函数求解；(5)检验结果的合理性，拓展等．例一：如图在长200米，宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路，绿地面积y(㎡)与路宽x(m)之间的关系并求出绿地面积的最大值@变式练习1：如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y(㎡)与它与墙平行的边的长x(m)之间的函数关系式当x为多长时，花园面积最大·例二：某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多设销售单价为x元，(0＜x≤元，那么（1）销售量可以表示为____________________；（2）销售额可以表示为____________________；（3）@（4）所获利润可以表示为__________________；（5）当销售单价是________元时，可以获得最大利润，最大利润是__________。
~变式练习2：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.（1）问题中有哪些变量其中自变量是_______,因变量是___________.（2）假设增种棵橙子树，那么果园里共有_________棵橙子树,这时平均每棵树结_________个橙子.（3）如果橙子的总产量为y个，请你写出x与y之间的关系式_______________.（4）果园里种_____棵橙子树橙子的总产量最多，最多是________________。
二次函数的实际应用(拱桥问题)教师
二次函数的实际应用(拱桥问题)教师work Information Technology Company.2020YEAR二次函数中抛物线形与拱桥问题1 有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m ，拱顶距离水面4m ．（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；（2）在正常水位的基础上，当水位上升h （m ）时，桥下水面的宽度为d （m ），求出将d 表示为h 的函数表达式；（3）设正常水位时桥下的水深为2m ，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m ，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．解：（1）设抛物线的解析式为y ＝ax 2，且过点（10，－4）∴故 （2）设水位上升h m 时，水面与抛物线交于点（）则∴ （3）当d ＝18时，∴当水深超过2.76m 时会影响过往船只在桥下顺利航行。
2、如图，有一座抛物线形的拱桥，桥下面处在目前的水位时，水面宽AB=10m ，如果水位上升2m ，就将达到警戒线CD ，这时水面的宽为8m.若洪水到来，水位以每小时0.1m速度上升，经过多少小时会达到拱顶解： 以AB 所在的直线为x 轴,AB 中点为原点，建立直角坐标系，则抛物线的顶点E 在y 轴上,且B 、D 两点的坐标分别为（5，0）、（4，2）-==-4101252a a ×，y x =-1252d h 24，-h d -=-412542×d h =-10418104076=-=h h ，.0762276..+=设抛物线为y=ax2+k.由B、D两点在抛物线上，有解这个方程组，得所以，顶点的坐标为（0，）则OE=÷0.1=（h）所以，若洪水到来，水位以每小时0.1m速度上升，经过小时会达到拱顶.3、如图4，有一座抛物线形拱桥，抛物线可用y=表示．在正常水位时水面AB 的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m．(1)在正常水位时，有一艘宽8m、高2.5m的小船，它能通过这座桥吗(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计)．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通过:前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行)．试问:如果货车按原来的速度行驶，能否安全通过此桥?若能，请说明理由．若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米?解：(1)由对称性，当x=4时，y=．当x=10时，y=．故正常水位时，AB距桥面4米，由，故小船能通过．(2)水位由CD处涨到点O的时间为1÷0.25=4小时．货车按原来的速度行驶的路程为40×1+40×4=200<280．∴货车按原来的速度行驶不能安全通过此桥．设货车速度提高到x千米/时，当4x+40×1=280时，x=60．∴要使货车安全通过此桥，货车的速度超过60千米/时。
《二次函数》教案8篇(二次函数应用教案设计)
《二次函数》教案8篇(二次函数应用教案设计)下面是整理的《二次函数》教案8篇(二次函数应用教案设计)，欢迎参阅。
《二次函数》教案1教学目标掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系。
重点、难点：二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间关系的探索。
教学过程：一、情境创设一次函数y=x+2的图象与x轴的交点坐标问题1.任意一次函数的图象与x轴有几个交点？问题2.猜想二次函数图象与x轴可能会有几个交点？可以借助什么来研究？二、探索活动活动一观察在直角坐标系中任意取三点A、B、C，测出它们的纵坐标，分别记作a、b、c，以a、b、c为系数绘制二次函数y=ax2+bx+c的图象，观察它与x轴交点数量的情况；任意改变a、b、c值后，观察交点数量变化情况。
活动二观察与探索如图1，观察二次函数y=x2-x-6的图象，回答问题:(1)图象与x轴的交点的坐标为A(，),B(，)(2)当x=时，函数值y=0。
(3)求方程x2-x-6=0的解。
(4)方程x2-x-6=0的解和交点坐标有何关系？活动三猜想和归纳(1)你能说出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的其它情况吗？猜想交点个数和方程ax2+bx+c=0的根的个数有何关系。
（2）一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数由什么来判断？这样我们可以把二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点、一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根和根的判别式三者联系起来。
三、例题分析例1.不画图象，判断下列函数与x轴交点情况。
(1)y=x2-10x+25(2)y=3x2-4x+2(3)y=-2x2+3x-1例2.已知二次函数y=mx2+x-1(1)当m为何值时，图象与x轴有两个交点(2)当m为何值时，图象与x轴有一个交点？(3)当m为何值时，图象与x轴无交点？四、拓展练习1.如图2，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B。
二次函数的应用ppt课件
②根据题意，得绿化区的宽为
= （x-20）（m），
∴y=100×60-4x（x-20）.又 ∵28≤100-2x≤52，∴24≤x≤36. 即 y 与 x 的函数关系式及 x 的取值范围为 y=-4x2+80x+6 000 （24≤x≤36）；
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2.4 二次函数的应用
（2）y=-4x2+80x+6 000=-4（x-10）2+6 400. ∵a=-4＜0，抛物线的开口向下，对称轴为直线 x= 10. 当 24≤x≤36 时，y 随 x 的增大而减小， ∴ 当 x=24 时，y 最大=5 616，即停车场的面积 y 的最大值为 5 616 m2； （3）设费用为 w. 由题意，得 w=100（-4x2+80x+6 000）+50×4x（x- 20）=-200（x-10）2 +620 000， ∴ 当 w=540 000 时，解得 x1=-10，x2=30. ∵24≤x≤36，∴30≤x≤36，且 x 为整数， ∴ 共有 7 种建造方案． 题型解法：本题是确定函数表达式及利用函数的性质设计工程方案的问题. 解题过程中应理解：（1）工程总造价是绿化区造价和停车场造价两部分的和； （2）根据投资额得出方程，结合图象的性质求出完成工程任务的所有方案.
（1）解决此类问题的关键是建立恰当的平面直角坐标系； 注意事项
（2）根据题目特点，设出最容易求解的函数表达式形式
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2.4 二次函数的应用
典题精析 例 1 赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系， 其函数的关系式为 y=- x2，当水面离桥拱顶的高度 DO 是 4 m 时，水面宽 度 AB 为 （ ） A． -20 m B． 10 m C． 20 m D． -10 m
2022九年级数学上册第三章二次函数6二次函数的应用2利用二次函数求实际中应用问题课件鲁教版五四制4
8 【2020·十堰】某企业接到生产一批设备的订单，要求不超过 12天完成．这种设备的出厂价为1 200元/台，该企业第一天生 产22台设备，第二天开始，每天比前一天多生产2台．若干天 后，每台设备的生产成本将会增加，设第x天(x为整数)的生 产成本为m(元/台)，m与x的关系如图所示． (1)若第x天可以生产这种设备y台，则y与x的函 数关系式为__y_＝__2_x_＋__2_0，x的取值范围为 __1_≤_x_≤_1_2_．
5 【2020·丹东】某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫 每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经 市场调查，每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)满 足一次函数关系，部分数据如下表：
(1)求出y与x之间的函数表达式(不需要求自变量x的取 值范围)．
解：设 y 与 x 之间的函数表达式为 y＝kx＋b， 则有6605kk＋ ＋bb＝ ＝11 430000， ，解得kb＝ ＝－ 2 62000，， 即 y 与 x 之间的函数表达式是 y＝－20x＋2 600；
(3)求当天销售利润低于10 800元的天数． 解：由(2)可得，1≤x≤6时，800x＋8 000＜10 800， 解得x＜3.5. 则第1～3天当天销售利润低于10 800元， 当6＜x≤12时，－100(x－2)2＋14 400＜10 800， 解得x＜－4(舍去)或x＞8， ∴第9～12天当天销售利润低于10 800元， 故当天销售利润低于10 800元的天数有7天．
(2)该批发市场每月想从这种衬衫销售中获 利24 000元，又想尽量给客户实惠，该如何 给这种衬衫定价？
2023年中考数学总复习第三章《函数》第六节 二次函数的实际应用
2023年中考数学总复习第三章《函数》第六节二次函数的实际应用一、选择题1.［2020·邢台模拟］把一个足球垂直于水平地面向上踢，该足球距离地面的高度h（米）与所经过的时间t （秒）之间的关系为h＝10t-t 2（0≤t≤14）．若存在两个不同的t 的值，使足球离地面的高度均为a （米），则a 的取值范围是（）A．0≤a≤42B．0≤a＜50C．42≤a＜50D．42≤a≤502.［2020·长沙］“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”p 与加工煎炸时间（t 单位：分钟）近似满足的函数关系为：p＝at 2+bt+c （a≠0，a，b，c 是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（）A． 3.50分钟B． 4.05分钟C． 3.75分钟D． 4.25分钟（第2题图）（第3题图）3.［2020·石家庄裕华区一模］从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m ）与小球运动时间t （单位：s ）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是40m；②小球运动的时间为6s；③小球抛出3s 时，速度为0；④当t＝1.5s 时，小球的高度h＝30m．其中正确的是（）A.①④B．①②C．②③④D．②④二、填空题4.［人九上课本P52，T8改编］某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为_______元．三、解答题5.［人九上课本P52，T5高仿］如图，西游乐园景区内有一块矩形油菜花田地（单位：m ），现在其中修建一条观花道（阴影所示），供游人赏花，设改造后观花道的面积为y m 2．（1）求y 与x 的函数关系式；（2）若改造后观花道的面积为13m 2，求x 的值；（3）若要求0.6≤x≤1，求改造后油菜花地所占面积的最大值．（第5题图）6.［2020·遵化二模］随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择．李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E 中的某一站出地铁，再骑共享单车回家．设他出地铁的站点与文化宫站的距离为x（单位：km ），乘坐地铁的时间y 1（单位：min ）是关于x 的一次函数，其关系如下表：（1）求y1关于x 的函数解析式；（2）李华骑单车的时间y 2（单位：min）也受x 的影响，其关系可以用y 2＝x 2-11x+78来描述．求李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫站回到家所需的时间最短，并求出最短时间．地铁站A B C D E x/km 79111213y 1/min1620242628。
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第三章
函数及其图像
第6节 步骤：1.分析问题，建立模型． 2．设自变量，求函数的解析式． 3．确定自变量的取值范围． 4．根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小 值(在自变量取值范围内)．
实物抛物线
【例1】如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线 由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河 底ED是水平的，ED＝16 m，AE＝8 m，抛物线的顶点C到ED的 距离是11 m，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建 立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)已知从某时刻开始的40 h内，水面与河底ED的距离h(单位：m) 随时间t(单位：h)的变化满足函数关系h＝－ 1 128 (t－19)2＋
8(0≤t≤40)且当水面到顶点C的距离不大于5 m时，需禁止船只 通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通 行？
解：(1)依题意有顶点 C 的坐标为(0，11)，点 B 的坐标为(8，8)，设抛物线解 3 8＝64a＋c， a ＝－ ， 2 64 析式为 y＝ax ＋c，有 解得 ∴抛物线解析式为 y＝－ 11 ＝ c ， c＝11， 3 2 1 1 x ＋11 (2)令－ (t－19)2＋8＝11－5， 解得 t1＝35， t2＝3.因为 a＝－ ＜ 64 128 128 0，所以当 3≤ t≤ 35 时，水面到顶点 C 的距离不大于 5 米，需禁止船只通行， 禁止船只通行时间为 35－3＝32(时)
(4)求S与t的函数解析式；
1 2 4 4 2 解：(1)设 y＝ax ＋bx＋c，代入点 A，B，O 的坐标得 y＝ x － x，∴顶点 M(2，－ ) 3 3 3 (2)∵ A(1，－1)，∴∠COA＝45°，∴△OPQ 为等腰 Rt△，过 Q 作 QD⊥ x 轴于 D，∵OP 1 1 ＝2t，∴OD＝ OP＝t，DQ＝ OP＝t，∴P(2t，0)，Q(t，－t) (3)当△OPQ 绕点 P 逆时针 2 2 1 2 4 1 4 2 旋转 90°后， 点 O 为(2t， －2t)， 点 Q(3t， －t ) ． ①若点 O 在 y＝ x － x 上， 则 · (2t) － × 2t 3 3 3 3 1 1 1 1 ＝－2t，∴2t2 －t＝0，∴t1 ＝0，t2 ＝ ，∵0＜t＜2，∴t＝ ，∴t＝ 时，点 O(1，－1)在 y＝ 2 2 2 3 4 1 2 4 1 2 2 4 2 x － x 上；②若点 Q 在 y＝ x － x 上，则 × (3t) － × (3t)＝－t，∴t －t＝0，∴t1 ＝0，t2 3 3 3 3 3 1 2 4 ＝1，又 0＜t＜2，∴t＝1，∴t＝1 时，点 Q(3，－1)在 y＝ x － x 上 (4)如图，分三种情况 3 3 1 3 讨论：①当 0＜t≤ 1 时，S＝S△OPQ ＝ × 2t×t＝t2 ；②当 1＜t≤ 时，S＝S△OPQ －S△AEQ ＝t2 2 2 2 －(t－1) ＝2t－1；
二次函数在销售利润中的应用
(3) 如果该企业要使每天的销售利润不低于 4000元， 且每天的总成本不 超过7000 元，那么销售单价应控制在什么范围内？(每天的总成本＝每 件的成本×每天的销售量)
解：(1)y＝(x－50)[50＋5(100－x)]＝(x－50)(－5x＋550)＝－5x2＋800x －27500，∴y＝－5x2＋800x－27500 (2)y＝－5x2＋800x－27500＝－ 5(x －80)2 ＋4500 ，∵a ＝－5 ＜0 ，∴抛物线开口向下 ，∵50≤x≤100 ， 对称轴是直线x＝80，∴当x＝80时，y最大值＝4500 (3)当y＝4000时，－5(x－80)2＋4500＝4000，解得x1＝70，x2＝90，∴ 当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．由每天的总成本不超 过7000元，得50(－5x＋550)≤7000，解得x≥82，∴82≤x≤90，即销售单 价应该控制在82元至90元之间
2t－1（1＜t≤ 3） 11 2 ＋8t－ .综上可知，S＝ 2 11 3 － 2t ＋ 8t － （ ＜t＜2） 2 2
2
3 1 ③当 ＜t＜2 时， S＝S△O PQ－S△AE′Q －S△CFP＝t2 －(t－1)2 － (2t－3)2 ＝－2t2 2 2 t2 （0＜t≤ 1）
读懂题目，理解题意 ―→找出合适的等量关系 ―→ 列函数关系式―→求出函数的最大值．注意：结合 图象由利润确定销售单价的范围．
二次函数在几何图形中的应用
【例3】(2014·黄冈)如图，在四边形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于 C，A(1，－1)，B(3，－1)，动点P从O点出发，沿x轴正方向以2个单 位/秒的速度运动．过P作PQ⊥OA于Q.设P点运动的时间为t秒(0＜t＜2)， △OPQ与四边形OABC重叠的面积为S. (1)求经过O，A，B三点的抛物线的解析式并确定顶点M的坐标； (2)用含t的代数式表示P，Q两点的坐标； (3)将△OPQ绕P点逆时针旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O 或Q落在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由；
利用二次函数解决实物抛物线形问题，一般是根据实际 问题的特点建立直角坐标系，设出合适的解析式，把实 际问题中已知条件转化为点的坐标，代入解析式求解， 最后再把求出的结果转化为实际问题的答案．
【例2】(2014·青岛)某企业设计了一款工艺品，每件的成本 是50元，为了合理定价，投放市场进行试销，据市场调查， 销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每 降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成 本． (1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关 系式； (2) 求出销售单价为多少元时 ， 每天的销售利润最大？最大 利润是多少？