7年级下册数学第一章《平行线》讲义

1.1、同位角、内错角、同旁内角：
1、先看图中∠1和∠5，这两个角分别在直线AB、CD的上方，并且都在直线EF的右侧
像这样位置相同的一对角叫做同位角。

在图(1)中，像这样具有类似位置关系的角
还有吗？如果你仔细观察，会发现∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8也是同位角。

变式图形：图中的∠1与∠2都是同位角。

图形特征：在形如字母“F”的图形中有同位角。

2、再看∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，且3在直线EF左侧，∠5在直线EF右侧，像这样的一对角
叫做内错角。

同样，∠4与∠6也具有类似位置特征，∠4与∠6也是内错角。

变式图形：图中的∠1与∠2都是内错角。

图形特征：在形如“Z”的图形中有内错角。

3、在图(1)中，∠3和∠6也在直线AB、CD之间，但它们在直线EF的同一旁像这样的一对角，我们称它为同旁
内角。

具有类似的位置特征的还有∠4与∠5，因此它们也是同旁内角。

变式图形：图中的∠1与∠2都是同旁内角。

图形特征：在形如“n”的图形中有同旁内角。

与两直线的位置关系与截线的位置关系同位角两直线同侧截线的同旁
内错角两直线之间截线异侧
同旁内角两直线之间截线同侧
1.2、平行线的性质：
性质1：两条直线被第三条直线所截，如果两条直线平行，那么同位角相等。

简单说成：两直线平行，同位角相等。

几何语言：∵ AB//CD ∴ ∠PMA=∠MNC
性质2：两条直线被第三条直线所截，如果两条直线平行，那么内错角相等。

简单说成：两直线平行，内错角相等。

几何语言：∵ AB//CD ∴ ∠BMN=∠CNM
性质3：两条直线被第三条直线所截，如果两条直线平行，那么同旁内角互补。

简单说成：两直线平行，同旁内角互补。

几何语言：∵ AB//CD ∴ ∠AMN+∠CNM=180°
1.3、平行线的判定： 几何符号语言：
（1）∵ ∠3＝∠2 ∴ AB ∥CD （同位角相等，两直线平行） （2）∵ ∠1＝∠2 ∴ AB ∥CD （内错角相等，两直线平行）
（3）∵ ∠4＋∠2＝180° ∴ AB ∥CD （同旁内角互补，两直线平行）
1.4、两条平行线的距离
如图，直线AB ∥CD ，EF ⊥AB 于E ，EF ⊥CD 于F ，则称线段EF 的长度为两平行线AB 与CD 间的距离。

注意：直线AB ∥CD ，在直线AB 上任取一点G ，过点G 作CD 的垂线段GH ，则垂线段GH 的长度也就是 直线AB 与CD 间的距离。

典型练习题：
（1）1、如图，与∠2互为同旁内角的是_________。

2、如图，与∠3互为同位角的是___________。

3、如图，∠6与∠9是____,它们是直线______与
_______被直线_________所截得的；∠3与∠5是直线_______与直线_________被直线_________所截得 的；与∠1是同位角的有_____；在标有数字的九个角中，同位角共有 对，内错角共有 对， 同旁内角共有_____对，大小一定相等的角有______对。

（2）如图，直线EF 分别截直线AB,CD 于点E 、F ,EG 与CD 相交于点H ，已知EF ⊥AB,∠1＋∠2＝900
， 请判断直线AB 与CD 是否平行，并说明理由
A
B
C D
E
F
1 2 3 4
A
E
G
B
C
F
H D
（3）如图，在△ABC 中，D,E 分别在AC,AB 上，∠C ＝200
，∠CDE ＝1200
，∠B ＝400
，请问DE 与AB 是否平行？ 并说明理由
（4）如图，已知AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，垂足分别为A ，D ，若∠1＝∠2，判断FD 与AE 是否平行，并说明理由。

（5）如图，直线AB,CD 被直线EF 所截∠1＝∠2，∠3＝∠4，那么AB ∥CD ，MP ∥NQ ，请说明理由
（6）如图，已知，AD ⊥BC ，EF ⊥BC ，∠1＝∠2，DG ∥BA,请说明理由。

A
D
B
E C
F
G 1
2 Q
A
P
B
C
D
E
F
M N
3 5 2
4
1
A
B
C
D
E F
G
H 1
2 A
B
C
D
E
A
C
B
D
E F
1
2
1
（7）如图，∠E ＋∠B ＝∠D ，判断AB 与CD 是否平行
( 8 )已知；如图 2-87， DF//AC ，∠C ＝∠D ，求证：∠AMB=∠ENF
（ 9 ）如图，已知BE ∥DF ，∠B=∠D ，试说明AD ∥BC 的理由。

巩固提高：
1、如图1，直线DE 交∠ABC 的边BA 于点D ，若DE ∥BC ，∠B =70
°，则∠ADE 的度数是 ．
1234
5A B C
D
E
F
图1 图2 图3 2、如图2，直线AB 、CD 被直线EF 所截，则∠3的同旁内角是（ ）． A ．∠1 B ．∠2 C ．∠4 D ．∠5
3、如图3所示，直线a 、b 被c 、d 所截，且︒=∠⊥⊥701,,b c a c ，则=∠2 0
4、如图10，梯子的各条横档互相平行，若∠1=70o
，则∠2的度数是（ ）
A ．80
o
B ．110o
C ．120o
D ．140o
C
A
E
D
B
A
D
B
C E F
图5 图6
5、已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c; ②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．
其中真命题的是．（填写所有真命题的序号）
6.、如图5，已知CD平分∠ACD，DE∥AC，∠1＝30°，则∠2＝度．
7、如图6，C岛在A岛的北偏东50o方向，C岛在B岛的北偏西40o方向，则从C岛看A，B两岛的视角∠ACB等于
8、如图4，已知MN⊥AB于P，MN⊥CD于Q，∠2=80°，求∠1的度数．
9、已知：如图 2-83，AD∥BC，∠D＝100°，AC平分∠BCD，求∠DAC的度数．
10、已知：如图 2-85，CD∥AB，OE平分∠AOD，OF⊥OE，∠D＝50°，求∠BOF度数．
6、（1）已知AB∥CD，下列各图中的∠ABE、∠E、∠CDE三个角之间各有什么关系？填入下列括号内，并选择
一个你自己喜欢的图加以证明。

（1）（2）（3）（4）解：（1）图结论：；（2）图结论：；
（3）图结论：；（4）图结论：；
证明：
（2）探索规律：AB∥CD，则下面两图中的∠A BE1、∠E1、∠E2···∠EnCD之间分别有什么关系？写出结果，不要求说明理由。