2019-2020版数学新学案北师大版选修2-1__模块复习与测试 _4.4
2019-2020版数学新学案北师大版选修2-1练习：模块综合测评A Word版含解析.pdf
1
4.已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0),离心率 e=2,则 C 的方程是( )
������2 ������2
A. 3 + 4 =1
������2 ������2
B. 4 + 3=1
������2 ������2
C. 4 + 2 =1
������2 ������2
D. 4 + 3 =1
{ { 解析:依题意,设椭圆
������2
C 的方程为������2
+
������2
������2=1(a>b>0),所以
������2
������ = 1,
������ 1
������ = 2, 解得
= ������2 - ������2,
������ = 1, ������2 = 4,故椭圆 ������2 = 3.
A. 3,3,3
( ) 8 4 8
B. 3,3,3
( ) 4 4 8
C. 3,3,3
( ) 8 8 4
D. 3,3,3
解析:点 D 在直线 OC 上运动,因而可设������������=(a,a,2a),则������������=(1-a,2-a,3-2a),������������=(2-a,1-a,2-2a),������������·������������
模块综合测评(A)
(时间:120 分钟 满分:150 分)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)
1.命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是
( )
2019-2020版数学新学案北师大版选修2-1练习：第三章 圆锥曲线与方程 模块复习3 Word版含解析.pdf
第3课时 圆锥曲线的方程、性质课后训练案巩固提升A 组1.若椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一个顶点是(-10,0),则焦点坐标为( )A .(±13,0)B .(0,±10)C .(0,±13)D .(0,±)69解析:由题意知椭圆的焦点在y 轴上,且a=13,b=10,则c=,故焦点坐标为(0,±).a 2-b 2=6969答案:D2.若点P 到直线x=-1的距离比到点(2,0)的距离小1,则点P 的轨迹是( )A .圆B .椭圆C .双曲线D .抛物线解析:点P 到直线x=-1的距离比到点(2,0)的距离小1,即点P 到直线x=-2的距离与到点(2,0)的距离相等,根据抛物线的定义可知,点P 的轨迹是抛物线.答案:D3.若双曲线=1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为( )x 2a 2‒y 2b 2A .B .C .D .73544353解析:由已知可得双曲线的渐近线方程为y=±x ,点(3,-4)在渐近线上,∴,又a 2+b 2=c 2,∴c 2=a 2+a 2=a 2,∴e=b a b a =43169259ca .=53答案:D4.双曲线=1(mn ≠0)的离心率为2,有一个焦点与抛物线y 2=4x 的焦点重合,则mn 的值为( )x 2m ‒y 2nA .B .C .D .3163816383解析:抛物线y 2=4x 的焦点为F (1,0),故双曲线=1中,m>0,n>0且m+n=c 2=1,①x 2m ‒y 2n 又e==2,②c m=m +n m 联立方程①②,解得m=,n=.故mn=.1434316答案:A5.已知F 1,F 2为椭圆=1(a>b>0)的两个焦点,过F 2作椭圆的弦AB ,若△AF 1B 的周长为16,椭圆的离心率e=,则x 2a 2+y 2b 232椭圆的方程是( )A .=1B .=1x 24+y 23x 216+y 23C .=1D .=1x 216+y 212x 216+y 24解析:由椭圆的定义知|AF 1|+|BF 1|+|AB|=4a=16,∴a=4.又e=,∴c=2,∴b 2=42-(2)2=4,∴椭圆的方程为ca =3233x 216+=1.y 24答案:D6.设F 1,F 2为椭圆=1的两个焦点,点P 在椭圆上,若线段PF 1的中点在y 轴上,则的值为 .x 29+y 25|PF 2||PF 1|解析:因为线段PF 1的中点在y 轴上,所以PF 2与x 轴垂直,且点P 的坐标为,所以|PF 2|=,则|PF 1|=2a-|PF 2|=(2,±53)53133,.|PF 2||PF 1|=513答案:5137.如图,等边三角形OAB 的边长为8,且其三个顶点均在抛物线E :x 2=2py (p>0)上,则抛物线E 的方程3为 .解析:依题意知,|OB|=8,∠BOy=30°.设B (x ,y ),则x=|OB|sin 30°=4,y=|OB|cos 30°=12.33因为点B (4,12)在抛物线E :x 2=2py (p>0)上,3所以(4)2=2p×12,解得p=2.3故抛物线E 的方程为x 2=4y.答案:x 2=4y8.设双曲线的一个焦点为F ,虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为 .解析:不妨设焦点F (c ,0),虚轴的端点B (0,b ),则k FB =-.bc 又渐近线的斜率为±,所以由直线垂直得-=-1,即b 2=ac.b a bc ·b a (斜率为-ba 的直线显然不符合)又c 2-a 2=b 2,故c 2-a 2=ac ,两边同除以a 2,得方程e 2-e-1=0,解得e=(负值舍去).5+12答案:5+129.已知双曲线E 与双曲线=1共渐近线,且过点A (2,-3).若双曲线M 以双曲线E 的实轴为虚轴,虚轴为实轴,试x 216‒y 293求双曲线M 的标准方程.解由题意,设双曲线E 的方程为=t (t ≠0).x 216‒y 29∵点A (2,-3)在双曲线E 上,3∴=t ,(23)216‒(-3)29∴t=-,∴双曲线E 的标准方程为=1.14y 294‒x 24又双曲线M 与双曲线E 互为共轭双曲线,则双曲线M 的标准方程为=1.x 24‒y 29410.导学号90074100已知椭圆E :=1(a>b>0)的半焦距为c ,原点O 到经过两点(c ,0),(0,b )的直线x 2a 2+y 2b 2的距离为 c.12(1)求椭圆E 的离心率;(2)如图,AB 是圆M :(x+2)2+(y-1)2=的一条直径,若椭圆E 经过A ,B 两点,求椭圆E 的方程.52解(1)过点(c ,0),(0,b )的直线方程为bx+cy-bc=0,则原点O 到该直线的距离d=,bcb 2+c 2=bc a由d=c ,得a=2b=2,12a 2-c 2解得离心率e=.c a =32(2)由(1)知,椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2.①依题意,圆心M (-2,1)是线段AB 的中点,且|AB|=.10易知,AB 与x 轴不垂直,设其方程为y=k (x+2)+1,代入①得(1+4k 2)x 2+8k (2k+1)x+4(2k+1)2-4b 2=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=-,x 1x 2=.8k (2k +1)1+4k 24(2k +1)2-4b 21+4k 2由x 1+x 2=-4,得-=-4,解得k=.8k (2k +1)1+4k 212从而x 1x 2=8-2b 2.于是|AB|=|x 1-x 2|1+(12)2=.52(x 1+x 2)2-4x 1x 2=10(b 2-2)由|AB|=,得,解得b 2=3.1010(b 2-2)=10故椭圆E 的方程为=1.x 212+y 23B 组1.已知A ,B 为双曲线E 的左、右顶点,点M 在E 上,△ABM 为等腰三角形,且顶角为120°,则E 的离心率为( )A .B .2C .D .532解析:设双曲线方程为=1(a>0,b>0),不妨设点M 在双曲线的右支上,如图所示,|AB|=|BM|=2a ,∠MBA=120°,过x 2a 2‒y 2b 2点M 作MH ⊥x 轴于点H ,则∠MBH=60°,|BH|=a ,|MH|=a ,所以M (2a ,a ).将点M 的坐标代入双曲线方程33x 2a 2‒y 2b 2=1,得a=b ,所以e=.2答案:D2.已知双曲线与椭圆=1有共同的焦点,且双曲线的一条渐近线方程为x+y=0,则双曲线的方程为( )x 216+y 264A .x 2-y 2=50B .x 2-y 2=24C .x 2-y 2=-50D .x 2-y 2=-24解析:因为双曲线与椭圆=1有共同的焦点,所以双曲线的焦点在y 轴上,且焦点坐标为(0,-4),(0,4).又双曲x 216+y 26433线的一条渐近线方程为x+y=0,所以可设双曲线方程为y 2-x 2=λ(λ>0),则2λ=48,λ=24,故所求双曲线的方程为y 2-x 2=24,即x 2-y 2=-24.答案:D3.设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1,F 2.若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|=4∶3∶2,则曲线Γ的离心率等于( )A .B .或212或3223C .或2D .1223或32解析:设圆锥曲线的离心率为e ,由|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|=4∶3∶2,知①若圆锥曲线为椭圆,则由椭圆的定义,得e=;②若圆锥曲线为双曲线,则由双曲线的定义,得e=.综上,所求的离心率|F 1F 2||PF 1|+|PF 2|=34+2=12|F 1F 2||PF 1|-|PF 2|=34-2=32为.故选A .12或32答案:A4.已知点P 是抛物线y 2=4x 上一点,设P 到此抛物线的准线的距离为d 1,到直线x+2y+10=0的距离为d 2,则d 1+d 2的最小值为( )A .5B .4C .D .1155115解析:点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离,过焦点F 作直线x+2y+10=0的垂线,则此时d 1+d 2取得最小值.由y 2=4x 知F (1,0),则(d 1+d 2)min =.故选C .|1+10|12+22=1155答案:C5.设F 1,F 2分别为椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点,若直线x=上存在点P ,使线段PF 1的中垂线过点F 2,则椭圆x 2a 2+y 2b2a 2c 离心率的取值范围是( )A .B .C .D .(0,22](0,33][22,1)[33,1)解析:由垂直平分线的性质知|F 1F 2|=|PF 2|,设直线x=与x 轴的交点为M ,则|PF 2|≥|F 2M|,即|F 1F 2|≥|F 2M|,则2c ≥-a 2c a 2c c ,即3c 2≥a 2,所以e 2=,又0<e<1,所以≤e<1.c 2a 2≥1333答案:D6.如图,正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ,b (a<b ),原点O 为AD 的中点,抛物线y 2=2px (p>0)经过C ,F 两点,则= .ba 解析:结合题意和抛物线的定义得点D 为抛物线的焦点,|AD|=p=a.设D ,则F ,将点F 的坐标代入抛物线的方程得b 2=2p =a 2+2ab ,(p 2,0)(p 2+b ,b )(p2+b )变形得-1=0,(ba )2‒2ba 解得=1+=1-.b a 2或ba 2又a>b ,所以=1+.ba 2答案:1+27.椭圆Γ:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,焦距为2c.若直线y=(x+c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠x 2a 2+y 2b 23MF 1F 2=2∠MF 2F 1,则该椭圆的离心率等于 .解析:由题意可知,直线y=(x+c )过点F 1(-c ,0),且倾斜角为60°,所以∠MF 1F 2=60°,从而∠MF 2F 1=30°,所以MF 1⊥3MF 2.在Rt △MF 1F 2中,|MF 1|=c ,|MF 2|=c ,所以该椭圆的离心率e=-1.32c2a =2c c +3c=3答案:-138.导学号90074101已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1(-c ,0),F 2(c ,0).若双曲线x 2a 2‒y 2b2上存在点P 使,则该双曲线的离心率的取值范围是 .sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1=ac 解析:在△PF 1F 2中,由正弦定理可得,所以e=,即|PF 1|=|PF 2|,则点P 在|PF 2|sin ∠PF 1F2=|PF 1|sin ∠PF 2F 1c a =sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2=|PF 1||PF 2|c a 双曲线的右支上,且点P 不在直线F 1F 2上,画出草图如图所示.由双曲线的定义知|PF 1|-|PF 2|=2a ,则|PF 2|-|PF 2|=2a ,即|PF 2|=.ca 2a 2c -a 又由双曲线的性质知|PF 2|>c-a ,则>c-a ,即c 2-2ac-a 2<0,2a 2c -a所以e 2-2e-1<0,解得-+1<e<+1.22又e ∈(1,+∞),所以e ∈(1,+1).2答案:(1,+1)29.如图,点A ,B 分别是椭圆=1长轴的左、右顶点,点F 是椭圆的右焦点,点P 在椭圆上,且位于x 轴上方,PA ⊥PF.x 236+y 220(1)求点P 的坐标;(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点,点M 到直线AP 的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值.解(1)由已知可得点A (-6,0),F (4,0).设点P (x ,y ),则=(x+6,y ),=(x-4,y ),AP FP 由已知得{x 236+y 220=1,(x +6)(x -4)+y 2=0,则2x 2+9x-18=0,解得x=或x=-6.32又y>0,∴x=,则y=.32532∴点P 的坐标是.(32,532)(2)直线AP 的方程是x-y+6=0.3设M (m ,0),则点M 到直线AP 的距离是.|m +6|2于是=|m-6|,|m +6|2又-6≤m ≤6,解得m=2.又椭圆上的点(x ,y )到点M (2,0)的距离为d ,则d 2=(x-2)2+y 2=x 2-4x+4+20-x 2=+15.5949(x -92)2又-6≤x ≤6,∴当x=时,d 取得最小值.921510.过抛物线y 2=2px (p>0)上一点P (x 0,y 0),作两条直线分别交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).(1)求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F 的距离;p2(2)当PA ,PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求的值,并证明直线AB 的斜率是非零常数.y 1+y 2y 0解(1)当y=时,x=,抛物线y 2=2px 的准线方程为x=-.p 2p 8p2由定义知所求距离为p.p 8‒(-p 2)=58(2)设直线PA 的斜率为k PA ,直线PB 的斜率为k PB ,则易知k PA =-k PB .由=2px 1,=2px 0,y 21y 20得(y 1-y 0)(y 1+y 0)=2p (x 1-x 0),∴k PA =(x 1≠x 0),y 1-y 0x 1-x 0=2py 1+y 0同理k PB =.∴=-.2p y 2+y 02p y 1+y 02py 2+y 0∴y 1+y 2=-2y 0,∴=-2.y 1+y 2y 0设直线AB 的斜率为k AB .∵=2px 2,=2px 1,y 22y 21∴(y 2-y 1)(y 2+y 1)=2p (x 2-x 1).∴k AB ==-为常数,y 2-y 1x 2-x 1=2p y 1+y 2py 0即AB 的斜率是非零常数.。
2019-2020版数学新学案北师大版选修2-1___第三章 圆锥曲线与方程3.4.2-3.4.3
一 二 思考辨析
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X D 新知导学 INZHIDAOXUE
答疑解惑
AYIJIEHUO
D当堂检测 ANGTANGJIANCE
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”.
(1)椭圆������������22
+
名师点拨两条曲线有交点的充要条件是由这两条曲线的方程所 组成的方程组有实数解.方程组有几个解,则两条曲线就有几个交 点.
一 二 思考辨析
首页
X D 新知导学 INZHIDAOXUE
答疑解惑
AYIJIEHUO
D当堂检测 ANGTANGJIANCE
【做一做2】 求曲线2y2+3x+3=0与曲线x2+y2-4x-5=0的公共点.
由
������ = ������������ + 1, ������2 = 2������,
消去y,整理,得k2x2+2(k-1)x+1=0.
∴当k=0时,y=1;
当k≠0时,Δ=0⇒k=
1 2
.
∴直线方程为x-2y+2=0.
∴直线方程有三条,分别为x=0,y=1,x-2y+2=0.
探究一
探究二
首页
则||������������������������||=e=12,∴|MN|=2|MF|,
即|AM|+2|MF|=|AM|+|MN|,
当A,M,N同时在垂直于右准线的一条直线上时,|AM|+2|MF|取得
最小值, 此时 yM=yA=√3,代入1������62 + 1������22=1,
2019-2020版数学新学案北师大版选修1-2练习：第一章 统计案例 模块复习课1
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为 y=bx+a.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)
求得的直线方程为 y=b'x+a',则以下结论正确的是( )
A.b>b',a>a'
B.b>b',a<a'
C.b<b',a>a'
D.b<b',a<a'
( ) 解析:������
=
21 6
=
7,������
A.r2<r1<0
B.0<r2<r1 C.r2<0<r1 D.r2=r1
解析:变量 Y 随 X 的增大而增大,故 Y 与 X 正相关,所以 r1>0;变量 V 随 U 的增大而减小,故 V 与 U 负
相关,即 r2<0,所以 r2<0<r1. 答案:C
3.已知 x 与 y 之间的几组数据如下表:
x1 2 3 4 5 6 y0 2 1 3 3 4
所有的基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),…,(6,6),共 36 个. 事件 A 包含的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(4,6),(5,5),(6,4),共 8 个,
8 =2 ∴P(A)=36 9.
二、B 组
1.四名同学根据各自的样本数据研究变量 x,y 之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别得到以下四 个结论:
解析:∵χ2≈4.844,这表明小概率事件发生. 根据假设检验的基本原理,应该有 95%的把握断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立.
答案:95% 7.某数学老师的身高是 176 cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是 173 cm,170 cm 和 182 cm.因儿子 的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm. 解析:儿子和父亲的身高可列表如下:
2019-2020版数学新学案北师大版选修2-1练习：第三章 圆锥曲线与方程 模块复习4 Word版含解析.pdf
第4课时 圆锥曲线中最值、定点综合问题课后训练案巩固提升A 组1.过抛物线y 2=8x 的焦点,作倾斜角为45°的直线,则被抛物线截得的弦长为( )A .8B .16C .32D .64解析:抛物线中2p=8,p=4,则焦点坐标为(2,0),过焦点且倾斜角为45°的直线方程为y=x-2,由得x 2-12x+4=0,{y =x -2,y 2=8x ,则x 1+x 2=12(x 1,x 2为直线与抛物线两个交点的横坐标).从而弦长为x 1+x 2+p=12+4=16.答案:B2.已知点F 为抛物线y 2=x 的焦点,点A ,B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧,=2(其中O 为坐标原点),则△ABO 与OA ·OB △AFO 面积之和的最小值是( )A .2B .3C .D .172810解析:设直线AB 的方程为x=ty+m ,点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线AB 与x 轴的交点为M (m ,0),由得y 2-ty-m=0,{x =ty +m ,y 2=x ,∴y 1·y 2=-m.∵=2,∴x 1·x 2+y 1·y 2=2,OA ·OB 结合=x 1及=x 2,得(y 1·y 2)2+y 1·y 2-2=0,y 21y 22解得y 1y 2=-2或y 1y 2=1.∵点A ,B 位于x 轴的两侧,∴y 1·y 2=-2,故m=2.不妨令点A 在x 轴上方,则y 1>0.又F ,(14,0)∴S △ABO +S △AFO =×2×(y 1-y 2)+×y 1=y 1+≥2=3,当且仅当y 1=,即y 1=时等号成立,所以△ABO 1212×14982y 198y 1×2y 1982y 143与△AFO 面积之和的最小值是3.答案:B3.导学号90074104若AB 为过椭圆=1中心的弦,F 1为椭圆的焦点,则△F 1AB 面积的最大值x 225+y 216为( )A.6B.12C.24D.48解析:不妨设F 1为左焦点,即F 1(-3,0).当直线AB 斜率不存在时,△F 1AB 的面积为S=×3×8=12;12当直线AB 斜率存在时,设AB 的方程为y=kx.与椭圆方程联立,消去y 得,(16+25k 2)x 2=400.令A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∴x 1+x 2=0,x 1x 2=.-40016+25k 2∴|AB|=·|x 1-x 2|1+k 2=1+k 2·(x 1+x 2)2-4x 1x 2=.1+k 2·1 60016+25k 2又点F 1到直线AB 的距离为d=,|-3k |1+k 2∴△F 1AB 的面积为S=d ·|AB|12=12·|3k |1+k 2·1+k 2·1 60016+25k 2=60=60<12.k 216+25k 2116k2+25答案:B4.已知过椭圆C :=1(a>b>0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ,且点B 在x 轴上的射影恰为x 2a 2+y 2b 2右焦点F ,若<k<,则椭圆C 的离心率的取值范围是 .1312解析:由已知,得|AF|=a+c ,点B 在x 轴上的射影恰为右焦点F ,把x=c 代入椭圆得|BF|=,a 2-c 2a 所以k=tan ∠BAF=.|BF ||AF |=a 2-c 2a (a +c )=a -c a 又<k<,即,131213<a -c a <12所以<1-e<,解得<e<,13121223所以椭圆C 的离心率的取值范围是.(12,23)答案:(12,23)5.已知点P 在椭圆7x 2+4y 2=28上,则点P 到直线3x-2y-16=0的距离的最大值为 .解析:利用数形结合法,设与已知直线平行且与椭圆相切的直线为l :y=x+b ,与椭圆方程联立消元后,令Δ=0可求得32b=±4,然后求直线l 与3x-2y-16=0的距离即得所求的最大值.答案:2413136.已知直线l 与抛物线y 2=4x 交于A ,B 两点,O 为坐标原点,若=-4,则直线l 恒过的定点M 的坐标是 . OA ·OB 解析:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1x 2+y 1y 2=-4.当直线l 的斜率不存在时,设其方程为x=x 0(x 0>0),则-4x 0=-4,解得x 0=2;x 20当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y=kx+b ,由得ky 2-4y+4b=0,得y 1y 2=,则x 1x 2=,得=-4,{y =kx +b ,y 2=4x ,4b k y 21y 2216=b 2k 2b 2k 2+4b k ∴=-2,有b=-2k ,直线y=kx-2k=k (x-2)恒过定点(2,0).b k 又直线x=2也恒过定点(2,0),得点M 的坐标为(2,0).答案:(2,0)7.如图,设P 是圆x 2+y 2=2上的动点,点D 是点P 在x 轴上的投影,M 为PD 上一点,且|PD|=|MD|,当点P 在圆上运动2时,记点M 的轨迹为曲线C.(1)求证曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆,并求其方程;(2)设椭圆C 的右焦点为F 2,直线l :y=kx+m 与椭圆C 交于A ,B 两点,直线F 2A 与F 2B 的倾斜角互补,求证直线l 过定点,并求出该定点的坐标.解(1)设点M 的坐标为(x ,y ),点P 的坐标为(x P ,y P ),由已知,得{x P =x ,y P =2y .∵点P 在圆x 2+y 2=2上,∴x 2+(y )2=2,即+y 2=1,2x 22∴曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆,其方程为+y 2=1.x 22(2)由消去y ,得(2k 2+1)x 2+4kmx+2m 2-2=0.{x 22+y 2=1,y =kx +m ,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=-,x 1x 2=.4km 2k 2+12m 2-22k 2+1∵F 2的坐标为(1,0),∴,k F 2A =kx 1+mx 1-1,k F 2B =kx 2+m x 2-1由直线F 2A 与F 2B 的倾斜角互补,得=0,即=0,k F 2A +k F 2B kx 1+mx 1-1+kx 2+mx 2-1化简得2kx 1x 2+(m-k )(x 1+x 2)-2m=0,∴2k ·-2m=0,2m 2-22k 2+1‒4km (m -k )2k 2+1整理得m=-2k.∴直线l 的方程为y=k (x-2),∴直线l 过定点,定点坐标为(2,0).8.已知椭圆E :=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率e=,点D (0,1)在椭圆E 上.x 2a 2+y 2b222(1)求椭圆E 的方程;(2)设过点F 2且不与坐标轴垂直的直线交椭圆E 于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G (t ,0),求点G 的横坐标t 的取值范围.解(1)由题意,知b=1,e 2=,c 2a 2=a 2-b 2a 2=12∴a 2=2,a=,∴椭圆E 的方程为+y 2=1.2x 22(2)设直线AB 的方程为y=k (x-1)(k ≠0),代入+y 2=1,整理得(1+2k 2)x 2-4k 2x+2k 2-2=0.x 22设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),AB 的中点N (x 0,y 0),则x 1+x 2=,x 1x 2=,4k 22k 2+12k 2-21+2k 2x 0=(x 1+x 2)=,122k 22k 2+1y 0=k (x 0-1)=-.k 2k 2+1AB 的垂直平分线NG 的方程为y-y 0=-(x-x 0),1k 令y=0,得t=x 0+ky 0=.2k 22k 2+1‒k 22k 2+1=k 22k 2+1=12‒14k 2+2∵k ≠0,∴0<t<.12∴点G 的横坐标t 的取值范围为.(0,12)9.已知抛物线y 2=2x 的焦点是F ,点P 是抛物线上的动点,点A (3,2).(1)求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时点P 的坐标;(2)求点P 到点B 的距离与点P 到直线x=-的距离之和的最小值.(-12,1)12解(1)将x=3代入y 2=2x ,得y=±.6∵>2,∴点A 在抛物线内部.6设抛物线上点P 到准线l :x=-的距离为d ,12由抛物线的定义,知|PA|+|PF|=|PA|+d ,当PA ⊥l 时,|PA|+d 最小,最小值为,72即|PA|+|PF|的最小值为,72此时点P 的纵坐标为2,代入y 2=2x ,得x=2.∴点P 的坐标为(2,2).(2)设抛物线上点P 到准线l 的距离为d ,由于直线x=-即为抛物线的准线,12根据抛物线的定义,得|PB|+d=|PB|+|PF|≥|BF|,当且仅当B ,P ,F 三点共线时取等号,而|BF|=,(12+12)2+(0-1)2=2∴|PB|+d 的最小值为.210.如图,在△ABC 中,|AB|=|AC|=,|BC|=2,以B ,C 为焦点的椭圆恰好过AC 的中点P.72(1)求椭圆的标准方程;(2)过椭圆的右顶点A 1作直线l 与圆E :(x-1)2+y 2=2相交于M ,N 两点,试探究点M ,N 能否将圆E 分割成弧长比为1∶3的两段弧,若能,求出直线l 的方程;若不能,请说明理由.解(1)设椭圆的标准方程为=1(a>b>0).x 2a 2+y 2b2∵|AB|=|AC|=,|BC|=2,72∴|BO|=|OC|=1,|OA|=,|AC |2-|OC |2=494-1=35∴B (-1,0),C (1,0),A ,∴P .(0,352)(12,354)∴2a=|PB|+|PC|==4,(12+1)2+(354-0)2+(12-1)2+(354-0)2=94+74∴a=2.又c=1,∴b 2=a 2-c 2=3.∴椭圆的标准方程为=1.x 24+y 23(2)椭圆的右顶点A 1(2,0),圆E 的圆心为E (1,0),半径r=.2假设点M ,N 能将圆E 分割成弧长比为1∶3的两段弧,则∠MEN=90°,圆心E (1,0)到直线l 的距离d=r=1.22当直线l 的斜率不存在时,l 的方程为x=2,此时圆心E (1,0)到直线l 的距离d=1,满足题意.当直线l 的斜率存在时,设l 的方程为y=k (x-2),即kx-y-2k=0,∴圆心E (1,0)到直线l 的距离d==1,无解.|k |k 2+1综上,点M ,N 能将圆E 分割成弧长比为1∶3的两段弧,此时l 的方程为x=2.B 组1.(2016四川高考)设O 为坐标原点,P 是以F 为焦点的抛物线y 2=2px (p>0)上任意一点,M 是线段PF 上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM 的斜率的最大值为( )A. B. C. D.1332322解析:设P (2pt 2,2pt ),M (x ,y )(不妨设t>0),F ,(p 2,0)则.FP =(2pt 2-p 2,2pt ),FM =(x -p 2,y )∵,FM =13FP ∴{x -p 2=2p 3t 2-p 6,y =2pt 3,∴{x =2p 3t 2+p 3,y =2pt 3.∴k OM =,2t2t 2+1=1t +12t ≤1212=22当且仅当t=时等号成立.22∴(k OM )max =,故选C .22答案:C 2.在平面直角坐标系xOy 中,点P 为双曲线x 2-2y 2=1的右支上的一个动点,若点P 到直线x-y+=0的距离大于c 22恒成立,则实数c 的最大值为( )A .2B .C .D .3263263解析:因为直线x-y+=0与双曲线x 2-2y 2=1的一条渐近线x-y=0平行,所以c 的最大值即为两平行直线间的距222离,c max =,故选C .21+2=63答案:C3.已知椭圆=1(a 为定值,且a>)的左焦点为F ,直线x=m 与该椭圆交于点A ,B ,△FAB 的周长的最大值是12,则x 2a 2+y 255该椭圆的离心率是 .解析:设右焦点为F',直线x=m 与x 轴相交于点C ,由椭圆的定义,知△FAB 的周长为|AF|+|BF|+|AB|=2a-|AF'|+2a-|BF'|+|AB|=4a+|AB|-|AF'|-|BF'|.∵|AF'|+|BF'|≥|AB|(当且仅当AB 过点F'时,取等号),∴4a+|AB|-|AF'|-|BF'|≤4a ,∴当且仅当AB 过点F'时,△FAB 周长最大,最大值为4a=12,∴a=3,∴e=.c a =32-53=23答案:234.已知F 1,F 2分别为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P 为双曲线右支上任意一点,若的最小值为8a ,则该x 2a 2‒y 2b2|PF 1|2|PF 2|双曲线的离心率的取值范围是 .解析:∵+|PF 2|+4a ≥2+4a=8a ,当且仅当|PF 2|=2a 时等号成立,而|PF 2|≥c-a ,即|PF 1|2|PF 2|=(2a +|PF 2|)2|PF 2|=4a 2|PF 2|4a 22a ≥c-a ,所以c ≤3a ,即e ≤3.又e>1,得1<e ≤3.答案:(1,3]5.如图,在平面直角坐标系xOy 中,离心率为的椭圆C :=1(a>b>0)的左顶点为A ,过原点O 的直线(与坐标轴不22x 2a 2+y 2b2重合)与椭圆C 交于P ,Q 两点,直线PA ,QA 分别与y 轴交于M ,N 两点.若当直线PQ 的斜率为时,|PQ|=2.223(1)求椭圆C 的标准方程;(2)试问以MN 为直径的圆是否经过定点(与直线PQ 的斜率无关)?请证明你的结论.解(1)∵当直线PQ 的斜率为时,|PQ|=2,223此时可设P ,(x 0,22x 0)∴=3,∴=2,∴=1.x 20+(22x 0)2x 202a 2+1b2∵e=,∴a 2=4,b 2=2.c a =a 2-b 2a =22∴椭圆C 的标准方程为=1.x 24+y 22(2)以MN 为直径的圆过定点(±,0),证明如下:2设P (x 0,y 0),则Q (-x 0,-y 0),且=1,x 204+y 202即+2=4.x 20y 20∵A (-2,0),∴直线PA 的方程为y=(x+2),y 0x 0+2∴M .(0,2y 0x 0+2)又直线QA 的方程为y=(x+2),y 0x 0-2∴N ,(0,2y 0x 0-2)以MN 为直径的圆为(x-0)(x-0)+=0,(y -2y 0x 0+2)(y -2y 0x 0-2)即x 2+y 2-y+=0,4x 0y 0x 20-44y 20x 20-4∵-4=-2,∴x 2+y 2+y-2=0,x 20y 202x 0y 0令y=0,则x 2-2=0,解得x=±,2∴以MN 为直径的圆过定点(±,0).26.已知抛物线的顶点在坐标原点,准线方程为x=1,F 是焦点,过点A (-2,0)的直线与抛物线交于P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)两点,直线PF ,QF 分别交抛物线于点M ,N.(1)求抛物线的方程及y 1y 2的值;(2)若直线PQ ,MN 的斜率都存在,记直线PQ ,MN 的斜率分别为k 1,k 2,证明:为定值.k 1k 2解(1)依题意,设抛物线方程为y 2=-2px (p>0),由准线x==1,得p=2,p 2所以抛物线方程为y 2=-4x.由题意,设直线PQ 的方程为x=my-2,代入y 2=-4x ,消去x ,整理得y 2+4my-8=0,从而y 1y 2=-8.(2)设M (x 3,y 3),N (x 4,y 4),则.k 1k 2=y 1-y 2x 1-x 2·x 3-x 4y 3-y 4=y 1-y 2y 21-4-y 22-4·y 23-4-y 24-4y 3-y 4=y 3+y 4y 1+y 2设直线PM 的方程为x=ny-1,代入y 2=-4x ,消去x ,整理得y 2+4ny-4=0,所以y 1y 3=-4,同理y 2y 4=-4.故,为定值.k 1k 2=y 3+y 4y 1+y 2=-4y 1+-4y 2y 1+y 2=-4y 1y 2=-4-8=127.导学号90074105已知椭圆C :=1(a>b>0)的离心率是,其左、右顶点分别为A 1,A 2,B 为短x 2a 2+y 2b 212轴的一个端点,△A 1BA 2的面积为2.3(1)求椭圆C 的方程;(2)若直线l :x=2与x 轴交于点D ,点P 是椭圆C 上异于A 1,A 2的动点,直线A 1P ,A 2P 分别交直线l 于E ,F 两点,证2明:|DE|·|DF|恒为定值.解(1)由已知,得解得a=2,b=.{c a =12,ab =23,a 2=b 2+c 2,3故所求椭圆C 的方程为=1.x 24+y 23(2)由(1)可知A 1(-2,0),A 2(2,0).设P (x 0,y 0),依题意-2<x 0<2,于是直线A 1P 的方程为y=(x+2),y 0x 0+2令x=2,则y=,2(22+2)y 0x 0+2即|DE|=(2+2).2|y 0||x 0+2|又直线A 2P 的方程为y=(x-2),y 0x 0-2令x=2,则y=,2(22-2)y 0x 0-2即|DF|=(2-2).2|y 0||x 0-2|所以|DE|·|DF|=(2+2)·(2-2)·.(*)2|y 0||x 0+2|2|y 0||x 0-2|=4y 20|x 20-4|=4y 204-x 20又P (x 0,y 0)在椭圆C 上,所以3+4=12,x 20y 20即4=12-3,代入(*)式,得|DE|·|DF|==3,y 20x 203(4-x 20)4-x 20所以|DE|·|DF|为定值3.。
2019-2020版数学新学案北师大版选修2-1__模块复习与测试 _4.4
课前预习案
课堂探究案
专题归纳 高考体验
专题一 范围与最值问题 【例1】 已知椭圆G: ���4���2+y2=1.过点(m,0)作圆x2+y2=1的切线l交 椭圆G于A,B两点. (1)求椭圆G的焦点坐标和离心率; (2)将|AB|表示为m的函数,并求|ABห้องสมุดไป่ตู้的最大值.
解:(1)由已知得 a=2,b=1,所以 c= ������2-������2 = √3.
当|m|>1 时,设切线 l 的方程为 y=k(x-m).
������ = ������(������-������),
由
������2 4
+ ������2
=
得(1+4k2)x2-8k2mx+4k2m2-4=0. 1
设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则 x1+x2=18+������24������������2,x1x2=41������+2���4������2���2-4.
将①②代入③,化简,得2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0,∴k=-b,此时
Δ>0,
∴直线l的方程为y=k(x-1),∴直线l过定点(1,0).
专题归纳 高考体验
课前预习案
课堂探究案
反思感悟定点的探索与证明问题: (1)探索直线过定点时,可设出直线方程为y=kx+b,然后利用条件 建立b,k的等量关系进行消元,借助于直线系的思想找出定点. (2)从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关.
专题归纳 高考体验
课前预习案
课堂探究案
∴|O1M|=√������2 + 42,
2019-2020版数学新学案北师大版选修2-1___第三章 圆锥曲线与方程习题课1
������ = 3������-1,
解析:由
������2 4
+
������2 8
=
1,
得11x2-6x-7=0,所以Δ>0,故直线与椭圆相交,有2个公共点.
答案:C
一二
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答疑解惑
AYIJIEHUO
D当堂检测 ANGTANGJIANCE
【做一做4】 已知斜率为1的直线l过椭圆 ���4���2+y2=1的右焦点,交
2a=6,c=2,
所以b2=a2-c2=5.
又因为A,B,C三点构成三角形,
所以点C不能在x轴上,
所以顶点
C
的轨迹方程为������2
9
+
���5���2=1(y≠0).
答案:���9���2 + ���5���2=1(y≠0)
探究一
探究二
思想方法
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反思感悟解决轨迹问题时,如果在题目的条件中,出现了定点 (m,0),(-m,0)或(0,m),(0,-m)(当然也可以是某定圆的圆心)时,就要重 点考察动点所满足的条件,特别是考察动点到两个定点的距离之和 是否是一个定值,如果是一个定值,并且这个定值大于两个定点之 间的距离,那么动点的轨迹就是椭圆(或椭圆的一部分).
解:(1)设椭圆 C 的方程为������������22 + ������������22=1,
2019-2020版数学新学案北师大版选修1-2练习：第四章 数系的扩充与复数的引入 模块复习课4 Word版含解析.pdf
第4课时 复数课后训练案巩固提升一、A 组1.已知复数z=,其中i 为虚数单位,则在复平面内复数z 的共轭复数所对应的点在( )3+i1-i z A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限z==1+i +i =1+2i,所以共轭复数=1-2i,所对应的点位于第四象限.3+i 1-i =21-i +1+i1-i z2.已知i 为虚数单位,复数z 满足z (1-i)=1+i,则z 2 016=( )A.1B.-1C.iD.-iz (1-i)=1+i,得z==i,则z 2 016=i 2 016=(i 4)504=1.1+i1-i3.复数z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位),则z 的共轭复数为( )z A.2+i B.2-i C.5+i D.5-i(z-3)(2-i)=5,∴z-3==2+i,52-i ∴z=5+i,∴=5-i .故选D .z4.若复数(a ∈R ,i 为虚数单位)是纯虚数,则实数a 的值为( )a +3i1+2i A.-2 B.4 C.-6 D.6为纯虚数,∴a+6=0,∴a=-6.(a +3i )(1-2i )5=a +6+(3-2a )i55.设i 是虚数单位,是复数z 的共轭复数,若z=,则= . z 2i 31+i z z==-1-i,所以=-1+i .2i 31+i =-2i (1-i )(1+i )(1-i )z1+i6.复数在复平面中的第 象限.21+i +1+i 2因为复数=1-i +i =i 在复平面中对应的点为,是第21+i +1+i 2=2(1-i )(1+i )(1-i )+1+i 212+1232‒12(32,-12)四象限的点.7.设z ∈C ,z+||=2+i,则z= .zz=a+b i(a ,b ∈R ),则=a-b i,||=,∴a+b i +=2+i,z z a 2+b 2a 2+b 2∴∴z=+i .{a +a 2+b 2=2,b =1,∴{a =34,b =1,34i8.已知复数z 满足|z|=1+3i -z ,化简.(1+i )2(3+4i )22zz=a+b i(a ,b ∈R ),∵|z|=1+3i -z ,∴-1-3i +a+b i =0.a 2+b 2∴∴z=-4+3i,{a 2+b 2+a -1=0,b -3=0,解得{a =-4,b =3,∴=3+4i .(1+i )2(3+4i )22z =2i (-7+24i )2(-4+3i )=24+7i 4-3i 9.已知复数z 的实部为正数,|z|=,z 2的虚部为2.2(1)求复数z ;(2)设z ,z 2,z-z 2在复平面内对应的点分别为A ,B ,C ,求△ABC 的面积.设z=a+b i(a ,b ∈R ),则由条件|z|=可得a 2+b 2=2 ①.2因为z 2=a 2-b 2+2ab i,所以其虚部为2ab=2 ②.联立①②,解得a=b=1或a=b=-1.又复数z 的实部为正数,所以a>0,所以a=b=1,于是z=1+i .(2)由(1)可知z=1+i,则z 2=2i,z-z 2=1-i,所以A (1,1),B (0,2),C (1,-1),由此可得S △ABC =1,所以△ABC 的面积为1.10.导学号18334066设O 为坐标原点,已知向量分别对应复数z 1,z 2,且z 1=OZ 1,OZ 23a +5+(10-a 2)i,z 2=+(2a-5)i,a ∈R .若+z 2可以与任意实数比较大小,求的值.21-a z 1OZ 1·OZ 2,得-(10-a 2)i,z 1=3a +5则+z 2=-(10-a 2)i ++(2a-5)i =+(a 2+2a-15)i .z 13a +521-a (3a +5+21-a )∵+z 2可以与任意实数比较大小,z 1∴+z 2是实数,z 1∴a 2+2a-15=0,解得a=-5或a=3,又a+5≠0,∴a=3,∴z 1=+i,z 2=-1+i .38∴=(-1,1),OZ 1=(38,1),OZ 2∴×(-1)+1×1=.OZ 1·OZ 2=3858二、B 组1.设z 1,z 2是复数,则下列命题中的假命题是( )A.若|z 1-z 2|=0,则z 1=z 2B.若z 1=,则=z 2z 2z 1C.若|z 1|=|z 2|,则z 1·=z 2·z 1z 2D.若|z 1|=|z 2|,则z 21=z 22z 1=a+b i,z 2=c+d i,a ,b ,c ,d ∈R .若|z 1-z 2|=0,则z 1-z 2=(a-c )+(b-d )i =0,所以a=c ,b=d ,所以,所以A 正确;z 1=z 2若z 1=,则a=c ,b=-d ,所以=z 2,故B 正确;z 2z 1若|z 1|=|z 2|,则a 2+b 2=c 2+d 2,所以z 1·=z 2·,故C 正确;z 1z 2=(a 2-b 2)+2ab i,=(c 2-d 2)+2cd i,在a 2+b 2=c 2+d 2的条件下,不能保证a 2-b 2=c 2-d 2,2ab=2cd ,故D 错z 21z 22误.2.定义运算=ad-bc ,则符合条件=4+2i 的复数z 为( )|a b c d ||1 -1z z i |A.3-i B.1+3i C.3+i D.1-3i=z i +z=z (1+i)=4+2i,1 -1z z i |∴z==3-i .4+2i 1+i =(4+2i )(1-i )2=4+2-2i 23.已知复数z=x+y i(x ,y ∈R ),且|z-2|=,则的最大值为 . 3yx 2|=,∴(x-2)2+y 2=3.(x -2)2+y 2=3如图所示,故.(y x )max =31=34.导学号18334067若关于x 的方程x 2+(1+2i)x-(3m-1)i =0有实根,则纯虚数m= .m=b i(b ∈R 且b ≠0),x 0为一实根,由题意得+(1+2i)x 0-(3b i -1)i =0,x 20∴(+x 0+3b )+(2x 0+1)i =0,x 20∴{x 20+x 0+3b =0,2x 0+1=0,解得{x 0=-12,b =112,∴m=i .1125.导学号18334068复数z 和w 满足zw+2i z-2i w+1=0,其中i 为虚数单位.(1)若z 和w 又满足-z=2i,求z 和w 的值;w (2)求证:如果|z|=,那么|w-4i |的值是一个常数,并求这个常数.3设z=a+b i,w=c+d i(a ,b ,c ,d ∈R ),由zw+2i z-2i w+1=0得(a+b i)(c+d i)+2i(a+b i)-2i(c+d i)+1=0,即(ac-bd-2b+2d+1)+(ad+bc+2a-2c )i =0.∴{ac-bd-2b+2d+1=0, ①ad+bc+2a-2c=0. ②w又-z=2i,∴c-d i-(a+b i)=2i.即(c-a)-(b+d)=2i.∴{c-a=0, ③b+d=-2. ④解①②③④组成的方程组,得a=0,c=0,d=-1,b=-1或a=0,c=0,d=-5,b=3.∴z=-i,w=-i或z=3i,w=-5i.(2)∵zw+2i z-2i w+1=0,∴z(w+2i)=2i w-1,∴|z(w+2i)|=|2i w-1|,即|z||w+2i|=|2i w-1|.又|z|=,33∴|w+2i|=|2i w-1|.设w=x+y i(x,y∈R),代入上式整理得3·x2+y2+4y+4=4x2+4y2+4y+1,两边平方得3x2+3y2+12y+12=4x2+4y2+4y+1,化简得x2+y2-8y=11.∴|w-4i|=|x+y i-4i|=x2+(y-4)2x2+y2-8y+16=11+16=273==3是一个常数.∴|w-4i|的值是一个常数,且这个常数为3.3。
2019-2020版数学新学案北师大版选修2-1练习：第二章 空间向量与立体几何 模块复习2 Word版含解析.pdf
第2课时 利用空间向量解决空间问题课后训练案巩固提升A 组1.若平面α,β的法向量分别为u =(2,-3,5),v =(-3,1,-4),则( )A .α∥βB .α⊥βC .α与β斜交D .以上均正确解析:∵u 与v 既不平行也不垂直,∴α与β斜交.答案:C2.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,棱长为a ,M ,N 分别为A 1B 和AC 上的点,A 1M=AN=a ,则MN 与平面23BB 1C 1C 的位置关系是( )A .相交B .平行C .垂直D .不能确定解析:MN =MA 1+A 1A +AN=13BA 1+A 1A +13AC=)+)13(BA +AA 1A 1A +13(AB +BC =.23A 1A +13BC =23B 1B +13BC ∴共面.MN 与B 1B ,BC又∵MN ⊈平面BB 1C 1C ,∴MN ∥平面BB 1C 1C.答案:B3.ABCD 是直角梯形,∠ABC=90°,SA 垂直于面ABCD ,SA=AB=BC=1,AD=,则SC 与平面ABCD 所成12角的余弦值为( )A .B .6312C .D .3332解析:由题意知是平面ABCD 的法向量,设的夹角为φ,AS CS 与AS ∵,CS =CB +BA +AS ∴)=1,AS ·CS =AS CB +BA +AS AS ·AS 又||=1,||=,AS CS =3∴cos φ=,AS ·CS|AS ||CS |=33∴SC 与平面ABCD 所成角的余弦值为.63答案:A4.导学号90074096在底面为直角梯形的四棱锥S-ABCD 中,∠ABC=90°,SA ⊥平面ABCD ,SA=AB=BC=1,AD=,则平面SCD 与平面SAB 夹角的余弦值为( )12A .B .3363C .D .6422解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则A (0,0,0),D ,C (1,1,0),S (0,0,1),平面SAB 的一个法向量(12,0,0),并求得平面SCD 的一个法向量n =,则cos <,n >=.AD =(12,0,0)(1,-12,12)AD AD ·|AD ||n |63答案:B5.如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是棱CD ,CC 1的中点,则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是 .解析:以D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,设AB=1,则D (0,0,0),N (0,1,12),M ,A 1(1,0,1),(0,12,0)∴,DN =(0,1,12),MA 1=(1,-12,1)∴=1×0+1××1=0,DN ·MA 1(-12)+12∴,DN ⊥MA 1∴A 1M 与DN 所成的角的大小是90°.答案:90°6.已知四面体的顶点A (2,3,1),B (4,1,-2),C (6,3,7)和D (-5,-4,8),则顶点D 到平面ABC 的距离为 .解析:设平面ABC 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),则{n ·AB =0,n ·AC =0,即{(x ,y ,z )·(2,-2,-3)=0,(x ,y ,z )·(4,0,6)=0,∴{2x -2y -3z =0,4x +6z =0,∴{y =2x ,z =-23x ,令x=1,则n =,(1,2,-23)又易得=(-7,-7,7),AD 故所求距离为=11.|AD ·n ||n |=|-7-14-143|1+4+49答案:117.如图,已知在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是矩形,且AD=2,AB=1,PA ⊥平面ABCD ,E ,F 分别是线段AB ,BC 的中点.(1)证明:PF ⊥FD ;(2)判断并说明PA 上是否存在点G ,使得EG ∥平面PED.(1)证明∵PA ⊥平面ABCD ,∠BAD=90°,AB=1,AD=2,如图,建立空间直角坐标系Axyz ,则A (0,0,0),B (1,0,0),F (1,1,0),D (0,2,0).不妨令P (0,0,t ),∴=(1,1,-t ),=(1,-1,0),PF DF ∴=1×1+1×(-1)+(-t )×0=0,PF ·DF ∴,即PF ⊥FD.PF ⊥DF (2)解设平面PFD 的法向量为n =(x ,y ,z ),由{n ·PF =0,n ·DF =0,得{x +y -tz =0,x -y =0,令z=1,解得x=y=,t 2∴n =.(t 2,t2,1)设点G 的坐标为(0,0,m ),又E ,则.(12,0,0)EG =(-12,0,m )要使EG ∥平面PFD ,只需n =0,EG 即+0×+m×1=0,(-12)×t 2t 2即m-=0,t 4解得m=t ,14从而满足AG=AP 的点G 即为所求.148.导学号90074097如图,已知DA ⊥平面ABC ,AC ⊥CB ,AC=CB=AD=2,E 是DC 的中点,F 是AB 的中点.(1)证明:AC⊥EF;(2)求平面ABD与平面BCD夹角的正切值;(3)求点A到平面BCD的距离.(1)证明如图,以A为原点,建立空间直角坐标系(y轴∥CB),则A(0,0,0),D(0,0,2),B(2,2,0),C(2,0,0),从而E(1,0,1),F(1,1,0).AC EF所以=(2,0,0),=(0,1,-1),AC·EF所以=2×0+0×1+0×(-1)=0,AC⊥EF所以,因此AC⊥EF.(2)解连接AE.因为AC=CB,且F为AB的中点,所以CF⊥AB.因为DA⊥平面ABC,所以AD⊥CF.又AB∩AD=A,从而CF⊥平面ABD,FC故=(1,-1,0)为平面ABD的法向量.在△ADC中,因为AD=AC,E为CD的中点,所以AE⊥CD.因为DA⊥平面ABC,所以AD⊥BC.又AC⊥BC,所以BC⊥平面ACD.因为AE⫋平面ACD,所以AE⊥BC.又BC ∩CD=C ,所以AE ⊥平面BCD ,故=(1,0,1)为平面BCD 的一个法向量.AE 所以cos <>=.AE ,FC AE FC |AE ||FC |=12×2=12故平面ABD 与平面BCD 夹角的正切值为.3(3)解因为为平面BCD 的法向量,且=(1,0,1),所以点A 到平面BCD 的距离d=.AE AE 29.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,求异面直线A 1C 1与AB 1间的距离.解如图,以D 为坐标原点,建立空间直角坐标系D-xyz ,则A (1,0,0),A 1(1,0,1),B 1(1,1,1),C 1(0,1,1),∴=(0,1,1),=(-1,1,0),AB 1A 1C 1设MN 是异面直线A 1C 1与AB 1的公垂线段,且=λ=(0,λ,λ),=μ=(-μ,μ,0),AN AB 1A 1M A 1C 1则MN =MA 1+A 1A +AN=-(-μ,μ,0)+(0,0,-1)+(0,λ,λ)=(μ,λ-μ,λ-1).又由{MN ·A 1C 1=0,MN ·AB 1=0,即{λ-2μ=0,2λ-μ=1⇒{λ=23,μ=13,∴,∴||=,MN =(13,13,-13)MN 33∴异面直线A 1C 1与AB 1间的距离为.3B 组1.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( )A .B .C .D .23332363解析:设正方体的棱长为1,建系如图所示,则D (0,0,0),B (1,1,0),B 1(1,1,1).平面ACD 1的一个法向量为=(1,1,1).DB 1又=(0,0,1),BB 1则cos <>DB 1,BB 1=.DB ·BB |DB 1||BB 1|13×1=3故BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为.1-(33)2=6答案:D 2.在四面体P-ABC 中,PA ,PB ,PC 两两垂直,设PA=PB=PC=a ,则点P 到平面ABC 的距离为( )A .a B .a C .D .a6333a 36解析:根据题意,以P 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系P-xyz ,则P (0,0,0),A (a ,0,0),B (0,a ,0),C (0,0,a ),所以=(-a ,a ,0),=(-a ,0,a ),=(a ,0,0).设平面ABC 的法向量为AB AC PA n =(x ,y ,z ),由所以令x=1,所以n =(1,1,1)是平面ABC 的一个法向量.所{n ⊥AB ,n ⊥AC 得{-ax +ay =0,-ax +az =0,{y =x ,z =x ,以P 到平面ABC 的距离d= a.|PA n ||n |=a 3=33答案:B3.如图,若正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,则平面AB 1D 1与平面BDC 1间的距离为( )A .B .C .D .232333解析:建立坐标系如图,则A (0,0,0),B (1,0,0),D (0,1,0),C 1(1,1,1),B 1(1,0,1),D 1(0,1,1).设平面AB 1D 1的法向量为n =(x ,y ,z ),则{n ·AB 1=0,n ·AD 1=0,∴{x +z =0,y +z =0.令z=-1,则n =(1,1,-1),显然n ·=0,n ·=0,BD BC 1∴n 也是平面BDC 1的一个法向量,∴平面AB 1D 1∥平面BDC 1,∴所求距离为.|AB ·n ||n |=33答案:D4.导学号90074098如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点P在正方形BCC1B1内及其边界上运动,并且总保持B1P∥平面A1BD,则动点P的轨迹的长度是 .解析:如图,建立空间直角坐标系D-xyz,DA1DB B1P 设动点P(x,1,z),则D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),B1(1,1,1),∴=(1,0,1),=(1,1,0),=(x-1,0,z-1),DA1DB设平面A1BD的法向量为n=(a,b,c),则n·=0,∴a+c=0;n·=0,∴a+b=0.∴b=c=-a,取n=(1,-1,-1), B1P∵B1P∥平面A1BD,∴n·=0,于是(x-1)-(z-1)=0,即x=a,∴点P在平面BCC1B1的对角线B1C上,∴动点P的轨迹的长度即对角线B1C的长,为.2答案:25.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点.(1)求证:平面AED⊥平面A1FD1;(2)在平面AE上是否存在一点M,使得A1M⊥平面AED?(1)证明建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),E(2,2,1),F(0,1,0),D(0,0,0),A1(2,0,2),D1(0,0,2).∴(2,0,0),=(2,2,1),=(0,1,-2).DA=D1A1DE D1F设平面AED的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),由{n1·DA=(x1,y1,z1)·(2,0,0)=0,n1·DE=(x1,y1,z1)·(2,2,1)=0,得{2x 1=0,2x 1+2y 1+z 1=0,令y 1=1,得n 1=(0,1,-2).同理可得平面A 1FD 1的一个法向量为n 2=(0,2,1).∵n 1·n 2=(0,1,-2)·(0,2,1)=0,∴n 1⊥n 2,∴平面AED ⊥平面A 1FD 1.(2)解设存在点M 在直线AE 上,则可设=λ=λ(0,2,1)=(0,2λ,λ),AM AE 则M (2,2λ,λ),∴=(0,2λ,λ-2).A 1M 要使A 1M ⊥平面AED ,只需A 1M ⊥AE ,即=(0,2λ,λ-2)·(0,2,1)=5λ-2=0,A 1M ·AE 解得λ=.25故当AM=AE 时,A 1M ⊥平面AED.25∴直线 AE 上存在一点M ,使A 1M ⊥平面AED.6.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AD=AA 1=1,AB=2,点E 在棱AB 上移动.(1)求证D 1E ⊥A 1D ;(2)当E 为AB 的中点时,求点E 到平面ACD 1的距离;(3)AE 等于何值时,平面D 1EC 与平面DEC 夹角为?π4(1)证明如图,以D 为原点,直线DA ,DC ,DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,设AE=x ,则A 1(1,0,1),D 1(0,0,1),E (1,x ,0),A (1,0,0),C (0,2,0).∵=(1,0,1)·(1,x ,-1)=0,DA 1·D 1E ∴,即DA 1⊥D 1E.DA 1⊥D 1E (2)解∵E 为AB 的中点,则E (1,1,0),∴=(1,1,-1),=(-1,2,0),=(-1,0,1).D 1E AC AD 1设平面ACD 1的法向量为m =(a ,b ,c ),∴{m ·AC =0,m ·AD 1=0,即{-a +2b =0,-a +c =0,得{a =2b ,a =c .取m =(2,1,2),∴点E 到平面AD 1C 的距离为h=.|D 1E ·m ||m |=2+1-23=13(3)设平面D 1EC 的法向量n =(a',b',c'),由(1)知=(1,x-2,0),=(0,2,-1),=(0,0,1).CE D 1C DD 1由{n ·D 1C =0,n ·CE =0,得{2b '-c '=0,a '+b '(x -2)=0.令b'=1,∴c'=2,a'=2-x ,∴n =(2-x ,1,2),∵是平面DEC 的一个法向量,DD 1∴cos ,∴.π4=|n ·DD |n ||DD 1|=222(x -2)2+5=22∴x 1=2+(不合题意,舍去),x 2=2-,33∴AE=2-时,平面D 1EC 与平面DEC 夹角为.3π47.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是A 1D 1,A 1C 1的中点,求:(1)异面直线AE 与CF 所成角的余弦值;(2)平面CAE 与平面FAE 夹角的余弦值.解不妨设正方体的棱长为2,分别以DA ,DC ,DD 1所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A (2,0,0),C (0,2,0),E (1,0,2),F (1,1,2).(1)由=(-1,0,2),=(1,-1,2),得||=,||=1+0+4=3,AE CF AE 5CF 又=||·||·cos <>=cos <>,AE ·CF AE CF AE ,CF 30AE ,CF ∴cos <>=,即所求值为.AE ,CF 30103010(2)∵=(0,1,0),EF ∴(-1,0,2)·(0,1,0)=0,AE ·EF ∴AE ⊥EF ,过C 作CM ⊥AE 于M ,则二面角C-AE-F 的平面角等于<>,EF ,MC ∵M 在AE 上,∴设=m ,则=(-m ,0,2m ),=(-2,2,0)-(-m ,0,2m )=(m-2,2,-2m ),AM AE AM MC =AC ‒AM ∵MC ⊥AE ,∴m=,25∴,∴=(0,1,0)·=0+2+0=2,||=.MC =(-85,2,-45)EF ·MC (-85,2,-45)MC 655又=||·||·cos <>=cos <>,∴cos <>=,EF ·MC EF MC EF ,MC 655EF ,MC EF ,MC 53∴平面CAE 与平面FAE 夹角的余弦值为.53。
2019-2020版数学新学案北师大版选修2-1__模块复习与测试 _4.2
解:由题易知PA⊥AD,PA⊥AB,AD⊥AB,以A为坐标原点,AD长为
单位长度建立如图所示的空间直角坐标系,
则 A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M
0,1,
1 2
.
(1)证明:∵������������ =(0,0,1),������������ =(0,1,0),
“×”.
(1)空间中任何两个向量都是共面向量. ( √ ) (2)若两个非零向量共线,则这两个向量的夹角为0°.( × ) (3)设a,b是两个非零向量,则a⊥b⇔a·b=0. ( √ ) (4)当直线的方向向量a与平面的法向量n垂直时,该直线与平面垂 直. ( × ) (5)设n1,n2为平面α,β的法向量,则n1与n2的夹角即为两平面的夹 角. ( × ) (6)直线l的方向向量为u,平面α的法向量为n,直线与平面所成的 角为θ,则sin θ=|cos<u,n>|. ( √ )
专题归纳 高考体验
课前预习案
课堂探究案
(2)存在点Q满足题意,证明如下:设Q(x,1-x,1),
所以������1 ������ =(x,1-x,0). 依题意,对任意的 m,D1Q 在平面 APD1 上的投影垂直于 AP⇔D1Q ⊥AP⇔������������ ·������1 ������=0⇔-x+(1-x)=0⇔x=12,即 Q 为 A1C1 的中点时,满足 题意要求.
则 sin θ=cos
π 2
-������
=
|������������·������������| |������������||������������|
=
2 .依题意,
√2· 2+������2
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第4课时圆锥曲线中最值、定点综合问题课后训练案巩固提升A组1.过抛物线y2=8x的焦点,作倾斜角为45°的直线,则被抛物线截得的弦长为()A.8B.16C.32D.64解析:抛物线中2p=8,p=4,则焦点坐标为(2,0),过焦点且倾斜角为45°的直线方程为y=x-2,由-得x2-12x+4=0,则x1+x2=12(x1,x2为直线与抛物线两个交点的横坐标).从而弦长为x1+x2+p=12+4=16.答案:B2.已知点F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是()A.2B.3C.D.解析:设直线AB的方程为x=ty+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB与x轴的交点为M(m,0),由得y2-ty-m=0,∴y1·y2=-m.∵=2,∴x1·x2+y1·y2=2,结合=x1及=x2,得(y1·y2)2+y1·y2-2=0,解得y1y2=-2或y1y2=1.∵点A,B位于x轴的两侧,∴y1·y2=-2,故m=2.不妨令点A在x轴上方,则y1>0.又F,∴S△ABO+S△AFO=×2×(y1-y2)+×y1=y1+≥2=3,当且仅当y1=,即y1=时等号成立,所以△ABO 与△AFO面积之和的最小值是3.答案:B3.导学号90074104若AB为过椭圆=1中心的弦,F1为椭圆的焦点,则△F1AB面积的最大值为()A.6B.12C.24D.48解析:不妨设F1为左焦点,即F1(-3,0).当直线AB斜率不存在时,△F1AB的面积为S=×3×8=12;当直线AB斜率存在时,设AB的方程为y=kx.与椭圆方程联立,消去y得,(16+25k2)x2=400.令A(x1,y1),B(x2,y2),∴x1+x2=0,x1x2=-.∴|AB|=·|x1-x2|=-=.又点F1到直线AB的距离为d=-,∴△F1AB的面积为S=d·|AB|==60=60<12.答案:B4.已知过椭圆C:=1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B,且点B在x轴上的射影恰为右焦点F,若<k<,则椭圆C的离心率的取值范围是.解析:由已知,得|AF|=a+c,点B在x轴上的射影恰为右焦点F,把x=c代入椭圆得|BF|=-,所以k=tan∠BAF=--.又<k<,即-,所以<1-e<,解得<e<,所以椭圆C的离心率的取值范围是.答案:5.已知点P在椭圆7x2+4y2=28上,则点P到直线3x-2y-16=0的距离的最大值为.解析:利用数形结合法,设与已知直线平行且与椭圆相切的直线为l:y=x+b,与椭圆方程联立消元后,令Δ=0可求得b=±4,然后求直线l与3x-2y-16=0的距离即得所求的最大值.答案:6.已知直线l与抛物线y2=4x交于A,B两点,O为坐标原点,若=-4,则直线l恒过的定点M的坐标是.解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2+y1y2=-4.当直线l的斜率不存在时,设其方程为x=x0(x0>0),则-4x0=-4,解得x0=2;当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+b,由得ky2-4y+4b=0,得y1y2=,则x1x2=,得=-4,∴=-2,有b=-2k,直线y=kx-2k=k(x-2)恒过定点(2,0).又直线x=2也恒过定点(2,0),得点M的坐标为(2,0).答案:(2,0)7.如图,设P是圆x2+y2=2上的动点,点D是点P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|PD|=|MD|,当点P在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线C.(1)求证曲线C是焦点在x轴上的椭圆,并求其方程;(2)设椭圆C的右焦点为F2,直线l:y=kx+m与椭圆C交于A,B两点,直线F2A与F2B的倾斜角互补,求证直线l过定点,并求出该定点的坐标.解(1)设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x P,y P),由已知,得∵点P在圆x2+y2=2上,∴x2+(y)2=2,即+y2=1,∴曲线C是焦点在x轴上的椭圆,其方程为+y2=1.(2)由消去y,得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-.∵F2的坐标为(1,0),∴--,由直线F2A与F2B的倾斜角互补,得=0,即--=0,化简得2kx1x2+(m-k)(x1+x2)-2m=0,∴2k·---2m=0,整理得m=-2k.∴直线l的方程为y=k(x-2),∴直线l过定点,定点坐标为(2,0).8.已知椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率e=,点D(0,1)在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程;(2)设过点F2且不与坐标轴垂直的直线交椭圆E于A,B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点G(t,0),求点G的横坐标t的取值范围.解(1)由题意,知b=1,e2=-,∴a2=2,a=,∴椭圆E的方程为+y2=1. (2)设直线AB的方程为y=k(x-1)(k≠0),代入+y2=1,整理得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点N(x0,y0),则x1+x2=,x1x2=-,x0=(x1+x2)=,y0=k(x0-1)=-.AB的垂直平分线NG的方程为y-y0=-(x-x0),令y=0,得t=x0+ky0=.∵k≠0,∴0<t<.∴点G的横坐标t的取值范围为.9.已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,点A(3,2).(1)求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时点P的坐标;(2)求点P到点B-的距离与点P到直线x=-的距离之和的最小值.解(1)将x=3代入y2=2x,得y=±.∵>2,∴点A在抛物线内部.设抛物线上点P到准线l:x=-的距离为d,由抛物线的定义,知|PA|+|PF|=|PA|+d,当PA⊥l时,|PA|+d最小,最小值为,即|PA|+|PF|的最小值为,此时点P的纵坐标为2,代入y2=2x,得x=2.∴点P的坐标为(2,2).(2)设抛物线上点P到准线l的距离为d,由于直线x=-即为抛物线的准线,根据抛物线的定义,得|PB|+d=|PB|+|PF|≥|BF|,当且仅当B,P,F三点共线时取等号,而|BF|=-,∴|PB|+d的最小值为.10.如图,在△ABC中,|AB|=|AC|=,|BC|=2,以B,C为焦点的椭圆恰好过AC的中点P.(1)求椭圆的标准方程;(2)过椭圆的右顶点A1作直线l与圆E:(x-1)2+y2=2相交于M,N两点,试探究点M,N能否将圆E分割成弧长比为1∶3的两段弧,若能,求出直线l的方程;若不能,请说明理由.解(1)设椭圆的标准方程为=1(a>b>0).∵|AB|=|AC|=,|BC|=2,∴|BO|=|OC|=1,|OA|=--,∴B(-1,0),C(1,0),A,∴P.∴2a=|PB|+|PC|=---=4,∴a=2.又c=1,∴b2=a2-c2=3.∴椭圆的标准方程为=1.(2)椭圆的右顶点A1(2,0),圆E的圆心为E(1,0),半径r=.假设点M,N能将圆E分割成弧长比为1∶3的两段弧,则∠MEN=90°,圆心E(1,0)到直线l的距离d=r=1.当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=2,此时圆心E(1,0)到直线l的距离d=1,满足题意.当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=k(x-2),即kx-y-2k=0,∴圆心E(1,0)到直线l的距离d==1,无解.综上,点M,N能将圆E分割成弧长比为1∶3的两段弧,此时l的方程为x=2.B组1.(2016四川高考)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为()A. B. C. D.1解析:设P(2pt2,2pt),M(x,y)(不妨设t>0),F,则--.∵,--∴∴k OM=,当且仅当t=时等号成立.∴(k OM)max=,故选C.答案:C2.在平面直角坐标系xOy中,点P为双曲线x2-2y2=1的右支上的一个动点,若点P到直线x-y+=0的距离大于c 恒成立,则实数c的最大值为()A.2B.C.D.解析:因为直线x-y+=0与双曲线x2-2y2=1的一条渐近线x-y=0平行,所以c的最大值即为两平行直线间的距离,c max=,故选C.答案:C3.已知椭圆=1(a为定值,且a>)的左焦点为F,直线x=m与该椭圆交于点A,B,△FAB的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是.解析:设右焦点为F',直线x=m与x轴相交于点C,由椭圆的定义,知△FAB的周长为|AF|+|BF|+|AB|=2a-|AF'|+2a-|BF'|+|AB|=4a+|AB|-|AF'|-|BF'|.∵|AF'|+|BF'|≥|AB|(当且仅当AB过点F'时,取等号), ∴4a+|AB|-|AF'|-|BF'|≤4a,∴当且仅当AB过点F'时,△FAB周长最大,最大值为4a=12,∴a=3,∴e=-.答案:4.已知F1,F2分别为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲线右支上任意一点,若的最小值为8a,则该双曲线的离心率的取值范围是.解析:∵+|PF2|+4a≥2+4a=8a,当且仅当|PF2|=2a时等号成立,而|PF2|≥c-a,即2a≥c-a,所以c≤3a,即e≤3.又e>1,得1<e≤3.答案:(1,3]5.如图,在平面直角坐标系xOy中,离心率为的椭圆C:=1(a>b>0)的左顶点为A,过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P,Q两点,直线PA,QA分别与y轴交于M,N两点.若当直线PQ的斜率为时,|PQ|=2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)试问以MN为直径的圆是否经过定点(与直线PQ的斜率无关)?请证明你的结论.解(1)∵当直线PQ的斜率为时,|PQ|=2,此时可设P,∴=3,∴=2,∴=1.∵e=-,∴a2=4,b2=2.∴椭圆C的标准方程为=1.(2)以MN为直径的圆过定点(±,0),证明如下: 设P(x0,y0),则Q(-x0,-y0),且=1,即+2=4.∵A(-2,0),∴直线PA的方程为y=(x+2),∴M.又直线QA的方程为y=-(x+2),∴N-,以MN为直径的圆为(x-0)(x-0)+---=0,即x2+y2--y+-=0,∵-4=-2,∴x2+y2+y-2=0,令y=0,则x2-2=0,解得x=±,∴以MN为直径的圆过定点(±,0).6.已知抛物线的顶点在坐标原点,准线方程为x=1,F是焦点,过点A(-2,0)的直线与抛物线交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,直线PF,QF分别交抛物线于点M,N.(1)求抛物线的方程及y1y2的值;(2)若直线PQ,MN的斜率都存在,记直线PQ,MN的斜率分别为k1,k2,证明:为定值.解(1)依题意,设抛物线方程为y2=-2px(p>0),由准线x==1,得p=2,所以抛物线方程为y2=-4x.由题意,设直线PQ的方程为x=my-2,代入y2=-4x,消去x,整理得y2+4my-8=0,从而y1y2=-8.(2)设M(x3,y3),N(x4,y4),则------------.设直线PM的方程为x=ny-1,代入y2=-4x,消去x,整理得y2+4ny-4=0,所以y1y3=-4, 同理y2y4=-4.故-----,为定值.7.导学号90074105已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率是,其左、右顶点分别为A1,A2,B为短轴的一个端点,△A1BA2的面积为2.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l:x=2与x轴交于点D,点P是椭圆C上异于A1,A2的动点,直线A1P,A2P分别交直线l于E,F两点,证明:|DE|·|DF|恒为定值.解(1)由已知,得解得a=2,b=.故所求椭圆C的方程为=1.(2)由(1)可知A1(-2,0),A2(2,0).设P(x0,y0),依题意-2<x0<2,于是直线A1P的方程为y=(x+2),令x=2,则y=,即|DE|=(2+2).又直线A2P的方程为y=-(x-2),令x=2,则y=--,即|DF|=(2-2)-.所以|DE|·|DF|=(2+2)·(2-2)·---.(*) 又P(x0,y0)在椭圆C上,所以3+4=12,即4=12-3,代入(*)式,得|DE|·|DF|=--=3,所以|DE|·|DF|为定值3.。