高中数学苏教版选修2-3：1.3 第1课时 组合与组合数公式
苏教版高中数学选修2-3§1.3 组 合
高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）§1.3组合课时目标1.理解组合的概念，理解排列数A m n与组合数C m n之间的联系.2.理解并掌握组合数的两个性质，能够准确地运用组合数的两个性质进行化简、计算和证明.3.掌握排列、组合的一些常见模型和解题方法．1．组合一般地，从n个________元素中________________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数与组合数公式组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数表示法________组合数公式乘积形式C m n＝________________阶乘形式C m n＝________________性质C m n＝____________；C m n＋1＝________＋________备注①n，m∈N*且m≤n②规定C0n＝13.排列与组合(1)两者都是从n个不同元素中取出m个元素(m≤n)；(2)排列与元素的顺序________，组合与元素的顺序________．一、填空题1．从5人中选3人参加座谈会，则不同的选法有______种．2．已知平面内A、B、C、D这4个点中任何3点不共线，则由其中每3点为顶点的所有三角形的个数为______．3．某施工小组有男工7人，女工3人，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，则不同的选法有______种．4．房间里有5个电灯，分别由5个开关控制，若至少开一个灯用以照明，则不同的开灯方法种数为______．5．某单位拟安排6位员工在今年6月4日至6日值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值4日，乙不值6日，则不同的安排方法共有______种．6．某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有________种．7．有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张排成一行．如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有________种．8．若对∀x ∈A ，有1x ∈A ，就称A 是“具有伙伴关系”的集合，则集合M ＝{－1,0，13，12，1,2,3,4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为________．二、解答题9．假设在100件产品中有3件是次品，从中任意抽取5件，求下列抽取方法各有多少种？(1)没有次品；(2)恰有2件是次品； (3)至少有2件是次品．10．车间有11名工人，其中5名是钳工，4名是车工，另外2名老师傅既能当车工又能当钳工，现要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，问有多少种选派方法？能力提升11．将5位志愿者分成三组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，则不同的分配方案有________种．12．有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其余5人既会划左舷又会划右舷，现在要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷划船参加比赛，问有多少种不同的选法？解答组合应用题的总体思路1．整体分类．对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏，任意两类的交集等于空集，以保证分类的不重复，计算结果时，使用分类计数原理．2．局部分步．整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证分步的不重复，计算每一类的相应结果时，使用分步计数原理．3．考察顺序．区别排列与组合的重要标志是“有序”与“无序”，无序的问题用组合解答，有序的问题用排列解答．4．辩证地看待“元素”与“位置”．排列、组合问题中的元素与位置没有严格的界定标准，哪些事件看成元素或位置，随解题者的思维方式的变化而变化，要视具体情况而定．有时“元素选位置”，问题解决得简捷，有时“位置选元素”，效果会更好．1．3组合答案知识梳理1．不同取出m(m≤n)个元素并成一组2．所有组合的个数C m n n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！n！m！(n－m)！C n－mnC m n C m－1n3．(2)有关无关作业设计1．10解析所求为5选3的组合数C35＝10(种)．2．43．63解析每个被选的人都无角色差异，是组合问题．分2步完成：第1步，选女工，有C13种选法；第2步，选男工，有C27种选法；故有C13·C27＝63(种)不同选法．4．31解析因为开灯照明只与开灯的多少有关，而与开灯的先后顺序无关，这是一个组合问题．开1个灯有C15种方法，开2个灯有C25种方法，……5个灯全开有C55种方法，根据分类计数原理，不同的开灯方法有C 15＋C 25＋…＋C 55＝31(种)．5．42解析 若甲在6日值班，在除乙外的4人中任选1人在6日值班有C 14种选法，然后4日、5日有C 24C 22种安排方法，共有C 14C 24C 22＝24(种)安排方法；若甲在5日值班，乙在4日值班，余下的4人有C 14C 13C 22＝12(种)安排方法；若甲、乙都在5日值班，则共有C 24C 22＝6(种)安排方法． 所以总共有24＋12＋6＝42(种)安排方法． 6．600解析 可以分情况讨论：①甲、丙同去，则乙不去，有C 25·A 44＝240(种)选法；②甲、丙同不去，乙去，有C 35·A 44＝240(种)选法；③甲、乙、丙都不去，有A 45＝120(种)选法，所以共有600(种)不同的选派方案．7．432解析 分3类：第1类，当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4时，不同的排法有C 12·C 12·C 12·C 12·A 44种；第2类，当取出的4张卡片分别标有数字1,1,4,4时，不同的排法有C 22·C 22·A 44种；第3类，当取出的4张卡片分别标有数字2,2,3,3时，不同的排法有C 22·C 22·A 44种．故满足题意的所有不同的排法共有C 12·C 12·C 12·C 12·A 44＋C 22·C 22·A 44＋C 22·C 22·A 44＝432(种)． 8．15解析 具有伙伴关系的元素组有－1；1；12，2；13，3，共4组，所以集合M 的所有非空子集中，具有伙伴关系的非空集合中的元素，可以是具有伙伴关系的元素组中的任一组、二组、三组、四组，又集合中的元素是无序的，因此，所求集合的个数为C 14＋C 24＋C 34＋C 44＝15.9．解 (1)没有次品的抽法就是从97件正品中抽取5件的抽法， 共有C 597＝64446024(种)．(2)恰有2件是次品的抽法就是从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽2件的抽法，共有C 397C 23＝442 320(种)．(3)至少有2件是次品的抽法，按次品件数来分有两类：第一类，从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽取2件，有C 397C 23种．第二类，从97件正品中抽取2件，并将3件次品全部抽取，有C 297C 33种．按分类计数原理有C 397C 23＋C 297C 33＝446 976(种)． 10．解 设A ，B 代表2名老师傅． A ，B 都不在内的选派方法有C 45·C 44＝5(种)；A ，B 都在内且当钳工的选派方法有C 22·C 25·C 44＝10(种)； A ，B 都在内且当车工的选派方法有C 22·C 45·C 24＝30(种)； A ，B 都在内，一人当钳工，一人当车工的选派方法有C 22·A 22·C 35·C 34＝80(种)；A ，B 有一人在内且当钳工的选派方法有C 12·C 35·C 44＝20(种)；A ，B 有一人在内且当车工的选派方法有C 12·C 45·C 34＝40(种)； 所以共有5＋10＋30＋80＋20＋40＝185(种)选派方法． 11．90解析 分成3组有C 25·C 23·C 11A 22＝15(种)分法． 分赴世博会三个场馆有A 33＝6(种)方法， ∴共有15×6＝90(种)．12．解 设集合A ＝{只会划左舷的3个人}，B ＝{只会划右舷的4个人}，C ＝{既会划左舷又会划右舷的5个人}．先分类，以集合A 为基准，划左舷的3个人中，有以下几类情况：①A 中有3人；②A 中有2人；C 中有1人；③A 中有1人，C 中有2人；④C 中有3人．第①类，划左舷的人已选定，划右舷的人可以在B ∪C 中选3人，即有C 39种选法．因是分步问题，所以有C 33·C 39种选法．第②类，划左舷的人在A 中选2人，有C 23种选法，在C中选1人，有C 15种选法，划右舷的在B ∪C 中剩下的8个人中选3人，有C 38种选法．因是分步问题，所以有C23·C15·C38种选法．类似地，第③类，有C13·C25·C37种选法，第④类有C03·C35·C36种选法．所以一共有C33·C39＋C23·C15·C38＋C13·C25·C37＋C03·C35·C36＝84＋840＋1 050＋200＝2 174(种)选法．。
高中数学选修2-3优质课件：组合与组合数公式
解：(1)从 10 名教师中选 2 名去参加会议的选法种数为 C210＝ 120××19＝45. (2)可把问题分两类情况： 第 1 类，选出的 2 名是男教师有 C62种选法； 第 2 类，选出的 2 名是女教师有 C42种选法． 根据分类加法计数原理，共有 C62＋C42＝15＋6＝21 种不同的 选法．
由此可得所有的组合为 ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.
第六页，编辑于星期一：点 三十六分。
与组合数有关的计算
[例 2] (1)计算：C140－C37·A33； (2)已知C15m－C16m＝107Cm7 ，求 C8m＋C58－m. [解] (1)原式＝C140－A73＝140××39××28××17－7×6×5＝210 －210＝0. (2)原式＝m！55！－m！－m！66！－m！ ＝7×71－0×m7！！m！，
第十页，编辑于星期一：点 三十六分。
解：(1)原式＝C38＋C2100×1＝83× ×72× ×61＋1020××199＝56＋4 950 ＝5 006. (2)原方程可变形为CC53nn－ －31＋1＝159，Cn5－1＝154Cn3－3， 即n－1n－2n5－！3n－4n－5 ＝154·n－3n3－！4n－5，化简整理，得 n2－3n－54＝0.解此 二次方程，得 n＝9 或 n＝－6(不合题意，舍去)，所以 n＝9 为所求.
)
A．4 或 9
B．4
C．9
D．其他
解析：当 x＝3x－8 时，解得 x＝4；当 28－x＝3x－8
时，解得 x＝9.
答案：A
第十八页，编辑于星期一：点 三十六分。
2．某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服
1.3.组合-苏教版选修2-3教案
1.3. 组合-苏教版选修2-3教案教学目标1.了解组合数的概念2.掌握计算组合数的方法3.能够解决与组合有关的实际问题。
教学内容1.组合数的概念–排列与组合的联系–定义组合数2.算法与计算–直接计算法–递推公式法–逆元法3.分类讨论与应用–含不含重复元素的组合数问题–利用组合数解决实际问题教学重点1.排列与组合的联系，定义组合数2.掌握计算组合数的方法教学难点1.组合数公式的推导2.利用组合数解决实际问题教学方法1.讲授2.实例演练3.课堂讨论4.作业和考试教学资源1.教师教案2.PowerPoint课件教学过程1.引入–介绍成就背景–引出学习主题2.概念解释–介绍排列和组合的概念及其关系–定义组合数3.算法与计算–直接计算法–递推公式法–逆元法–讲解算法的过程，并提供例子4.分类讨论与应用–含不含重复元素的组合数问题–利用组合数解决实际问题，如从50个球中选出10个球的方案数，等等。
5.总结–总结组合数的概念，分类，算法与应用教学评价1.课堂表现（包括讨论、提问、及时反馈）2.作业评价3.考试课后作业1.解答教师提供的若干问题；2.根据所学知识，自行出若干组合数问题，并求解；3.完成若干类关于组合数的试题。
参考资料1.离散数学（第三版），该教材解释了组合数的相关概念、讲解了组合数的性质、算法及公式的推导过程，并给出了若干的实例。
2.组合数及其应用，该书较浅显地讲解了初步的组合数概念，丰富的实例与应用让学生理解得更深刻。
高中数学选修2-3 1.3.1组合与组合数公式课件(共17张PPT)
少个三位数?
1.组合的概念
无序
一般的，从ｎ个不同的元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素合
成一组，叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的一个组合。
组合数与组合数公式
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合 的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合
数，用符号 Cnm表示.
注意： Cnm 是一个数，应该把它与“组合”区别开来．
排列
组合 联系
组合是选择的 结果，排列是 选择后再排序 的结果
组合的概念 组合数的概念及性质
，
可得：
C34
=
A34 A 33
组合
123 124 134 234
排列
123 213 312 132 231 321
124 214 412 142 241 421
134 314 413 143 314 431
234 324 423 243 342 432
不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？
A 求 3可分两步考虑： 4
4.解不等式： Cmm4
C m6 m1
C6 m1
(4)
例1：(1)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的
线段共有多少条?
C120 =45
(2)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的
有向线段共有多少条?
A120 =45
例2
解：（1）C1300 161700 (2)C21 C928 9506
C 第一步， 3 （ 4）个； 4
A 第二步， 3 （ 6）个； 3
A C A 根据分步计数原理， 3 4
3
4
3 3.
3
A 从而 3 C4
4 3
A3
高中数学苏教版选修2-3 第一章第3节《组合和组合数公式》课件(共27张PPT)
210 210 0.
3
C375
=
35 34 29 7 6 1
=6724520.
例4、判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果．
(1)高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？
②每两人互握了一次手，共握了多少次手？
(2)高二年级数学课外小组有10人：①从中选一名正组长和一名副组长，
判断它是否有顺序的方法：将元素取出来，看交换元素的顺 序后对结果有无影响，有影响就是“有序”，也就是排列问题； 没有影响就是“无序”，也就是组合问题.
练习：下列问题： ①从 8 盆不同的花中选 2 盆分别送给甲、乙两人，每人一盆，
有多少种选法？ ②从 8 盆不同的花中选 2 盆放在教室，有多少种选法？ ③有 4 个篮球队进行单循环比赛，有多少种冠亚军的情况？
(2)从 a1，a2，a3 三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的
√ 个数为 C23.( )
(3)从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加某两个乡镇的社会调查，有多
× 少种不同的选法是组合问题．( ) √ (4)从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名，有 3 种不同的选法．( )
(5)现有 4 枚 2015 年抗战胜利 70 周年纪念币送给 10 人中的 4 人留念，有多
共同点: 都是“从n个不同元素中任取m个元素”
不同点: 排列与取出的元素的顺序有关， 组合与取出的元素的顺序无关.
排列的概念: 一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n) 个元素，按照一 定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.
组合的概念: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组， 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合．
高中数学(苏教版 选修2-3)文档第1章 1.3 第1课时 组合 组合数公式 Word版含答案
组合第课时组合组合数公式．理解组合的意义．(重点)．掌握组合数的计算公式及其推导过程，并会用组合数公式求值．(重点、难点)[基础·初探]教材整理组合与组合数的概念阅读教材，完成下列问题．．组合一般地，从个不同元素中取出(≤)个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．．组合数从个不同元素中取出(≤)个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( )()从，，三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为.( )()从甲、乙、丙名同学中选出名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法是组合问题．( )()从甲、乙、丙名同学中选出名，有种不同的选法．( )()现有枚年抗战胜利周年纪念币送给人中的人留念，有多少种送法是排列问题．( )【解析】()√因为只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．()√由组合数的定义可知正确．()×因为选出名同学还要分到不同的两个乡镇，这是排列问题．()√因为从甲、乙、丙人中选两名有：甲乙，甲丙，乙丙，共个组合，即有种不同选法．()×因为将枚纪念币送与人并无顺序，故该问题是组合问题．【答案】()√()√()×()√()×教材整理组合数公式及性质阅读教材～，完成下列问题．．组合数公式：＝＝＝.．组合数的性质：()＝；()＝＋.．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是种．【解析】甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票价相同，故该问题为组合问题，不同票价的种数为＝＝.【答案】．＝，＝.【解析】＝＝，＝＝.【答案】．方程＝的解为. 【导学号：】【解析】由题意知(\\(＝－，－≤，≤))或(\\(＝－(－(，－≤，≤，))解得＝或.【答案】或．从这四个数中任取两个相乘，可以得到不相等的积的个数为个．【解析】从四个数中任取两个数的取法为＝.【答案】。
高中数学苏教版选修2-3：1.3 第1课时 组合与组合数公式
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身
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体健康，学业有成，金榜题名！
组合数与组合数公式
从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的 所有组 组合数
合的个数 ，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素 定义
的组合数
表示法
用符号 Cmn 表示
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身
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乘积形式 组合数
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身
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2．同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样，“组 合”与“组合数”也是两个不同的概念．“组合”是指“从 n 个不同元素中取 m(m≤n)个元素合成一组”，它不是一个数， 而是具体的一件事；“组合数”是指“从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数．例如， 从 3 个不同元素 a，b，c 中每次取出两个元素的组合为 ab，ac， bc，其中每一种都叫一个组合，这些组合共有 3 个，则组合数 为 3.
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一般地，从 n 个 不同 元素中取出 m(m≤n)个元素 并成 一组 ，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合.
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从 1,3,5,7 中任取两个数相除． 问题 1：可以得到多少个不同的商？ 提示：A42＝4×3＝12 种． 问题 2：如何用分步法理解“任取两个数相除”？ 提示：第一步，从这四个数中任取两个元素，其组合数为 C42，第二步，将每一组合中的两个不同元素作全排列，有 A22种 排法．
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身
2019-2020学年高中数学(苏教版 选修2-3)文档：第1章 1.3 第1课时 组合 组合数公式 Word版含答案
1.3组合第1课时组合组合数公式1．理解组合的意义．(重点)2．掌握组合数的计算公式及其推导过程，并会用组合数公式求值．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1组合与组合数的概念阅读教材P19，完成下列问题．1．组合一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cm n表示．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( )(2)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C23.( )(3)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法是组合问题．( )(4)从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有3种不同的选法．( )(5)现有4枚2015年抗战胜利70周年纪念币送给10人中的4人留念，有多少种送法是排列问题．( )【解析】(1)√因为只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．(2)√由组合数的定义可知正确．(3)×因为选出2名同学还要分到不同的两个乡镇，这是排列问题．(4)√因为从甲、乙、丙3人中选两名有：甲乙，甲丙，乙丙，共3个组合，即有3种不同选法．(5)× 因为将4枚纪念币送与4人并无顺序，故该问题是组合问题． 【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)× 教材整理2 组合数公式及性质 阅读教材P 20～P 22，完成下列问题． 1．组合数公式：Cm n ＝Am nAmm ＝错误!＝错误!.2．组合数的性质：(1)Cm n ＝Cn －m n ；(2)Cm n ＋1＝Cm n ＋Cm －1n .1．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是________种．【解析】 甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票价相同，故该问题为组合问题，不同票价的种数为C23＝3×22＝3.【答案】 32．C26＝________，C1718＝________. 【解析】 C26＝6×52＝15， C1718＝C118＝18. 【答案】 15 183．方程Cx 14＝C2x －414的解为________. 【导学号：29440009】【解析】由题意知⎩⎨⎧x ＝2x －4，2x －4≤14，x≤14或错误!解得x ＝4或6. 【答案】 4或64．从3,5,7,11这四个数中任取两个相乘，可以得到不相等的积的个数为________个． 【解析】 从四个数中任取两个数的取法为C24＝6. 【答案】 6[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型](1)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？(2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？(3)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？(4)从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？【精彩点拨】要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的元素是否与顺序有关．【自主解答】(1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别．(2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序的区别．(3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别．(4)是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的课代表是有顺序的区别．1．根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合．2．区分有无顺序的方法把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．[再练一题]1．从5个不同的元素a，b，c，d，e中取出2个，写出所有不同的组合．【解】要想写出所有组合，就要先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示：由此可得所有的组合为ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de .(1)计算：(2)计算：C38－n 3n ＋C3n 21＋n.【精彩点拨】 (1)直接运用组合数公式进行计算； (2)先求出n ，再按组合数公式进行运算．【自主解答】 (1)3C38－2C25＝3×8×7×63×2×1－2×5×42×1＝148. (2)由组合数的意义可得 ⎩⎨⎧0≤38－n≤3n ，0≤3n≤21＋n ， 即⎩⎪⎨⎪⎧192≤n≤38，0≤n≤212，∴192≤n ≤212. ∵n ∈N *，∴n ＝10，∴C38－n 3n ＋C3n 21＋n ＝C2830＋C3031＝C230＋C131 ＝30×292×1＋31＝466.关于组合数计算公式的选取1．涉及具体数字的可以直接用公式Cm n ＝Am nAmm ＝错误!计算． 2．涉及字母的可以用阶乘式Cm n ＝错误!计算．3．计算时应注意利用组合数的性质Cm n ＝Cn －m n 简化运算．[再练一题]2．求等式C5n －1＋C3n －3C3n －3＝195中的n 值. 【导学号：29440010】【解】 原方程可变形为C5n －1C3n －3＋1＝195，C5n －1＝145C3n －3，即错误!＝145·错误!，化简整理，得n 2－3n －54＝0.解此二次方程，得n ＝9或n ＝－6(不合题意，舍去)，所以n ＝9为所求．[探究共研型]探究1 5人中选出3人参加数学竞赛，2人参加英语竞赛，共有多少种选法？你有什么发现？你能得到一般结论吗？【提示】 法一：从5人中选出3人参加数学竞赛，剩余2人参加英语竞赛，共C35＝5×4×33×2×1＝10(种)选法．法二：从5人中选出2人参加英语竞赛，剩余3人参加数学竞赛，共C25＝5×42＝10(种)不同选法．经求解发现C35＝C25.推广到一般结论有Cm n ＝Cn －m n .探究2 从含有队长的10名排球队员中选出6人参加比赛，共有多少种选法？ 【提示】 共有C610＝10×9×8×7×6×56×5×4×3×2×1＝210(种)选法． 探究3在探究2中，若队长必须参加，有多少种选法？若队长不能参加有多少种选法？由探究2,3，你发现什么结论？你能推广到一般结论吗？【提示】 若队长必须参加，共C59＝126(种)选法．若队长不能参加，共C69＝84(种)选法． 由探究2,3发现从10名队员中选出6人可分为队长参赛与队长不参赛两类，由分类计数原理可得：C610＝C59＋C69.一般地：Cm n ＋1＝Cm n ＋Cm －1n .(1)化简C34＋C35＋C36＋…＋C32 016的值为________． (2)解方程3Cx 7x －3＝5A2x －4； (3)解不等式C4n ＞C6n .【精彩点拨】 恰当选择组合数的性质进行求值、解方程与解不等式． 【自主解答】 (1)C34＋C35＋C36＋…＋C32 016 ＝C44＋C34＋C35＋…＋C32 016－C44 ＝C45＋C35＋…＋C32 016－1＝… ＝C42 016＋C32 016－1＝C42 017－1.【答案】 C42 017－1(2)由排列数和组合数公式，原方程可化为 3·错误!＝5·错误!，则错误!＝错误!，即为(x －3)(x －6)＝40. ∴x 2－9x －22＝0， 解得x ＝11或x ＝－2.经检验知x ＝11是原方程的根，x ＝－2是原方程的增根． ∴方程的根为x ＝11. (3)由C4n ＞C6n ，得错误!⇒错误!⇒⎩⎨⎧－1＜n ＜10，n≥6.又n ∈N *， ∴该不等式的解集为{6,7,8,9}．1．性质“Cm n ＝Cn －m n ”的意义及作用2．与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由Cm n 中的m ∈N *，n ∈N *，且n ≥m 确定m ，n 的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意．[再练一题]3．(1)化简：C9m －C9m ＋1＋C8m ＝________； (2)已知C7n ＋1－C7n ＝C8n ，求n 的值．【解析】 (1)原式＝(C9m ＋C8m )－C9m ＋1＝C9m ＋1－C9m ＋1＝0. 【答案】 0(2)根据题意，C7n ＋1－C7n ＝C8n ，变形可得C7n＋1＝C8n＋C7n，由组合数的性质，可得C7n＋1＝C8n＋1，故8＋7＝n＋1，解得n＝14.[构建·体系]1．给出下面几个问题，其中是组合问题的是________(填序号)．(1)从1,2,3,4中选出2个构成的集合；(2)由1,2,3组成两位数的不同方法；(3)由1,2,3组成无重复数字的两位数．【解析】由题意知：(1)与顺序没有关系；(2)(3)与顺序有关，故是排列问题．【答案】(1)2．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有________人．【解析】设男生有n人，则女生有(8－n)人，由题意可得C2n C18－n＝30，解得n＝5或n ＝6，代入验证，可知女生有2人或3人．【答案】2或33．C58＋C68的值为________．【解析】C58＋C68＝C69＝9！6！×3！＝9×8×73×2×1＝84.【答案】844．6个朋友聚会，每两人握手1次，一共握手________次．【解析】每两人握手1次，无顺序之分，是组合问题，故一共握手C26＝15次．【答案】155．已知C4n，C5n，C6n成等差数列，求C12n的值．【解】由已知得2C5n＝C4n＋C6n，所以2·错误!＝错误!＋错误!，整理得n2－21n＋98＝0，解得n＝7或n＝14，要求C12n的值，故n≥12，所以n＝14，于是C1214＝C214＝14×132×1＝91.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。
2019-2020学年苏教版选修2-3 1.3 组合 课件(35张)
第1章 计数原理
2．组合与排列的相同点和不同点 相同点：都要从“n 个不同元素中取出 m 个元素”． 不同点：组合是“不管顺序合成一组”，而排列是“按照一定 顺序排成一列”． 3．应用组合数公式的注意问题 (1)组合数公式是在 n，m∈N*，并且 m≤n 时成立，m＞n 时不 成立． (2)Cn0＝1 是一种规定，不能用组合数的定义进行解释．
栏目 导引
第1章 计数原理
1．若 C1n2＝C122n－3，则 n 等于(
)
A．3
B．5
C．3 或 5
D．15
解析：选 C.由组合数的性质得 n＝2n－3
或 n＋2n－3＝12，解得 n＝3 或 n＝5，
故选 C.
栏目 导引
2．计算 Cr1－01＋C1170－r的值为________． 解析：由题意得r1－7－1≤r≤1100， 所以 7≤r≤11. r＝7 时，C610＋C1100＝211； r＝8 时，C710＋C910＝130； r＝9 时，C810＋C810＝2C810＝90； r＝10 时，C910＋C710＝130； r＝11 时，C1100＋C610＝211.
栏目 导引
第1章 计数原理
(3)①因为 Cx126＋3x＋2＝C156x＋5， 所以 x2＋3x＋2＝5x＋5 或(x2＋3x＋2)＋(5x＋5)＝16， 即 x2－2x－3＝0 或 x2＋8x－9＝0， 所以 x＝－1 或 x＝3 或 x＝－9 或 x＝1. 经检验：x＝3 或 x＝－9 不合题意舍去． 故原方程的解是 x1＝－1，x2＝1.
栏目 导引
第1章 计数原理
3．组合数公式
(1)C
m n
＝
AAmnmm＝
n（n－1）（n－2）…（n－m＋1） ________________m_！___________________
苏教版高中数学选修(2-3)课件1.3《组合》2
C C C
0 3 1 4 2 5
C
7 10
例题讲解：
例1、计算
(1)
( 2)
( 3)
C C
198 200 3
;
99
3 8
C 99;
3
2
C
3 100
2 200
200 199 21
19900
2C
(C
2
(4)
98
2C 8 (C 8 C 8 ) C 8 C 8 56
例5.在100件产品中,有98件合格品,2件不合格品, 从这100件产品中任意抽出3件. (1)一共有多少种不同的抽法? (2)抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有多 少种? (3)抽出的3件中至少有1件不合格品的抽法有多少 种?
学生活动
房间里有5个电灯，分别由5个开关控制，至 少开一个灯照明，有多少种不同的方法？ 可以直接法,也可间接法.比较两种解法,你能得 出什么结论?
1） C
m n 1
n n
C
C
m n 1
C
m 1 n 1
n 1 n m 1
2） C C
Hale Waihona Puke n n 1C
n n m
C
例4.某医院有内科医生8人,外科医生5人,现欲从中 抽调5名医生组成医疗小分队奔赴抗洪第一线,
内科医生3人,外科医生2人,有多少种不同的抽调方 法?
变1:内科医生至少 3人,外科医生至少 1人,有多少 种不同的抽调方法? 变2:内科医生和外科医生都要有人参加 ,有多少 种不同的抽调方法?
n
1、组合数性质1：
m
n! 证明：根据组合数公式有 C m !(n m)! n! nm Cn (n m)! n (n m) ! n! m !(n m)!
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2．同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样，“组 合”与“组合数”也是两个不同的概念．“组合”是指“从 n 个不同元素中取 m(m≤n)个元素合成一组”，它不是一个数， 而是具体的一件事；“组合数”是指“从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数．例如， 从 3 个不同元素 a，b，c 中每次取出两个元素的组合为 ab，ac， bc，其中每一种都叫一个组合，这些组合共有 3 个，则组合数 为 3.
所以，x2－9x－22＝0，解之可得 x＝11 或 x＝－2.
经检验知 x＝11 是原方程的根，x＝－2 是原方程的增根．
所以，方程的根为 x＝11.
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[一点通] 组合数公式的乘积形式体现了组合数与相应排列数 的关系，一般在计算具体的组合数时会用到．
组合数公式阶乘形式的主要作用有： (1)计算 m，n 较大时的组合数； (2)对含有字母的组合数的式子进行变形和证明． 特别地，当 m>n2时计算 Cmn ，用性质 Cmn ＝Cnn－m转化，减少计算 量．
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组合数与组合数公式
从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的 所有组 组合数
合的个数 ，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素 定义
的组合数
表示法
用符号 Cmn 表示
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乘积形式 组合数
Cmn ＝nn－1n－m2！…n－m＋1
公式
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1．下列问题： ①铁路线有 5 个车站，要准备多少车票？ ②铁路线有 5 个车站，有多少种票价？ ③有 4 个篮球队进行单循环比赛，有多少种冠亚军的情况？ ④从 a，b，c，d 4 名学生中选出 2 名学生，有多少种不同选法？ ⑤从 a，b，c，d 4 名学生中选出 2 名学生完成两件不同的工作有 多少种不同选法？ 其中是组合问题的是________．(将正确的序号填在横线上)
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3．计算 C63＋C83＝________. 解析：C63＋C83＝63××52××41＋83××72××61＝20＋56＝76. 答案：76
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4．计算下列各式的值． (1)C91080＋C129090； (2)C73＋C74＋C58＋C69.
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问题 3：你能得出 C24的结果吗？ 提示：因为 A24＝C24A22，所以 C42＝AA2422＝6. 问题 4：试用列举法求得从 1,3,5,7 中任取两个元素的组合 数？
提示：1,3；1,5；1,7；3,5；3,7；5,7 共 6 种．
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[一点通] 解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问 题，取出元素只是组成一组，与顺序无关则是组合问题；取出元素 排成一列，与顺序有关则是排列问题．只有当该问题能构成组合模 型时，才能运用组合数公式求出其组合数．在解题时还应注意两个 计数原理的运用，在分类和分步时，注意有无重复或遗漏．
性质 备注
阶乘形式
n！ Cmn ＝ m！n－m！
Cmn ＝Cnn－m；Cmn＋1＝ Cmn ＋Cmn －1
①n，m∈N*且 m≤n.②规定 C0n＝ 1
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1．组合的特点是只取不排
组合要求 n 个元素是不同的，被取出的 m 个元素也是不同的，
即从 n 个不同的元素中进行 m 次不放回地取出．
解：(1)C91800＋C129090＝C2100＋C1200＝1020××199＋200＝5 150. (2)原式＝C48＋C58＋C69＝C59＋C69＝C160＝C410＝210.
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5．(1)求 C338n－n＋C32n1＋n的值； (2)求等式C5n－C1＋3n－C3 3n－3＝345中的 n 值．
答案：70
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7．一个口袋内装有大小相同的 7 个白球和 1 个黑球．
(1)从口袋内取出 3 个球，共有多少种取法？
(2)从口袋内取出 3 个球，使其中含有 1 个黑球，有多少种取法？
(3)从口袋内取出 3 个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 解：(1)由于与顺序、位置无关，是组合问题，由组合定义知有
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一般地，从 n 个 不同 元素中取出 m(m≤n)个元素 并成 一组 ，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合.
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从 1,3,5,7 中任取两个数相除． 问题 1：可以得到多少个不同的商？ 提示：A42＝4×3＝12 种． 问题 2：如何用分步法理解“任取两个数相除”？ 提示：第一步，从这四个数中任取两个元素，其组合数为 C42，第二步，将每一组合中的两个不同元素作全排列，有 A22种 排法．
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[精解详析] (1)原式＝C140－A37 ＝140××39××28××17－7×6×5＝210－210＝0.
(2)由排列数和组合数公式，原方程可化为
3·x－x－73！！4！＝5·xx－－64！！，
则34x！－3＝x－5 6，即为(x－3)(x－6) ＝40.
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2．求出问题 1 中组合问题的组合数．
解：②铁路线有 5 个车站，有 C25＝10 种不同的票价． ④从 a，b，c，d 4 名学生中选出 2 名学生，有 C42＝6 种不同的选法.
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[例 2] (1)计算：C140－C73·A33； (2)解方程 3Cxx－－73＝5Ax2－4. [思路点拨] (1)直接利用公式计算； (2)由计算公式化为关于 x 的方程．
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解析：来往的车票是不同的，因为它具有方向性，即有序；而来 往的票价是相同的，没有方向性；单循环是无序的，但冠亚军却 有明显的顺序；从 4 名学生中选出 2 名学生无顺序；而 2 名学生 完成两件不同的工作是有序的．
答案：②④
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[思路点拨] 本题属于组合问题中的最基本问题，可根据题意分 别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确的判断，然后利用组合 数公式解决．
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[精解详析] (1)C512＝792 种不同的选法． (2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的 9 人中选 2 人，共 有 C29＝36 种不同的选法． (3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的 9 人中选 5 人，共 有 C59＝126 种不同的选法． (4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加．分两步，先从甲、乙、丙 中选 1 人，有 C31＝3 种选法，再从另外的 9 人中选 4 人有 C94种选法．共 有 C13C94＝378 种不同的选法．
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1相除或相乘． 问题 1：所得商和积的个数相同吗？ 提示：不相同．
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问题 2：它们是排列吗？ 提示：从 1,3,5,7 中任取两个数相除是排列，而相乘不是排列． 问题 3：一个小组有 7 名学生，现抽调 5 人参加劳动．所抽 出的这 5 人与顺序有关吗？ 提示：无关． 问题 4：你能举个这样的示例吗？ 提示：从你们班选 7 名同学组成班委会．
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6．从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台，其中至少有 甲型与乙型电视机各 1 台，则不同的取法共有________种．
解析：抽出的 3 台电视机中甲型 1 台乙型 2 台的取法有 C14C25种； 甲型 2 台乙型 1 台的取法有 C24C15种． 根据分类计数原理可得总的取法有 C14C25＋C24C15＝40＋30＝ 70(种)．
解：(1)∵00≤ ≤338n－≤n21≤＋3nn， ， 即1029≤≤nn≤≤2213，8，
∴129≤n≤221. ∵n∈N*，∴n＝10， ∴C338n－n＋C32n1＋n＝C2380＋C3301＝C230＋C131＝466.
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(2)原方程可变形为CCn35n－－31＋1＝345，C5n－1＝154C3n－3， 即n－1n－2n5－！3n－4n－5 ＝154·n－3n3－！4n－5， 化简整理，得 n2－3n－54＝0. 解此二次方程得 n＝9 或 n＝－6(不合题意，舍去)， 故 n＝9 为所求．
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[例 3] 在一次数学竞赛中，某学校有 12 人通过了初试，学校 要从中选出 5 人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的 选法？
(1)任意选 5 人； (2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加．
2．组合的特性
元素的无序性，即取出的 m 个元素不讲究顺序，没有位置的